【重难点讲义】浙教版数学九年级上册-第08讲 抛物线中直角三角形的存在性问题专题探究

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第8讲 抛物线中直角三角形的存在性问题专题探究
【知识点睛】
v 如有两定点，在其他特定的“线”上求第三点，形成直角三角形时：
解决策略：
如图，已知A(-3，0),B(-1，-6)，在y轴上找点P，
使△ABP为直角三角形；分以下3种情况：


☆特地别：和等腰△存在性问题一样，直角三角形存在性也是需要分3类的，但是通常“一圆”的点是否存在，又存在几个，要根据实际情况来。
【类题训练】
1．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于A、B两点．
（1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式．
（2）在该抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为该抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
提示：若平面直角坐标系内有两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），则线段PQ的长度PQ＝）．

【分析】（1）用待定系数法即可求出直线BC和抛物线的解析式；
（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x＝﹣1代入直线y＝x+3得y的值，即可求出点M坐标；
（3）设P（﹣1，t），又因为B（﹣3，0），C（0，3），所以可得BC2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
∵对称轴为x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），
∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y＝mx+n，
得，
解得：，
∴直线y＝mx+n的解析式为y＝x+3；

（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x＝﹣1代入直线y＝x+3得，y＝﹣1+3＝2，
∴M（﹣1，2），
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；

（3）如图，设P（﹣1，t），

又∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴BC2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，
①若点B为直角顶点，则BC2+PB2＝PC2即：18+4+t2＝t2﹣6t+10解之得：t＝﹣2；
②若点C为直角顶点，则BC2+PC2＝PB2即：18+t2﹣6t+10＝4+t2解之得：t＝4，
③若点P为直角顶点，则PB2+PC2＝BC2即：4+t2+t2﹣6t+10＝18解之得：t1＝，t2＝；
综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，） 或（﹣1，）．
2．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点M，使△MAB是以AB为斜边的直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，并说明理由；
（4）在对称轴上是否存在点N，使△BCN为直角三角形，若存在，直接写出N点坐标，若不存在，说明理由．


【分析】（1）把A、B坐标，代入抛物线解析式可求得a、b的值；
（2）连接OP，设出点P的坐标，根据S＝S四边形ADCP＝S△APO+S△OPC﹣S△ODC表达S，利用二次函数的最值问题表达求出S的最大值；
（3）可设M点坐标为（﹣1，m），可分别表示出AB、AM、BM的长，由勾股定理可得到关于m的方程，可求得M点坐标；
（4）分三种情况，用勾股定理列方程即可得到答案．
【解答】解：（1）把点A（﹣3，0）点B（1，0）代入y＝ax2+bx+2得：，
解得：；
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2；
（2）连接OP，如图：

设点P（x，﹣x2﹣x+2），
∵y＝﹣x2﹣x+2；
∴C（0，2），
∴S四边形ADCP
＝S△APO+S△OPC﹣S△ODC
＝OA•yP+OC•|xP|﹣OC•OD
＝×3×（﹣x2﹣x+2）+×2×（﹣x）﹣×2×1
＝﹣x2﹣3x+2
＝﹣（x+）2+，
∵﹣1＜0，
∴当x＝﹣时，S有最大值，S的最大值为；
（3）在抛物线对称轴上存在点M，使△MAB是以AB为斜边的直角三角形．理由如下：
抛物线y＝﹣x2﹣x+2对称轴为直线x＝﹣1，
设M点坐标为（﹣1，m），
则MB2＝22+（m﹣0）2＝4+m2，MA2＝22+m2＝4+m2，且AB2＝16，
当△ABM为以AB为斜边的直角三角形时，可得MB2+MA2＝AB2，
∴4+m2+4+m2＝16，解得m＝﹣2或m＝2，
即M点坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，2），
综上所述，存在满足条件的M点，其坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，2）；
（4）在抛物线对称轴上存在点N，使△BCN是直角三角形，
设N（﹣1，t），则BN2＝4+t2，CN2＝1+（t﹣2）2，BC2＝5，
①当BN为斜边时，
∴CN2+BC2＝BN2，即1+（t﹣2）2+5＝4+t2，
解得t＝，
∴N（﹣1，）；
②当CN为斜边时，
∴BN2+BC2＝CN2，即4+t2+5＝1+（t﹣2）2，
解得t＝﹣1，
∴N（﹣1，﹣1）；
③当BC为斜边时，
∴BN2+CN2＝BC2，即4+t2+1+（t﹣2）2＝5，
∴t2﹣2t+2＝0，
∴△＝（﹣1）²﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴方程无解，
综上所述，N的坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣1）．
3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和B（5，0），与y轴交于点C（0，5）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，点D是对称轴上一点，当点D关于直线BC的对称点E在抛物线上时，求点E的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，点Q在直线BC上方的抛物线上，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法，将B，C的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，即可求得二次函数的解析式；
（2）设点M关于直线BC的对称点为点M′，连接MM′，BM′，则直线FM′为抛物线对称轴关于直线BC的对称直线，，可得△OBC是等腰直角三角形，求得点M′的坐标为（5，3），由﹣x2+4x+5＝3，解方程即可求解；
（3）设Q（m，﹣m2+4m+5），P（2，p），分三种情况讨论，O，P，Q分别为等腰直角三角形的顶点，分别作出图形，构造全等三角形，利用全等的性质，建立方程，解方程求解即可．
【解答】解：（1）∵点B（5，0），C（0，5）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，
∴，解得，，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；

（2）设点M关于直线BC的对称点为点M′，连接MM′，BM′，
则直线FM′为抛物线对称轴关于直线BC的对称直线，
∵点E是点D关于直线BC的对称点，点E落在抛物线上，
∴直线FM′与抛物线的交点E1，E2为D1，D2落在抛物线上的对称点，
∵对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，
∴，
∴点M的坐标为（2，0），
∵点C的坐标为（0，5），点B的坐标为（5，0），
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝45°，

∴△MBF是等腰直角三角形，
∴MB＝MF，
∴点F的坐标为F（2，3），
∵点M关于直线BC的对称点为点M′，
∴BM′＝BM，∠MBM′＝90°，
∴△MBM′是等腰直角三角形，
∴BM′＝BM＝3，
∴点M′的坐标为（5，3），
∴FM′∥x轴，
∴﹣x2+4x+5＝3，解得，x1＝，x2＝，
∴E1（，3），E2（，3），
∴点E的坐标为（，3）或（，3）；

（3）存在，Q1（，），Q2（，），Q3（，2）．
设Q（m，﹣m2+4m+5），P（2，p），
①当OP＝PQ，∠OPQ＝90°时，作PL⊥y轴于L，过Q作QK⊥x轴，交PL于K，

∴∠LPO＝90°﹣∠LOP＝90°﹣KPQ，∠PLO＝∠QKP＝90°，
∴∠LOP＝∠KPQ，
∵OP＝PQ，
∴△LOP≌△KPQ（AAS），
∴LO＝PK，LP＝QK，
∴，
解得m1＝，m2＝（舍去），
当m1＝时，﹣m2+4m+5＝，
∴Q（，）；
②当QO＝PQ，∠PQO＝90°时，作PL⊥y轴于L，过Q作QK⊥x轴于T，交PL于K，

同理可得△PKQ≌△QTO（AAS），
∴QT＝PK，TO＝QK，
∴，
解得m1＝，m2＝（舍去），
当m1＝时，﹣m2+4m+5＝，
∴Q（，）；
③当QO＝OP，∠POQ＝90°时，作PL⊥y轴于L，过Q作QK⊥x轴于T，交PL于K，

同理可得△OLP≌△QSO（AAS），
∴SQ＝OL，SO＝LP，
∴，
解得m1＝2+，m2＝2﹣（舍去），
当m1＝2+时，﹣m2+4m+5＝2，
∴Q（，2）；
综上，Q1（，），Q2（，），Q3（，2）．
4．如图1，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0），点B（4，0），交y轴于点C．连接BC，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交AD于点E，过点E作EG⊥BC于点G，连接PG．求△PEG面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）水平向右平移个单位，得到新抛物线y1，在y1的对称轴上确定一点M，使得△BDM是以BD为腰的等腰三角形，请写出所有符合条件的点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．

【分析】（1）用待定系数法直接可得抛物线的函数表达式；
（2）过点G作GH⊥PE于H，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，则AC⊥BC，由EG⊥BC得AC＝BG，根据等角的余角相等得∠ACO＝∠GEH，证明△ACO≌△GEH，可得GH＝AO＝1，用待定系数法求出直线BC为y＝﹣x+2，根据AD∥BC得直线AD为y＝﹣x﹣，设P（m，﹣m2+m+2），则E（m，﹣m﹣），从而得PE＝﹣m2+2m+，即可求出△PEG面积为PE•GH＝﹣m2+m+，根据二次函数性质即得答案．
（3）求出点D的坐标D（5，﹣3），设点M的坐标为（3，t），可得BD2＝（5﹣4）2+32＝10，BM2＝（4﹣3）2+t2＝1+t2，MD2＝（5﹣3）2+（t+3）2＝t2+6t+13，分两种情况：①当BD＝BM时，②当BD＝MD时，根据等腰三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入抛物线y＝ax2+bx+2得：
，解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+2；

（2）过点G作GH⊥PE于H，

∵抛物线y＝﹣x2+x+2交y轴于点C．
∴C（0，2），
∵A（﹣1，0），B（4，0），
∴AB＝5，AC＝＝，BC＝＝2，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵AD∥BC，EG⊥BC，
∴AC＝BG＝，
∵PE∥y轴，
∴∠OCG＝∠EFG，
∵∠ACO+∠OCG＝90°，∠GEH+∠EFG＝90°，
∴∠ACO＝∠GEH，
∵∠AOC＝∠GHE＝90°，
∴△ACO≌△GEH（AAS），
∴GH＝AO＝1，
设直线BC为y＝kx+n，将C（0，2），B（4，0）代入得：
，解得，
∴直线BC为y＝﹣x+2，
∵AD∥BC，A（﹣1，0），
∴直线AD为y＝﹣x﹣，
设P（m，﹣m2+m+2），则E（m，﹣m﹣），
∴PE＝﹣m2+2m+，
∴△PEG面积为PE•GH＝﹣m2+m+＝﹣（m﹣2）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝2时，△PEG面积的最大值为，
此时点P的坐标为（2，3）；

（3）∵抛物线y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+水平向右平移个单位，得到新抛物线y1＝﹣（x﹣3）2+，
∴y1的对称轴为x＝3，
联立直线AD为y＝﹣x﹣，抛物线y＝﹣x2+x+2，解得或，
∴D（5，﹣3），
设点M的坐标为（3，t），
∴BD2＝（5﹣4）2+32＝10，
BM2＝（4﹣3）2+t2＝1+t2，
MD2＝（5﹣3）2+（t+3）2＝t2+6t+13，
①当BD＝BM时，

∴BD2＝BM2，
∴1+t2＝10，
∴t＝±3，
∴点M的坐标为（3，3）或（3，﹣3），
∵点（3，3）与B，D共线，
∴点M的坐标为（3，﹣3）；
②当BD＝MD时，

∴BD2＝MD2，
∴t2+6t+13＝10，
∴t＝﹣3±，
∴点M的坐标为（3，﹣3+）或（3，﹣3﹣）；
综上所述，点M的坐标为（3，﹣3）或（3，﹣3+）或（3，﹣3﹣）．

5．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（2，0），AC＝BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是抛物线AB之间的一个动点（不与A，B重合），求S△ABE的最大值以及此时E点的坐标；
（3）根据问题（2）的条件，判断是否存在点E使得△ABE为直角三角形，如果存在，求出E点的坐标，如果不存在，说明理由．

【分析】（1）先求得点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可得到关于b、c的方程组，从而可求得b、c的值；
（2）过点E作EF∥y轴交线段AB于点F，设点E（t，﹣t2+2t+3），则F（t，t+1），则可得到EF与x的函数关系式，利用配方法可求得EF的最大值以及点E的坐标，最后根据EF的最大值可得△ABE的面积；
（3）存在，设E（m，﹣m2+2m+3），分三种情况：分别以A，B，E为直角顶点，作出辅助线，构造相似列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），C（2，0），
∴AC＝3，OC＝2，
∵AC＝BC＝3，
∴B（2，3），
把A（﹣1，0）和B（2，3）代入二次函数y＝x2+bx+c中得：
，解得：，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（2，3），
设直线AB的解析式为y＝kx+b′，
∴，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝x+1，
如图，过点E作EF∥y轴交线段AB于点F，

∴设点E（t，﹣t2+2t+3），则F（t，t+1），
∴EF＝﹣t2+2t+3﹣（t+1）＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，EF的最大值为，
∴点E的坐标为（，），
∴此时S△ABE最大，S△ABE＝•EF•（xB−xA）＝××（2+1）＝．
（3）在问题（2）的条件下，存在点E使得△ABE为直角三角形；
设E（m，﹣m2+2m+3），①当点A为直角顶点，过点A作AB的垂线，与AB之间的抛物线无交点，故不可能存在点E使得△ABE为以点A为直角顶点的直角三角形，
②当点B为直角顶点，如下图，此时∠EBA＝90°，过点E作EG⊥CB，交CB延长线于点G，

∵BC⊥x轴于点C，且AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝45°，
∴∠EBG＝45°，
∴△BEG是等腰直角三角形，EG＝BG，
∵EG的长为点E与直线BC的距离，即2﹣m，且BG＝CG﹣BC＝﹣m2+2m+3﹣3＝﹣m2+2m，
∴2﹣m＝＝﹣m2+2m，解得m＝1或m＝2（舍），
∴E（1，4）；
③如下图，此时∠AEB＝90°，作EM∥x轴，交CB的延长线于点M，过点A作AN⊥x轴交ME的延长线于点N，

∴∠BEM+∠AEN＝90°，
∵在Rt△AEN中，∠EAN+∠AEN＝90°，
∴∠BEM＝∠EAN，
∴△AEN∽△BEM，
∴BM：EN＝EM：AN，
∴（﹣m2+2m）：（m+1）＝（2﹣m）：（﹣m2+2m+3），即﹣m（2﹣m）（m+1）（m﹣3）＝（2﹣m）（m+1），
∵2﹣m≠0，m+1≠0，
∴m2﹣3m+1＝0，
解得m＝或m＝（舍）．
∴E（，）
综上，根据问题（2）的条件，存在点E（1，4）或（，）使得△ABE为直角三角形．
6．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．
（1）求b，c，m的值；
（2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；
（3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．

【分析】（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，解二元一次方程组即可得b，c的值，令y＝0即可得m的值；
（2）设D（x，﹣x2+4x+5），则E（4﹣x，﹣x2+4x+5），表示出四边形DEFG的周长，根据二次函数的最值即可求解；
（3）过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K，证明△MCH≌△NCK，根据全等三角形的性质得NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，则N（﹣4，3），利用待定系数法可得直线BN的解析式为y＝﹣x+，可得Q（0，），设P（2，p），利用勾股定理表示出PQ2、BP2、BQ2，分两种情况：①当∠BQP＝90°时，②当∠QBP＝90°时，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得．
∴这个抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5，
令y＝0，则﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，
∴B（5，0），
∴m＝5；

（2）∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴对称轴为x＝2，
设D（x，﹣x2+4x+5），
∵DE∥x轴，
∴E（4﹣x，﹣x2+4x+5），
∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，
∴四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG的周长＝2（﹣x2+4x+5）+2（x﹣4+x）＝﹣2x2+12x+2＝﹣2（x﹣3）2+20，
∴当x＝3时，四边形DEFG的周长最大，
∴当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为（3，8）；

（3）过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K，

∴∠NKC＝∠MHC＝90°，
由翻折得CN＝CM，∠BCN＝∠BCM，
∵B（5，0），C（0，5）．
∴OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵CH⊥对称轴于H，
∴CH∥x轴，
∴∠BCH＝45°，
∴∠BCH＝∠OCB，
∴∠NCK＝∠MCH，
∴△MCH≌△NCK（AAS），
∴NK＝MH，CK＝CH，
∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴对称轴为x＝2，M（2，9），
∴MH＝9﹣5＝4，CH＝2，
∴NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，
∴N（﹣4，3），
设直线BN的解析式为y＝mx+n，
∴，解得，
∴直线BN的解析式为y＝﹣x+，
∴Q（0，），
设P（2，p），
∴PQ2＝22+（p﹣）2＝p2﹣p+，
BP2＝（5﹣2）2+p2＝9+p2，
BQ2＝52+（）2＝25+，
分两种情况：
①当∠BQP＝90°时，BP2＝PQ2+BQ2，
∴9+p2＝p2﹣p++25+，解得p＝，
∴点P的坐标为（2，）；
②当∠QBP＝90°时，P′Q2＝BP′2+BQ2，
∴p2﹣p+＝9+p2+25+，解得p＝﹣9，
∴点P′的坐标为（2，﹣9）．
综上，所有符合条件的点P的坐标为（2，），（2，﹣9）．