中考数学专题21 圆（学案含解析）

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中考数学一轮复习学案
21 圆

中考命题说明



考点
课标要求
考查角度
1
圆心角、圆周角
①理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系；②了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征．
常以选择题、填空题、解答题的形式考查圆心角、圆周角定理的简单运用．
2
圆的对称性
探索圆的性质，理解并会运用垂径定理及其推论．
常以选择题、填空题、解答题的形式考查垂径定理及其推论的综合运用．
3
点与圆、直线与圆的位置关系
①探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系；②了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；③了解三角形的内心和外心．
常以选择题、填空题、解答题的形式考查直线与圆的位置关系、圆的切线的性质、判定以及三角形的内心和外心．
4
圆与圆的位置关系
探索并了解圆与圆的位置关系．
常以选择题、填空题的形式考查圆与圆的位置关系．
5
弧长和扇形的面积
会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积．
常以选择题、填空题的形式考查弧长、扇形的面积和圆锥的侧面积、全面积．

知识点1：与圆有关的概念


知识点梳理

1. 圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．

2. 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．（如下图中的AB）．

3. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
4. 直径：经过圆心的弦叫做直径（如上图中的CD）．直径等于半径的2倍．
5. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
6. 弧、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB” ．
大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）．
7. 等弧：在 同圆 或 等圆 中，能够互相重合的弧叫做等弧．
8. 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．
9. 垂径定理及其推论：
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．
10. 圆的对称性：
（1）圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴．
（2）圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．
典型例题

【例1】（2022•荆门）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为（ ）

A． B． C． D．
【考点】勾股定理；垂径定理
【分析】根据AB＝12，BE＝3，求出OE＝3，OC＝6，并利用勾股定理求出EC，根据垂径定理求出CD，即可求出四边形的面积．
【解答】解：如图，连接OC，

∵AB＝12，BE＝3，
∴OB＝OC＝6，OE＝3，
∵AB⊥CD，
在Rt△COE中，，
∴，
∴四边形ACBD的面积．
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理，解题的关键是熟练运用定理．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
【例2】（2022•青海）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4 m，CD＝6 m，则⊙O的半径长为 m．

【考点】勾股定理；垂径定理
【分析】连接OA，如图，设⊙O的半径为r m，根据垂径定理的推论得到CD⊥AB，在Rt△AOC中利用勾股定理得到22＋(6－r)2＝r2，然后解方程即可．
【解答】解：连接OA，如图，设⊙O的半径为r m，

∵C是⊙O中弦AB的中点，CD过圆心，
∴CD⊥AB，，
在Rt△AOC中，∵OA＝r m，OC＝(6－r) m，
∴22＋(6－r)2＝r2，
解得，
即⊙O的半径长为．
故答案为：．
【点评】本题考查了垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
【例3】（3分）（2021•青海6/25）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（　　）

A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．1.2厘米/分 D．1.4厘米/分
【考点】垂径定理的应用．
【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB于D，由垂径定理求出AD的长，再由勾股定理求出OD的长，然后计算出太阳在海平线以下部分的高度，即可求解．
【解答】解：设“图上”圆的圆心为O，连接OA，过点O作OD⊥AB于D，如图所示：

∵AB＝16厘米，
∴AD＝AB＝8（厘米），
∵OA＝10厘米，
∴OD（厘米），
∴海平线以下部分的高度＝OA+OD＝10+6＝16（厘米），
∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟，
∴“图上”太阳升起的速度＝16÷16＝1.0（厘米/秒），
故选：A．
【点评】本题考查的是垂径定理的运用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
知识点2： 与圆有关的角


1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
2. 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
3. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
4. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
典型例题

【例4】（3分）（2021•广东7/25）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC=3，∠ABC的平分线交AC于点D，CD=1，则⊙O的直径为（ ）

A． B． C．1 D．2
【考点】圆周角定理
【分析】如图，过点D作DT⊥AB于T．证明DT=DC=1，推出AD=2DT，推出∠A =30°，可得结论．
【解答】解：如图，过点D作DT⊥AB于T．

∵AB是直径，
∴∠ACB =90°，
∴DC⊥BC，
∵DB平分∠CBA，DC⊥BC，DT⊥AB，
∴DT=DC=1，
∵AC=3，
∴AD=AC-CD =2，
∴AD=2DT，
∴∠A =30°，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，角平分线的性质定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题．
【例5】（4分）（2021•重庆A卷5/26）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝80°，则∠C的度数是（　　）

A．80° B．100° C．110° D．120°
【考点】圆内接四边形的性质．
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C＝180°，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝80°，
∴∠C＝100°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，注意：圆内接四边形的对角互补．
【例6】（10分）（2021•安徽20/23）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD．

【考点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理．
【分析】（1）连接OD，由垂径定理推论可得∠OMD＝90°，在Rt△OMD中用勾股定理即可得半径；
（2）连接AC，延长AF交BD于G，由已知可证△ACF是等腰三角形，∠FAE＝∠CAE，又弧BC＝弧BC，有∠CAE＝∠CDB，故∠FAE＝∠CDB，即可由∠CDB+∠B＝90°，得∠AGB＝90°，从而得证AF⊥BD．
【解答】解：（1）连接OD，如图：

∵M是CD的中点，CD＝12，
∴DM＝CD＝6，OM⊥CD，∠OMD＝90°，
Rt△OMD中，，且OM＝3，
∴，即圆O的半径长为；
（2）连接AC，延长AF交BD于G，如图：

∵AB⊥CD，CE＝EF，
∴AB是CF的垂直平分线，
∴AF＝AC，即△ACF是等腰三角形，
∵CE＝EF，
∴∠FAE＝∠CAE，
∵，
∴∠CAE＝∠CDB，
∴∠FAE＝∠CDB，
Rt△BDE中，∠CDB+∠B＝90°，
∴∠FAE+∠B＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴AG⊥BD，即AF⊥BD．
【点评】本题考查垂径定理及推论，涉及勾股定理、等腰三角形的性质及判定，解题的关键是证明∠FAE＝∠CDB．
【例7】（10分）（2021•上海23/25）如图，在圆O中，弦AB等于弦CD，且相交于点P，其中E、F为AB、CD中点．
（1）证明：OP⊥EF；
（2）联结AF、AC、CE，若AF∥OP，证明：四边形AFEC为矩形．

【考点】圆的综合题
【分析】（1）利用全等三角形的性质证明OE=OF，PE=PF，可得结论．
（2）连接AC，设EF交OP于J，想办法证明PE=PF =PA=PC，可得结论．
【解答】（1）证明：连接OP，EF，OE，OF，OB=OD．

∵AE=EB，CF=FD，AB=CD，
∴OE⊥AB，OF⊥CD，BE=DF，
∴∠OEB=∠OFD=90°，
∵OB=OD，
∴Rt△OEB≌Rt△OFB（HL），
∴OE=OF，
∵∠OEP=∠OFD=90°，OP=OP，
∴Rt△OPE≌Rt△OPF（HL），
∴PE=PF，
∵OE=OF，
∴OP⊥EF．
（2）证明：连接AC，设EF交OP于J．

∵AE=EB，CF=FD，AB=CD，
∴AE=CF，BE=DF，
∵PE=PF，
∴PA=PC，
∵PE=PF，OE=OF，
∴OP垂直平分线段EF，
∴EJ=JF，
∵OP∥AF，
∴EP=PA，
∴PC=PF，PA=PE，
∴四边形AFEC是平行四边形，
∵EA=CF，
∴四边形AFEC是矩形．
【点评】本题属于圆综合题，考查了全等三角形的判定和性质，垂径定理，平行线分线段成比例定理，矩形的判定，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
知识点3：与圆有关的位置关系


知识点梳理

1．点与圆的位置关系：
（1）设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r；
②点P在圆内⇔d＜r；
③点P在圆上⇔d＝r．
（2）不在同一直线上的三点确定一个圆．
2．直线与圆的位置关系：
（1）直线和圆有三种位置关系，具体如下：
①相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点．
②相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线．
③相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
（2）如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：
①直线l与⊙O相交⇔dr；
（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（4）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
（5）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
（6）三角形的外心：三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点．
（7）三角形的内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点．
3．圆和圆的位置关系：
（1）圆和圆的位置关系：
①如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种．
②如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种．
③如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交．
（2）圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距．
（3）圆和圆位置关系的性质与判定：设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么
①两圆外离⇔d>R+r
②两圆外切⇔d=R+r
③两圆相交⇔R-r