初一数学寒假讲义 第1讲.实数初步.教师版

 “实数”的风波

考点一:了解平方根及算术平方根的概念

1、的平方根是          ，的算术平方根是          .

【解析】

考点二:了解立方根的概念

2、的立方根是       ，的立方根是        .

【解析】

考点三:了解无理数的概念

3、下列各数哪些是有理数，哪些是无理数？

【解析】有理数：，；无理数：

【例1】考察平方根及算术平方根的概念及性质，用根号表示非负数的平方根及算术平方根；

【例2】利用非负数的性质解题；

【例3】要挖掘被开方数为非负数的隐含条件，确定字母取值范围或取值解题；

【例4】考察立方根的概念及性质；

【例5】考察立方根的综合应用；

【例6】考察无理数、实数的概念；

【例7】考察实数与数轴的关系；

【例8】考察无理数的小数及整数部分.

【教师备案】

1、知识点引入：

2、老师可以在讲的过程中结合具体例子总结：

⑴当被开方数扩大(或缩小)倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)倍()．

⑵平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：

①若，则；②不管为何值，总有

⑶若一个非负数介于另外两个非负数、之间，即时，它的算术平方根也介于、 之间，即：.利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根的大致范围．

对新概念的理解能力

【例1】         ⑴ 求下列各数的平方根与算术平方根：

①；      ②；        ③5；       ④；       ⑤.

⑵ 求下列各式的值：

①；    ②；    ③；    ④；    ⑤；    ⑥  

⑶ 解关于的方程：

①； ②；③

⑷ 比较下列各数大小：

①          ②       ③    

⑸ 一个正数的平方根是和，则_________.

【解析】       ⑴ ① 和；    ②和；    ③和；    ④ 和；    ⑤和

⑵ ① 5；     ②；     ③；     ④2；     ⑤6；      ⑥

⑶①；②；③

⑷① ;② ;③ .⑸.

非负性的考查

【例2】         ⑴ 若，则的值为（    ）

A． B． C． D．                              

（北京中考）

⑵若与的值互为相反数，则的平方根是          .

⑶若，求的值．           

【解析】       ⑴ B.

⑵ ，，，∴平方根是.

⑶

综合应用能力

【例3】         ⑴中的取值范围_________.

⑵已知，求的值.

【解析】  ⑴

   ⑵∵且

∴

即，∴

∴

【备选】已知，求的值.

【备选】∵  ∴

∴原式为

两边平方得 

∴

对新概念的运用能力

【例4】         ⑴ 求下列各数的立方根：

①；  ②8；  ③；  ④；  ⑤ ；

⑵ 比较大小

①     ；      ②    

⑶ 求出下列各式中的：

①若，则     ；

②若，则    ；

③若，则     ；

④若，则      ．

⑷ 下列四种说法中，正确的是（    ）

A、没有意义

B、一个数的某个平方根恰与它的立方根相等，这个数一定是0

C、一个正数有两个立方根

D、互为相反数的立方根也互为相反数

【解析】       ⑴ ① ； ②； ③； ④ 2； ⑤

⑵ ①<  ②=

⑶ ①0.7    ② 6    ③    ④3；⑷

考查综合运用能力

【例5】         若和互为相反数，求的值.

【解析】       ∵与互为相反数，

∴与也互为相反数，

即，

∴

【点评】相反数的立方根仍为相反数.

注：无理数的四种形式：

（1）圆周率

（2）开不尽的方根；

（3）含有无理数的式子；

（4）特殊结构的数.

对新概念的运用能力

【例6】         ⑴ 下列说法正确的个数为（     ）

①无理数都是实数

②实数都是无理数

③无限小数都是无理数

④带根号的数都是无理数

⑤没有绝对值最小的实数

A、1个  B、2个   C、3个   D、4个

⑵ 在中，无理数有_________个.

⑶ 求下列各数的相反数及绝对值：

①；②；③；④

⑷ 已知是的平方根，，，求的值.

【解析】       ⑴ A;⑵5个；

⑶相反数：①；②；③；④

绝对值：①；②；③；④.

⑷

实数与数轴的一一对应关系

【例7】         ⑴如图所示，在点A和点B之间表示整数的点共有_________个.

⑵如图所示，数轴上表示，的对应点分别为、，点到点的距离与点到点的距离相等，则所表示的数是（   ）

A、         B、   

C、         D、

【解析】 ⑴ 4个； 

⑵ C

近年来对无理数的估算问题考查的越来越多，先给老师们准备几个有关整数部分和小数部分的题，然后再通过一道真题进行详细讲解，并让学生逐步掌握估算无理数范围的方法.

无理数的估算问题

【铺垫】⑴ 若，则估计的范围为（    ）                

A.              B.         

C.              D.

（实验中学期中）

⑵ 若实数的整数部分是，则的取值范围是___________.

⑶ 观察例题：∵，即，

∴的整数部分为2，小数部分为.

请你观察上述的规律后试解下面的问题：

如果的小数部分为，的小数部分为，求的值.

【解析】       ⑴ B;

⑵

⑶.

【例8】         （2012海淀期末考试）

阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值。小明的方法：

∵，

设。

∴。

∴，

∴，

解得。

∴

问题：

⑴请你依照小明的方法，估算的近似值；

⑵请结合上述具体实例，概括估算的公式：已知非负整数，若，且，则           （用含的代数式表示）；

⑶请用⑵中的结论估算的近似值。

【解析】⑴∵，

设（）.

∴.

∴.

∴.

解得 .

∴.

⑵.

⑶.

训练1.     ⑴ 有下列说法：

①任何实数都可以用分数表示；  ②实数与数轴上的点一一对应；

③在1和3之间的无理数有且只有，，，这4个；

④是分数，它是有理数．

其中正确的个数是（     ）

A．1    B．2    C．3    D．4

⑵ 实数中，无理数有（     ）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

⑶的平方根是（     ）

A．5    B．    C．    D．

【解析】 ⑴ A⑵ C ⑶ D

训练2.     ⑴ 若为实数，且.则的值为_____________.

⑵ 如果，则.

【解析】 ⑴  ，； 

⑵ 由解得，

训练3.     ⑴ 数轴上表示的对应点分别是A、B，点B关于原点的对称点是点，则线段的                

长度为________

 ⑵ 已知a是的整数部分，b是它的小数部分，求的值.

【解析】 ⑴； ⑵.

训练4.     已知是非零实数的算术平方根，是的立方根，

求的平方根.

【解析】       的平方根是

知识模块一  平方根的定义及性质 课后演练

【演练1】   求下列各数的平方根、算术平方根

【解析】        

【演练2】   ，则的值为（    ）

A.－6        B. 9       　　 C. 6      　    D. －9                 （西城一模）

【解析】       B        

知识模块二  立方根的定义及性质  课后演练

【演练3】   求下列各数的立方根

【解析】        

【演练4】   已知的立方根是，求的平方根.

【解析】       ∵，∴

∴，∴

的平方根为

知识模块三  实数 课后演练

【演练5】   ⑴ 在实数中，其中无理数的个数为（    ）

A.       B. 2        C. 3      D. 4                               

⑵ 下列各式中，正确的是（    ）                                       

A.         B.       C.       D.

⑶ 现有下列说法：①的平方根是；②的算术平方根等于2；③；④平方根和立方根相同的有理数是0；⑤有理数与数轴上的点一一对应；其中不正确的个数为（   ）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

【解析】       ⑴ B；⑵ C；⑶B ③⑤两个错.