2022-2023学年江西省抚州市南城县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江西省抚州市南城县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列四个图形中，中心对称图形是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  以下各组数为三角形的三条边长，其中是直角三角形的三条边长的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3.  不等式的正整数解有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

4.  如图，中，，是角平分线，若，则线段的长(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，将绕点顺时针旋转角得到，若点恰好在的延长线上，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，在第一个中，，，在上取一点，延长到，使得，得到第二个；在上取一点，延长到，使得；，按此做法进行下去，则第个三角形中，以点为顶点的等腰三角形的底角的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7.  已知等腰三角形的顶角的度数为，则底角的度数为        ．

8.  若点是第二象限的点，则的取值范围是______ ．

9.  如图，将直角三角板绕顶点顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，，则______

10.  如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，把沿轴向右平移得到，如果点的坐标为，则点的坐标为          ．

11.  如图，是等边边上的中线，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长为______ ．

12.  如图，中，，，，动点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，的值为______ ．

三、解答题（本大题共12小题，共92.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13.  本小题分
解下列不等式：．

14.  本小题分
如图，点在的角平分线上，过点作，交于点，且，求点到的距离．

15.  本小题分
解下列不等式组并把它的解集表示在数轴上．

16.  本小题分
如图，等边和等边的边长相等，与在同一直线上，请根据如下要求，使用无刻度的直尺画图．
在图中画一个直角三角形；
在图中画出的平分线．

17.  本小题分
如图，已知中，，，求，度数．

18.  本小题分
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．
将向下平移个单位得到，并写出点的坐标；
画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标．

19.  本小题分
已知关于，的二元一次方程组的解满足，其中是非负整数，求的值．

20.  本小题分
“疫情就是命令、防控就是责任”抚州市南城县某公司在疫情复工准备工作中，计划同时购买一定数量的甲、乙品牌消毒液，若购进甲品牌消毒液瓶和乙品牌消毒液瓶，共需资金元；若购进甲品牌消毒液瓶和乙品牌消毒液瓶，共需资金元．
甲、乙品牌消毒液的单价分别是多少元？
该公司计划购进甲、乙品牌消毒液共瓶，而可用于购买这两种商品的资金不超过元，且要求购买甲品牌消毒液的数量不少于乙品牌消毒液数量的一半试问：该公司有几种购买方案？

21.  本小题分
如图，在和中，，，、相交于点．
试说明的理由；
若，，，求的长．

22.  本小题分
如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，且与的图象交于点．
求，的值；
若，则的取值范围是______；
求四边形的面积．

23.  本小题分
如图，点是等边三角形内一点，将绕点顺时针旋转得到，连接，，，．
求证：；
若，，，求的度数．

24.  本小题分
阅读情境：在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题”．
如图，≌，其中，，此时，点与点重合．

操作探究：小凡将图中的两个全等的和按图方式摆放，点落在上，所在直线交所在直线于点，连结，求证：．
操作探究：小彬将图中的绕点按逆时针方向旋转角度，然后，分别延长、，它们相交于点如图，在操作中，小彬提出如下问题，请你解答：
时，求证：为等边三角形；
当 ______ 时，直接回答即可
操作探究：小颖将图中的绕点按顺时针方向旋转角度，线段和相交于点，当旋转到点是边的中点时可利用图画图，直接写出线段的长为______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的概念结合各图形的特点求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转度后与原图形重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，
以，，为三角形的三条边长不能组成直角三角形，故此选项错误；
B、，
以，，为三角形的三条边长能组成直角三角形，故此选项正确；
C、，
以，，为三角形的三条边长不能组成直角三角形，故此选项错误；
D、，
以，，为三角形的三条边长不能组成直角三角形，故此选项错误．
故选：．
根据勾股定理逆定理逐项判断即可．
本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边、、满足，那么这个三角形是直角三角形．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
移项得：，
合并同类项得：，
不等式的解集为，
不等式的正整数解有，，，一共个，
故选：．
先求出不等式的解集，然后求出其正整数解即可．
本题主要考查了求一元一次不等的整数解，正确求出不等式的解集是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：中，，，
，
是的角平分线，
，
．
在中，由勾股定理知：，即，
．
故选：．
首先根据直角三角形的性质推出的度数，然后由角平分线的性质求出，最后根据特殊角的三角函数值即可求出的长度．
本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质以及含度角的直角三角形．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

5.【答案】 

【解析】解：由旋转得，，，，
，
，
故选：．
由旋转得，，，，根据等腰三角形的性质得到，即可求出答案．
此题考查了旋转的性质，等腰三角形等边对等角求角度，正确理解旋转的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
，是的外角，
；
同理可得，，
，
以点为顶点的等腰三角形的底角为．
，
故选：．
先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出的度数．
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出，及的度数，找出规律是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：等腰三角形的顶角的度数为，
等腰三角形的底角的度数为，
故答案为：．
在等腰三角形中，两底角相等，在结合三角形内角定理即可作答．
本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形中，两底角相等，是解答本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：是第二象限内的点，
，
解得：．
故答案为：．
已知点是第二象限内的点，即可得到横纵坐标的符号，即可求解．
本题主要考查了平面直角坐标系中第二象限的点的坐标的符号特点，熟练掌握平面直角坐标系中点的特点是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
将直角三角板绕顶点顺时针旋转到，
．
点恰好落在的延长线上，
．
故答案为：．
利用旋转不变性，三角形内角和定理和平角的意义解答即可．
本题主要考查了图形旋转的性质，三角形的内角和定理，平角的意义，利用旋转不变性解答是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查坐标与图形变化平移，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
利用平移的性质解决问题即可．
【解答】
解：，，
点向右平移个单位得到，
，
点向右平移个单位得到，
故答案为．  

11.【答案】 

【解析】解：是等边边上的中线，
是上的高，是的平分线，
，，
如图，连接，

是的垂直平分线，
，


在中，，
，
，
故答案为：．
根据三线合一得出，，连接，根据垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，即可得出，根据含度角的直角三角形的性质，得出，进而即可求解．
本题考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，等边对等角，含度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
 

12.【答案】或或 

【解析】解：，，，
．
当时，；
当时，，；
当时，，，，
在中，，
即，
解得．
综上，当为等腰三角形时，或或．
故答案为：或或．
当为等腰三角形时，分三种情况：当时；当时；当时，分别求出的长度，继而可求得的值．
本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

13.【答案】解：，
，
，
，
，
． 

【解析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
 

14.【答案】解：如图，过点作于点，

点在的角平分线上，，，
，
，
，
即点到的距离为． 

【解析】如图，过点作于点，证明即可．
本题主要考查了解一元一次不等式，角平分线上的点到两边距离相等，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的方法和步骤，掌握角平分线上的点到两边距离相等．
 

15.【答案】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集是，
在数轴上表示为：
． 

【解析】先求出两个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．
 

16.【答案】解：如图所示：连接，
与全等且为等边三角形，
四边形为菱形，连接，则平分，
，
，
，
则为直角三角形，同理可知，也为直角三角形；

如图所示：连接、、，则四边形和四边形为菱形，
则，，设，相交于，交于点，交于点，
则，，
由得：，，
则，
在和中
，
≌，
，
由到角两边距离相等的点在角平分线上，可知，连接，为所作的角平分线． 

【解析】直接利用等边三角形的性质结合菱形的性质得出为直角三角形，同理可知，也为直角三角形；
利用菱形的判定与性质得出≌，得出，进而结合角平分线的判定得出答案．
此题主要考查了应用设计与作图，正确应用菱形的判定与性质是解题关键．
 

17.【答案】解：，
，
，
，
设，
则，
，
，
解得：，所以，
即，． 

【解析】由于，所以和都是等腰三角形，可设，则，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理的推论，可以求出，度数．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解题中运用了等腰三角形“等边对等角”的性质，并联系三角形的内角定理求解有关角的度数问题．
 

18.【答案】解：如图所示，即为所求，点的坐标为；

如图所示，即为所求，点的坐标为；
 

【解析】根据平移规律可得，向下平移个单位，即横坐标不变，纵坐标减，即可得到坐标．
根据旋转规律，图形旋转，即对应边的旋转角为，找到对应点的位置即可得到答案，同时也可得到的坐标．
本题考查平移和旋转，熟练掌握平移和旋转的规律是解题的关键．
 

19.【答案】解：方程组
得：，
，
，
，
，
是非负整数，
或． 

【解析】此题考查的是二元一次方程组和不等式的解法，解得，再根据列出关于的不等式，即可求出的取值范围．
先把当做已知数，求出，再根据列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
 

20.【答案】解：设甲、乙品牌的消毒液的单价分别为元，元，
由题意得：，
解得：，
甲品牌的消毒液的单价为元，乙品牌的消毒液的单价为元．
设购进甲品牌的消毒液瓶，则购进乙品牌的消毒液瓶，
由题意可得，，
解得：，
为正整数，
可取，，，，
共有种方案． 

【解析】设甲、乙品牌的消毒液的单价分别为元，元，由“购进甲品牌消毒液瓶和乙品牌消毒液瓶，共需资金元；购进甲品牌消毒液瓶和乙品牌消毒液瓶，共需资金元”，可列出二元一次方程组，解方程组即可得答案；
设购进甲品牌的消毒液瓶，则购进乙品牌的消毒液瓶，根据资金不超过元，购买甲品牌消毒液的数量不少于乙品牌消毒液数量的一半可列出一元一次不等式组，求出的取值范围，结合为正整数即可得答案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题关键是找准等量关系和不等关系，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组．
 

21.【答案】证明：在与中，
，
≌，
，
．
，，，
，
，，
由得：，
． 

【解析】先证明≌，再利用全等三角形的性质可得；
再利用等腰直角三角形的性质可以得出结果．
本题利用了三角形全等的判定和性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练运用三角形全等的判定和性质是本题的关键．
 

22.【答案】解：的图象与的图象交于点，
时，，解得，
．
将代入，
得，
解得，
故，；
；
函数的图象与轴交于点，
．
一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，
，，



． 

【解析】

【分析】
本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用了数形结合思想．
先由函数，求出的值与点的坐标；再将点坐标代入，求出的值；
根据函数图象，求出落在图象上方的部分对应的的取值范围即可；
由函数求出点的坐标，由求出、两点的坐标，再代入计算即可．
【解答】
解：见答案；
由题干图象可知，若，则的取值范围是．
故答案为；
见答案．  

23.【答案】证明：绕点顺时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
，，
，，
在和中，，，，
≌，
．
解：，，
是等边三角形，
，，
≌，
，，
，
，
，
，
． 

【解析】由旋转的性质就可以证明≌；
先证出是等边三角形，又根据≌，得出，，再根据勾股定理的逆定理得出，等量代换得出．
本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质，解答时证明三角形全等是关键．
 

24.【答案】  

【解析】证明：如图，

，
在和中，
，
≌，
．
证明：如图中，

，，
，
，，
，
，
，
是等边三角形．
解：当时，理由如下：
，
，
，
，
当时，．
故答案为．
解：如图中，连接，交于点．

，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
，，
垂直平分线段，
，
在中，
，，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
证明≌即可解决问题；
证明即可解决问题．根据平行线的判定定理即可解决问题；
如图中，连接，交于点首先证明，再证明，利用面积法求出即可解决问题．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．