2022-2023学年福建省龙岩第一中学高二上学期期末质量检测数学模拟试题（解析版）

2022-2023学年福建省龙岩第一中学高二上学期期末质量检测数学模拟试题

一、单选题

1．直线的一个方向向量是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果.

【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，

又因为与共线，所以的一个方向向量可以是，

故选：A.

2．从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（    ）

A．7 B．9 C．12 D．16

【答案】C

【分析】先确定从A地到C地有3种不同的走法，再确定从C地到B地有4种不同的走法，最后求从A地到B地不同的走法种数.

【详解】解：根据题意分两步完成任务：

第一步：从A地到C地，有3种不同的走法；

第二步：从C地到B地，有4种不同的走法，

根据分步乘法计数原理，从A地到B地不同的走法种数：种，

故选：C.

【点睛】本题考查分步乘法计数原理，是基础题.

3．在等比数列中，，若、、成等差数列，则的公比为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设等比数列的公比为，则，根据题意可得出、的等量关系，即可求得数列的公比.

【详解】设等比数列的公比为，则，

由题意可得，即，则，故.

故选：B.

4．半径为的圆内有一点，已知，过点的条弦的长度构成一个递增的等差数列，则的公差的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】计算出过点的直线截圆所得弦长的最大值和最小值，即可求得数列的公差的取值范围.

【详解】设圆心到过点的直线的距离为，则，

设过点的直线截圆的弦长为，则，

即过点的直线截圆所得弦长的最大值为，最小值为，

设等差数列的公差为，则且，解得.

故选：A.

5．椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（    ）

A．1 B． C．2 D．3

【答案】A

【解析】由双曲线方程知，结合椭圆方程及共焦点有且，即可求值.

【详解】由双曲线知：且，

而其与椭圆有相同焦点，

∴且，解得，

故选：A

6．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，若，且，则解下个环所需的最少移动次数为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据数列的递推公式逐项计算可得出，即为所求.

【详解】数列满足．且，

所以，，，，.

所以解下个环所需的最少移动次数为．

故选：C．

7．已知，则（    ）

A． B．2 C．4 D．12

【答案】C

【分析】令，直接根据二项式定理求解即可.

【详解】令，则，

故，

中得系数为，中得系数为，

所以，

故选：C.

8．椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，是点关于原点的对称点，若，，则椭圆的离心率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】作另一焦点为，连接，，根据平面几何知识得出三角形为等腰直角三角形，设，根据椭圆的定义以及勾股定理，构造齐次方程，即可得出离心率.

【详解】作另一焦点为，连接，，则四边形为平行四边形

，且，则三角形为等腰直角三角形

设，则，即

在三角形中，由勾股定理得

则，即

故选：C

【点睛】本题主要考查了构造齐次方程求椭圆的离心率，属于中档题.

二、多选题

9．（多选题）光线自点射入，经倾斜角为的直线反射后经过点，则反射光线还经过下列哪个点（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，求出反射光线所在直线的方程，逐一验证各选项中的点是否在反射光线所在直线上，由此可得出合适的选项.

【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，

设点关于直线的对称点为，

则，解得，

所以，反射光线经过点和点，反射光线所在直线的斜率为，

则反射光线所在直线的方程为，

当时，；当时，.

故选：BD.

【点睛】结论点睛：若点与点关于直线对称，由方程组可得到点关于直线的对称点的坐标（其中，）.

10．(多选题)等差数列的前n项和为，若，公差，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则必有=0

B．若，则必有是中最大的项

C．若，则必有

D．若，则必有

【答案】ABC

【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案.

【详解】解：对于A.，若，则，所以，所以，故A选项正确；

对于B选项，若，则，由于，公差，故，故，所以是中最大的项；故B选项正确；

C. 若，则，由于，公差，故，故，的符号不定，故必有，无法确定；故C正确，D错误．

故选：ABC．

【点睛】本题考查数列的前项和的最值问题与等差数列的性质，是中档题．

11．已知，下列结论正确的是（    ）

A．

B．当时，设，则

C．当时，中最大的是

D．当时，

【答案】AD

【分析】令可得各项系数和判断A，根据二项式定理求得判断B，求出后判断C，在展开式中先求得，再令计算后判断D．

【详解】在已知式中令得，A正确；

时，，

，

，，B错；

时，，

，C错；

在中，令得，

令，则，

所以，D正确．

故选：AD．

12．已知抛物线：与圆：交于，两点，且，直线过的焦点，且与交于，两点，则下列说法正确的是（    ）

A．若直线的斜率为，则

B．的最小值为

C．若以为直径的圆与轴的公共点为，则点的横坐标为

D．若点，则周长的最小值为

【答案】BCD

【分析】首先求出抛物线的解析式，设出的坐标，联立进行求解，当时，，进而判断选项A错误；再根据韦达定理和不等式求最小值后进行判断选项B；画出大致图象，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，结合抛物线定义判断选项C；过作垂直于准线，垂足为，结合的周长，进而判断选项D即可.

【详解】由题意得点在抛物线上，

所以，解得，所以，则，

设直线，与联立得，

设，，所以，，

所以，

当时，，A项错误；

，

则，

当且仅当，时等号成立，B项正确；

如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，

取的中点为，过点作轴的垂线，垂足为，

则，是梯形的中位线，

由抛物线的定义可得，

所以，

所以以为直径的圆与轴相切，

所以点为圆与轴的切点，所以点的纵坐标为，

又为的中点，所以点的纵坐标为，

又点在抛物线上，所以点的横坐标为，C项正确；

过作垂直于准线，垂足为，

所以的周长为，

当且仅当点的坐标为时取等号，D项正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．对任意都有.数列满足：，则__________.

【答案】

【分析】采用倒序相加法即可求得结果.

【详解】由题意得：，，，……，

，

，

，解得：.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用倒序相加法求和的问题，属于基础题.

14．若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为______．

【答案】

【分析】先根据直线与平行求出参数，再由两平行直线间的距离公式可得答案.

【详解】∵直线与平行，∴，解得，

∴直线：，直线：，

∴直线与之间的距离．

故答案为：

15．已知的展开式中各项系数和为，则展开式中常数项为___________.

【答案】

【分析】由条件求，再结合二项式定理展开式通项公式求解.

【详解】因为的展开式中各项系数和为，

所以，即．

所以的常数项为．

故答案为：80

16．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有______个.

【答案】120

【分析】先排偶数，再使用插空法得到组成没有重复数字的六位数，奇数不相邻的个数为144个，再计算出这144个六位数中，4在第四位的个数，相减后得到答案.

【详解】先排偶数，有种方法，3个偶数，共有4个空格，再将奇数插空，共有种情况，

故组成没有重复数字的六位数，奇数不相邻的个数为种情况，

若4位于第四位，则第二位必须为偶数，可从数字2和6中二选一，有种选择，

第五位与第六位，其中之一为偶数，故从两个位置中选择一个放入2和6中剩余的一个偶数，有种选择，

剩余3个位置，3个奇数进行全排列，有种选择，

则由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数种，奇数不相邻，4位于第四位共有个，

所以由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数中，要求奇数不相邻，且4不在第四位的个数共有个.

故答案为：120

四、解答题

17．在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答．

条件①：“展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为”；

条件②：“展开式中前三项的二项式系数之和为”．

问题：已知二项式，若_____填写条件前的序号，

(1)求展开式中含项的系数；

(2)求展开式中二项式系数最大的项．

【答案】(1)条件①②：135

(2)

【分析】（1）选择：求出各项系数和以及二项式系数和，然后建立方程即可求出的值；选择：求出前三项的二项式系数，然后建立方程求出的值.利用求得的的值求出展开式的通项公式，然后令的指数为，进而可以求解；

（2）根据二项式系数的性质即可求解．

【详解】（1）若选填条件，则由已知可得，解得，

若选填条件，则由已知可得，

整理得，解之得，或（舍）

所以二项式为，

则二项式通项，（，，，，）

当时，，

故展开式中含项的系数是，

（2）由（1）得，展开式共项，

二项式系数最大的项为．

18．已知为圆上的动点，的坐标为，在线段的中点.

(1)求的轨迹的方程.

(2)过点的直线与交于、两点，且，求直线的方程.

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）设点的坐标为，A，由中点坐标公式可得，利用相关点法计算可得点的轨迹的方程.

（2）由题意可得原点到直线的距离，分直线斜率不存在与存在两种情况讨论，利用点到线的距离公式求出参数的值，即可得解.

【详解】（1）解：设点的坐标为，点的坐标为，

依题意得，，解得，

又，所以，即，

所以点的轨迹的方程为.

（2）解：因为直线与曲线交于、两点，且，

所以原点到直线的距离.

若斜率不存在，直线的方程为，此时符合题意；

若斜率存在，设直线的方程为，即，

则原点到直线的距离，解得，

此时直线的方程为，

所以直线的方程为或.

19．7月份，有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大（只有1天）后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件．

（1）求7月几日该款服装销售最多，最多售出几件．

（2）按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行．求该款服装在社会上流行几天．

【答案】（1） 7月13日该款服装销售最多，最多售出39件；（2） 11天．

【分析】（1）根据等差数列的特点列出式子即可求解；

（2）求出数列的前n项和，根据题意列出不等式即可求解.

【详解】（1）设7月日售出的服装件数为，最多售出件．

由题意知，解得，

∴7月13日该款服装销售最多，最多售出39件．

（2）设是数列的前项和，

由（1）及题意知，

∴．

∵，

∴当时，由，得，

当时，日销售量连续下降，由，得，

∴该款服装在社会上流行11天（从7月12日到7月22日）．

20．已知数列中，，是数列的前项和，且．

（1）求，，并求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，若 对任意的正整数都成立，求实数的取值范围．

【答案】（1），，  （2）

【分析】（1）令，得到，当时，，所以得到，整理得到，从而得到的通项公式，从而得到的通项；（2）根据（1）得到的通项，然后得到其前项的和，计算，得到在上单调递增，从而得到，得到的取值范围.

【详解】解：（1）在中，

，则，即，得，

由得：

当时，，

化简得，

即，

所以数列是以2为首项，2为公比的等差数列，

所以.

又因为，所以，

所以，.

当时，，

对也成立，

所以数列的通项公式为.

（2）因为，

所以

.

因为，

所以在上单调递增，

所以的最小值为.

因为对任意的正整数都成立，

所以，

即.

所以实数的取值范围是.

【点睛】本题考查由和的关系求数列通项，数列求和，数列的单调性求数列中的最小项，数列不等式恒成立问题，属于中档题.

21．已知双曲线：的右焦点为，左顶点为A，且，到C的渐近线的距离为1，过点的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴分别交于M，N两点.

(1)求双曲线C的标准方程.

(2)若直线MB，NB的斜率分别为，，判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

【答案】(1)

(2)是定值，

【分析】（1）由题意可得，，再结合可求出，从而可求出双曲线方程，

（2）设直线：，，，，将直线方程代入双曲线方程消去，利用根与系数的关系，表示出直线的方程，可表示出点的坐标，同理可表示出点的坐标，从而可表示，，然后计算化简即可

【详解】（1）由题意得，，渐近线方程为，

则到渐近线的距离为，

又因为，

所以，，，

故双曲线的标准方程为.

（2）设直线：，，，，

联立方程组得，

所以，.

因为直线的方程为，

所以的坐标为，同理可得的坐标为.

因为，，

所以

，

即为定值.

22．设椭圆的左右焦点，分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为.

(1)求椭圆的方程；

(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，圆的方程为，的取值范围是

【分析】（1）根据题意得到，及双曲线的渐近线方程，利用点到直线距离公式求出，从而求出，得到椭圆方程；

（2）先考虑直线的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，由得到，由向量垂直得到向量数量积为0，代入两根之和，两根之积得到，得到或，从而得到原点到直线的距离，即圆的半径，得到圆的方程，验证直线的斜率不存在时，也满足要求，从而得到圆的方程为，再由弦长公式求出，换元后得到，结合求出的取值范围，考虑直线的斜率不存在时，的长，得到答案.

【详解】（1）由题意得：，

故，

双曲线渐的近线方程为，

故椭圆右顶点到双曲线渐近线距离为，

因为，解得：，

故，

所以椭圆方程为；

（2）当直线的斜率存在时，设直线为，

联立与，得：

，

由得：，

设，

则，

因为，所以，

其中

，

整理得：，

将代入中，解得：，

又，解得：，综上：或，

原点到直线的距离为，

则存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且，

该圆的半径即为，故圆的方程为，

当直线斜率不存在时，此时直线的方程为，

与椭圆的两个交点为，或，，

此时，满足要求，

经验证，此时圆上的切线在轴上的截距满足或，

综上：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且；

，

将代入上式，

令，则，

因为，则，

所以，

因为，所以，

故当时，取得最大值，最大值为，

又，

当直线的斜率不存在时，此时，

综上：的取值范围为.

【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：

（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；

（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．