【重难点讲义】人教版数学八年级下册-第18章《平行四边形》章节复习讲义

2022-2023学年人教版数学八年级下册同步重难点精讲精练培优讲义

第18章《平行四边形》章节复习

1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.

2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.

3. 掌握三角形中位线定理.

知识点01：平行四边形

1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

2．性质：（1）对边平行且相等；

        （2）对角相等；邻角互补；

        （3）对角线互相平分；

        （4）中心对称图形.

3．面积：

4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

            （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

            （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

         角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

            （5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．

    边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；

     对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.

要点诠释：平行线的性质：

（1）平行线间的距离都相等；

（2）等底等高的平行四边形面积相等.

知识点02：矩形

1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；

（2）四个角都是直角；

（3）对角线互相平分且相等；

        （4）中心对称图形，轴对称图形.

3．面积：

４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.

         （2）对角线相等的平行四边形是矩形.

         （3）有三个角是直角的四边形是矩形.

要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：

（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．

知识点03：菱形

1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；

         （2）四条边相等；

         （3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

  （4）中心对称图形，轴对称图形.

3．面积：

4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

（3）四边相等的四边形是菱形.

知识点04：正方形

1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.

2．性质：（1）对边平行；

        （2）四个角都是直角；

（3）四条边都相等；

（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；

（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；

（6）中心对称图形，轴对称图形.

3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线

4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；

（2）一组邻边相等的矩形是正方形；

（3）对角线相等的菱形是正方形；

（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；

（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；

（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.

一、选择题

1．（2021春·浙江杭州·八年级杭州英特外国语学校校考期中）下列命题中，真命题是（   ）

A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形

C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形

【答案】C

【思路引导】根据正确的命题是真命题，错误的命题是假命题进行分析即可．

【规范解答】解：A．两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；

B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；

C．对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；

D．两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误．

故选：C．

【考察注意点】此题主要考查了命题与定理，关键是熟练掌握特殊的平行四边形的判定定理．

2．（2021春·山东济南·八年级校考期中）如图，在四边形中，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ）

A．，  B．，

C．，  D．，

【答案】C

【思路引导】注意题目所问是“不能”，根据平行四边形的判定条件可解出此题．

【规范解答】解：平行四边形的判定条件：

A．根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定，不符合题意；

B．根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定，不符合题意；

C．可能是等腰梯形，不能判定，符合题意；

D．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定，不符合题意；

故选：C．

【考察注意点】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的基本性质是解答本题的关键

3．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，、为折痕，若，则的度数为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【思路引导】根据折叠得到，推出，即可求出答案．

【规范解答】解：∵一张长方形纸片沿、折叠，

∴，

且，

∴，

∵，

∴．

故选B．

【考察注意点】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应相等相等．也考查了平角的定义．

4．（2021秋·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）菱形两条对角线长为8cm和6cm，则菱形面积为（     ）cm2．

A．10 B．14 C．24 D．34

【答案】C

【思路引导】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求其面积即可．

【规范解答】解：根据题意得：

菱形的面积为： cm2，

故选：C．

【考察注意点】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．

5．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）如图，在中，于点且于点，连接，则的长为（    ）

A． B． C．5 D．6

【答案】C

【思路引导】已知，，则和是直角三角形，，即；根据，则是直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得出答案．

【规范解答】∵，

∴和是直角三角形，

又∵，

∴，

∴

∵

∴是直角三角形，

∴．

故选：C

【考察注意点】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理和直角三角形斜边中线等于斜边一半，理清题意，得出是直角三角形是解题的关键．

6．（2023秋·四川达州·八年级统考期末）如图，在直角坐标系中，直角三角形ABC的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，，点C的坐标为，点D和点C关于成轴对称，且AD交y轴于点E．那么点E的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【思路引导】根据折叠，和矩形性质证明，然后根据全等三角形的性质，在中利用勾股定理求解即可．

【规范解答】解：由矩形和折叠可知，

,

,

,

在与中，

,

,

,

在中：

,

解得：,

故选：B．

【考察注意点】本题考查了折叠的概念，矩形和全等三角形的性质，以及勾股定理的应用；根据相关性质将已知条件进行合理转化是解题的关键

7．（2022秋·河南平顶山·八年级统考期末）如图，在长方形中，点是上一点，连接，沿直线把折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则折痕的长度为（  ）

A． B．10 C． D．15

【答案】C

【思路引导】根据折叠性质，，，从而由长方形性质知，，根据，得到，在中，利用勾股定理得到，设，则，在中，利用勾股定理得到，解得，从而在中，利用勾股定理得到，从而得到答案．

【规范解答】解：由折叠性质可知，，

在长方形中，，

，

，

在中，利用勾股定理得到，

设，则，

在中，利用勾股定理得到，即，解得，

，

在中，利用勾股定理得到，

故选：C．

【考察注意点】本题考查长方形中的折叠问题，涉及长方形性质、折叠性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何性质及勾股定理求线段长是解决问题的关键．

8．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在中，，，，点为的中点，点为内一动点且，点为的中点，当最小时，则的度数为（  ）

A．15° B．30° C．45° D．60°

【答案】D

【思路引导】延长使至，点、点分别为、的中点，根据中位线的性质可得，要想求最小，求即可，当、、三点共线时，最小，由题可知：，即在以点为圆心，2为半径的圆上，直角三角形的性质求出的度数，即可求出的度数．

【规范解答】延长使至，

∵点、点分别为、的中点，

∴∥，，

∴=，

当、、三点共线时，最小，

由题可知：，即在以点为圆心，2为半径的圆上，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴．

故选：D．

【考察注意点】本题考查了中位线的性质、直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．

二、填空题

9．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）若、、分别是三边中点，，，，则的周长为______．

【答案】

【思路引导】根据三角形中位线定理分别求出、、，根据三角形的周长公式即可得到结论．

【规范解答】解：∵、、分别是三边中点，，，，

∴的周长，

故答案为：．

【考察注意点】本题考查的是三角形中位线定理、掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．

10．（2022秋·浙江绍兴·八年级校联考期中）如图，在中，，，为线段的中点，则______．

【答案】

【思路引导】由“直角三角形的两个锐角互余”得到．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到，则等边对等角，即．

【规范解答】解：在中，，，

．

为线段的中点，

，

．

故答案是：．

【考察注意点】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，掌握相关的性质是解题的关键．

11．（2022秋·山东济宁·八年级校考期末）如图，O为矩形的对角线交点，平分交于E，于F，，则______．

【答案】##75度

【思路引导】根据平分与可以计算出，再根据矩形的对角线相等且互相平分可得，从而得到是等边三角形，再证明是等腰三角形，然后根据三角形内角和定理解答即可．

【规范解答】解：∵DF平分，

，

是等腰直角三角形，

，

，

，

在矩形中， ，

是等边三角形，

，

，

在中， ．

故答案为：．

【考察注意点】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟记各性质并判断出是等边三角形是解决本题的关键．

12．（2021春·江苏无锡·八年级无锡市江南中学校考期中）如图，以正方形的对角线为一边作菱形，点F在的延长线上，连接交于点G，则______．

【答案】##度

【思路引导】由正方形的性质和菱形的性质可得，，，由三角形的外角性质可求解．

【规范解答】解：∵四边形是正方形，

∴，，

∵四边形是菱形，

∴，

∴，

故答案为：．

【考察注意点】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，三角形的外角性质，掌握这些性质是本题的关键．

13．（2023春·八年级单元测试）如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，则___．

【答案】##30度

【思路引导】根据三角形中位线定理和等腰三角形等边对等角的性质求解即可．

【规范解答】解：∵，E，F，G分别是的中点，

∴是的中位线，是的中位线，

,

,

又 ,

,

,

,

.

故答案为：．

【考察注意点】主要考查了中位线定理和等腰三角形两底角相等的性质，根据中位线定理证得是解决问题的关键．

14．（2023春·八年级单元测试）如图，在中，，为的中线，过点C作于点E，过点A作的平行线，交的延长线于点F，在的延长线上截取，连接、，若，，则四边形的面积为___．

【答案】15

【思路引导】证明四边形是平行四边形，，可得四边形是菱形，过点B作于点H，证明，四边形是矩形，可得，再利用菱形的面积公式进行计算即可．

【规范解答】解：∵，，

∴四边形是平行四边形，

∵，

∴，

又∵为中边的中线，

∴，

∴四边形是菱形，

过点B作于点H，

∵四边形是菱形，

∴，

∵，，，

∴，

∵，

∴四边形是矩形，

∴，

∴．

故答案为：15．

【考察注意点】本题考查的是矩形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线的性质，菱形的判定与性质，熟练的证明四边形是菱形是解本题的关键．

15．（2021春·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期中）如图，矩形中，、分别是、的中点，矩形的面积为24厘米，则的面积是__厘米．

【答案】3

【思路引导】连接，先根据矩形的性质可得，再根据三角形中线的性质可得，然后根据求解即可得．

【规范解答】解：如图，连接，

矩形的面积为24厘米，

（厘米），厘米，

是的中点，

厘米，

厘米，

（厘米），

是的中点，

厘米，厘米，

（厘米），

即的面积是3厘米，

故答案为：3．

【考察注意点】本题考查了矩形的性质、三角形的中线与面积，熟练掌握矩形的性质是解题关键．

16．（2021春·江苏无锡·八年级校考期中）如图，在菱形中，，对角线与交于点O，延长到点E，使得，连接，取的中点M、的中点，连接，则的长为___________．

【答案】

【思路引导】延长到点F，使，连接，求出，得到是的中位线，在中，根据勾股定理求出即可得到的长．

【规范解答】在菱形中，，⊥，

∴，

∵N为的中点，

∴，

延长到点F，使，连接，如图：

则，

∵M是的中点，

∴，

∴是的中位线，

∴，

∵，

∴，

在中，，

∴，

∴，

故答案为：．

【考察注意点】此题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质，熟练掌握菱形的性质及正确作出辅助线是解题的关键．

三、解答题

17．（2021春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在矩形纸片中，，，是边上一点，折叠纸片使点与点重合，其中为折痕，连结、．若，求的长．

【答案】．

【思路引导】利用对称的性质得出，进而得出，证明四边形是菱形，再利用菱形的性质结合勾股定理得出答案．

【规范解答】解：∵B、E两点关于直线对称，

∴，

在矩形中，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴四边形是菱形；

设菱形的边长为x，

∴，

在中，，

∴，

∴解得：．

∴．

【考察注意点】此题主要考查了菱形的判定与性质以及勾股定理，正确应用轴对称的性质是解题关键．

18．（2021春·重庆渝中·八年级重庆市求精中学校校考期中）如图，在中，，点是的中点，是中点．

(1)作的角平分线交于点（尺规作图）．

(2)若连接，请判断与的数量关系，并证明．

【答案】(1)见解析

(2)，理由见解析

【思路引导】（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；

（2）如图所示，连接，先根据直角三角形斜边上的中线的性质证明，再根据三线合一定理可得点E是的中点，则是的中位线，即可推出，则．

【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）解：，理由如下：

如图所示，连接，

∵在中，，点是的中点，

∴，

∵平分，

∴点E是的中点，

又∵是中点，

∴是的中位线，

∴，

∴．

【考察注意点】本题主要考查了角平分线的尺规作图，等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，三角形中位线定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．

19．（2022秋·吉林白城·八年级校考阶段练习）如图，已知正方形中，边长为，点在边上，．点在线段上以/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，设运动的时间为秒．

(1)　   　，　   　．（用含的代数式表示）

(2)若以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，求的值．

【答案】(1)；

(2)或

【思路引导】（1）点在线段上以/秒的速度由点向点运动，，由此即可求解；

（2）分类讨论，若，，；若，

，，由此即可求解．

【规范解答】（1）解：∵点在线段上以/秒的速度由点向点运动，

∴，，

故答案为：；．

（2）解：①若，

则，即，则，

∴；

②若，

则，，则，

∴，解得：．

【考察注意点】本题主要考查正方形的性质，动点问题，全等三角形的性质，掌握动点与正方形的性质，全等三角形的性质是解题的关键．

20．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，在四边形中，，对角线与相交于点O，M、N分别是边、的中点．

(1)求证：；

(2)当，，时，求的长．

【答案】(1)见解析

(2)

【思路引导】（1）连接．由直角三角形斜边上中线的性质可得，由线段垂直平分线的判定即可证明结果；

（2）由及可得，再由得，在中由含30度角直角三角形的性质即可求得的长．

【规范解答】（1）证明：如图，连接．

，点M、点N分别是边、的中点，

∴，，

∴，

∵N是的中点，

∴是的垂直平分线，

．

（2）解：，，

，

，

，

，

，，

，

在中，，

∴cm，

答：的长是．

【考察注意点】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的性质等知识，其中连接是解题的关键．

21．（2021春·四川凉山·八年级校考期中）如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是．过点D作于点F，连接，．

(1)求证：．

(2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应t的值；如果不能，请说明理由．

(3)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由．

【答案】(1)见解析

(2)能，

(3)当或时，为直角三角形，理由见解析

【思路引导】（1）根据所对的直角边是斜边的一半，得到，即可得到；

（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形，得到当时，四边形为菱形，列式计算即可；

（3）分分别为直角，进行分类讨论求解即可．

【规范解答】（1）解：∵点D从点C出发沿方向以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，

∴，

∵，，

∴，

∴；

（2）解：能；

∵，，，

∴，，

∴点移动的时间为：，点移动的时间为：，

∴运动的总时间为，

∵，

∴，

∴，

又∵，

∴四边形为平行四边形，

∴当时，四边形为菱形，

∵，

∴，解得：，

∵，

∴当时，四边形为菱形；

（3）解：当或时，为直角三角形．理由如下：

①当时，如图：

由（2）知：四边形为平行四边形，，

∴，，

∴，即：，

∴；

②当时，如图：

同①可得：，

即：，解得：；

③，此情况不存在；

综上，当或时，为直角三角形．

【考察注意点】本题考查含的直角三角形，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质．熟练掌握所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键．注意，分类讨论．

22．（2023秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，正方形的边长为7，点是上的一点，且，将正方形沿翻折，点落在点处，延长交于点，求的长．

【答案】

【思路引导】首先连接，再根据将正方形沿翻折，点落在点处，可证得，有，设，可得，即可解得答案．

【规范解答】解：连接，如图：

将正方形沿翻折，点落在点处，

，，，

，

，

，

，

设，则，，

，

，

解得，

的长为．

【考察注意点】本题考查正方形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质，能利用勾股定理列方程解决问题．

23．（2022秋·江苏泰州·八年级统考期中）已知，正方形的边长为8，点P、G分别在射线、边上，连接，点B关于的对称点为Q，连接．

(1)如图1，取的中点E、F，连接，若点Q刚好落在线段上，且点P在线段FC上，则的度数不可能是下列选项中的______；（填序号）

①45°，②59°，③72°

(2)如图2，当点Q落在边上（不与点D重合）时，试判断点P是否一定在射线BC上点C的右侧，并说明理由；

(3)在（2）的条件下，

①当时，求的长；

②若线段与相交于点N，连接，试探索点Q落在不同位置时，的度数是否发生变化，若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．

【答案】(1)③

(2)是，见解析

(3)①3；②的度数不变，且，见解析

【思路引导】（1）可推出，进而得出结果；

（2）作，可证得，进而得出结果；

（3）①作，交的延长线于E，连接，在中求得，进而求得的长，设，则，在中，由勾股定理列出方程求得结果；

②先证得，，进而证得，进而得出，进一步得出结果．

【规范解答】（1）解：如图1，

当点P在F点时，，

当点P在C点时，，

∴，

观察四个选项，不可能是③，

故答案为：③；

（2）解：如图2，

点P落在点C的右侧，理由如下：

连接，作于E，

∵点B和点Q关于对称，

∴垂直平分，

∴，

∴，

∵四边形是正方形，

∴，，，

∴，，

∴，

∴，

∴，

在中，

，

∴，

∴点P是否一定在射线上点C的右侧；

（3）解：①如图3，

作，交的延长线于E，连接，

∵是的垂直平分线，

∴，，

在中，，，

∴，

∵，

∴，

∴，

设，则，

在中，由勾股定理得，

，

∴，

∴；

②如图4，

不发生变化，理由如下：

作，

由（2）可知：，，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴的度数不发生变化．

【考察注意点】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，线段垂直平分线性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．