人教版九年级上册24.2.1 点和圆的位置关系导学案及答案

24.2 点和圆、直线和圆的位置关系

24.2.1 点和圆的位置关系

教学目标：

1、理解点和圆的位置关系，掌握点到圆心和距离与半径之间的关系。

2、了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法。

3、点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系

教学重难点：切线的证明、外心的应用

知识点一：点和圆的位置关系

（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
    ①点P在圆外⇔d＞r
    ②点P在圆上⇔d=r
    ①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．

例题．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，已点C为圆心作⊙C，半径为r．

（1）当r取什么值时，点A、B在⊙C外？

（2）当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．

【分析】（1）若点A、B在⊙C外，则AC＞r即可；

（2）点A在⊙C内，点B在⊙C外，则AC＜r＜BC即可．

【解答】解：（1）若点A、B在⊙C外，则AC＞r，

∵AC=3，

∴r＜3，

（2）如点A在⊙C内，点B在⊙C外，则AC＜r＜BC，

∵AC=3，BC=4，

∴3＜r＜4．

【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．

变式1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，AB=13，AC=5，以点C为圆心，为半径的圆和点A，B，D的位置关系是怎样的？

【分析】先利用勾股定理计算出BC=12，再利用面积法计算出CD，然后根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．

【解答】解：在Rt△ACB中，∵AB=13，AC=5，

∴BC==12，

∵•CD•AB=BC•AC，

∴CD==，

∵BC＞CD，AC＞CD，

∴A点和B点在以点C为圆心，为半径的圆外，D点在以点C为圆心，为半径的圆上．

【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．

变式2．在△ABC中，∠BCA=90°，∠B=30°，AB=5cm，CD为斜边AB的中线，以点D为圆心，DC长为半径画⊙D，试说明点A、B、C与⊙D的位置关系．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半判断DA、DB与DC的数量关系，根据点与圆的位置关系的判断方法进行判断即可．

【解答】解：∵∠BCA=90°，CD为斜边AB的中线，

∴DA=DB=DC，

∴点A、B、C都在以点D为圆心，DC长为半径画⊙D上．

【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．

知识点二：圆的确定

不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．

例题．下列说法中正确的是（　　）

A．不在同一条直线上的三个点确定一个圆

B．相等的圆心角所对的弧相等

C．平分弦的直径垂直于弦

D．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等

【分析】根据确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理判断即可．

【解答】解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，A正确；

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B错误；

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，C错误；

在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，D错误，

故选：A．

【点评】本题考查的是命题的真假判断，掌握确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理是解题的关键．

变式1．平面上有4个点，它们不在一条直线上，但有3个点在同一条直线上．过其中3个点作圆，可以作的圆的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据不在同一直线上的三点确定一个圆画出图形可得答案．

【解答】解：如图所示：

故选：C．

【点评】此题主要考查了确定圆的条件，关键是掌握不在同一直线上的三点确定一个圆．

变式2．平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为（　　）

A．1个或3个 B．3个或4个

C．1个或3个或4个 D．1个或2个或3个或4个

【分析】不在同一条直线上的三个点确定一个圆．由于点的位置不同，导致确定的圆的个数不同，所以本题分三种不同情况考虑．

【解答】解：（1）当四个点中有三个点在同一直线上，另外一个点不在这条直线上时，确定3个圆；

（2）当四个点中任意三个点都不在同一条直线上，并且四点不共圆时，则任意三点都能确定一个圆，一共确定4个圆；

（3）当四个点共圆时，只能确定一个圆．

故选：C．

【点评】本题考查的是圆的确定，由于点的位置不确定，因此用分类讨论的思想方法进行解答．

变式3．如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=21，BC=20．若有一半径为10的圆分别与AB、BC相切，则下列何种方法可找到此圆的圆心（　　）

A．∠B的角平分线与AC的交点

B．AB的中垂线与BC中垂线的交点

C．∠B的角平分线与AB中垂线的交点

D．∠B的角平分线与BC中垂线的交点

【分析】因为圆分别与AB、BC相切，所以圆心到AB、CB的距离一定相等，都等于半径．而到角的两边距离相等的点在角的平分线上，圆的半径为10，所以圆心到AB的距离为10．因为BC=20，所以BC的中垂线上的点到AB的距离为10，所以∠B的角平分线与BC的中垂线的交点即为圆心．

【解答】解：∵圆分别与AB、BC相切，

∴圆心到AB、CB的距离都等于半径，

∵到角的两边距离相等的点在角的平分线上，

∴圆心定在∠B的角平分线上，

∵因为圆的半径为10，

∴圆心到AB的距离为10，

∵BC=20，

又∵∠B=90°，

∴BC的中垂线上的点到AB的距离为10，

∴∠B的角平分线与BC的中垂线的交点即为圆心．

故选：D．

【点评】本题考查的是圆的确定，运用角平分线的判定和平行线的性质来解题，题目难度中等．

知识点三：三角形的外接圆

（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．

例题．△ABC的三边长分别为6、8、10，则其外接圆的半径是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．10

【分析】先利用勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，利用斜边为外接圆的直径计算△ABC的外接圆的半径．

【解答】解：∵62+82=102，

∴△ABC为直角三角形，

∴△ABC的外接圆的半径==5．

故选：C．

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆；三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．

变式1．九个相同的等边三角形如图所示，已知点O是一个三角形的外心，则这个三角形是（　　）

A．△ABC B．△ABE C．△ABD D．△ACE

【分析】根据三角形的外心和等边三角形的性质解答即可．

【解答】解：∵钝角三角形的外心在三角形的外部，

∴点O是△ABD的外心，

故选：C．

【点评】本题考查的是三角形的外心，即三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心，锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．

变式2．如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都在格点上．

（1）在图上标出△ABC的外接圆的圆心O．

（2）△ABC的外接圆的面积是　10π　．

【分析】（1）根据三角形外心的确定方法得出O点位置即可；

（2）利用勾股定理得出AO的长，再利用圆的面积公式得出即可．

【解答】 解：（1）在图上标出 的外接圆的圆心O；

（2）∵AO==，

∴外接圆的面积是10π．

故答案为：10π．

【点评】此题主要考查了三角形外心的作法以及圆的面积公式等知识，根据已知得出O点位置是解题关键．

拓展点一：点和圆的位置关系的应用

例题．已知⊙O是以坐标原点O为圆心，5为半径的圆，点M的坐标为（﹣3，4），则点M与⊙O的位置关系为（　　）

A．M在⊙O上 B．M在⊙O内 C．M在⊙O外 D．M在⊙O右上方

【分析】根据勾股定理，可得OM的长，根据点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．

【解答】解：OM==5，

OM=r=5．

故选：A．

【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．

变式1．一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为8cm，则该圆的半径是（　　）

A．5cm或11cm B．2.5cm C．5.5cm D．2.5cm或5.5cm

【分析】点P应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论．当点P在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点P在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得解．

【解答】解：当点P在圆内时，最近点的距离为3cm，最远点的距离为8cm，则直径是11cm，因而半径是5.5cm；

当点P在圆外时，最近点的距离为3cm，最远点的距离为8m，则直径是5cm，因而半径是2.5cm．

故选：D．

【点评】本题考查了点与圆的位置关系，注意分两种情况进行讨论是解决本题的关键．

变式2．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（　　）

A．6 B．2+1 C．9 D．

【分析】如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，求出OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，

P2Q2最大值=5+3=8，由此不难解决问题．

【解答】解：如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，

此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，

∵AB=10，AC=8，BC=6，

∴AB2=AC2+BC2，

∴∠C=90°，

∵∠OP1B=90°，

∴OP1∥AC

∵AO=OB，

∴P1C=P1B，

∴OP1=AC=4，

∴P1Q1最小值为OP1﹣OQ1=1，

如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，

P2Q2最大值=5+3=8，

∴PQ长的最大值与最小值的和是9．

故选：C．

【点评】本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点PQ取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型．

拓展点二：与三角形外接圆有关的计算问题

例题．如图，⊙O的半径为6，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC与∠BOC互补，则线段BC的长为（　　）

A． B．3 C． D．6

【分析】作弦心距OD，先根据已知求出∠BOC=120°，由等腰三角形三线合一的性质得：∠DOC=∠BOC=60°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半可求得OD的长，根据勾股定理得DC的长，最后利用垂径定理得出结论．

【解答】解：∵∠BAC与∠BOC互补，

∴∠BAC+∠BOC=180°，

∵∠BAC=∠BOC，

∴∠BOC=120°，

过O作OD⊥BC，垂足为D，

∴BD=CD，

∵OB=OC，

∴OD平分∠BOC，

∴∠DOC=∠BOC=60°，

∴∠OCD=90°﹣60°=30°，

在Rt△DOC中，OC=6，

∴OD=3，

∴DC=3，

∴BC=2DC=6，

故选：C．

【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、锐角三角函数、垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，还在直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

变式1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，∠C=60°，如果⊙O的半径为2，则结论错误的是（　　）

A．AD=DB B． C．OD=1 D．AB=

【分析】连接OA，OB，根据由垂径定理和圆周角定理知，OD是AB的中垂线，有AD=BD，∠AOD=∠BOD=∠C=60°．利用三角函数可求得AD=AOsin60°=，OD=OAsin∠AOD=OAsin60°=1，AB=2，从而判断出D是错误的．

【解答】解：连接OA，OB．

∵OD⊥AB，

∴由垂径定理和圆周角定理知，OD是AB的中垂线，有AD=BD，∠AOD=∠BOD=∠C=60°．

∴AD=AOsin60°=，OD=OAsin∠AOD=OAsin60°=1．

∴AB=2．

∴A，B，C均正确，D错误．

故选：D．

【点评】本题利用了垂径定理和圆周角定理，直角三角形的性质，锐角三角函数的概念求解．

变式2．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，=，点D在边BC上，AE∥BC，AE=BD．

（1）求证：AD=CE；

（2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG=AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．

【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等，得出∠B=∠ACB，再根据全等三角形的判定得△ABD≌△CAE，即可得出AD=CE；

（2）连接AO并延长，交边BC于点H，由等腰三角形的性质和外心的性质得出AH⊥BC，再由垂径定理得BH=CH，得出CG与AE平行且相等．

【解答】证明：（1）在⊙O中，

∵=，

∴AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∵AE∥BC，

∴∠EAC=∠ACB，

∴∠B=∠EAC，

在△ABD和△CAE中，，

∴△ABD≌△CAE（SAS），

∴AD=CE；

（2）连接AO并延长，交边BC于点H，

∵=，OA为半径，

∴AH⊥BC，

∴BH=CH，

∵AD=AG，

∴DH=HG，

∴BH﹣DH=CH﹣GH，即BD=CG，

∵BD=AE，

∴CG=AE，

∵CG∥AE，

∴四边形AGCE是平行四边形．

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心以及全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，圆心角、弧、弦之间的关系，把这几个知识点综合运用是解题的关键．