中考数学专题23 锐角三角函数（学案含解析）

这是一份中考数学专题23 锐角三角函数（学案含解析），共67页。

中考数学一轮复习学案
23 锐角三角函数

中考命题说明



考点
课标要求
考查角度
1
锐角三角函数
通过实例认识锐角三角函数，知道30°，45°，60°角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角．
常以选择题、填空题的形式考查锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值的计算等．
2
解直角三角形
①会利用锐角三角函数解直角三角形；
②能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题．
常以选择题、填空题、解答题的形式考查运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题，以应用题为主．

知识点1： 锐角三角函数


知识点梳理

1. 锐角三角函数的定义：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b

正弦：．
余弦：．
余切：．
2. 几个重要公式：
设α是一个锐角，则sinα＝cos(90°－α)，cosα＝sin(90°－α)，sin2α＋cos2α＝1．
3. 特殊角的三角函数值：
α
sinα
cosα
tanα
30°



45°


1
60°



4. 锐角三角函数值的变化规律：
①当0°＜α＜90°时，sinα（tanα）随着角度的增大（减小）而 增大（减小） ．
②当0°＜α＜90°时，cosα随着角度的增大（减小）而 减小（增大） ．
典型例题

【例1】（2022•扬州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sin A的值为 ．
【考点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【分析】根据勾股定理和锐角三角函数的定义解答即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，
∴c2＝a2＋b2，
∵b2＝ac，
∴c2＝a2＋ac，
等式两边同时除以ac得：
，
令，则有，
∴x2＋x－1＝0，
解得：，（舍去），
当时，x≠0，
∴是原分式方程的解，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了锐角三角函数，熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
【例2】（2022•滨州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sin A的值为 ．
【考点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数关系，即可得出答案．
【解答】解：如图所示：

∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了锐角三角三角函数关系以及勾股定理，得出AB的长是解题关键．
【例3】（3分）（2021•天津2/25）tan30°的值等于（ ）
A． B． C．1 D．2
【考点】特殊角的三角函数值
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【解答】解：．
故选：A．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．
【例4】（5分）（2021•北京17/28）计算：2sin60°+|-5|﹣．
【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】直接利用零指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值，分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值等知识，正确化简各数是解题关键．
【例5】（6分）（2021•云南15/23）计算：．
【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值；零指数幂
【分析】先分别计算乘方，特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，然后在按照有理数的混合运算顺序和法则进行计算．
【解答】解：原式．
【点评】本题考查有理数的混合运算，特殊角三角函数值，零指数幂及负整数指数幂，掌握运算顺序准确计算是解题关键．
知识点2： 解直角三角形


知识点梳理

1. 解直角三角形：在直角三角形中，由 已知元素 求 未知元素 的过程，叫做解直角三角形．
2. 解直角三角形的常用关系：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b，则：

（1）三边关系：a2＋b2＝c2．
（2）两锐角关系：∠A＋∠B＝90°．
（3）边与角关系：，，．
（4）sin2A＋cos2A＝1．
3. 解直角三角形的应用常用知识：
（1）仰角和俯角：
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
（2）坡度和坡角
坡度（坡比）：坡面的 铅直高度h 与 水平宽度l 的比，叫做坡度或坡比，一般用i表示．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i＝tanα．
坡度越大，α角越大，坡面 越陡 ．
（3）方向角（或方位角）
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．

典型例题

【例6】（4分）（2021•云南4/23）在△ABC中，∠ABC=90°．若AC =100，，则AB的长是（ ）
A． B． C．60 D．80
【考点】解直角三角形
【分析】利用三角函数定义计算出BC的长，然后再利用勾股定理计算出AB长即可．
【解答】解：∵AC =100，，
∴BC =60，
∴，
故选：D．

【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握正弦定义．
【例7】（6分）（2021•北京22/28）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，cosB，求BF和AD的长．

【考点】角平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；解直角三角形．
【分析】（1）证AD∥CE，再由AE∥DC，即可得出结论；
（2）先由锐角三角函数定义求出BF＝4，再由勾股定理求出EF＝3，然后由角平分线的性质得EC＝EF＝3，最后由平行四边形的性质求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°，
∴AD∥CE，
∵AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：∵EF⊥AB，
∴∠BFE＝90°，
∵cosB，
∴BF，
∴EF，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACE＝90°，
∴EC＝EF＝3，
由（1）得：四边形AECD是平行四边形，
∴AD＝EC＝3．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、锐角三角函数定义、角平分线的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握锐角三角函数定义，证明四边形AECD为平行四边形是解题的关键．
【例8】（8分）（2021•西藏25/27）如图，为了测量某建筑物CD的高度，在地面上取A，B两点，使A、B、D三点在同一条直线上，拉姆同学在点A处测得该建筑物顶部C的仰角为30°，小明同学在点B处测得该建筑物顶部C的仰角为45°，且AB=10 m．求建筑物CD的高度．
（拉姆和小明同学的身高忽略不计．结果精确到0.1 m，）

【考点】解直角三角形的应用—仰角俯角问题
【分析】连接AC、BC，由锐角三角函数定义求出BD=CD，，再由AB=AD- BD，即可求解．
【解答】解：连接AC、BC，如图所示：

由题意得：∠A=30°，∠DBC=45°，AB=10 m，
在Rt△BDC中，，
∴BD=CD，
在Rt△ACD中，，
∴，
∴（m），
解得：（m），
答：建筑物CD的高度约为13.7 m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义，求出BD=CD ，是解答本题的关键．
【例9】（3分）（2021•山西14/23）太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通，如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i=5：12 （为铅直高度与水平宽度的比）．王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为 米．

【考点】解直角三角形的应用—坡度坡角问题
【分析】由坡度的定义，可设BC=5a米，则AC=12a米，再由勾股定理得出方程，解方程即可求解．
【解答】解：由题意得：∠ACB=90°，AB=0.5×40=20（米），
∵扶梯AB的坡度，
∴设BC=5a米，则AC=12a米，
由勾股定理得：(5a)2+(12a)2=202，
解得：（负值已舍去），
∴（米），
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题以及勾股定理等知识；熟练掌握坡度的定义和勾股定理是解题的关键．
【例10】（10分）（2021•天津22/25）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长（结果取整数）参考数据：tan40°≈0.84，取1.73．

【考点】解直角三角形的应用—方向角问题
【分析】通过作垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数的意义列方程求解即可．
【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC，垂足为H，

由题意得，∠BAC=60°，∠BCA=40°，AC=257，
在Rt△ABH中，
∵，，
∴，，
在Rt△BCH中，
∵，
∴，
又∵CA=CH+AH，
∴，
所以，
∴（海里），
答：AB的长约为168海里．
【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
【例11】（10分）（2021•青海24/25）如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度AD＝2米，且两扇门的大小相同（即AB＝CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转35°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，≈1.4）

【考点】生活中的旋转现象；解直角三角形的应用．
【分析】作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE＝CM，则EM＝BC，在Rt△ABE、Rt△CDF中可求出AE、BE、DF、FC的长度，进而可得出EF的长度，再在Rt△MEF中利用勾股定理即可求出EM的长，此题得解．
【解答】解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE＝CM，

∵AB＝CE，AB+CD＝AD＝2，
∴AB＝CD＝1，
在Rt△ABE中，∠A＝35°，AB＝1，
∴BE＝AB•sin∠A＝1×sin35°≈0.6，
∴AE＝AB•cos∠A＝1×cos35°≈0.8，
在Rt△CDF中，∠D＝45°，CD＝1，
∴CF＝CD•sin∠D＝1×sin45°≈0.7，
∴DF＝CD•cos∠D＝1×cos45°≈0.7，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴BE∥CM，
又∵BE＝EM，
∴四边形BEMC是平行四边形，
∴BC＝EM，
在Rt△MEF中，FM＝CF+CM＝1.3，EF＝AD﹣AE﹣FD＝0.5，
∴≈1.4．
答：B与C之间的距离约为1.4米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，构造直角三角形，利用勾股定理求出BC的长度是解题的关键．
【例12】（8分）（2021•江西20/23）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA＝8.5cm．
（1）求∠ABC的度数；
（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3~5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，≈1.414）

【考点】解直角三角形的应用．
【分析】（1）过点B作BH⊥MP，垂足为H，根据解直角三角形，即可计算出∠BMH的度数，再根据平行线的性质即可算出∠ABC的度数；
（2）根据（1）中的结论和已知条件可计算出∠NMI的度数，根据三角函数即可算出MI的长度，再根据已知条件即可算出PK的长度，即可得出答案．
【解答】解：（1）过点B作BH⊥MP，垂足为H，过点M作MI⊥FG，垂足为I，过点P作PK⊥DE，垂足为K，

∵MP＝25.3cm，BA＝HP＝8.5cm，
∴MH＝MP﹣HP＝25.3﹣8.5＝16.8(cm)，
在Rt△BMH中，
，
∴∠BMH＝66.4°，
∵AB∥MP，
∴∠BMH+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣66.4°＝113.6°；
（2）∴∠ABC＝180°﹣∠BMH＝180°﹣66.4°＝113.6°．
∵∠BMN＝68.6°，∠BMH＝66.4°，
∴∠NMI＝180°﹣∠BMN﹣∠BMH＝180°﹣68.6°﹣66.4°＝45°，
∵MN＝28cm，
∴，
∴MI≈19.74cm，
∵KI＝50cm，
∴PK＝KI﹣MI﹣MP＝50﹣19.74﹣25.3＝4.96≈5.0(cm），
∴此时枪身端点A与小红额头的距离是在规定范围内．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键．
巩固训练

1.（6分）（2021•呼伦贝尔•兴安盟18/26）计算：．
2.（5分）（2021•通辽18/26）计算：．
3.（3分）（2021•西藏14/27）计算：　3　．
4.（5分）（2021•新疆15/23）如图，已知正方形边长为1，为边上一点，以点为中心，将△DAE按逆时针方向旋转得△DCF，连接，分别交，于点，．若，则　　．

5.（10分）（2021•上海21/25）如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC =8，CD =4，， BF为AD边上的中线．
（1）求AC的长；
（2）求tan∠FBD的值．

6.（6分）（2021•广东20/25）如图，在Rt△ABC中，，作的垂直平分线交于点，延长至点，使．
（1）若，求△ABD的周长；
（2）若，求的值．

7.（12分）（2021•河北26/26）在一平面内，线段AB＝20，线段BC＝CD＝DA＝10，将这四条线段顺次首尾相接．把AB固定，让AD绕点A从AB开始逆时针旋转角α（α＞0°）到某一位置时，BC，CD将会跟随出现到相应的位置．
论证：如图1，当AD∥BC时，设AB与CD交于点O，求证：AO＝10；
发现：当旋转角α＝60°时，∠ADC的度数可能是多少？
尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，求点M到AB的距离；
拓展：①如图2，设点D与B的距离为d，若∠BCD的平分线所在直线交AB于点P，直接写出BP的长（用含d的式子表示）；
②当点C在AB下方，且AD与CD垂直时，直接写出a的余弦值．

8.（3分）（2021•呼和浩特8/24）如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径，根据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计的值，下面及的值都正确的是（ ）

A．，
B．，
C．，
D．，
9.（3分）（2021•包头12/26）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的正半轴上，边在轴的正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图象与交于点，与对角线交于点，与交于点，连接，，，．下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的结论有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10.（3分）（2021•鄂尔多斯10/24）如图①，在矩形中，为边上的一点，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是，若点、同时开始运动，设运动时间为，△AMN的面积为，已知与之间函数图象如图②所示，则下列结论正确的是（ ）

①当时，△AMN是等边三角形．
②在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点一共有3个．
③当时，．
④当时，△ADH∽△ABM．
⑤当时，．
A．①③④ B．①③⑤ C．①②④ D．③④⑤
11.（3分）（2021•赤峰16/26）某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头测一段水平雪道一端处的俯角为，另一端处的俯角为，若无人机镜头处的高度为238米，点，，在同一直线上，则雪道的长度为 　538　米．（结果保留整数，参考数据，，

12.（12分）（2021•赤峰24/26）如图，在菱形中，对角线、相交于点，⊙O经过点，，交对角线于点，且，连接交于点．
（1）试判断与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求⊙O的半径．

13.（7分）（2021•呼伦贝尔•兴安盟22/26）如图，在山坡的坡脚处竖有一根电线杆（即，为固定电线杆，在地面处和坡面处各装一根引拉线和，它们的长度相等，测得米，，，求点到的距离．

14.（8分）（2021•呼和浩特20/24）如图，线段EF与MN表示某一段河的两岸，EF∥MN．综合实践课上，同学们需要在河岸MN上测量这段河的宽度（EF与MN之间的距离），已知河对岸EF上有建筑物C、D，且CD=60米，同学们首先在河岸MN上选取点A处，用测角仪测得C建筑物位于A北偏东45°方向，再沿河岸走20米到达B处，测得D建筑物位于B北偏东55°方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示即可）

15.（7分）（2021•通辽21/26）如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行．为测量其宽度，小明在南岸边处测得对岸边处一棵大树位于北偏东方向，他以的速度沿着河岸向东步行后到达处，此时测得大树位于北偏东方向，试计算此段河面的宽度（结果取整数，参考数据：

16.（8分）（2021•鄂尔多斯20/24）图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②是其侧面结构示意图，托板长，支撑板长，板固定在支撑板顶点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动，．
（1）若时，求点到直线的距离（计算结果精确到个位）；
（2）为了观看舒适，把（1）中调整为，再将绕点逆时针旋转，使点落在直线上即可，求旋转的角度．
（参考数据：，，，，，，

17.（9分）（2021•鄂尔多斯21/24）如图，在△ABC中，，以为直径的⊙O交于点，于点，直线于点，交的延长线于点．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）当，时，求的值．

18.（4分）（2021•重庆A卷10/26）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站和．甲在山脚点处测得通信基站顶端的仰角为，测得点距离通信基站的水平距离为；乙在另一座山脚点处测得点距离通信基站的水平距离为，测得山坡的坡度．若，点，，，在同一水平线上，则两个通信基站顶端与顶端的高度差为（参考数据：，）　　（ ）

A． B． C． D．
19.（4分）（2021•重庆B卷10/26）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为i=1：2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE=50米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（ ）
（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）

A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米
20.（4分）（2021•广东16/25）如图，在□ABCD中，，，．过点作，垂足为，则　　．

21.（8分）（2021•安徽17/23）学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD为矩形，点B、C分别在EF、DF上，∠ABC＝90°，∠BAD＝53°，AB＝10 cm，BC＝6 cm．求零件的截面面积．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60．

22.（9分）（2021•河南19/23）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点与佛像的底部在同一水平线上．已知佛像头部为，在处测得佛像头顶部的仰角为，头底部的仰角为，求佛像的高度（结果精确到．参考数据：，，．

23.（10分）（2021•新疆20/23）如图，楼顶上有一个广告牌AB，从与楼BC相距15m的D处观测广告牌顶部A的仰角为37°，观测广告牌底部B的仰角为30°，求广告牌AB的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）

24.（11分）（2021•新疆22/23）如图，是⊙O的直径，，是⊙O的弦，为的中点，与交于点，过点作，交的延长线于点，且平分．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．

25.（9分）（2021•河北23/26）如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点P）始终以3km/min的速度在离地面5km高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点Q）一直保持在1号机P的正下方．2号机从原点O处沿45°仰角爬升，到4km高的A处便立刻转为水平飞行，再过1min到达B处开始沿直线BC降落，要求1min后到达C（10，3）处．
（1）求OA的h关于s的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；
（2）求BC的h关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；
（3）通过计算说明两机距离PQ不超过3km的时长是多少．
[注：（1）及（2）中不必写s的取值范围]

26.（6分）（2021•陕西21/26）一座吊桥的钢索立柱AD两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮想用测量知识测较长钢索AB的长度．他们测得∠ABD为30°，由于B、D两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现∠ACD恰好为45°，点B与点C之间的距离约为16m．已知B、C、D共线，AD⊥BD．求钢索AB的长度．（结果保留根号）

27.（10分）（2021•海南20/22）如图，在某信号塔的正前方有一斜坡，坡角，斜坡的顶端与塔底的距离米，小明在斜坡上的点处测得塔顶的仰角，米，且BC∥NE∥KD，（点，，，，，，在同一平面内）．
（1）填空：　150　度，　　度；
（2）求信号塔的高度（结果保留根号）．

28.（8分）（2021•山西21/23）某公园为引导游客观光游览公园的景点，在主要路口设置了导览指示牌，某校“综合与实践”活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得，，，，四边形为矩形，且．请帮助该小组求出指示牌最高点到地面的距离（结果精确到．参考数据：，，，．

29.（8分）（2021•西藏26/27）如图，是⊙O的直径，是半径，延长至点．连接，，．使．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若，，求的长．

30.（7分）（2021•吉林22/26）数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬，求北纬纬线的长度，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：
（1）在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；
（2）如图，⊙O是经过南、北极的圆，地球半径约为．弦BC∥OA，过点作于点，连接．若，则以为半径的圆的周长是北纬纬线的长度；
（3）参考数据：取3，，．
小组成员给出了如下解答，请你补充完整：
解：因为BC∥OA，，
所以　两直线平行，内错角相等　（填推理依据），
因为，所以，
在Rt△BOK中，．
　　（填“”或“”）．
所以北纬的纬线长．
　　（填相应的三角形函数值）
　　（结果取整数）．

巩固训练解析

1.（6分）（2021•呼伦贝尔•兴安盟18/26）计算：．
【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
【分析】直接利用负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．
2.（5分）（2021•通辽18/26）计算：．
【考点】特殊角的三角函数值；负整数指数幂；实数的运算
【分析】先计算负整数次幂、零指数幂、特殊三角函数、绝对值的运算，再进行加减运算即可．
【解答】解：原式

．
【点评】此题考查的是实数的运算，掌握负整数次幂、零指数幂、特殊三角函数、绝对值的运算法则是解决此题关键．
3.（3分）（2021•西藏14/27）计算：　3　．
【考点】负整数指数幂；特殊角的三角函数值；零指数幂；实数的运算
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
4.（5分）（2021•新疆15/23）如图，已知正方形边长为1，为边上一点，以点为中心，将△DAE按逆时针方向旋转得△DCF，连接，分别交，于点，．若，则　　．

【考点】旋转的性质；正方形的性质；解直角三角形
【分析】过点作于点，设，则，易证△FNC∽△FEB，得，求出的值，进而得到，的值，根据勾股定理求出，在Rt△EBG中求出，根据正弦的定义即可求解．
【解答】解：如图，过点作于点，

设，则，
由旋转性质得：，，
四边形是正方形，
，，，
，，
点，，在同一条直线上，
，，
∴△FNC∽△FEB，
，
，
解得：（舍去），，
，
，
，
在Rt△EBG中，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解直角三角形，证明出△FNC∽△FEB，求出的值是解题的关键．
5.（10分）（2021•上海21/25）如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC =8，CD =4，， BF为AD边上的中线．
（1）求AC的长；
（2）求tan∠FBD的值．

【考点】解直角三角形
【分析】（1）解锐角三角函数可得解；
（2）连接CF，过F作BD的垂线，垂足为E，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得CF=FD，由勾股定理可得，EF=2，即可求tan∠FBD．
【解答】解：（1）∵，BC =8，
∴AB =10，
∵AC⊥BD，
在Rt△ACB中，由勾股定理得，
，
即AC的长为6；
（2）如图，

连接CF，过F作BD的垂线，垂足为E，
∵BF为AD边上的中线，
即F为AD的中点，
∴，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
，
∵△CFD为等腰三角形，FE⊥CD，
∴，
在Rt△EFC中，，
∴．
【点评】本题考查解直角三角形，解本题关键根据题意作辅助线，熟练掌握解直角三角函数和勾股定理等基本知识点．
6.（6分）（2021•广东20/25）如图，在Rt△ABC中，，作的垂直平分线交于点，延长至点，使．
（1）若，求△ABD的周长；
（2）若，求的值．

【考点】解直角三角形；线段垂直平分线的性质
【分析】（1）连接，设垂直平分线交于点，再根据线段垂直平分线的性质求解即可；
（2）设，则，，由勾股定理可表示出，从而可计算出．
【解答】解：（1）如图，连接，设垂直平分线交于点，

，


，
，
，
故△ABD的周长为1．
（2）设，
，
又，
，
在Rt△ABD中，．
．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，解直角三角形、勾股定理等知识，抓住正切的定义是解题关键．
7.（12分）（2021•河北26/26）在一平面内，线段AB＝20，线段BC＝CD＝DA＝10，将这四条线段顺次首尾相接．把AB固定，让AD绕点A从AB开始逆时针旋转角α（α＞0°）到某一位置时，BC，CD将会跟随出现到相应的位置．
论证：如图1，当AD∥BC时，设AB与CD交于点O，求证：AO＝10；
发现：当旋转角α＝60°时，∠ADC的度数可能是多少？
尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，求点M到AB的距离；
拓展：①如图2，设点D与B的距离为d，若∠BCD的平分线所在直线交AB于点P，直接写出BP的长（用含d的式子表示）；
②当点C在AB下方，且AD与CD垂直时，直接写出a的余弦值．

【考点】几何变换综合题．
【分析】论证：由△AOD≌△BOC，得AO＝BO，而AB＝20，可得AO＝10；
发现：设AB的中点为O，当AD从初始位置AO绕A顺时针旋转60°时，BC也从初始位置BC'绕点B顺时针旋转60°，BC旋转到BO的位置，即C以O重合，从而可得∠ADC＝60°；
尝试：当点M与点B距离最大时，D、C、B共线，过D作DQ⊥AB于Q，过M作MN⊥AB于N，由已知可得AD＝10，设AQ＝x，则BQ＝20﹣x，100﹣x2＝400﹣（20﹣x）2，可得AQ，DQ，再由MN∥DQ，得，MN，即点M到AB的距离为；
拓展：
①设直线CP交DB于H，过G作DG⊥AB于G，连接DP，设BG＝m，则AG＝20﹣m，由AD2﹣AG2＝BD2﹣BG2，可得m，BG，而△BHP∽△BGD，有，即可得BP；
②过B作BG⊥CD于G，设AN＝t，则BN＝20﹣t， DN，由△ADN∽△BGN，，表达出NG， BG，Rt△BCG中，CG，根据DN+NG+CG＝10，列方程++=10，解得t，即可得cosα．
【解答】论证：
证明：∵AD∥BC，
∴∠A＝∠B，∠C＝∠D，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（ASA），
∴AO＝BO，
∵AO+BO＝AB＝20，
∴AO＝10；
发现：设AB的中点为O，如图：

当AD从初始位置AO绕A顺时针旋转60°时，BC也从初始位置BC'绕点B顺时针旋转60°，
而BO＝BC'＝10，
∴△BC'O是等边三角形，
∴BC旋转到BO的位置，即C以O重合，
∵AO＝AD＝CD＝10，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ADC＝60°；
尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，D、C、B共线，过D作DQ⊥AB于Q，过M作MN⊥AB于N，如图：

由已知可得AD＝10，BD＝BC+CD＝20，BM＝CM+BC＝15，
设AQ＝x，则BQ＝20﹣x，
∵AD2﹣AQ2＝DQ2＝BD2﹣BQ2，
∴100﹣x2＝400﹣（20﹣x）2，
解得x，
∴AQ，
∴DQ，
∵DQ⊥AB，MN⊥AB，
∴MN∥DQ，
∴，即，
∴MN，
∴点M到AB的距离为；
拓展：
①设直线CP交DB于H，过G作DG⊥AB于G，连接DP，如图：

∵BC＝DC＝10，CP平分∠BCD，
∴∠BHC＝∠DHC＝90°，BHBDd，
设BG＝m，则AG＝20﹣m，
∵AD2﹣AG2＝BD2﹣BG2，
∴100﹣（20﹣m）2＝d2﹣m2，
∴m，
∴BG，
∵∠BHP＝∠BGD＝90°，∠PBH＝∠DBG，
∴△BHP∽△BGD，
∴，
∴BP；
②过B作BG⊥CD于G，如图：

设AN＝t，则BN＝20﹣t，DN，
∵∠D＝∠BGN＝90°，∠AND＝∠BNG，
∴△ADN∽△BGN，
∴，
即，
∴NG，BG，
Rt△BCG中，BC＝10，
∴CG，
∵CD＝10，
∴DN+NG+CG＝10，
即++=10，
∴，
，即，
两边平方，整理得：3t2﹣40t＝﹣4t，
∵t≠0，
∴3t﹣40＝﹣4，
解得t（大于20，舍去）或t，
∴AN，
∴cosα．
方法二：过C作CK⊥AB于K，过F作FH⊥AC于H，如图：

∵AD＝CD＝10，AD⊥DC，
∴AC2＝200，
∵AC2﹣AK2＝BC2﹣BK2，
∴200﹣AK2＝100﹣（20﹣AK）2，
解得AK，
∴CK，
Rt△ACK中，tan∠KAC，
Rt△AFH中，tan∠KAC，
设FHn，则CH＝FHn，AH＝5n，
∵AC＝AH+CH＝10，
∴，
解得n，
∴AF，
Rt△ADF中，
cosα．
【点评】本题考查几何变换的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质、等边三角形判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理及分式方程、无理方程等知识，题目综合性强，解题的关键是用含字母的代数式表示相关线段的长度，计算是本题的另一个难点．
8.（3分）（2021•呼和浩特8/24）如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径，根据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计的值，下面及的值都正确的是（ ）

A．，
B．，
C．，
D．，
【考点】数学常识；正方形的性质；正多边形和圆；解直角三角形的应用
【分析】根据外接圆的性质可知，圆心到各个顶点的距离相等，过圆心向边作垂线，解直角三角形，再根据圆周长公式可求得．
【解答】解：如图，连接，交于点，过点作于点，

则，且，
设正八边形的边长为，则，
解得，
在Rt△OCP中，，
，
由，
则，
．
故选：C．
【点评】本题主要考查正多边形的外接圆的性质，解直角三角形等内容，熟练掌握三角函数的定义及正多边形外接圆的性质是解题关键．
9.（3分）（2021•包头12/26）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的正半轴上，边在轴的正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图象与交于点，与对角线交于点，与交于点，连接，，，．下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的结论有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；三角形的面积；矩形的性质；解直角三角形
【分析】①根据矩形的性质计算，和的长，利用三角函数定义可作判断；
②利用待定系数法可得的解析式，列方程组可得交点的坐标，根据中点坐标的性质可知：是的中点，可作判断；
③根据三角形面积公式计算△BEF和△DOE的面积，可作判断；
④根据勾股定理计算和的长，相比可作判断．
【解答】解：①矩形中，
，
，，
由勾股定理得：，
当时，，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
故①正确；
②设的解析式为：，
把代入得：，
，
，
当时，，
，
是的中点，
，
故②正确；
③当时，，
，
，
，


，
，
故③正确；
④由勾股定理得：，
，
，
即．
故④正确；
其中正确的结论有①②③④，共4个．
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，三角函数的定义，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是利用点的坐标确定线段的长，本题属于中等题型．
10.（3分）（2021•鄂尔多斯10/24）如图①，在矩形中，为边上的一点，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是，若点、同时开始运动，设运动时间为，△AMN的面积为，已知与之间函数图象如图②所示，则下列结论正确的是（ ）

①当时，△AMN是等边三角形．
②在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点一共有3个．
③当时，．
④当时，△ADH∽△ABM．
⑤当时，．
A．①③④ B．①③⑤ C．①②④ D．③④⑤
【考点】动点问题的函数图象
【分析】由图②可知：当时，点、两点经过6秒时，最大，此时点在点处，点在点处并停止不动；由点、两点的运动速度为，所以可得，利用四边形是矩形可知；当时，且保持不变，说明点在处不动，点在线段上运动，运动时间为秒，可得，即点为的中点；利用以上的信息对每个结论进行分析判断后得出结论．
【解答】解：由图②可知：点、两点经过6秒时，最大，此时点在点处，点在点处并停止不动，如图，

①点、两点的运动速度为，
，
四边形是矩形，
．
当时，，
．
．
当时，且保持不变，
点在处不动，点在线段上运动，运动时间为秒，
，即点为的中点．
．
，
∴△ABM为等边三角形．
．
点、同时开始运动，速度均为1 ，
，
当时，△AMN为等边三角形．
故①正确；
②如图，当点在的垂直平分线上时，△ADM为等腰三角形：

此时有两个符合条件的点；
当时，为等腰三角形，如图：

当时，△ADM为等腰三角形，如图：

综上所述，在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点一共有4个．
②不正确；
③过点作于点，如图，

由题意：，
由①知：．
在Rt△AME中，
，
，
．
③正确；
④当时，，如图，

由①知：，
．
，
，
．
，
．
．
，
∴△ADH∽△ABM．
④正确；
⑤当时，此时点在边上，如图，

此时，
．
⑤不正确；
综上，结论正确的有：①③④．
故选：A．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，主要涉及函数图象上点的坐标的实际意义，三角形的面积，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，相似三角形的判定，特殊角的三角函数值．对于动点问题，依据已知条件画出符合题意的图形并求得相应线段的长度是解题的关键．
11.（3分）（2021•赤峰16/26）某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头测一段水平雪道一端处的俯角为，另一端处的俯角为，若无人机镜头处的高度为238米，点，，在同一直线上，则雪道的长度为 　538　米．（结果保留整数，参考数据，，

【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题
【分析】根据等腰直角三角形的性质求出，根据正切的定义求出，结合图形计算即可．
【解答】解：由题意得，，，
在Rt△CBD中，，
米，
在Rt△CAD中，，
则米，
则米，
答：两点间的距离约为438米．
故答案为：438．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
12.（12分）（2021•赤峰24/26）如图，在菱形中，对角线、相交于点，⊙O经过点，，交对角线于点，且，连接交于点．
（1）试判断与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求⊙O的半径．

【考点】直线与圆的位置关系；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；菱形的性质；解直角三角形；圆周角定理；垂径定理
【分析】（1）根据，菱形得到，，利用得到，进而得到，即可证得是⊙O的切线；
（2）利用菱形的性质求得，再利用求得，进而求得，根据垂径定理求出，设⊙O的半径为，根据勾股定理即可求得半径．
【解答】解：（1）是⊙O的切线，
理由如下：
连接，

，
，
四边形是菱形，、是其对角线，
，
，是⊙O的半径，
，
，
，
，
，即是⊙O的切线；
（2）四边形是菱形，、是其对角线，，
，，
，
，
，
，是⊙O的半径，
，
，，
，
设⊙O的半径为，则的长为，
在Rt△OFB中，
，即，
解得：，
∴⊙O的半径为5．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是能够作出辅助线，能利用正切求出对应线段的长．
13.（7分）（2021•呼伦贝尔•兴安盟22/26）如图，在山坡的坡脚处竖有一根电线杆（即，为固定电线杆，在地面处和坡面处各装一根引拉线和，它们的长度相等，测得米，，，求点到的距离．

【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题
【分析】过点作于点，根据正切的定义求出，根据勾股定理求出，根据正切的定义用表示出，根据勾股定理列方程，解方程得到答案．
【解答】解：过点作于点，

在Rt△ABC中，，，
则，
解得：（米，
由勾股定理得：（米，
由题意得：米，
，，
，
，
设为米，
在Rt△ADE中，，，，
（米，
在Rt△BDE中，，即，
整理得：，
解得：，，（舍去），
米，
答：点到的距离为米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
14.（8分）（2021•呼和浩特20/24）如图，线段EF与MN表示某一段河的两岸，EF∥MN．综合实践课上，同学们需要在河岸MN上测量这段河的宽度（EF与MN之间的距离），已知河对岸EF上有建筑物C、D，且CD=60米，同学们首先在河岸MN上选取点A处，用测角仪测得C建筑物位于A北偏东45°方向，再沿河岸走20米到达B处，测得D建筑物位于B北偏东55°方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示即可）

【考点】解直角三角形的应用—仰角俯角问题；解直角三角形的应用—方向角问题
【分析】过C、D分别作CP⊥MN、DQ⊥MN垂足为P、Q，设河宽为x米，根据直角三角形的三角函数得出x，进而解答即可．
【解答】解：如图，过C、D分别作CP⊥MN、DQ⊥MN垂足为P、Q，设河宽为x米．

由题意知，△ACP为等腰直角三角形，
∴AP=CP=x（米），BP=x -20（米），
在Rt△BDQ中，∠BDQ=55°，
∴，
∴tan55°·x=x+40，
∴(tan55°-1)·x=40，
∴，
所以河宽为米．
答：河宽为米．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用问题．此题难度适中，解题的关键是把实际问题转化为数学问题求解，注意数形结合思想的应用．
15.（7分）（2021•通辽21/26）如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行．为测量其宽度，小明在南岸边处测得对岸边处一棵大树位于北偏东方向，他以的速度沿着河岸向东步行后到达处，此时测得大树位于北偏东方向，试计算此段河面的宽度（结果取整数，参考数据：

【考点】解直角三角形的应用方向角问题
【分析】如图，作于．由题意得到，，，在Rt△ACD中，由三角函数的定义得到，在Rt△ABD中，由三角函数的定义得到，根据即可求出．
【解答】解：如图，作于．

由题意可知：，，，
在Rt△ACD中，，
，
在Rt△ABD中，，
，
，
，
答：此段河面的宽度约．
【点评】此题主要考查了解直角三角形方向角问题，解题时首先正确理解题意，然后作出辅助线构造直角三角形解决问题．
16.（8分）（2021•鄂尔多斯20/24）图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②是其侧面结构示意图，托板长，支撑板长，板固定在支撑板顶点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动，．
（1）若时，求点到直线的距离（计算结果精确到个位）；
（2）为了观看舒适，把（1）中调整为，再将绕点逆时针旋转，使点落在直线上即可，求旋转的角度．
（参考数据：，，，，，，

【考点】解直角三角形的应用
【分析】（1）过点作，过点作于，过点作于点，则点到直线的距离为：；在Rt△CDF中，解直角三角形可得的长，在Rt△ACH中，解直角三角形可得的长．
（2）画出符合题意的图形，在Rt△中，解直角三角形可得的度数，则旋转的角度等于．
【解答】解：（1）过点作，过点作于，过点作于点，
则点到直线的距离为：．

在Rt△CDF中，
，
．
，
，
，
．
．
在Rt△ACH中，
，
．
点到直线的距离为．
（2）如下图所示，虚线部分为旋转后的位置，的对应点为，的对应点为，
则，．

在Rt△中，
，，
．
旋转的角度为．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的边角关系．正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题是解题的关键．
17.（9分）（2021•鄂尔多斯21/24）如图，在△ABC中，，以为直径的⊙O交于点，于点，直线于点，交的延长线于点．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）当，时，求的值．

【考点】圆周角定理；切线的判定与性质；等腰三角形的性质；解直角三角形
【分析】（1）连接，先说明，再说明，即可得到是⊙O的切线．
（2）过点作于，分别在Rt△BGE和Rt△ABE中求出线段、、的长，最后根据锐角三角函数求出结果．
【解答】解（1）如图

证明：连接，
、，
，
又，
，
是⊙O的切线．
（2）过点作于，
，，
，
，，
，，
，
在Rt△BEA中，
，，
，
，
，
．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”，也考查了圆周角定理、锐角三角函数等知识．
18.（4分）（2021•重庆A卷10/26）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站和．甲在山脚点处测得通信基站顶端的仰角为，测得点距离通信基站的水平距离为；乙在另一座山脚点处测得点距离通信基站的水平距离为，测得山坡的坡度．若，点，，，在同一水平线上，则两个通信基站顶端与顶端的高度差为（参考数据：，）　　（ ）

A． B． C． D．
【考点】解直角三角形的应用—仰角俯角问题；解直角三角形的应用—坡度坡角问题
【分析】根据正切的定义求出，根据坡度的概念求出，进而求出，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：在Rt△MCB中，，，，
，
山坡的坡度，，
，
，
，
两个通信基站顶端与顶端的高度差，
故选：C．
【点评】本题考查的是解直角三角形的实际应用—仰角俯角问题，掌握仰角和俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是本题的解题关键．
19.（4分）（2021•重庆B卷10/26）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为i=1：2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE=50米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（ ）
（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）

A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米
【考点】解直角三角形的应用—坡度坡角问题；解直角三角形的应用—仰角俯角问题
【分析】利用斜坡CD的坡度（或坡比）为i=1：2.4，求出CE的长，从而得出BE，再利用tan50°即可求出AB的长．
【解答】解：∵斜坡CD的坡度（或坡比）为i=1：2.4，
∴DE：CE =5:12，
∵DE=50，
∴CE=120，
∵BC=150，
∴BE=150-120=30，
∴AB=tan50°×30+50=85.7．
故选：D．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，明确坡度、仰角、俯角是解题的关键．
20.（4分）（2021•广东16/25）如图，在□ABCD中，，，．过点作，垂足为，则　　．

【考点】解直角三角形；平行四边形的性质
【分析】过点作于点，根据，，，可得，根据勾股定理可得，再根据平行四边形的性质可得，，，根据，可得，再根据勾股定理可得的长，进而可得结果．
【解答】解：如图，过点作于点，

，，，
，
，
在□ABCD中，，，
，
∵CD∥AB，
，，
，
，
，
在Rt△BEF中，根据勾股定理，得
，
，
解得，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识，得出是解决本题的关键．
21.（8分）（2021•安徽17/23）学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD为矩形，点B、C分别在EF、DF上，∠ABC＝90°，∠BAD＝53°，AB＝10 cm，BC＝6 cm．求零件的截面面积．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60．

【考点】解直角三角形的应用．
【分析】由四边形AEFD为矩形，可得AD∥EF，则∠BAD＝∠EBA，又AB＝10cm，结合三角函数值可求出AE与BE的长度，又∠ABC是90°，在Rt△BCF中，结合三角函数值可求出BF，CF的长度，由零件的截面面积＝矩形AEFD的面积﹣△ABE的面积﹣△BCF的面积，即可得出结论．
【解答】解：如图，

∵四边形AEFD为矩形，∠BAD＝53°，
∴AD∥EF，∠E＝∠F＝90°，
∴∠BAD＝∠EBA＝53°，
在Rt△ABE中，∠E＝90°，AB＝10，∠EBA＝53°，
∴sin∠EBA=0.80，cos∠EBA=0.60，
∴AE＝8，BE＝6，
∵∠ABC＝90°，
∴∠FBC＝90°﹣∠EBA＝37°，
∴∠BCF＝90°﹣∠FBC＝53°，
在Rt△BCF中，∠F＝90°，BC＝6，
∴sin∠BCF=0.80，cos∠BCF=0.60，
∴BF=，FC =，
∴EF＝6+=，
∴S四边形EFDA＝AE•EF＝8×=，
S△ABE＝，
S△BCF＝，
∴截面的面积＝S四边形EFDA﹣S△ABE﹣S△BCF＝（cm2）．
【点评】本题主要考查解直角三角形，题目本身不难，但是计算比较复杂，清楚了解每一步如何计算是解题基础．
22.（9分）（2021•河南19/23）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点与佛像的底部在同一水平线上．已知佛像头部为，在处测得佛像头顶部的仰角为，头底部的仰角为，求佛像的高度（结果精确到．参考数据：，，．

【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题
【分析】根据，列出方程即可解决问题．
【解答】解：根据题意可知：，
，
在Rt△ADC中，，，
，
，
解得，
答：佛像的高度约为．
【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．
23.（10分）（2021•新疆20/23）如图，楼顶上有一个广告牌AB，从与楼BC相距15m的D处观测广告牌顶部A的仰角为37°，观测广告牌底部B的仰角为30°，求广告牌AB的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】利用CD及正切函数的定义求得BC，AC长，把这两条线段相减即为AB长．
【解答】解：在Rt△BCD中，BC＝DC•tan30°＝15×≈5×1.73＝8.65（m），
在Rt△ACD中，AC＝DC•tan37°≈15×0.75＝11.25（m），
∴AB＝AC﹣BC＝11.25﹣8.65＝2.6（m）．
答：广告牌AB的高度为2.6m．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．
24.（11分）（2021•新疆22/23）如图，是⊙O的直径，，是⊙O的弦，为的中点，与交于点，过点作，交的延长线于点，且平分．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．

【考点】勾股定理；圆周角定理；垂径定理；解直角三角形；角平分线的性质；切线的判定与性质
【分析】（1）连接，由平分，，可得，OD∥BC，从而可证是⊙O的切线；
（2）连接，由是的直径，得，又，，可得，结合，即可得；
（3）求出，，即可得，由为的中点，可得，，Rt△BFM中，求出，再用勾股定理即得答案，．
【解答】（1）证明：连接，如图：

平分，
，
，
，
，
∴OD∥BC，
，
，
是⊙O的切线；
（2）证明：连接，如图：

是⊙O的直径，
，即，
，
，
，
，
，
，
，即；
（3）解：Rt△CDE中，，，
，
，
由（2）知，
Rt△BDE中，，，
，
，
，
为的中点，
，，
Rt△BFM中，，，
，
，
．
【点评】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线、圆周角定理、解直角三角形及勾股定理等知识，解题的关键是熟练应用圆的性质，转化相关角及线段．
25.（9分）（2021•河北23/26）如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点P）始终以3km/min的速度在离地面5km高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点Q）一直保持在1号机P的正下方．2号机从原点O处沿45°仰角爬升，到4km高的A处便立刻转为水平飞行，再过1min到达B处开始沿直线BC降落，要求1min后到达C（10，3）处．
（1）求OA的h关于s的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；
（2）求BC的h关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；
（3）通过计算说明两机距离PQ不超过3km的时长是多少．
[注：（1）及（2）中不必写s的取值范围]

【考点】一次函数的应用；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】（1）由爬升角度为45°，可知OA上的点的横纵坐标相同，由此得到点A坐标，用待定系数法OA解析式可求；利用2号试飞机一直保持在1号机的正下方，可知它们的飞行的时间和飞行的水平距离相同，由此可求爬升速度；
（2）设BC的解析式为h＝ms+n，由题意将B，C坐标代入即可求得；令h＝0．求得s，即可得到结论；
（3）PQ不超过3km，得到5﹣h≤3，利用（1）（2）中的解析式得出关于s的不等式组，确定s的取值范围，得出了两机距离PQ不超过3km的飞行的水平距离，再除以1号飞机的飞行速度，结论可得．
【解答】解：（1）∵2号飞机爬升角度为45°，
∴OA上的点的横纵坐标相同．
∴A（4，4）．
设OA的解析式为：h＝ks，
∴4k＝4．
∴k＝1．
∴OA的解析式为：h＝s．
∵2号试飞机一直保持在1号机的正下方，
∴它们的飞行的时间和飞行的水平距离相同．
∵2号机的爬升到A处时水平方向上移动了4km，爬升高度为4km，
又1号机的飞行速度为3km/min，
∴2号机的爬升速度为：=3km/min．
（2）设BC的解析式为h＝ms+n，
由题意：B（7，4），
∴，
解得：．
∴BC的解析式为．
令h＝0，则s＝19．
∴预计2号机着陆点的坐标为（19，0）．
（3）∵PQ不超过3km，
∴5﹣h≤3．
∴，
解得：2≤s≤13．
∴两机距离PQ不超过3km的时长为：（13﹣2）÷3min．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的仰角问题，待定系数法求函数的解析式，解不等式组，一次函数的应用．待定系数法是确定解析式的重要方法，也是解题的关键．
26.（6分）（2021•陕西21/26）一座吊桥的钢索立柱AD两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮想用测量知识测较长钢索AB的长度．他们测得∠ABD为30°，由于B、D两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现∠ACD恰好为45°，点B与点C之间的距离约为16m．已知B、C、D共线，AD⊥BD．求钢索AB的长度．（结果保留根号）

【考点】解直角三角形的应用．
【分析】本题设AD＝x，在等腰直角三角形ADC中表示出CD，从而可以表示出BD，再在Rt△ABD中利用三角函数即可求出x的长，进而即可求出AB的长度．
【解答】解：在△ADC中，设AD＝x，
∵AD⊥BD，∠ACD＝45°，
∴CD＝AD＝x，
在△ADB中，AD⊥BD，∠ABD＝30°，
∴AD＝BD•tan30°，
即x（16+x），
解得：x＝，
∴AB＝2AD＝2×（）＝，
∴钢索AB的长度约为（）m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形的特点以及锐角三角函数在直角三角形的应用是解题的关键．
27.（10分）（2021•海南20/22）如图，在某信号塔的正前方有一斜坡，坡角，斜坡的顶端与塔底的距离米，小明在斜坡上的点处测得塔顶的仰角，米，且BC∥NE∥KD，（点，，，，，，在同一平面内）．
（1）填空：　150　度，　　度；
（2）求信号塔的高度（结果保留根号）．

【考点】解直角三角形的应用—坡度坡角问题；解直角三角形的应用仰角俯角问题
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补可求出，进而求出；
（2）通过作垂线，构造直角三角形，在Rt△CEG中，由，，可求出，，在中利用特殊锐角的三角函数列方程求解即可
【解答】解：（1）∵BC∥KD，
，
又，
，
∵NE∥KD，
，
又，
，
故答案为：150，30；
（2）如图，过点作，垂足为，延长交于点，

在Rt△CEG中，，，
，
，
设，则，
，
在Rt△AEF中，，
，
即，
，
即信号塔的高度为．
【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，构造直角三角形，掌握两个直角三角形边角之间的关系是解决问题的关键．
28.（8分）（2021•山西21/23）某公园为引导游客观光游览公园的景点，在主要路口设置了导览指示牌，某校“综合与实践”活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得，，，，四边形为矩形，且．请帮助该小组求出指示牌最高点到地面的距离（结果精确到．参考数据：，，，．

【考点】解直角三角形的应用
【分析】通过过点作于点，交直线于点，过点作于点，于点，构造出直角三角形，利用解直角三角形分别求出、的长即可求出指示牌最高点到地面的距离．
【解答】解：过点作于点，交直线于点，过点作于点，于点，则四边形和四边形均为矩形，如图所示：

，，
∴BP∥DG，
，
，
在Rt△ABP中，，，
，
在Rt△BCN中，，，
，
，
．
答：指示牌最高点到地面的距离约为．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造出直角三角形，熟练通过解直角三角形求相应未知量是解题的关键．
29.（8分）（2021•西藏26/27）如图，是⊙O的直径，是半径，延长至点．连接，，．使．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若，，求的长．

【考点】圆周角定理；切线的判定与性质；解直角三角形
【分析】（1）根据是⊙O的直径得出，等量代换得到，即，，即可判定是⊙O的切线；
（2）过点作交的延长线于点，根据锐角三角函数定义求出，由等边对等角得出，由平行线的性质得出，再根据对顶角相等得出，即得，根据勾股定理求出，，最后根据勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：是⊙O的直径，
，
，
，
，
即，
，
是⊙O的切线；
（2）解：过点作交的延长线于点，

，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
在Rt△OAD中，，
即，
，
，
，，
，
，
在Rt△ABC中，，
，
，
．
【点评】此题考查了切线的判定与性质、解直角三角形，熟记切线的判定与性质及锐角三角函数定义时解题的关键．
30.（7分）（2021•吉林22/26）数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬，求北纬纬线的长度，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：
（1）在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；
（2）如图，⊙O是经过南、北极的圆，地球半径约为．弦BC∥OA，过点作于点，连接．若，则以为半径的圆的周长是北纬纬线的长度；
（3）参考数据：取3，，．
小组成员给出了如下解答，请你补充完整：
解：因为BC∥OA，，
所以　两直线平行，内错角相等　（填推理依据），
因为，所以，
在Rt△BOK中，．
　　（填“”或“”）．
所以北纬的纬线长．
　　（填相应的三角形函数值）
　　（结果取整数）．

【考点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；解直角三角形的应用
【分析】由平行线的性质，锐角三角函数的定义求解．
【解答】解：因为BC∥OA，，
所以 两直线平行，内错角相等）（填推理依据），
因为，所以，
在Rt△BOK中，．
（填“”或“”）．
所以北纬的纬线长．
（填相应的三角形函数值）
（结果取整数）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；；0.72；27648．
【点评】本题考查解直角三角形，解题关键是熟练三角函数的含义及解直角三角形的方法