沪教版（五四学制）初中数学 八年级上册 第5讲：一般一元二次方程的解法及韦达定理学案-教师版(1)

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一般一元二次方程的解法及韦达定理


内容分析



利用配方法和求根公式法解一元二次方程是八年级数学上学期第十七章第二节内容，主要对一般的一元二次方程不能运用直接开平方或者是因式分解进行求解的时候，采取的两种方法，重点是对一元二次方程这两种解法的原理和过程的理解，难点是配方法和因式分解在解一元二次方程中的灵活应用．经过本节课学习，我们已经将解方程的常用方法讲解完毕，注意灵活运用和综合提高，在计算的准确度上和选择合适的方法解题上多下功夫．
知识结构





模块一：一般一元二次方程的解法


知识精讲




1、 配方法的步骤
① 先把二次项系数化为1：即方程左右两边同时除以二次项系数；
② 移项：把常数项移到方程右边；
③ 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成的形式；
④ 当时，用直接开平方的方法解变形后的方程．
2、求根公式法的一般步骤
① 把一元二次方程化成一般形式（）；
② 确定a、b、c的值；
③ 求出的值（或代数式）；
若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解．
例题解析



【例1】 填空：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【难度】★
【答案】，；x，；，；x，．
【解析】通过公式进行解答．
【总结】本题考查通过公式进行配方．


【例2】 如果是一个完全平方式，那么的值可以是（ ）
A．2 B． C．2或 D．都不对
【难度】★
【答案】D
【解析】通过公式进行解答，根据完全平方有和的平方，差的平方两 种，所以有两种情况，并且中间一项是积的2倍．
【总结】本题考查通过公式进行配方，要考虑两种情形．


【例3】 若且时，等式成立，则值为________．
【难度】★
【答案】．
【解析】当时，可得，得，，因为，则．
【总结】本题考查一元二次方程的解及其应用．

【例4】 如果一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是__________．
【难度】★
【答案】等．
【解析】一元二次方程根为1，则必有中，．
【总结】一元二次方程中，当时，；当时， ；当时，．


【例5】 解下列方程(配方法)：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）；（3）；
（4）略．
【解析】（1）对原方程配方，得：，则，得，
所以原方程的根为：；
（2）对原方程配方，得：，得，所以原方程的根为：；
（3）对原方程配方，得：，则，
所以原方程的根为：；
（4）由，得，配方得：，
即，
①当时，解得：；
②当时，解得：；
③当时，解得：．
综上，①当时，解得：，；
②当时，解得：；
③当时，解得：．
【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．


【例6】 解下列方程（求根公式法）：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★
【答案】（1）原方程无解；（2）；（3）；
（4）．
【解析】（1），，得：，所以方程无解；
（2） ，，得：，
则，所以原方程的根；
（3） ，得，得：，
所以原方程的根；
（4） ，得，得：，
所以原方程的根．
【总结】本题主要考查用求根公式法求解一元二次方程的根．

【例7】 解下列关于x的方程（用适当的方法）：
（1）； （2）．
【难度】★★
【答案】（1）略；（2）．
（1） ，得：，
①当时，解得：；
②当时，解得：．
综上， ①当时，解得：；
②当时，解得：．
（2） ，，得：，
所以原方程的根为．
【总结】本题主要考查用求根公式法求解一元二次方程的根．



【例8】 用指定的方法解下列方程：
（1）（配方法）； （2）（开平方）；
（3）（因式分解）； （4）（公式法）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）；
（4）．
【解析】（1）对原方程配方，得：，所以，
所以原方程的解为：；
（2） 开平方，得：，所以原方程的解为：；
（3） ，，
所以原方程的解为：；
（4）∵，∴，∴，
所以原方程的根为．
【总结】本题主要考查用适当方法求解一元二次方程的根．

【例9】 已知：，求的值．
【难度】★★
【答案】
【解析】由题知得，由得，所以．
【总结】本题主要考查，且考查求解一元二次方程的根．

【例10】 为何值时，代数式的值等于零．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由题知，得，得：．
【总结】本题主要考查分式为零且考查求解一元二次方程的根．


【例11】 阅读下面的例题：解方程
解：当时，原方程化为，解得：（舍）
当时，原方程化为，解得：（舍）
∴原方程的根是
请参照例题解方程．
【难度】★★
【答案】．
【解析】当，即时，原方程化为，解得：；
当，即时，原方程化为，解得：；
所以原方程的根为．
【总结】本题考查绝对值方程及一元二次方程的解法．


【例12】 解下列关于x的方程方程：
（1）；
（2）；
（3）．
【难度】★★
【答案】（1）略；（2）；（3）．
【解析】（1） ①当时，原方程化为：，解得：；
②当时，方程是一元二次方程，
，得：，
若，即时，，
若，即时，，
若，即时，．
综上， ①当时，；
②当时，若时，；
若时，；
若时，．
（2）原方程化为一般式，得：，所以，故；
（3）原方程可化为，得：．
【总结】本题考查一元二次方程的解法，注意对含字母系数的方程的分类讨论．

【例13】 已知：，求为何值时，．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由，得：，整理得：，
分解因式，得：，所以．
【总结】本题考查一元二次方程的解法．



【例14】 解关于的一元二次方程，其中是满足不等式的
整数．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由，得，又由于，
整理得：，它是一元二次方程，得，又是整数，所以，
即一元二次方程为，解得．
【总结】本题考查一元二次方程及不等式组的解法及其应用．



【例15】 求关于x的方程：的实数解．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】由，得，得：．
【总结】本题考查一元二次方程的解法及用配方法解方程．


【例16】 已知，求的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】由，
得：，
所以， 解得： 所以．
【总结】本题考查一元二次方程的解法及用配方法解方程．

【例17】 已知是有理数，试证明关于x的方程：
的根也是有理数．
【难度】★★★
【答案】略．
【解析】由，可得：，
所以，由于是有理数，
所以也是有理数，所以即证．
【总结】本题考查一元二次方程的解法的应用．


【例18】 已知关于x的方程：，当m取任意有理数
时，方程的根都是有理数，求k的值或者是k的取值范围．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】解：，
得，
当取任意有理数时，方程的根都是有理数，是完全平方式，
，．
【总结】本题综合性较强，主要考查学生对方程的根是有理数的理解．
模块二：韦达定理



知识精讲



韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ．
那么可推得这是一元二次方程根与系数的关系．
例题解析


【例19】 若方程有解，利用适当的方法解这两个根，分别是
___________________________；若这两个根互为相反数则m的值是_______________；若两个根互为倒数，则m的值是_______________．
【难度】★
【答案】；；．
【解析】利用十字相乘法因式分解得到方程的两根，后依据相反数和倒数的概念得出相应m
的值．
【总结】本题考查一元二次方程的解法．


【例20】 如果，是方程的两个根，那么=_____________；
=_______________．
【难度】★
【答案】；．
【解析】由韦达定理，可得：，．
【总结】本题考查韦达定理，的应用．

【例21】 若方程：的一个根为，则k=________；另一个根为________．
【难度】★
【答案】；．
【解析】将代入方程，可得：，再由韦达定理可得：，得另一根为．
【总结】本题考查韦达定理，的应用．


【例22】 写出一个一元二次方程，使它的两个根分别是，．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由，
，可得方程为：．
【总结】本题考查韦达定理，的应用．


【例23】 已知是关于x的方程的两根，求b的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由韦达定理，得：，
，而，所以得：，代入可得：．
【总结】本题考查韦达定理，的应用．



【例24】 已知是方程的两根，求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）．
【解析】解：由韦达定理，得：，．
（1） 原式=；
（2） 原式
；
（3） 原式=；
（4） 原式．
【总结】本题考查韦达定理，的灵活应用．

【例25】 已知一个直角三角形的两个直角边的长恰好是方程：两个根，求这个直角三角形的周长．
【难度】★★
【答案】．
【解析】解：设直角三角形的三边长为，，，且是斜边长，由题知，，，
由勾股定理，可得：，所以，
所以直角三角形的周长．
【总结】本题考查韦达定理，的灵活应用，并且考查了直角三角形的性质，即勾股定理的应用．


【例26】 已知方程：的一个根大于3，另一个根小于3，求a的取值范围．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】解：设方程的两根为，，由，，可得：，
即，而由韦达定理可得，，
所以，即．
【总结】本题考查韦达定理，的灵活应用．

【例27】 已知的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】由，可得：，整理得：，
又由于，所以可知、是方程的两根，
由韦达定理，可得：．
【总结】本题考查韦达定理，的灵活应用，而且还考查了一元二次方程的根的灵活应用，要注意观察．


【例28】 已知是方程：的两根，求代数式的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】由题及韦达定理可得：，，得：．
===
==．
【总结】本题考查韦达定理，的灵活应用，运用了降次等的思想方法．



师生总结
1、 韦达定理什么？









随堂检测



【习题1】 完成下列填空：
（1）；
（2）；
（3）．
【难度】★
【答案】（1），；（2），；（3），．
【解析】略
【总结】本题考查了完全平方式的应用．


【习题2】 完成下列填空：
（1） 对于方程，用____________法解比较好，其根为______________；
（2） 对方程，用____________法解比较好，其根为______________；
（3） 对方程，用___________法解比较好，其根为_______________．
【难度】★
【答案】（1）因式分解，；（2）直接开平方，；
（3）公式法，．
【解析】略
【总结】本题考查了一元二次方程的解法，要灵活运用．


【习题3】 已知的两根互为倒数，则a的值为________．
【难度】★
【答案】．
【解析】由韦达定理得，，即，得：．
【总结】本题考查了韦达定理的应用．

【习题4】 用指定的方法解下列方程：
（1）（因式分解）；
（2）（直接开平方）；
（3）（配方法）；
（4）（求根公式）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）；（3）；
（4）．
【解析】（1）由题知，所以原方程的解为：；
（2）原方程可变形为：，得，
所以原方程的解为：；
（3），，，，
所以原方程的解为：；
（4）由题知，得：，
所以原方程的解为：．
【总结】本题考查一元二次方程的解法，要能灵活应用简便方法解方程．


【习题5】 用适当的方法解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）；
（4）．
【解析】（1）由题知，
所以原方程的解为：；
（2）由题知，，
所以原方程的解为：；
（3）由题知，得：，
所以原方程的解为：；
（4）由题知，得：，
所以原方程的解为：．
【总结】本题考查一元二次方程的解法，要能灵活应用简便方法解方程．



【习题6】 解关于x方程：
（1）； （2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）略．
【解析】（1），，所以；
（2）由，配方得：，得： ．
①当时，解得：；
②当时，解得：；
③当时，原方程无实数根．
综上， ①当时，解得：；
②当时，解得：；
③当时，原方程无实数根．
【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意对含字母系数的方程的分类讨论．


【习题7】 如果是一个完全平方式，求n的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】令=0，则，
得：，
因为是一个完全平方式，
所以，即，所以．
【总结】本题考查一元二次方程时，代数式是完全平方式．


【习题8】 用配方法说明：不论为何值，代数式的值总大于0，再求出当x为何值时，代数式有最小值，最小值是多少？
【难度】★★
【答案】略．
【解析】，
对于任意的，都有，所以，即，
所以的值总大于0；当时，代数式有最小值，且最小值为．
【总结】本题考查用配方法解决一些最大值最小值问题，是后面学习二次函数最大值最小值的基础．



【习题9】 已知关于x的方程有两根，其中且，求m的取值范围．
【难度】★★
【答案】．
【解析】因为方程有两根，所以，即；由韦达定理，可得：，
，因为且，所以，，
即，解得：．
【总结】本题考查韦达定理的应用和一元二次方程的概念以及解不等式的应用．


【习题10】 解方程．
【难度】★★★
【答案】，．
【解析】由题知：，分两种情况讨论：
（1）当时，原方程转化为，解得：，都符合；
（2）当时，原方程转化为，解得．
综上，原方程的根为，．
【总结】本题结合一元二次方程和绝对值方程，分类讨论解方程．



【习题11】 已知关于x的方程有两个正整数根，求整数k和p的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】设是原方程的两根，因为是正整数根，所以且都
是正整数，由韦达定理，得：，所以是正整数，
所以是正整数，即是正整数，所以，
代入原方程可得：，方程的两根为，所以．
【总结】本题考查韦达定理的灵活应用，结合正整数根，题目较综合．



【习题12】 已知实数，且满足，，
求的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】因为、是方程，即的两根，
所以由韦达定理，可得：，所以．
所以=．
代入可得：原式=．
【总结】本题考查韦达定理，的灵活应用，而且还考查了一元二次方程的根的灵活应用，要注意观察，另外化简二次根式时注意符号的变化．








课后作业



【作业1】 已知代数式是一个完全平方式，则=_____________．
【难度】★
【答案】．
【解析】因为代数式是一个完全平方式，所以，解得：．
【总结】本题考查了完全平方式的知识，可用配方法，也可用根的判别式来解决问题．




【作业2】 以下说法正确的有几个：
（1）方程，有两个根；
（2）方程两边同除以x，解得方程的解为；
（3）因为一个数的平方不可能是负数，所以方程无解；
（4）对于方程，因为无论x取何值，和都不可能相等，所
以方程无解．
【难度】★
【答案】只有（1）正确．
【解析】（1）；（2）方程的解为；（3）方程化简整理，得：，
虽然此方程无解，但是题目中给出的原因是错误的；
（4）原方程可化为，所以方程有解．
【总结】本题考查了一元二次方程的解法及根的情况．


【作业3】 如果是方程的两根，求下列各式的值：
（1）； （2）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】由韦达定理得．
（1）原式=；（2）原式=．
【总结】本题考查了韦达定理的应用．



【作业4】 用适当的方法解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）．
【解析】（1）直接开平方，得：；
（2）由题知，得：；
（3）由题知，得：；
（4）由题知，得：；
（5）由题知，得：；
（6）由题知，得：．
【总结】本题考查一元二次方程的解法，要能灵活应用简便方法解方程．



【作业5】 用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）；
（4）．
【解析】（1）因式分解得：，即，
所以原方程的解为：；
（2）由题知，所以原方程的解为：；
（3）由题知，得，
所以原方程的解为：；
（4）由题知，所以原方程的解为：．
【总结】本题考查一元二次方程的解法，要能灵活应用简便方法解方程．

【作业6】 用适当的方法解下列关于x方程：
（1）；
（2）；
（3）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）由题得：，所以，所以原方程的解为：；
（2）因式分解，得：，所以原方程的解为：；
（3）因式分解，得：，所以原方程的解为：．
【总结】本题考查一元二次方程的解法，要能灵活应用简便方法解方程．



【作业7】 若的两个根，求的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由韦达定理，得：．
原式=．
【总结】本题考查了韦达定理的应用以及整体代入思想的运用．


【作业8】 已知关于x的方程有一个根是0，求另一个根及m的值．
【难度】★★
【答案】另一根为，m的值．
【解析】原方程可整理为，得：．
因为，所以，解得：，代入可得方程的另一根为．
【总结】本题考查了因式分解法解一元二次方程，并考查了分式的意义．

【作业9】 已知的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由可将原方程化简为：，令，
可得：，解得：，即．
【总结】本题考查一元二次方程的应用，合理利用可节省解题时间．



【作业10】 解关于x的方程．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】原方程可变为，由题知，
得，所以，得：．
【总结】本题考查一元二次方程的解法，还有绝对值方程的解法．





【作业11】 已知方程的两根是，设，，．．．，（n是正整数）．
（1） 求的值；
（2） 求证： ．
【难度】★★★
【答案】（1）80；（2）略．
【解析】由题知：．
（1）

；
（2）
，得证．
【总结】本题考查了一元二次方程的根与一元二次方程之间的关系，要灵活应用，并要掌握降次的方法．