初一数学春季讲义 第3讲-实数的化简与应用 教师版

      想歪了的计算

编写思路：

一、简单的实数计算，重点在于开平方和开立方，然后再进行加减混合运算.

      二、实数的化简，重点讲解并练习.

      三、实数的应用，是一道综合实数与直角坐标系的题.

建议教师对寒假知识进行回顾：平方根、算术平方根、立方根及实数概念.

在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算总可以进行，且结果仍然是实数.但开

方运算不能无条件进行，只有正数和0才可以开偶次方.

在有理数范围内适用的运算律和运算法则，在实数范围内仍然可以使用。

实数的混合运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方、开方，再乘除，最后算加减，同级运

算按从左到右的顺序进行，有括号先算括号里的

【例1】 ⑴ 两个无理数的和、差一定是（    ）

A、无理数        B、有理数        C、          D、实数

⑵ 计算：

①                      ②

③      ④

⑤

【解析】       ⑴ D; ⑵ ①;②0; ③ ;④;⑤.

【例2】 计算：

①              ②

③         ④

【解析】       ①;②；③；④

化简常用式子：

⑴

 ⑵

⑶ ； ；

【例3】 ⑴ 当时，化简               .

⑵化简：         ；         .

⑶ 计算：

⑷ 若，则.

⑸ 计算： 

【解析】       ⑴ ;    ⑵ ;；

⑶ ;    ⑷ ；    ⑸ .

【例4】 ⑴ 化简：当时，      ，当时，       ，

当时，        .

⑵ 当时，化简．

⑶ 已知，则应满足（     ）

A、        B、       C、        D、且

⑷ 化简

⑸若且，则整数的个数是（    ）

A、1个   B、2个    C、3个    D、4个

【解析】       ⑴,,;⑵;⑶ B;⑷ ;⑸ D;

【例5】 ⑴ 实数在数轴上的对应点的位置如图所示：       

化简 

⑵ 已知实数、在数轴上表示的点如图所示，试化简下

列各式：①；②

⑶ 已知数在数轴上的位置如图所示：

化简：的结果为________ 

【解析】       ⑴  1；  ⑵， ；⑶   0.

【例6】 比较下列各值的大小：

①和；② 和；  ③和；

④和； ⑤和； ⑥和.

【解析】       ①（应用不等式性质）;②（平方法与立方法）；

③(作差法)；④（隐含条件法）；

⑤（估算法或作商法、作差法）；⑥（放缩法）

直角三角形中，两直角边分别为，斜边为，则满足.

此结论叫做勾股定理.

如右图：在直角中，两条直角边分别为，

则，所以.

【例7】 如下左图：在平面直角坐标系中，点，做轴于，连接，则，

则根据勾股定理：.

以为圆心、为半径画圆，与轴交于四个点，则四个点的坐标分别为：

按照此种思路，请在此平面直角坐标系中，画出点 .

【解析】       如图1，取点，则,以为圆心，为半径画圆交轴于、两点，则点即为所求. 同理，图2中的点即为所求.

                           图1                             图2

【教师选讲】

【研究对象】学生在见到这种类型题时无从下手，所以总结比较大小的方法.

【探究目的】以条件变化，促使题目难度与层次差异化，从而引导学生分析理解题目条件的差异性，并总结解题方法.

【探究方式】不同题型采取不同的方法作为一个比较大小方法的总结.

1、（课本练习）比较下列各组数的大小

①；②

分析：①；②.

【方法一】平方法或立方法：如果，，若，那么；若，那

么.

2、（课本练习）比较下列各组数的大小

①；②

分析：①因为所以.

又因为，所以.（本题用方法一也可解）

②

【方法二】取近似值法（估算法）：在比较两个无理数的大小时，如果有计算器，可以先

用计算器求出它们的近似值.不过取近似值时，要使它们的精确度相同.再通过比较它们

的近似值的大小，从而确定它们的大小.如果没有计算器，则可用估算法.先估算出两数

或两数中某部分的取值范围，再进行比较.

3、（课本练习）比较下列各组数的大小

①

分析：，∴（本题用方法二也可解）

【方法三】作差法：设、为任意两个实数，先求出与的差.当时，得到

；当时，得到；当时，得到.

以下为其他方法，供老师作为参考选讲

【方法四】比较被开方数法：当，时，如果，那么，.

比较各值大小①和；②和

分析：①；②

【方法五】作商法：设、为任意两个正实数，先求出与的商.当时，；当时，

；当时，.

比较各值大小:

分析：因为，所以.

【方法六】根式定义法：该法适用于二次根式和三次根式的大小比较.

比较的大小。

分析：根据平方根的定义可知,∴。所以，故

.而，所以.

【方法七】特殊值法：在解决含有字母的选择题或填空题时，常常可以采用特殊值法，这样能够比较快捷地得到答案.

          已知、为整数，且，比较的大小

          分析：令，，则，，，

∵，∴

【方法八】放缩法（中间值法）：如果，，那么.若通过放缩能够确定两个实数中的一个比某个数小，而另一个恰好比该数大时，可选用此法.

比较各值大小:和

分析：因为，，所以，。

所以，即。

【方法九】倒数法：设、为任意两个正实数，先分别求出与的倒数、，再根据当时，，来比较与的大小.

①和

②设，则、、的大小关系是（    ）

A、    B、   C、    D、

分析：①

②当几个式子中的被开方数的差相等且式子中的运算符号相同时，可选用

倒数法.

首先，，

，

.

因为，所以，则.又因为，所以，则.由

此可得：.故选A.

【方法十】法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数.两个正数，绝对值大的数

较大；两个负数，绝对值大的数反而较小.

已知、是实数，且，，试比较与的大小.

分析：因为,，则.又，则，所以，为

负数.而，，所以，为正数.所以.

【方法十一】添加根号法：若，则.

比较的大小.

分析：因为，又因为，于是，即

.

【方法十二】分子有理化法：比较与的大小.

分析：，

因为，故，所以.

题型一  实数的计算  巩固练习

【练习1】   计算：

⑴     ⑵    ⑶

【解析】       ⑴ ⑵ ；⑶ .

【练习2】   计算：⑴        ⑵

【解析】       ⑴；⑵.

题型二  实数的化简  巩固练习

【练习3】   ⑴已知为实数，那么等于（    ）

A.           B．             C．           D．

⑵若，则化简的结果是__________.

【解析】       ⑴D;  ⑵原式=.

【练习4】   计算：

⑴               ⑵

【解析】       ⑴ ;⑵.

【练习5】   数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简．

【解析】      

题型三  实数应用  巩固练习

【练习6】   作图：在数轴上做出这四个点.

【解析】       先做出以1为边长的正方形，连接对角线

【说明】证明边长为1的正方形对角线长为，不应用勾股定理的解法：

由面积法：∵，∴