数学人教版19.2.1 正比例函数精品练习

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19.2.1-19.2.2 正比例函数 一次函数

正比例函数定义：一般地，形如 y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数。
【扩展】正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）。
一次函数定义：如果y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数，k叫比例系数。当b=0时，一次函数y=kx+b变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。
【扩展】1）一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（-，0）。
2）直线l1与坐标原点构成的三角形面积为s= 。
画一次函数图象：
1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(，0)两点；
2）当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例，一般取（0,0）、（1，k）两点。
【正比例函数与一次函数的性质（重难点、考点）】
一、图像特征
　
b>0
b<0
b=0
k>0
经过第一、二、三象限
经过第一、三、四象限
经过第一、三象限



图象从左到右上升，y随x的增大而增大
k<0
经过第一、二、四象限
经过第二、三、四象限
经过第二、四象限



图象从左到右下降，y随x的增大而减小
【小结】
1）正比例函数的性质：一般地，正比例函数y=kx(k≠0)有下列性质：
（1）当k>0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；
（2）当k<0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小。
2）一次函数的性质：一般地，一次函数y=kx+b(k≠0，b≠0)有下列性质：
（1）k>0，b>0时，图象经过一、二、三象限，y随x的增大而增大；
（2）k>0，b<0时，图象经过一、三、四象限，y随x的增大而增大；
（3）k<0，b>0时，图象经过一、二、四象限，y随x的增大而减小；
（4）k<0，b<0时，图象经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。
二、位置特征（直线y1=kx＋b与y2=kx图象的位置关系）
对于正比例函数：1）当b>0时，将y2=kx图象向x轴上方平移b个单位，就得到y1=kx＋b图象。
2）当b<0时，将y2=kx图象向x轴下方平移－b个单位，就得到y2=kx＋b图象。
对于一次函数（规则：上加下减，左加右减）：
1）上下平移： ①将直线y=kx+b向上平移n个单位长度：得到直线y=kx+b+n；
②将直线y=kx+b向下平移n个单位长度：得到直线y=kx+b-n；
2）左右平移： ①将直线y=kx+b向右平移n个单位长度：得到直线y=k(x-n)+b；
②将直线y=kx+b向左平移n个单位长度：得到直线y=k(x+n)+b；
三、k，b符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系：
由于一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（-，0），则：
1）当,则k，b异号，直线与x轴交与正半轴。
2）当,则b=0，直线过原点。
3）当,则k，b同号，直线与x轴交与负半轴。
四、两个一次函数表达式（直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2）的位置关系：
1）k相同，b也相同时，两一次函数图像重合；
2）k相同，b不相同时，两一次函数图像平行，即：；
3）k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交；
4）k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。
5）两直线垂直。
 
【题型一】正比例函数的定义
【典题】（2022秋·广东广州·八年级校考期中）在中，若是的正比例函数，则值为（　　）
A．1 B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】形如的函数是正比例函数，根据定义列得，求解即可．
【详解】解：∵是的正比例函数，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了正比例函数的定义，熟记定义是解题的关键．
巩固练习
1．（ê）（2022秋·甘肃酒泉·八年级统考期中）下列函数中y是x的正比例函数的是（      ）
A． B．y=3x C． D．y=x3
【答案】D
【分析】根据正比例函数的定义即可判断．
【详解】解：A、，y是x的一次函数，不符合题意；
B、中，y是x的反比例函数，不符合题意；
C、中，y是x的一次函数，不符合题意；
D、y =中，y是x的正比例函数，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
2．（ê）（2022秋·浙江丽水·八年级统考期末）若是正比例函数，则的值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接根据正比例函数的定义：一般地，形如是常数，的函数叫做正比例函数，进行解答即可．
【详解】解：因为是正比例函数，
所以，
所以．
故选：C．
【点睛】此题考查的是正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义是解决此题的关键．
3．（ê）（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）若是正比例函数，则点所在的象限是（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据求正比例函数的定义求出m的值，即可判断点所在的象限．
【详解】解∶∵是正比例函数，
∴且，
∴，
∴即为，
∴在第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，各象限内点的特征：第一象限中的点的横坐标大于0，纵坐标大于0；第二象限中的点的横坐标小于0，纵坐标大于0；第三象限中的点的横坐标小于0，纵坐标）小于0；第四象限中的点的横坐标大于0，纵坐标小于0．根据正比例函数的定义求出m的值是解题的关键．
【题型二】正比例函数的图象与性质
【典题】（2022秋·安徽蚌埠·八年级校考期中）已知点在轴负半轴上，则函数的图象经过（    ）
A．二、四象限 B．一、三象限 C．一、二象限 D．三、四象限
【答案】A
【分析】根据题意得出，继而根据正比例函数图象的性质即可求解．
【详解】解：∵点在轴负半轴上，
∴，
∴函数的图象经过二、四象限，
故选：A．
【点睛】本题考查了正比例函数图象的性质，掌握正比例函数图象的性质是解题的关键．
巩固练习
1．（ê）（2022秋·湖南益阳·八年级统考期末）下列正比例函数中，其图象恰好经过点的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把分别代入各个选项中的函数表达式，即可进行解答．
【详解】解：A、把代入得，故函数不经过点，故A不符合题意；
B、把代入得，故函数经过点，故B符合题意；
C、把代入得，故函数不经过点，故C不符合题意；
D、把代入得，故函数不经过点，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的图象上的点，解题的关键是掌握判断点是否在函数图象上的方法．
2．（ê）（2022秋·四川成都·八年级树德中学校考期中）关于函数，下列结论中，正确的是（   ）
A．函数图象经过点 B．随的增大而减小
C．函数图象经过一、三象限 D．不论为何值，总有
【答案】C
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出函数图象不经过点；可判断A，利用正比例函数的性质，可得出随的增大而增大；可判断B，利用一次函数图象与系数的关系，可得出函数图象经过第一、三象限；可判断C，利用不等式的性质，可得出只有当时，．可判断D．
【详解】解： A．当时，，
函数图象不经过点，选项A不符合题意；
B．，
随的增大而增大，选项B不符合题意；
C．，
函数图象经过第一、三象限，选项C符合题意；
D．只有当时，，选项D不符合题意．
故选： C．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析各选项的正误是解题的关键．
3．（ê）（2022秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）在平面直角坐标系中，放置如图所示的等边，已知，若正比例函数的图象经过点，则的值为（    ）

A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】过点B作于点C，首先根据点A的坐标可求得，再根据等边三角形的性质及勾股定理，即可求得点B的坐标，再把点B的坐标代入解析式，即可求解．
【详解】解：如图：过点B作于点C，

，
，
是等边三角形，
，，
，
点B的坐标为，
把点B的坐标代入解析式，
得，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，待定系数法求正比例函数的解析式，根据等边三角形的性质求解是解决本题的关键．
4．（ê）（2022秋·上海嘉定·八年级统考期末）关于正比例函数的图象，下列叙述错误的是（　　）
A．点在这个图象上 B．函数值随自变量的增大而减小
C．图象经过原点 D．图象经过一、三象限
【答案】B
【分析】分别应用正比例函数的性质分析即可选择．
【详解】解：A．当时，，所以点在这个图象上，故选项不符合题意；
B．由知，函数值随自变量的增大而增大，故选项符合题意；
C．正比例函数图象都经过原点，故选项不符合题意；
D．由知，图象经过一、三象限，故选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键．
【题型三】一次函数的定义
【典题】（2022秋·贵州·八年级统考期中）下列函数中，y是x的一次函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．
【详解】解：A、不是一次函数，故此选项符合题意；
B、不是一次函数，故此选项不符合题意；
C、是一次函数，故此选项符合题意；
D、不是一次函数，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数．解题的关键是掌握一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1．
巩固练习
1．（ê）（2022秋·河南驻马店·八年级校考期中）下列关于的函数：①（为常数）；② （为常数）；③ ；④=；⑤，一次函数的有（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据一次函数的定义条件解答即可．
【详解】①当 时不是函数，
②是一次函数，
③是一次函数，
④=自变量次数不为1，不是一次函数，
⑤是一次函数，
故选：C
【点睛】本题主要考查一次函数的定义，一次函数 的定义条件是：为常数， ，自变量次数为1，掌握一次函数的定义是解题关键．
2．（ê）（2022秋·福建漳州·八年级福建省漳州第一中学校考期中）下列选项中，y与x之间的关系为一次函数的有（   ）个．
①正方形的面积与它的边长之间的关系．
②圆的周长与半径之间的关系．
③周长为的长方形的长与宽之间的关系．
④面积为的三角形的底与高之间的关系．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】根据一次函数的定义：形如：的函数为一次函数，列出题目中的函数关系，判断即可．
【详解】解：①正方形的面积与它的边长之间的关系为：，
故不是一次函数；
②圆的周长与半径之间的关系为，
故属于一次函数；
③周长为的长方形的长与宽之间的关系为，
故属于一次函数；
④面积为的三角形的底与高之间的关系：，
故不属于一次函数；
属于一次函数的有②③共个，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟记定义以及正确列出相关函数关系式是解本题的关键．
3．（ê）（2022秋·四川达州·八年级校考期中）若函数是一次函数，则m的值为（      ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】根据一次函数的定义列式计算即可得解．
【详解】解：根据题意得，且，
解得且，
所以，．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1．
4．（ê）（2022秋·湖北宜昌·八年级统考期中）如果是一次函数，那么m的值是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数定义：①含有一个未知数；②未知数最高次数为1次；③整式方程，并且注意，一次项系数不能为，列式求解即可得到答案．
【详解】解：∵是一次函数，
∴，且，解得，
故选：B．
【点睛】本题考查根据一次函数定义求参数，掌握一次函数定义：①含有一个未知数；②未知数最高次数为1次；③整式方程，并且注意，一次项系数不能为，准确列式是解决问题的关键．
【题型四】一次函数的图象与性质
【典题】（2022秋·山东济南·八年级济南育英中学校考期末）已知一次函数，随着的增大而增大，且，则在直角坐标系内它的大致图象是（    ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
【详解】解：∵一次函数，随着的增大而增大，
∴．
∵，
∴，
∴此函数图象经过一、三、四象限．
故选：B．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知函数（）中，当，时函数的图象在一、三、四象限是解答此题的关键．
巩固练习
1．（ê）（2022秋·浙江嘉兴·八年级统考期末）下列直线中，与直线垂直的是（        ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据若两直线垂直，则它们自变量系数的乘积等于，即可求解．
【详解】解：A、因为，所以与直线不垂直，故本选项不符合题意；
B、因为，所以与直线不垂直，故本选项不符合题意；
C、因为，所以与直线不垂直，故本选项不符合题意；
D、因为，所以与直线垂直，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了两直线垂直的问题，熟练掌握若两直线垂直，则它们自变量系数的乘积等于是解题的关键．
2．（ê）（2022秋·山东济南·八年级统考期末）已知点在第四象限内，则一次函数的图象大致是（    ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件“点为第四象限内的点”推知、的符号，由它们的符号可以得到一次函数的图象所经过的象限．
【详解】解：点为第四象限内的点，
，，
∴，
一次函数的图象经过第二、三、四象限，观察选项，A选项符合题意，B、C、D选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．
3．（ê）（2022秋·甘肃白银·八年级统考期末）已知正比例函数的函数值随的增大而减小，则一次函数的图象经过（    ）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
【答案】B
【分析】先根据正比例函数的函数值随的增大而减小判断出的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论．
【详解】解：∵正比例函数的函数值随的增大而减小，
∴，
在一次函数中，，
∴一次函数的图象经过一、三、四象限，
故选：B．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，掌握一次函数的性质是解本题的关键．
4．（ê）（2022秋·江苏无锡·八年级统考期末）关于x的一次函数，下列说法错误的是（    ）
A．若函数的图象经过原点，则
B．若，则函数的图象经过第一、二、四象限
C．函数的图象一定经过点
D．当函数的图象经过第一、三、四象限时，m的取值范围是
【答案】D
【分析】A．利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出，解之即可得出的值；B．代入，利用一次函数图象与系数的关系可得出当时函数图象经过第一、二、四象限；C．将一次函数解析式变形为，进而可得出无论为何实数，函数图象总经过；D．根据当函数的图像经过第一、三、四象限时，可知，，可得m的取值范围．
【详解】解：A．∵函数图象经过原点，
∴，
∴，选项A不符合题意；
B．当时，一次函数解析式为，
∵，，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，选项B不符合题意；
C．∵一次函数解析式为，即，
∴无论为何实数，函数图象总经过，选项C不符合题意．
D．∵函数的图像经过第一、三、四象限时，
∴，，
∴，选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
【题型五】一次函数图象与坐标轴交点问题
【典题】（2022秋·河南驻马店·八年级统考期末）已知函数的图象与x轴交点的坐标是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令代入求解即可．
【详解】解：令，则有，
解得：，
∴函数的图象与x轴的交点坐标为；
故选B．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
巩固练习
1．（ê）（2022秋·山东枣庄·八年级校考期中）直线与轴、轴围成的三角形的面积为（　　）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】C
【分析】分别求出直线与x轴、y轴的交点坐标，再根据直角三角形的面积公式求解即可．注意线段的长度是正数．
【详解】解：当时，，
当时，，
解得，，
则直线与x轴、y轴的交点坐标分别为，
则这个三角形面积为．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键把求线段的长的问题转化为求函数的交点的问题．
2．（ê）（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）如图，一次函数的图象与坐标轴的交点为A和B，下列说法中正确的是（    ）

A．点在直线AB上 B．y随x的增大而增大
C．当时， D．方程的解为
【答案】C
【分析】依据一次函数的解析式，即可得到函数图象与坐标轴的交点坐标，函数的增减性．
【详解】解：在中，令，则，
∴点不在直线上，故A选项错误，不符合题意；
如图所示：y随x的增大而减小，故B选项错误，不符合题意；
∵在中，令，则；令，则，
∴方程的解为，故D选项错误，不符合题意；
∴函数图象与y轴交于，
如图所示：时，，故C选项正确，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，一次函数图象的性质，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．
3．（êê）（2022春·四川达州·八年级统考期末）已知直线与直线关于y轴对称，则直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】根据对称性求得m、n的值，进而求得直线与坐标轴的交点，然后利用三角形面积公式即可求得．
【详解】解：∵直线与直线关于y轴对称，
∴直线与直线相交于y轴上同一点，
∴，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴该直线与轴的交点为，
又∵直线与直线关于y轴对称，
∴直线与直线与轴的交点到y轴的距离相等，
∴直线与轴的交点为，
把代入，可得：，
解得：，
∴，
∴直线的解析式为，
令，则；
令，则，
∴直线与坐标轴的交点为和 ，
∴直线与坐标轴围成的三角形的面积为：，
故选：A．
【点睛】此题考查了一次函数图象与坐标轴的交点、轴对称图形的坐标变换，关键是能准确理解题意，运用对称性求得m、n的值是解题的关键．
【题型六】利用一次函数增减性做判断
【典题】（2022秋·辽宁沈阳·八年级校考期中）点，点是一次函数图象上两点，，则与的大小关系是（    ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】根据一次函数的图像和性质判断即可．
【详解】解：∵，
∴一次函数图象上，y随x增大而减小，
∵，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．
巩固练习
1．（ê）（2022春·山东临沂·八年级统考期末）若点都在直线上，则与的大小关系是(   )
A． B． C． D．无法比较大小
【答案】A
【分析】根据一次函数的增减性：当k>0时，y随x的增大而增大：当k<0时，y随x的减小而减小；即可作答．
【详解】∵k=>0，
∴y随x的增大而增大；
∵-3<1，
∴．
故选∶A
【点睛】本题主要考查了一次函数的增减性，熟练地掌握一次函数的图像及其性质是解题的关键．
2．（ê）（2022秋·安徽六安·八年级统考期末）已知正比例函数的图象上两点、，且，则下列不等式中一定成立的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由可得y随x增大而减小，进而求解．
【详解】解：∵中，，
∴y随x增大而减小，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握一次函数图象与系数的关系．
3．（êê）（2022秋·浙江绍兴·八年级校联考期中）已知，，若规定，则的最小值为（    ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】先由时，，解得x的范围，从而将原不等式化为关于x的不等式组，再根据一次函数的性质可得y的最小值．
【详解】解：∵，，
∴当时，，
解得：．
∴时，；当，．
∴，
可化为：，
∵，其函数值随自变量的增大而增大，故其在时取得最小值，即；
，其函数值随自变量的增大而减小，故．
∴y的最小值是1．
故选：B．
【点睛】本题考查了根据不等式的性质解不等式、一次函数的性质在最值问题中的应用，熟练掌握不等式的性质及一次函数的性质是解题的关键．
【题型七】一次函数的规律探究
【典题】在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，，，…，在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为（　　）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，依次得到，，，，…，得到，即可得到答案．
【详解】解：当时，有，
解得：，
∴点的坐标为．
∵四边形为正方形，
∴点的坐标为．
同理，可得出：，，，，…，
∴，，，，…，
∴（n为正整数），
∴点的坐标为．
故选：A
【点睛】此题考查了点的坐标规律，熟练掌握一次函数的性质和正方形的性质是解题的关键．
巩固练习
1．（êê）（2022秋·广东佛山·八年级石门中学校考期末）正方形，…按如图所示的方式放置，点，…和点，…分别在直线和x轴上，则点的纵坐标是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直线解析式先求出，进而证明、…都是等腰直角三角形，则可得的纵坐标是1，再求出的纵坐标是2，的纵坐标是，得出规律，即可得出结果．
【详解】解：设直线与x轴的交点为D，
∵直线与x轴，y轴的交点坐标为，
∴，
∴是等腰直角三角形，
又∵正方形，…
∴、…都是等腰直角三角形，
∴ …，
∴点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
…
点的纵坐标为，
故选：B．

【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，一次函数的性质，等腰直角三角形的性质与判定，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
2．（êê）（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】点在直线上，得到，求得的纵坐标的纵坐标，得到，即的横坐标为，同理，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，求得的横坐标为，于是得到结论．
【详解】点，在直线上，
，
轴，
的纵坐标的纵坐标，
在直线上，
，
，
，即的横坐标为，
同理，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，
∴的横坐标为，
的横坐标为，
的横坐标为，
的横坐标为，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标，正确的找出规律是解题的关键．
3．（êê）（2022春·河南信阳·八年级校考期末）如图，已知直线l：y＝x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，以OB1为半径作弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，以OB2，为半径作弧交x轴于点A3……按此作法进行下去，则点An的坐标为（    ）

A．（2n，0） B．（2n﹣1，0） C．（2n+1，0） D．（2n+2，0）
【答案】B
【分析】根据题意，由A（1，0）和直线l关系式y=x,可以求出点B1的坐标，在Rt△OA1B1中，根据勾股定理，可以求出OB1的长；再根据OB1=OA2确定A2点坐标，同理可求出A3、A4、A5……，然后再找规律，得出A的坐标，从而求得点A20的坐标．
【详解】当x=1时，y=x=，即A1B1=，
在Rt△OA1B1中，由勾股定理得OB1=2，
∵OB1=OA2，
∴A2（2，0）
同理可求：A3（4，0）、A4（8，0）、A5（16，0）……
由点：A1（1，0）、A2（2，0）、A3（4，0）、A4（8，0）、A5（16，0）……
即：A1（20，0）、A2（21，0）、A3（22，0）、A4（23，0）、A5（24，0）…
可得A（2n-1，0）
故选：B．
【点睛】考查一次函数图象上的点坐标特征，勾股定理，以及点的坐标的规律性．在找规律时，应特别注意A点的横坐标的指数与A所处的位数容易搞错．
【题型八】求一次函数解析式
【典题】（2022秋·江苏盐城·八年级校考期末）一次函数的图象经过点和两点．
(1)求出该一次函数的表达式；
(2)若直线AB与x轴交于点C，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）先求出点C的坐标，再根据三角形的面积公式求解．
【详解】（1）设一次函数解析式为，
∵图象经过，两点，
∴    
解得：，    
∴一次函数解析式为；
（2）当时，，
∴，
∴    
∴，
答：的面积为5．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，以及三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．
巩固练习
1（êê）（2022秋·江西吉安·八年级统考期末）如图，直线：分别与x，y轴交于、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且．

(1)求点B的坐标；
(2)求直线的解析式；
(3)直线：交于E，交于点F，交x轴于点D，是否存在这样的直线，使得？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）代入直线解析式可得，即可求解；
（2）设的解析式是，根据点B坐标求出点C的坐标，把点C和B的坐标代入解析式，即可求解；
（3）过E、F分别作轴，轴，则 ，由题目条件证明，进而得到，联立直线解析式和求出E、F的纵坐标，再利用等底等高的三角形面积相等即可求出k的值．
【详解】（1）将点代入直线解析式可得：
，
解得：，
直线 解析式为，
直线与y轴交于B点，则B点横坐标为，
，
B点坐标为：．
（2），且，
，
点C的坐标为，
设的解析式是，将点和代入解析式，
得，
解得：，  
直线的解析式是：．
（3）过E、F分别作轴，轴，则，
，
，
又，
，
，
联立得，  
解得：，
联立，
解得：，
，，
，
，
  当时，存在直线：，使得．

【点睛】本题考查了一次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，两直线交点及三角形的面积，综合考查的知识点较多，注意基本知识的掌握，将所学融会贯通，难度一般．
2．（êêê）（2022秋·云南文山·八年级统考期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是的中点．

(1)求直线的解析式；
(2)在x轴上找一点D，使得，求点D的坐标；
(3)在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 或
(3)存在；或
【分析】（1）求出C点坐标，代入解析式可求解；
（2）先根据题意，求出，设点D，再根据即可求解；
（3）假设存在，设点P的坐标为，分两种情况讨论，①，②，由直角三角形的性质可求解．
【详解】（1）直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
则有：时，；时，；
A，B，
，
点C是的中点，
，
C，
设直线的解析式为：，代入A，C可得：
，解得：，
直线的解析式为：；
（2）A，C，
，，
，
设点D，则，
，
解得：或，
点D的坐标为或；
（3）假设存在，设点P的坐标为，
A，B，C，
，，，
因为确定，所以是直角三角形需分2种情况分析：
①，此时点P与原点O重合，坐标为；
②，，即，
解得：，
此时点P的坐标为，
综上所述，满足条件的P点的坐标为或．
【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，直角三角形性质，勾股定理等，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
3．（ê）（2022秋·山西运城·八年级统考期中）小红不仅懂事还很勤劳，经常主动做家务，父母决定奖励一定的零花钱来肯定她的辛勤与付出，零花钱的多少与她的家务劳动时间相联系，即小红所得钱=每月的基本零花钱+家务劳动所获奖励金，若设小红每月的家务劳动时间为x小时，该月所得的总钱数为y元，则y（元）与x（小时）之间的函数关系如图所示：

(1)根据图象，请直接写出小红每月的基本零花钱为多少元？
(2)结合图象，分析父母是如何奖励小红做家务劳动的．
【答案】(1)75元
(2)如果小红每月家务劳动时间不超过10小时，每小时获奖励2.5元；如果小红每月家务劳动时间超过10小时，那么10小时按每小时2.5元奖励，超过部分按每小时4元奖励．
【分析】（1）根据函数图象与轴的交点即可求得基本生活费；
（2）根据函数图像是分段的，分别求出每段的函数解析式，即可描述出父母是如何奖励小红做家务劳动的．
【详解】（1）解：由图象可知，当时，，即小红每月的基本零花钱为75元；
（2）当，设直线的解析式为，把代入得，，
解得，
∴当，直线的解析式为，
当，设直线的解析式为，把代入得，，
解得，
∴当，直线的解析式为，
综上可知，如果小红每月家务劳动时间不超过10小时，每小时获奖励2.5元；如果小红每月家务劳动时间超过10小时，那么10小时按每小时2.5元奖励，超过部分按每小时4元奖励．
【点睛】此题考查了从函数图象获取信息，待定系数法求一次函数解析式，理解题意，求得分段函数的解析式是解题的关键．
4．（êêê）（2022秋·山东济南·八年级统考期末）如图一次函数的图象经过点，并与直线相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为3．

(1)求一次函数的表达式；
(2)点Q为直线上一动点，当点Q运动到何位置时，的面积等于？请求出点Q的坐标；
(3)在y轴上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，或或或
【分析】（1）先求出点B的坐标，再将点、的坐标代入，利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）设点，根据的面积，求解即可；
（3）设点，分别表示出，，，分别讨论当时，当时，当时，建立方程，求解即可．
【详解】（1）∵一次函数与相交于点B，其中点B的横坐标为3，
∴，
则点，
将点、的坐标代入一次函数表达式中，得，
解得：，，
所以一次函数的表达式为；
（2）设点，则的面积，
解得：或1.5，
故点或；
（3）设点，而点A、B的坐标分别为：，
则，，，
当时，，解得：或；
当时，同理可得：（舍去）或2；
当时，同理可得：；
综上点P的坐标为：或或或．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，等腰三角形的判定，待定系数法求函数解析式，勾股定理，一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握知识点是解题的关键．