沪教版（五四学制）初中数学 八年级上册 第7讲：一元二次方程的应用（一）学案-教师版(1)

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一元二次方程的应用（一）




及一元二次方程的应用



内容分析



本节涉及两部分内容，一是运用一元二次方程对二次三项式进行因式分解，二是运用方程的思想解决关于数字及增长（降低）率的实际问题．通过本节的学习，充分了解二次三项式与其相对应的一元二次方程之间的联系，会运用方程思想解决实际问题，难点是找到题目中的等量关系，列出方程并解决问题．
知识结构





模块一：二次三项式的因式分解



知识精讲



1、二次三项式的因式分解
（1）形如的多项式称为二次三项式；
（2）如果一元二次方程的两个根是和,那么二次三项式的分解公式为：．

例题解析



【例1】 在实数范围内不能分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
【难度】★
【答案】C
【解析】二次三项式可分解因式的前提是方程有实数根，根据方程根的判别式与
0的大小关系判断方程是否有实数根，即是否可分解因式，
A：；B：；
C：；D：；
只有C选项小于0 ，故选C．
【总结】考查二次三项式是否可因式分解，判断方程是否有实数根即可．


【例2】 方程的两个实数根是，则把这个二次三项式进行因式分解的结果是________________________．
【难度】★
【答案】．
【解析】，即得该式可分解为
．
【总结】考查二次三项式的因式分解，方程有实数根的前提下进行分解．



【例3】 将在实数范围内因式分解，正确的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【难度】★
【答案】C
【解析】关于的一元二次方程的根为，，
由此对应的二次三项式分解为，
即为，故选C．
【总结】考查二次三项式的因式分解，当做方程进行解题即可．


【例4】 若二次三项式在实数范围内可分解因式为
，则一元二次方程的值分别为________________．
【难度】★
【答案】，
【解析】，∴，．
【总结】考查二次三项式的因式分解，也可以利用韦达定理进行求解．


【例5】 在实数范围内分解因式：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）；（3）；
（4）．
【解析】（1）原式；
（2） 原式，令，
解得：，，即得；
（3） 原式；
（4） 原式．
【总结】考查二次三项式的因式分解，十字相乘法即可，在实数范围内可分解为
．


【例6】 在实数范围内分解因式：
（1）； （2）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）令，解得：，，
即该式可分解为；
（2）令，解得：，，
即该式可分解为．
【总结】考查二次项系数为1的二次三项式的因式分解，即为．


【例7】 在实数范围内分解因式：
（1）； （2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）令，解得：，，
即该式可分解为；
（2）令，解得：，，
即该式可分解为．
【总结】考查二次三项式的因式分解，．


【例8】 在实数范围内分解因式：
（1）； （2）；
（3）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；
（3）．
【解析】（1）令，该方程即为，解得：，，
∴该式可分解为；
（2） 令，解得：，，
∴该式可分解为；
（3）令，该方程即为，解得：，，
∴该式可分解为．
【总结】考虑分解因式中整体思想，利用换元灵活变化应用．


【例9】 在实数范围内分解因式：
（1）； （2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）原式；
（2）原式为．
【总结】考查分解因式中的整体思想，注意分解要彻底．


【例10】 在实数范围内分解因式：
（1）； （2）；
（3）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；
（3）．
【解析】（1）令，解得：，，
则原式可分解为；
（2）令，解得：，，
则原式可分解为；
（3） 令，该方程即为，解得：，，
则原式可分解为．
【总结】主元法的思想，把一个字母当做未知数，另一个当做常数．
【例11】 二次三项式，当a取何值时，
（1）在实数范围内能分解；
（2）能分解成两个相同的因式；
（3）不能因式分解 ．
【难度】★★
【答案】（1）且；（2）；（3）．
【解析】原式是二次三项是，可知二次项系数，得：，
令，得，
（1）原式可分解因式，则有，得：且；
（2）原式可分解为两个相同的式子，则有，得：；
（3）原式不能分解因式，则有，得：．
【总结】考查二次三项式的因式分解与方程根的情况之间的关系，注意区分开各种情形之间的区别和联系．


【例12】 已知可以分解得到，求实数的值．
【难度】★★★
【答案】，，．
【解析】，
由此可得：， 解得：．
【总结】考查二次三项式的因式分解，也可通过韦达定理进行求解．



【例13】 多项式是完全平方式，求证：．
【难度】★★★
【答案】略
【解析】证明：是完全平方式，
关于的方程有两个相等的实数根，
，
．
【总结】考查可分解为完全平方式的二次三项式，即所对应的一元二次方程．

师生总结
1、 因式分解常用的方法有哪些？
2、二次三项式可以进行因式分解的条件是什么？







模块二：一元二次方程应用：数字问题


知识精讲


1、列一元二次方程解应用题的步骤：
审题，设元，列方程，解方程，检验，写答句．
注：解得一元二次方程的解后，一定需检验是否符合应用题的题意，若不合题意则舍去．
2、数字问题：
主要考察的是对数的表示如：
两位数 = 十位数字10+个位数字；
三位数 = 百位数字100+十位数字10+个位数字．

例题解析



【例14】 如何表示三个连续的自然数？两个连续的偶数？两个连续的奇数？
【难度】★
【答案】略
【解析】分别表示为，，（为正整数）；分别表示为，（为整数）；
分别表示为，（为整数）．
【总结】考查数字的表示．


【例15】 两个连续的自然数的积是182，求这两个自然数 ．
【难度】★
【答案】13和14．
【解析】设这两个自然数分别为和，
依题意可得，解得：，，
为自然数，则有，取，即这两个数分别为13和14．
【总结】考查连续自然数的表达方式．


【例16】 有一个两位数，十位数字比个位数字大3，而此两位数比这两个数字之积的2倍多5，求这个两位数．
【难度】★★
【答案】85．
【解析】设这个两位数个位为，则十位为，
依题意可得：，
整理得，解得：（舍），，即得这个两位数为85．
【总结】考查数位问题，注意两位数的表示方法．
【例17】 已知两个数的差是8，积是209，求这两个数．
【难度】★★
【答案】11，19或，．
【解析】设两数中较小者为，则较大者为，
依题意可得，解得：，，对应另一个数分别为19和．
【总结】考查方程解文字题，一个条件作设，一个列式．


【例18】 一个两位数，它的十位数字比个位数字小3，而它的个位数字的平方恰好等于这个两位数，求这个两位数．
【难度】★★
【答案】25或36．
【解析】设这个两位数十位为，则个位为，依题意可得，
整理得：，解得：，，对应个位数分别为5和6，
即得这个两位数为25或36．
【总结】考查数位问题，注意两位数的表示方法．


【例19】 一个三位数，百位上的数字比十位数字大1，个位数字比十位数字小1，且个位数字和十位数字的平方和比百位数字大2，求这个三位数．
【难度】★★★
【答案】321
【解析】设这个三位数十位为，则百位为，个位为，
依题意可得，
整理得，解得（舍），，则百位与个位分别为3和1，
即这个三位数为321．
【总结】考查数位问题，根据题意列出方程即可求解，注意看清题目条件．

模块三：增长（降低）率问题


知识精讲



1、增长（降低）率问题
基本公式： ．
表示增长（降低）前的数，表示增长（降低）率，表示增长（降低）后的数，要列出这类方程关键在于找出、．
例题解析



【例20】 青山村的水稻2014年平均每公顷产7200公斤，2016年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率是多少？
【难度】★
【答案】．
【解析】设年平均增长率为，
依题意可得，解得：（舍），，
即年均增长率为．
【总结】考查增长率问题的应用，并去掉不合理的值．

【例21】 绿水超市的某种商品经过两次降价，每件的售价由原来的90元降到了40元，求每次降价率是多少？
【难度】★
【答案】．
【解析】设每次降价率为，依题意可得，
解得：（舍），，即每次降价率为．
【总结】考查降低率问题的应用，并去掉不合理的值．
【例22】 某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
【难度】★
【答案】．
【解析】设每次降价率为，初始价格为，依题意可得，
解得：（舍），，即每次降价率为．
【总结】考查增长率问题的应用，并去掉不合理的值．


【例23】 某种商品，原价50元，受金融危机的影响，1月份降价10%，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率．
【难度】★★
【答案】．
【解析】设2、3月份平均增长率为，依题意可得，
解得：（舍），，即月均增长率为．
【总结】考查增长率问题的应用，依题意列方程求解，并去掉不合理的值．


【例24】 某为了绿化校园，某中学在2014年植树400棵，计划到2016年底使这三年的植树总数达到1324棵，求该校植树平均每年增长的百分数．
【难度】★★
【答案】．
【解析】设年均增长率为，依题意可得，
整理得，解得：（舍），，即年均增长率为．
【总结】考查增长率问题的应用，依题意列方程求解，并去掉不合理的值．



【例25】 某电器集团公司为了适应竞争需要，从2013年开始，每年将销售总额的12%作为新产品开发的研究基金．已知该公司2013年底投入的新产品研究基金是4000万元，2015全年销售总额是8亿元，求该公司2014和2015年销售总额的平均增长率（精确到0.01%）．
【难度】★★
【答案】．
【解析】设销售总额年均增长率为，4000万=0.4亿，依题意可得，
整理得，解得：（舍），，
即年均增长率约为．
【总结】考查增长率问题的应用，依题意列方程求解，并去掉不合理的值．



【例26】 某花生种植基地原有花生品种的亩产量为200千克，出油率为55%．改用新品种后，每亩收获的花生可加工得到花生油135千克.已知新品种花生亩产量和出油率都比原有品种有所增加，其中出油率的增长率是亩产量增长率的一半，求两者的增长率（精确到0.01%）．
【难度】★★★
【答案】出油量增长率为，则亩产量增长率为．
【解析】设出油量增长率为，则亩产量增长率为，
依题意可得，整理得，
配方法得，解得：（舍），，
则，即得出油量增长率是，亩产量增长率是．
【总结】考查增长率问题，根据题意列出方程即可求解．




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【习题1】 二次三项式可以在实数范围内因式分解，那么以下各式成立的是（ ）
A ． B． C． D．不能确定
【难度】★
【答案】C
【解析】二次三项式在实数范围可分解因式，即方程有实数根，由此可得
，故选C．
【总结】考查二次三项式的因式分解与方程根的判别式的关联．

【习题2】 二次三项式在实数范围内不能因式分解，则k的取值范围是__________________．
【难度】★
【答案】．
【解析】二次三项式在实数范围不能分解因式，即方程没有实数根，
由此可得，解得：．
【总结】考查二次三项式的因式分解与方程根的判别式的关联，不能分解因式即．

【习题3】 若一元二次方程有两根，，那么二次三项式可以分解为_________________________．
【难度】★
【答案】．
【解析】根据二次三项式的因式分解，该式可分解为，
即原式可分解为．
【习题4】 已知两个数的差等于6，积等于16，求这两个数．
【难度】★
【答案】2，8或，
【解析】设两数中较小者为，则较大者为，依题意可得，
解得：，，对应另一个数分别为8和．
【总结】考查列方程解文字题，一个条件作设，一个列式．


【习题5】 将下列二次三项式在实数范围内因式分解：
（1）；
（2）；
（3）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）式子满足完全平方，即为；
（2） 由十字相乘法即得分解为；
（3） 令，解得：，，
即得该式分解为．
【总结】考查二次三项式在实数范围内的因式分解．


【习题6】 在实数范围内分解下列因式：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；
（3）；（4）．
【解析】（1）令，解得：，，
即该式可分解为；
（2）十字相乘法可得；
（3）十字相乘法可得；
（4）令，解得，，
即得该式可分解为．
【总结】考查二次三项式的因式分解，．



【习题7】 一个三位数，个位数字和百位数字相同，都比十位数字小1，且个位数字和百位数字的平方和等于十位数字，求这个三位数．　　
【难度】★★
【答案】121
【解析】设这个三位数十位为，则百位和个位为，依题意可得，
整理得，解得：（舍），，则百位与个位为1，
即这个三位数为121．
【总结】考查数位问题，根据题意列出方程即可求解，注意看清题目条件．



【习题8】 三个连续的整数两两相乘后，再求和，得362，求这三个连续的整数．
【难度】★★
【答案】10，11，12或，，
【解析】设这三个整数中间数为，则另两个数分别为和，
依题意可得，整理得，
解得：，，则另两个数分别为10，12和，．
【总结】考查列方程解文字题的应用，一个条件作设，一个列式．


【习题9】 某商场销售商品的收入款，3月份为25万元，5月份为36万元，该商场这两个月销售商品收入款的平均每月增长率是多少．
【难度】★★
【答案】
【解析】设收入款平均月增长率为，依题意可得，
解得：（舍），，即月均增长率为．
【总结】考查增长率问题的应用，依题意列方程求解，并去掉不合理的值．


【习题10】 市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率．
【难度】★★
【答案】．
【解析】设每次降价百分率为，依题意可得，
解得：（舍），，即每次降价率为．
【总结】考查增长率问题的应用，并去掉不合理的值．



【习题11】 某地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人次，其中第一年培训了20万人次．求每年接受科技培训的人次的平均增长率．
【难度】★★
【答案】．
【解析】设每年接受培训的人次增长率为，依题意可得，
整理得，解得：（舍），，
即平均增长率为．
【总结】考查增长率问题的应用，依题意列方程求解，并去掉不合理的值．


【习题12】 制造一种产品，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测该产品销售价第一个月降低20%，第二个月比第一个月提高了6%，为了使两个月后的销售利润与原来的销售利润一样，该产品的成本价每月的降低率为x，请依题意列方程：
【难度】★★★
【答案】略
【解析】利润不变，可列出方程：．
【总结】利润问题，利润=售价-成本．

【习题13】 若多项式在实数范围内能分解因式，求整数m取得的最大值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】多项式可分解因式，则关于的一元二次方程有实数根，
由此可得且，得且，
由此即得整数的最大值为．
【总结】考查式子的分解与方程根的关系，注意题目中的隐含条件，即二次项系数不能为0．


课后作业



【作业1】 下列二次三项式可以在实数范围内因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【难度】★
【答案】D
【解析】二次三项式可分解因式的前提是方程有实数根，根据方程根的判别式与
0的大小关系判断方程是否有实数根，即是否可分解因式，
A：；B：；
C：，不能确定与0的大小关系；
D：整理即为，；
只有D选项大于0 ，故选D．
【总结】考查二次三项式是否可因式分解，判断方程是否有实数根即可．



【作业2】 如果的两根为，在实数范围内分解因式=_____________________．
【难度】★
【答案】．
【解析】该式可分解为．
【总结】考查二次三项式与方程根关联的因式分解．



【作业3】 如果二次三项式可以分解为两个相同的一次根式，则m的取值范围是________________．
【难度】★
【答案】
【解析】二次三项式可分解为两个相同的一次根式，可知关于的方程有
两个相等的实数根，即得，解得：．
【总结】式子可分解为两个相同的式子，即相关方程有两个相等实数根．


【作业4】 把下列二次三项式进行因式分解：
（1）； （2）；
（3） ．
【难度】★
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）提公因式法即得；
（2） 平方差公式分解得；
（3） 令，解得：，，
即得该式可分解为．
【总结】考查二次三项式的因式分解，注意观察题目的形式，用相应的方法分解．

【作业5】 一个六位数，低位上的三个数字组成的三位数是a，高位上的三个数字是b，现在将a、b互换，得到一个新的六位数是________．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由于a是低位上的三位数，故变化后的六位数的前三位数应该是，所以变化
后的六位数为．
【总结】考查多位数的数字表示，本题中应注意数字与组成的三位数的区别．
【作业6】 二次三项式在实数范围内进行因式分解：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；
（3）；（4）．
【解析】（1）整理即得，令，解得：，，
则该式分解为；
（2） 十字相乘法可分解得；
（3） 令，解得，，
则该式分解为；
（4） 令，该方程即为，解得，，
则该式即可分解为．
【总结】考查二次三项式的因式分解，．

【作业7】 三个连续偶数，两两相乘，再求和得44，求这三个偶数．
【难度】★★
【答案】2，4，6或，，．
【解析】设中间偶数为，则另两个数分别为和，
依题意可得，整理得，
解得：，，则另两个数分别为2，6和，．
【总结】考查列方程解文字题的应用，一个条件作设，一个列式．
【作业8】 一个两位数等于其各位数字之积的3倍，且其十位数字比个位数字小2，求这个两位数．
【难度】★★
【答案】24．
【解析】设这个两位数十位为，则个位为，依题意可得，
整理得，解得：（舍），，则个位为4，
即这个两位数为24．
【总结】考查数位问题，根据题意列出方程即可求解，注意看清题目条件．


【作业9】 某厂1月份印刷了科技书籍50万册，第一季度共印175万册，问2月、3月平均每月的增长率是多少？（精确到1%）
【难度】★★
【答案】
【解析】设2、3月份平均增长率为，依题意可得，
解得：，（舍），即月均增长率为．
【总结】考查增长率问题的应用，依题意列方程求解，并去掉不合理的值．


【作业10】 制造一种产品，原来每件的成本是300元，由于连续两次降低成本，现在的成本是195元．平均每次降成本百分之几？（精确到1%）
【难度】★★
【答案】
【解析】设平均每次降成本百分率为，依题意可得，
解得：（舍），，即每次降价率为．
【总结】考查增长率问题的应用，并去掉不合理的值．

【作业11】 如果二次三项式在实数范围内不能因式分解，判断关于x的方程根的情况 ．
【难度】★★★
【答案】无实数根．
【解析】由二次三项式不能因式分解，可知关于的方程无
实数根，即得且，得，
对方程，可知，即方程为一元二次方程，
，即得方程无实数根．
【总结】考查一元二次方程根的判别式，根据题意确定相应字母取值范围再求解．


【作业12】 某产品每件生产成本为50元，原定销售价为65元 ．经市场预测，从现在开始的第一个季度销售价格下降10%，第二个季度又将回升4%，若要使半年以后的销售利润不变，如果你作为决策者，请提出一条措施，并补充一个问题并完整解答．
我的措施是：_________________．
我的问题是：___________________________．
【难度】★★★
【答案】措施是：降低成本； 问题是：求半年后每件产品降低成本多少元？
【解析】设半年后每件产品降低成本元，根据题意可得：
，
解得．
答：半年后每件产品降低成本4.16元．
【总结】此题主要考查了一元二次方程的应用以及开放性问题，培养学生的发散思维，自己提出问题并解答有利于综合能力的提升．