初一数学春季讲义 第13讲 全等中的基本模型 教师版

    爸爸怎么样啦？

把一个图形经过平移、翻折、旋转后，它们的位置虽然变化了，但是形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 我们把平移、翻折（轴对称）、旋转称为几何变换. 这一讲我们就来学习基本变换下的全等三角形.

常见平移模型

【引例】       如图，四点在一条直线上，

，，，．

求证：

【解析】       ∵，

∴

在和中

∴

∴，

∴

在和中

∴

∴ 

【例1】     如图，、、、在同一直线上，，，且

求证：

如果将沿着边的方向平行移动，图，点与点重合时；图，点在点右侧时，其余条件不变，结论是否成立，如果成立，请选择一种情况请予证明；如果不成立，请说明理由．

【解析】 ∵，∴．

∵，∴，即．

在和中，，

∴≌()．

另两结论均成立，证明同上．

常见轴对称模型

【例2】      如图，和是分别沿着，翻折到同一平面内形成的．若，则________．

【解析】       ；由外角得.

【例3】      如图，，、分别是、的中点，于，于．求证：．

【解析】证法一：

∵，

∴．

∵、是、的中点，

∴，．

在与中，

，，，

∴．

∴

∵，，

∴．

在与中，

，，，

∴，

∴．

证法二：

∵，、是、的中点，

∴．

在与中，

，，，

∴，

∴．

又∵于，于．

∴，

在与中，

，，，

∴，

∴．

证法三：

∵，、是、的中点，

∴，，，

∴，

在与中，

，，，

∴，

∴．

∴，

∴．

常见旋转模型：

【引例】       如图，在中，，若将绕点逆时针旋转，使旋转后的中的顶点在原三角形的边的延长线上时，求的度数．

【解析】       ∵

∴

∵由绕点旋转得到

∴

∵

∴ 

【例4】         如图，四边形、都是正方形，连接、．

求证：⑴；⑵.

【解析】       ∵   ∴

在和中

∴

∴，

∵

∴

即

∴

【点评】       可拓展证明.

【例5】         如图，点为线段上一点，、是等边三角形．

请你证明：

⑴；          ⑵；

⑶为等边三角形；  ⑷.

【解析】       此图是旋转中的基本图形．其中蕴含了许多等量关系．

,，，，；，；；，，；为等边三角形．

⑴∵、是等边三角形，

∴，，

∴，

∴.       (找出图中所有的全等三角形，及相等的线段)

⑵ .   (找出图中所有的角)

⑶由易推得，

所以，又，进而可得为等边三角形．

⑷由⑶易得．以后学习证明.

辅助线：在几何学中用来帮助解答疑难几何图形问题,在原图基础之上另外所作的具有极大价值的直线或者线段.

添辅助线的作用：凸显和集散

1. 揭示图形中隐含的性质：当条件与结论间的逻辑关系不明朗时，通过添加适当的辅助线，将条件中隐含的有关图形的性质充分揭示出来，以便取得过渡性的推论，达到推导出结论的目的.

　　2. 聚拢集中原则：通过添置适当的辅助线，将图形中分散、远离的元素，通过变换和转化，使他们相对集中，聚拢到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑关系，从而推导出要求的结论.

　　3. 化繁为简原则：对一类几何命题，其题设条件与结论之间在已知条件所给的图形中，其逻辑关系不明朗，通过添置适当辅助线，把复杂图形分解成简单图形，从而达到化繁为简、化难为易的目的.

　　4. 发挥特殊点、线的作用：在题设条件所给的图形中，对尚未直接显现出来的各元素，通过添置适当辅助线，将那些特殊点、特殊线、特殊图形性质恰当揭示出来，并充分发挥这些特殊点、线的作用，达到化难为易、导出结论的目的.

5. 构造图形的作用：对一类几何证明题，常须用到某种图形，这种图形在题设条件所给的图形中却没有发现，必须添置这些图形，才能导出结论，常用方法有构造出线段和角的和差倍分、新的三角形、直角三角形、等腰三角形等.

【例6】         如图1，已知中，，，把一块含角的直角三角板的直角顶点放在的中点上(直角三角板的短直角边为，长直角边为)，将直角三角板绕点按逆时针方向旋转．直线交直线于，直线交直线于．

⑴ 在图1中，

①证明；

②在这一旋转过程中，直角三角板与的重叠部分为四边形，请说明四边形的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；

⑵ 继续旋转至如图2的位置，是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

⑶ 继续旋转至如图3的位置，是否仍然成立？请写出结论，不用证明．

（海淀区期末考试）

【解析】       ⑴ ①方法一：

连接，在中，

∵，．

∴，．

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

方法二：

∵．

．

∴．

∴．

∴．

②四边形的面积不发生变化；

由①知：，

∴．

∴．

⑵ 仍然成立，

证明：连接．

在中，∵，，

∴，．

∴．

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

⑶ ．

【点评】本题的辅助线是根据实际描述所产生的连线，这属于辅助线里最基本的添加方式.

【例7】         在四边形中，，，求证：．

【解析】       连接

∵，∴

在和中

∴

∴．

【例8】         如图所示：，，，．

求证：．

【解析】       分别连接、、，

利用证得≌，

∴，

利用证得≌，

∴，

∴．

【点评】充分考虑已给条件，添加辅助线凸显条件.

训练1. 如图所示：，，、相交于点.

求证：平分.

【解析】  利用证得，

∴，

根据已知可得，

利用证得，

∴，

利用证得，

∴，

∴平分

训练2. 如图，分别是的边和边上的高，点在  

的延长线上，，点在上，．

求证：⑴；⑵．

【解析】       ∵分别是的边和边上的高，

∴，

∵，，

∴，

∴，．

∵，∴，

∴，

∴，

即，

∴．

训练3. 在凸五边形中，，，，

为中点．求证：．

【解析】延长、，交直线于、．

∵．

∴．

∵．

∴．

∴在与中

∴

∴．．

∴

∵

∴

∴在与中

∴

∴，

∴

训练4. 如图，，，，点是的中点．求证：．

【解析】连接、．

∵，，

∴，

∴

又∵为的中点，

∴

∴

∴

即．

题型一  平移型全等 巩固练习

【练习1】   ⑴ 如图⑴，若，在一条直线上，，过分别作，

．求证：平分．

⑵ 若将的边沿方向移动到图⑵的位置时，其他条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．

【解析】       ⑴ ∵，∴，即，

∵，，∴

∴，

∴，

又，

∴，

∴，即平分

        ⑵ 仍然成立．

           证明方法同上，不再赘述．

【点评】       此题难度不大，老师们可以给学生说明图形平移变换的形式和它的简单性质，以及综合题的命题形式和思路．

题型二  对称型全等 巩固练习

【练习2】   已知：如图，是和的平分线，，

.求证：．

（北京市中考题）

【解析】       证明：∵是和的平分线，

∴

∴

在和中，

∴

∴

题型三  旋转型全等 巩固练习

【练习3】   如图所示，已知过的顶点作且使，过作，且使．求证：．

【解析】  ∵，，∴

∴，即

又，

∴≌

∴

又，

∴，

∴

【练习4】   如图，已知和都是等边三角形，

于，于，请问：和有何关  

系？请说明理由．

【解析】       ∵和都是等边三角形，

∴，，，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴．

题型四  辅助线添加初步  巩固练习

【练习5】   如图①，一等腰直角三角尺的两条直角边与正方形的两条边分别重合在一    

起．现正方形保持不动，将三角尺绕斜边的中点(点也是中点)按顺时针方向旋转．

⑴     如图②，当与相交于点，与相交于点时，通过观察或测量， 的长度，猜想，满足的数量关系，并证明你的猜想；

⑵     若三角尺旋转到如图③所示的位置时，线段的延长线与的延长线相交于点，线段的延长线与的延长线相交于点，此时，⑴中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

【解析】       ⑴．

∵是等腰直角三角形，四边形是正方形，

∴，．

又∵，

∴．即．

⑵仍然成立．

 理由是：∵是等腰直角三角形，四边形是正方形，

∴，．

∴．

又∵，

∴．

∴．