【重难点讲义】浙教版数学九年级上册-第09讲 二次函数与特殊四边形存在性问题（难度较大）

第9讲   二次函数与特殊四边形存在性问题

考点一  平行四边形的存在性问题

【知识总结】

        平行四边形存在性

1.知识储备：①平行四边形是中心对称图形

            ②中心对称图形的性质：对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意线段，且使中心对称图形的面积被平分

            ③中点公式：

2.方法策略：

（1）有3个定点，找第4个点形成平行四边形时：

①设第4个点的坐标

②以3个定点组成的3条线段为对角线分类讨论

③以中心对称图形的性质为等量关系列式求解

例，如图所示，平面直角坐标系内有A、B、C三点，在平面内找第4个点，构成平行四边形；

（2）有2个定点，且另外两个动点均在特殊的位置上时，方法策略同上。

【类题训练】

1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax+4与x轴交于点A（﹣4，0），B（x2，0），与y轴交于点C．经过点B的直线y＝kx+b与y轴交于点D（0，2），与抛物线交于点E．

（1）求抛物线的表达式及B，C两点的坐标；

（2）若点P为抛物线的对称轴上的动点，当△AEP的周长最小时，求点P的坐标；

（3）若点M是直线BE上的动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N，判断是否存在点M，使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C（0，﹣3）．

（1）求此二次函数的解析式．

（2）若抛物线的顶点为D，点E在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，直线AE交对称轴于点F，试判断四边形CDEF的形状，并说明理由．

（3）若点M在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A，E，M，P为顶点且以AE为一边的平行四边形？若存在，请直接写出所有满足要求的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B、C两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标并过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

4．已知抛物线C1：y＝2ax2﹣bx﹣1经过（1，﹣2）和（3，2）两点．

（1）求抛物线C1的解析式；

（2）将抛物线C1沿直线y＝﹣1翻折，再将翻折后的抛物线，先向上平移2个单位，再向右平移m个单位，得到抛物线C2．若C2的顶点B在抛物线C1上，求m的值；

（3）在（2）的条件下，设抛物线C1的顶点为A，E为抛物线C1上的一点，F为抛物线C2上的一点，则以A，B，E，F为顶点的平行四边形是否存在？若存在，有多少个？说明理由．

5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0）、B（0，4）、C．其对称轴l交x轴于点D，交直线AB于点F，交抛物线于点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点N为直线AB上的一点（点N不与点F重合），在抛物线上是否存在一点M，使以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点M的坐标，不存在，说明理由．

考点二  菱形的存在性问题

【知识总结】

        方法策略：

抓菱形两大性质  邻边相等→转化为等腰△存在性问题

                 对角线垂直→转化为直角△存在性问题，或“k型相似”问题

【类题训练】

1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交y轴于点A（0，2），交x轴于点B（4，0）、C两点，点D为线段OB上的一个动点（不与O、B重合），过点D作DM⊥x轴，交AB于点M，交抛物线于点N．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接AN和BN，当△ABN的面积最大时，求出点D的坐标及△ABN的最大面积；

（3）在平面内是否存在一点P，使得以点A，M，N，P为顶点，以AM为边的四边形是菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2．如图，已知正方形OCDE中，顶点E（1，0），抛物线y＝x2+bx+c经过点C、点D，与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线x＝t（t≠0）交x轴于点F．

（1）求抛物线的解析式，且直接写出点A、点B的坐标；

（2）若点G是抛物线的对称轴上一动点，且使AG+CG最小，则G点坐标为：　   　；

（3）在直线x＝t（第一象限部分）上找一点P，使得以点P、点B、点F为顶点的三角形与△OBC全等，请你直接写出点P的坐标；

（4）点M是射线AC上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点M，使得以点O、点A、点M、点N为顶点的四边形为菱形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

3．综合与探究

如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴分别交于点A（﹣2，0），B（4，0），点E是x轴正半轴上的一个动点，过点E作直线PE⊥x轴，交抛物线于点P，交直线BC于点F．

（1）求二次函数的表达式．

（2）当点E在线段OB上运动时（不与点O，B重合），恰有线段PF＝EF，求此时点P的坐标．

（3）试探究：若点Q是y轴上一点，在点E运动过程中，是否存在点Q，使得以点C，F，P，Q为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

考点三  矩形、正方形的存在性问题

【知识总结】

        方法策略：

抓矩形两大性质【内角=90°＋对角线相等→转化为直角△存在性问题】

正方形存在性问题转化为等腰直角三角形存在性问题

【类题训练】

1．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣2，0），两点，且与y轴交于点C，点B是该抛物线的顶点．

（1）求抛物线L1的表达式；

（2）将L1平移后得到抛物线L2，点D，E在L2上（点D在点E的上方），若以点A，C，D，E为顶点的四边形是正方形，求抛物线L2的解析式．

2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．点D（2，3）在该抛物线上，直线AD与y轴相交于点E，点F是直线AD上方的抛物线上的动点．

（1）求该抛物线对应的二次函数的关系式；

（2）当点F到直线AD距离最大时，求点F的坐标；

（3）如图，点M是抛物线的顶点，点P的坐标为（0，n），点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形．

①求n的值；

②若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．

3．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）交x轴于点A，B（A在B的左侧），交y轴于点C．

（1）求点A的坐标；

（2）若经过点A的直线y＝kx+k交抛物线于点D．

①当k＞0且a＝﹣1时AD交线段BC于E，交y轴于点F，求S△EBD﹣S△CEF的最大值；

②当k＜0且k＝a时，设P为抛物线对称轴上一动点，点Q是抛物线上的动点，那么以A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标，若不能，请说明理由．