2022-2023学年度重庆市沙坪坝区第八中学校九年级上学期10月月考数学试题

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重庆八中2022-2023学年度（上）初三年级第一次数学作业
（时间：120分钟 总分：150分）
一、选择题：在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. -的倒数是（ ）
A. - B. -5 C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】倒数：乘积是1的两数互为倒数．据此可得答案．
【详解】解：-的倒数是-5．
故选：B．
【点睛】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键．
2. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念对各项分析判断即可得解．
【详解】A．不是轴对称图形，故本选项错误；
B．不是轴对称图形，故本选项错误；
C．不是轴对称图形，故本选项错误；
D．是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查轴对称图形，理解轴对称图形的概念是解答的关键．
3. 下列计算结果正确是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据积的乘方，同底数幂的除法，单项式除以单项式，合并同类项的法则，进行计算逐一判断即可．
【详解】A. ，故A符合题意；
B. ，故B不符合题意；
C. ，故C不符合题意；
D. ，故D不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查了整式的混合运算，解决本题的关键是准确熟练地进行计算．
4. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ）
A. 且 B. C. D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件即可得到且，由此求解即可．
【详解】解：根据题意得：且，
解得：且，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解决本题的关键．
5. 如图所示的是一台自动测温记录仪的图象，它反映了重庆秋季某天一段时间的气温T（℃）随时间t变化而变化的关系，观察图象得到的下列信息，其中错误的是（ ）

A. 该段时间内最低气温为19℃ B. 该段时间内15时达到最高气温
C. 从0时至15时，气温随着时间的推移而上升 D. 从15时至20时，气温随着时间的推移而下降
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的图象对各选项进行逐一分析即可．
【详解】A．由图象可知，在早上6点函数图象在最低点19℃，
早上6时气温最低为19℃，故A正确，不合题意；
B．由图象可知，在15点函数图象在最高点28℃，故B正确，不合题意；
C．由图象可知，从6时至15时，气温随时间增长而上升，不是从点，故C错误，符合题意；
D．由图象可知，15时至20时，气温随时间增长而下降，故D正确，不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是函数的图象，能根据函数图象判断出函数的增减性是解答此题的关键．
6. 如图，网格中小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则cos∠BAC等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出三角形三边长，再利用勾股定理逆定理判定三角形ABC是直角三角形，最后根据三角函数定义即可求解．
【详解】解：∵小正方形的边长均为1，
∴，
∴，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∴cos∠BAC=．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握两个定理．
7. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OA=2OD，若△AOB的面积为4，则△DOF的面积为（ ）

A. 2 B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据△ABC与△DEF是位似图形得到AB∥DF，证明△AOB∽△DOF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【详解】解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴ABDF，
∴△AOB∽△DOF，
∴，
∴，
∵△AOB的面积为4，
∴△DOF的面积为1，
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出AB∥DF是解题的关键．
8. 估计的值应在（ ）
A. 7和8之间 B. 8和9之间 C. 6和7之间 D. 9和10之间
【答案】A
【解析】
【分析】先进行二次根式的乘法运算，再进行估算即可．
【详解】解：，
∵，
∴；
故选A．
【点睛】本题考查二次根式的乘法运算以及无理数的估算．熟练二次根式的乘法法则以及无理数估算的方法：找到被开方数左右两个相邻的能开方的数，是解题的关键．
9. 已知二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A. B. k < 2 C. k > 2 D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数二次项系数不为0，与x轴有交点：，进行求解即可．
【详解】解：由题意得：，解得：；
又∵为二次函数，
∴，
∴且；
故选D．
【点睛】本题考查二次函数与轴交点个数问题．熟练掌握二次函数与与轴交点个数和判别式的关系是解题的关键．
10. 如图，在边长为6的正方形中，点E是的中点，过点E作的垂线交正方形外角的平分线于点F，交边于点M，连接交于点N，则的长为（ ）

A. 5 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质可分别求得、的长，由此即可求得的长．
【详解】过点F分别作，，垂足分别为H、P，

∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴
∵
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵FB平分，
∴为等腰直角三角形，
∴为正方形，
∵，设，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵与为对顶角，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，关键相似三角形判定与性质的运用，综合性较强．
11. 若整数a使关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a之和是（ ）
A 9 B. 10 C. 11 D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式组，得到不等式组的解集，根据整数解的个数判断a的取值范围，解分式方程，用含有a的式子表示y，根据解的非负性求出a的取值范围，确定符合条件的整数a，相加即可
【详解】解：解不等式，得：，
∵，
∴，
∵整数a使关于x的不等式组有解，
∴；
，
分式方程两边乘以，得：，
解得：y＝ ，
∵分式方程有非负整数解，
∴a取−2，1，4，7， 10，……
∵，且 ，
∴a只能取−2，4， 7，
则所有整数a的和为 ，
故选A．
【点睛】此题考查一元一次不等式组的整数解和分式方程的解，求解分式方程，用含有a的式子表示y是解题的关键．
12. 有n个依次排列的整式：第1项是 ，用第1项加上 得到，将乘以x得到第2项，再将第2项加上得到，将乘以x得到第3项，…，以此类推，下面四个结论中正确的个数为（ ）
①方程的实数解为 ；② ；③第2023项 ；④当 时，则的值为．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可以得出规律，，，根据规律逐项求解判断即可．
【详解】解∶∵，用第1项加上得到，将乘以x得到第2项，
∴，
∴，
∵将第2项加上得到，将乘以x得到第3项，
∴，
以此类推，则，，
∴，
∴当方程时，有，解方程，得 或，故结论①错误；
∵，
∴，故结论②正确；
∵，
∴第2023项，故结论③正确；
∵，
∴，
当 时，则，故结论④正确．
∴正确的结论为∶②③④，共3个．
故选∶C．
【点睛】本题主要考查数据的规律类问题，准确找出题目中的两组数据的规律，，是解答此题的关键，．
二、填空题：请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．
13. ____．
【答案】．
【解析】
【分析】直接利用负整数指数幂性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
14. 在四个完全相同的球上分别标上数字－1、2、－3、4，从这四个球中随机取出一个球记所标数字为a，然后再从剩下的球中随机取出一个球记所标数字为b，则一次函数的图象不经过第三象限的概率是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一次函数的性质，得出图象不经过第三象限必须满足且，再画树状图得出所有等可能的结果数和满足且的结果数，再利用概率公式即可得出结果．
【详解】解：若一次函数的图象不经过第三象限，则且，
画树状图如下：

∴共有12种等可能的结果，其中满足且的结果有4种，
∴一次函数图象不经过第三象限的概率为．
故答案为：
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、树状图法求概率，解本题的关键在根据题中一次函数的图象不经过第三象限，正确得出且．概率等于所求情况数与总情况数之比．
15. 如图所示，点A与点B是两个四分之一圆的圆心，且两个圆的半径分别为3和6，则图中阴影部分的面积是___________．

【答案】
【解析】
【分析】如图，连接BC，解直角三角形求出，，然后根据列式计算即可．
【详解】解：如图所示，连接BC，

由题意得：，，，
∴，
∴，
∴，
∴

．
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形的面积计算、解直角三角形等知识，解此题的关键是能正确运用扇形面积公式进行计算．
16. 某小区为了优化环境，计划在小区内甲、乙两块面积相同的空地上种植矮牵牛、金盏菊和三色堇三种花卉．现有10名工人参与种植，且每名工人每天种植矮牵牛、金盏菊和三色堇的面积之比为 ．已知每名工人固定种植一种花卉，所有工人花费9天的时间完成了甲地的花卉种植．在乙地进行花卉种植时，为了加快乙地的种植进度，基于甲地的工人分配方案进行了调整，从种植金盏菊和三色堇的工人中分别抽调1人种植矮牵牛，这样乙地花卉种植的天数比甲地少且恰好为整数，则乙地种植金盏菊和三色堇的工人人数之比为___________．
【答案】
【解析】
【分析】设每名工人每天种植矮牵牛、金盏菊和三色堇的面积为 、 、 ，在甲地种植矮牵牛、金盏菊和三色堇的人数分别为a人， b人，人，在乙地种植矮牵牛、金盏菊和三色革的人数分别为 人、 人、 人，在乙地种植的天数比甲地少y天，根据甲乙两地的种植面积相等列出方程，并求出其整数解，便可解决问题．
【详解】解∶设每名工人每天种植矮牵牛、金盏菊和三色堇的面积为 、 、 ，在甲地种植矮牵牛、金盏菊和三色堇的人数分别为a人，b人，人，在乙地种植矮牵牛、金盏菊和三色董的人数分别为 人、 人、 人，在乙地种植的天数比甲地少y天，则
，
整理得，
∴ ，
∵a、b、y都是正整数，且 ， ， ，
∴ ， ， ，
∴乙地种植金盏菊和三色堇的工人人数之比为∶，
故答案为∶．
【点睛】本题考查了方程的应用，读懂题意，找出等量关系列出方程，正确求出不定解方程的整数解是解题的关键．
三、解答题：解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）把完全平方展开，再把单项式乘以多项式化简，最后合并同类项即可．
（2）先把括号里的式子化简，再把除法转化为乘法，约分化为最简即可．
【小问1详解】
解：原式
【小问2详解】
解：原式
【点睛】本题考查了整式，分式的四则运算，熟练运用分式的运算法则是解决本题的关键．
18. 如图，在四边形ABCD中，ADBC且AD =BC，连接BD．

（1）用尺规完成以下基本作图：作∠CDE，使∠CDE=∠C，DE与BC交于点F．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）若∠BDC = 90°，求证：四边形ABFD为菱形．
证明：∵∠C=∠CDE
∴ ①
∵∠BDC = 90°
∴∠BDF +∠CDF = 90°，∠C +∠DBF = 90°
又∠C=∠CDE
∴ ②
∴BF = DF
∴BF=CF=BC
∵AD =BC，
∴ ③
∵ADBC
∴四边形ABFD是平行四边形
∵ ④
∴四边形ABFD是菱形
【答案】（1）见解析；
（2）①；②；③；④
【解析】
【分析】（1）作线段的垂直平分线，交于点，再作射线即可．
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，即可得出答案．
【小问1详解】
如图，即为所求，
【小问2详解】
证明： ，
，
，
,，
又
，
．
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
【点睛】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定，解决本题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质以及作图方法，菱形的判定．
四、解答题：解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 某校为了解学生对重庆历史文化的了解程度，举办了历史文化知识问答竞赛．现从八、九年级中各随
机抽取20名学生的知识竞赛分数（满分100分，分数用x表示，共分成四组：A．95 ≤ x ≤ 100，
B．90 ≤ x < 95，C．80 ≤ x < 90，D．0 ≤ x < 80）进行整理、描述、分析，其中分数不低于90分为优秀，下面给出部分信息：
八年级随机抽取20名学生的知识竞赛成绩分数是：65，80，81，84，87，88，90，90，91，91，92，92，92，97，97，98，98，99，100，100
九年级随机抽取20名学生的知识竞赛分数中，A、D两组数据个数相等，B、C两组的数据是：
88，90，91，92，92，92，92，92，93，93，94，94
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
八年级
九年级
平均数
90.6
90.6
中位数
91.5
a
众数
92
92
优秀率
70%
b%
九年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计衅

根据以上信息，回答下列问题：
（1）直接写出上述图表中a = ，b = ，n = ；
（2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生对重庆历史文化知识掌握得更好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若该校八年级有1200人，九年级有1500人参加了此次知识问答竞赛，估计两个年级知识问答竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？
【答案】（1），，
（2）我认为九年级学生对重庆历史文化知识掌握得更好，理由见解析；
（3）1965人．
【解析】
【分析】（1）依据九年级随机抽取 名学生的知识竞赛分数中，两组数据个数相等，即可得到两组的数据的中位数即为九年级名学生的知识竞赛成绩分数的中位数，求得两组的个数据的中位数即可得到的值．依据分数不低于 分为优秀，即可得到的值．依据组数据有 个，即可得到的值．
（2）比较中位数或优秀率，即可得到九年级学生对重庆历史文化知识掌握得更好．
（3）依据八、九年级的人数以及抽取的样本中的优秀率，即可得到两个年级知识问答竞赛活动成绩优秀的学生人数是 人．
【小问1详解】
九年级随机抽取名学生的知识竞赛分数中，两组数据个数相等，
两组的数据的中位数即为九年级名学生的知识竞赛成绩分数的中位数，
两组的个数据是：， ， ， ，，，，，，，，，
；
九年级随机抽取名学生的知识竞赛分数中，两组数据个数相等，
组数据有 （个），
又组数据为： ，， ，，，，，，，，，
有11个，
，即 ．
组数据有11个，
．
【小问2详解】
解：我认为九年级学生对重庆历史文化知识掌握得更好，理由如下：
∵九年级学生知识竞赛分数的中位数92大于八年级学生知识竞赛分数的中位数91.5
∴我认为九年级学生对重庆历史文化知识掌握得更好．
【小问3详解】
解：（人）
答：估计两个年级知识问答竞赛活动成绩优秀的学生人数为1965人．
【点睛】本题考查了众数、中位数的计算方法，解决本题的关键是掌握众数、中位数以及平均数的定义和优秀率的意义．
20. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象都经过点A（2，m），B（－4，2）．

（1）求一次函数的表达式，并在网格中画出一次函数图象；
（2）若点C与点A关于原点成中心对称，连接AC、BC，求△ABC的面积；
（3）根据函数图象，请直接写出的解集．
【答案】（1）图见解析，
（2）12 （3）或
【解析】
【分析】（1）由点B的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出反比例函数的表达式，由点B的横坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，再根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出一次函数的表达式；
（2）先求得D的坐标，然后根据求得即可；
（3）观察两函数图象的上下位置关系，即可找出不等式的解集．
【小问1详解】
将代入得：
∴反比例函数的解折式为
将代入得：，即
将代入
得：，解得
∴一次函数的解析式为
【小问2详解】
∵点A的坐标为（2，-4），点C与点A关于原点成中心对称，
∴点C的坐标为（-2，4）．
设直线AC解析式为为y=px，
将C的坐标为（-2，4）代入得：p=-2，
∴直线AC解析式为为y=-2x，
把y=2代入得，2=-2x,解得x=-1，
∴D（-1，2），
∴BD=-1+4=3，
∴．
【小问3详解】
观察函数图象，可知：当x＜-2或0＜x＜1时，反比例函数图象在一次函数图象的下方，
∴的解集是x＜-4或0＜x＜2．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及解直角三角形，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征及待定系数法，求出函数的表达式；（2）利用分割法求解；（3）由两函数图象的上下位置关系，找出不等式的解集．
21. 如图，在竖直的海岸线上有长为68米的码头AB，现有一艘货船在点P处，从码头A处测得货船在A的东南方向，若沿海岸线向南走30米后到达点C，在C处测得货船在C的南偏东75°方向．（参考数据：，，）

（1）求货船到A的距离（结果精确到1米）；
（2）若货船从点P出发，沿着南偏西60°的方向行驶，请问该货船能否行驶到码头所在的线段AB上？ 请说明理由．
【答案】（1）货船到A的距离为58米
（2）货船能行驶到码头所在线段上
【解析】
【分析】（1）过点C作于M，在Rt△ACM中，根据sin45°解得CM的长，则AM=CM，在Rt△CPM中，∠CPM=∠PCB∠A=30°，根据tan30°求出PM的长，再根据AP=AM+PM即可得到答案；
（2）设货船从P出发沿南偏西方向行驶到Q点，过P作于N，利用三角函数求出AN和NQ，再根据AQ=AN+NQ求出AQ的长，与AB作比较即可．
【小问1详解】
过C作于M，

由题可得：，，，
在中，，
∴，
又∵，
在中，，
∴，
∴AP=AM+MP=（米），
答：货船到A的距离为58米；
【小问2详解】
设货船从P出发沿南偏西方向行驶到Q点，过P作于N，

在中，，
，
∴，
∴AN=，
在中．，
，
∴，
∴，
∴货船能行驶到码头所在线段上．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用——方位角问题，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
22. 某工厂共有300台机器出租，去年每台机器的租金为100元，由于物价上涨，今年这些机器的租金上涨到了121元/台．
（1）求每台机器租金的年增长率；
（2）据预测，当机器的租金定为121元/台时，该工厂可将机器全部租出；若每台机器的租金每增加1元，就要少租出2台．租出的机器该工厂每天每台需支出41元的维护费用，未租出的机器该工厂每天每台需支出20元的保管费用．当每台机器的租金上涨多少元时，该工厂每天的收益为25250元？
【答案】（1）每台机器租金的年增长率为
（2）当每台机器租金上涨25元时，该工厂每天的收点为25250元
【解析】
【分析】（1）设每台机器租金的年增长率为x，根据“去年每台机器的租金为100元，由于物价上涨，今年这些机器的租金上涨到了121元/台”列出方程并解答；
（2）设每台机器的租金上涨y元，该工厂每天的收益为25250元，则每天可租出台，利用日收益=每台设备的日租金×每天可租出数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出每台机器的租金．
【小问1详解】
设每台机器租金的年增长率为x，根据题意得，

解得：
答：每台机器租金的年增长率为
【小问2详解】
设每台机器租金上涨y元

整理得：
解得：
答：当每台机器租金上涨25元时，该工厂每天的收点为25250元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23. 如果一个自然数N的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A的十位数字比B的十位数字大2，A、B的个位数字之和为10，则称数N为“美好数”，并把数N分解成的过程，称为“美好分解”．例如：∵，61的十位数字比49的十位数字大2，且61、49的个位数字之和为10，∴2989是“美好数”；又如：∵，35的十位数字比19的十位数字大2，但个位数字之和不等于10，∴605不是“美好数”．
（1）判断525，1148是否是“美好数”？并说明理由；
（2）把一个大于4000的四位“美好数”N进行“美好分解”，即分解成，A的各个数位数字之和的2倍与B的各个数位数字之和的和能被7整除，求出所有满足条件的N．
【答案】（1）525“美好数”，1148不是“美好数”，理由见解析
（2）或5561或7081
【解析】
【分析】（1）根据新定义进行判断即可求解；
（2）根据题意设，其中，x，y为整数，根据A的各个数位数字之和的2倍与B的各个数位数字之和的和能被7整除，得出或18，然后分类讨论列出二元一次方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
∵．35的十位数字比15的十位数字大2．个位数学之和等于10
∴525是“美好数”；
∵．41的十位数字比28的十位数字大2，但个位数字之和不等于10
∴1148不是“美好数”．
【小问2详解】
∵N为大于4000的四位“美好数”
∴设．
其中，x，y为整数
由题意得被7整除
即为整数
∴为整数
∵
∴
∴或21
即或18．
①当时
∵．且x，y为整数
∴或
∴或
∴或556
②当时
∵，且x，y为整数
∴
∴
∴
综上所述：或5561或7081．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解新定义是解题的关键．
24. 如图1，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，－1），且tan∠OAC=．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AC下方对称轴左侧抛物线上一点，过点P作PQx轴交抛物线于点Q，过点P作PR⊥x轴交AC于点R，若，求点P的坐标；
（3）将抛物线向右平移一个单位，向下平移一个单位得到新抛物线，在新抛物线上有点 M，在原抛物线对称轴上有点N，直接写出所有使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．
【答案】（1）
（2）
（3）或或
【解析】
【分析】（1）由C（0，﹣1），tan∠OAC＝，可得A（﹣2，0），用待定系数法即得抛物线的解析式为；
（2）设，其中，由PQx轴，得PQ＝，由A（﹣2，0），C（0，﹣1）可得直线AC解析式为，故R（t，﹣1），PR＝，根据PQ+PR＝，有，可解得；
（3）原抛物线解析式为，可得新抛物线解析式是，设M，N，而A，C，分三种情况：①若MN，AC是对角线；②若MA，NC是对角线，③若MC，NA是对角线．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
在形中，，
∴，
即，
将，代入抛物线解析式，
得，
解得：，
∴抛物线解式为；
【小问2详解】
解：由（1）可如，抛物线对称轴为，
设，其中，
∵轴，
，
由（1）得，
轴，
∴
∴，
∴，
解得或，
又，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：原抛物线解析式为，
根据题意可得新抛物线解析式是，
设M，N，而A，C，
①若MN，AC是对角线，则MN的中点即为AC的中点，
∴ ，
可解得 ，
∴M；
②若MA，NC是对角线，
，
解得，
∴M；
③若MC，NA是对角线，
，
解得，
∴M，
综上所述，M的坐标为或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图像上点坐标的特征，平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
25. 如图1，是等腰三角形，，点是边上一点，连接，将绕着点顺时针旋转得，且使得点在边所在的直线上．

（1）若，点是的中点， ，求△ADE的周长；
（2）如图2，若，点为的中点，连接，求证∶；
（3）如图3，若，，在同一平面内将沿着翻折得，且使得点落在下方，连接，过点作交于点，点关于的对称点为，连接，当最大时，求的面积．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）如图1中，过点作于点，于点．证明四边形是矩形，求出，推出，再利用勾股定理求出，，即可解决问题；
（2）如图2中，连接，延长到，使得，连接．设交于点．利用全等三角形的性质证明，可得结论；
（3）如图3中，根据题意可得在以为圆心，为半径的圆上，以为圆心为半径作，过点作交于点，连接交于点．证明，推出的值最大时，的值最小，过点作于点，因为是等腰直角三角形，所以的值最大时，的值最大，求出的最大值时的长，即可得结论．
【小问1详解】
解：过点作于点，于点．

∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的周长为；
【小问2详解】
证明：如图2中，连接，延长到，使得，连接．设交于点．

∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
如图3中，依题意，在以为圆心，为半径的圆上，
以为圆心为半径作，过点作交于点，连接交于点．

∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵关于对称，
∴，
∴，
∴，
∴的值最大时，的值最大，
过点作于点，
∵是等腰直角三角形，所以的值最大时，的值最大，
∴当时，的值最大，，
∴
此时是等腰直角三角形，
∴
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题．