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中考数学专题21 圆(学案含解析)
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这是一份中考数学专题21 圆(学案含解析),共70页。
中考数学一轮复习学案
21 圆
中考命题说明
考点
课标要求
考查角度
1
圆心角、圆周角
①理解圆及其有关概念,了解弧、弦、圆心角的关系;②了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征.
常以选择题、填空题、解答题的形式考查圆心角、圆周角定理的简单运用.
2
圆的对称性
探索圆的性质,理解并会运用垂径定理及其推论.
常以选择题、填空题、解答题的形式考查垂径定理及其推论的综合运用.
3
点与圆、直线与圆的位置关系
①探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系;②了解切线的概念,探索切线与过切点的半径之间的关系;能判定一条直线是否为圆的切线,会过圆上一点画圆的切线;③了解三角形的内心和外心.
常以选择题、填空题、解答题的形式考查直线与圆的位置关系、圆的切线的性质、判定以及三角形的内心和外心.
4
圆与圆的位置关系
探索并了解圆与圆的位置关系.
常以选择题、填空题的形式考查圆与圆的位置关系.
5
弧长和扇形的面积
会计算弧长及扇形的面积,会计算圆锥的侧面积和全面积.
常以选择题、填空题的形式考查弧长、扇形的面积和圆锥的侧面积、全面积.
知识点1:与圆有关的概念
知识点梳理
1. 圆的定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.
2. 弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦.(如下图中的AB).
3. 弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.
4. 直径:经过圆心的弦叫做直径(如上图中的CD).直径等于半径的2倍.
5. 半圆:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆.
6. 弧、优弧、劣弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.弧用符号“”表示,以A,B为端点的弧记作“”,读作“圆弧AB”或“弧AB” .
大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示);小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示).
7. 等弧:在 同圆 或 等圆 中,能够互相重合的弧叫做等弧.
8. 等圆:能够重合的两个圆叫做等圆.
9. 垂径定理及其推论:
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.
(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.
10. 圆的对称性:
(1)圆的轴对称性:圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.
(2)圆的中心对称性:圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.
典型例题
【例1】(2022•荆门)如图,CD是圆O的弦,直径AB⊥CD,垂足为E,若AB=12,BE=3,则四边形ACBD的面积为( )
A. B. C. D.
【考点】勾股定理;垂径定理
【分析】根据AB=12,BE=3,求出OE=3,OC=6,并利用勾股定理求出EC,根据垂径定理求出CD,即可求出四边形的面积.
【解答】解:如图,连接OC,
∵AB=12,BE=3,
∴OB=OC=6,OE=3,
∵AB⊥CD,
在Rt△COE中,,
∴,
∴四边形ACBD的面积.
故选:A.
【点评】本题考查了垂径定理,解题的关键是熟练运用定理.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
【例2】(2022•青海)如图是一个隧道的横截面,它的形状是以点O为圆心的圆的一部分,如果C是⊙O中弦AB的中点,CD经过圆心O交⊙O于点D,并且AB=4 m,CD=6 m,则⊙O的半径长为 m.
【考点】勾股定理;垂径定理
【分析】连接OA,如图,设⊙O的半径为r m,根据垂径定理的推论得到CD⊥AB,在Rt△AOC中利用勾股定理得到22+(6-r)2=r2,然后解方程即可.
【解答】解:连接OA,如图,设⊙O的半径为r m,
∵C是⊙O中弦AB的中点,CD过圆心,
∴CD⊥AB,,
在Rt△AOC中,∵OA=r m,OC=(6-r) m,
∴22+(6-r)2=r2,
解得,
即⊙O的半径长为.
故答案为:.
【点评】本题考查了垂径定理的推论:平分弦(非直径)的直径垂直于这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
【例3】(3分)(2021•青海6/25)如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面,“图上”太阳与海平线交于A,B两点,他测得“图上”圆的半径为10厘米,AB=16厘米.若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟,则“图上”太阳升起的速度为( )
A.1.0厘米/分 B.0.8厘米/分 C.1.2厘米/分 D.1.4厘米/分
【考点】垂径定理的应用.
【分析】连接OA,过点O作OD⊥AB于D,由垂径定理求出AD的长,再由勾股定理求出OD的长,然后计算出太阳在海平线以下部分的高度,即可求解.
【解答】解:设“图上”圆的圆心为O,连接OA,过点O作OD⊥AB于D,如图所示:
∵AB=16厘米,
∴AD=AB=8(厘米),
∵OA=10厘米,
∴OD(厘米),
∴海平线以下部分的高度=OA+OD=10+6=16(厘米),
∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟,
∴“图上”太阳升起的速度=16÷16=1.0(厘米/秒),
故选:A.
【点评】本题考查的是垂径定理的运用,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
知识点2: 与圆有关的角
1. 圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.
2. 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.
推论:在同圆或等圆中,如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
3. 圆周角:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.
4. 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.
推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.
推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
典型例题
【例4】(3分)(2021•广东7/25)如图,AB是⊙O的直径,点C为圆上一点,AC=3,∠ABC的平分线交AC于点D,CD=1,则⊙O的直径为( )
A. B. C.1 D.2
【考点】圆周角定理
【分析】如图,过点D作DT⊥AB于T.证明DT=DC=1,推出AD=2DT,推出∠A =30°,可得结论.
【解答】解:如图,过点D作DT⊥AB于T.
∵AB是直径,
∴∠ACB =90°,
∴DC⊥BC,
∵DB平分∠CBA,DC⊥BC,DT⊥AB,
∴DT=DC=1,
∵AC=3,
∴AD=AC-CD =2,
∴AD=2DT,
∴∠A =30°,
∴,
故选:B.
【点评】本题考查圆周角定理,角平分线的性质定理,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,利用角平分线的性质定理解决问题.
【例5】(4分)(2021•重庆A卷5/26)如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠A=80°,则∠C的度数是( )
A.80° B.100° C.110° D.120°
【考点】圆内接四边形的性质.
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°,再代入求出答案即可.
【解答】解:∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠A+∠C=180°,
∵∠A=80°,
∴∠C=100°,
故选:B.
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质,注意:圆内接四边形的对角互补.
【例6】(10分)(2021•安徽20/23)如图,圆O中两条互相垂直的弦AB,CD交于点E.
(1)M是CD的中点,OM=3,CD=12,求圆O的半径长;
(2)点F在CD上,且CE=EF,求证:AF⊥BD.
【考点】勾股定理;垂径定理;圆周角定理.
【分析】(1)连接OD,由垂径定理推论可得∠OMD=90°,在Rt△OMD中用勾股定理即可得半径;
(2)连接AC,延长AF交BD于G,由已知可证△ACF是等腰三角形,∠FAE=∠CAE,又弧BC=弧BC,有∠CAE=∠CDB,故∠FAE=∠CDB,即可由∠CDB+∠B=90°,得∠AGB=90°,从而得证AF⊥BD.
【解答】解:(1)连接OD,如图:
∵M是CD的中点,CD=12,
∴DM=CD=6,OM⊥CD,∠OMD=90°,
Rt△OMD中,,且OM=3,
∴,即圆O的半径长为;
(2)连接AC,延长AF交BD于G,如图:
∵AB⊥CD,CE=EF,
∴AB是CF的垂直平分线,
∴AF=AC,即△ACF是等腰三角形,
∵CE=EF,
∴∠FAE=∠CAE,
∵,
∴∠CAE=∠CDB,
∴∠FAE=∠CDB,
Rt△BDE中,∠CDB+∠B=90°,
∴∠FAE+∠B=90°,
∴∠AGB=90°,
∴AG⊥BD,即AF⊥BD.
【点评】本题考查垂径定理及推论,涉及勾股定理、等腰三角形的性质及判定,解题的关键是证明∠FAE=∠CDB.
【例7】(10分)(2021•上海23/25)如图,在圆O中,弦AB等于弦CD,且相交于点P,其中E、F为AB、CD中点.
(1)证明:OP⊥EF;
(2)联结AF、AC、CE,若AF∥OP,证明:四边形AFEC为矩形.
【考点】圆的综合题
【分析】(1)利用全等三角形的性质证明OE=OF,PE=PF,可得结论.
(2)连接AC,设EF交OP于J,想办法证明PE=PF =PA=PC,可得结论.
【解答】(1)证明:连接OP,EF,OE,OF,OB=OD.
∵AE=EB,CF=FD,AB=CD,
∴OE⊥AB,OF⊥CD,BE=DF,
∴∠OEB=∠OFD=90°,
∵OB=OD,
∴Rt△OEB≌Rt△OFB(HL),
∴OE=OF,
∵∠OEP=∠OFD=90°,OP=OP,
∴Rt△OPE≌Rt△OPF(HL),
∴PE=PF,
∵OE=OF,
∴OP⊥EF.
(2)证明:连接AC,设EF交OP于J.
∵AE=EB,CF=FD,AB=CD,
∴AE=CF,BE=DF,
∵PE=PF,
∴PA=PC,
∵PE=PF,OE=OF,
∴OP垂直平分线段EF,
∴EJ=JF,
∵OP∥AF,
∴EP=PA,
∴PC=PF,PA=PE,
∴四边形AFEC是平行四边形,
∵EA=CF,
∴四边形AFEC是矩形.
【点评】本题属于圆综合题,考查了全等三角形的判定和性质,垂径定理,平行线分线段成比例定理,矩形的判定,平行四边形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.
知识点3:与圆有关的位置关系
知识点梳理
1.点与圆的位置关系:
(1)设⊙O的半径为r,点P到圆心O的距离为d,则有:
①点P在圆外⇔d>r;
②点P在圆内⇔d<r;
③点P在圆上⇔d=r.
(2)不在同一直线上的三点确定一个圆.
2.直线与圆的位置关系:
(1)直线和圆有三种位置关系,具体如下:
①相交:直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点.
②相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线.
③相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.
(2)如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么:
①直线l与⊙O相交⇔dr;
(3)切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
(4)切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.
(5)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
(6)三角形的外心:三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点.
(7)三角形的内心:三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点.
3.圆和圆的位置关系:
(1)圆和圆的位置关系:
①如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,相离分为外离和内含两种.
②如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,相切分为外切和内切两种.
③如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交.
(2)圆心距:两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距.
(3)圆和圆位置关系的性质与判定:设两圆的半径分别为R和r,圆心距为d,那么
①两圆外离⇔d>R+r
②两圆外切⇔d=R+r
③两圆相交⇔R-r
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