苏教版 高中数学 选择性必修第一册 活动单导学课程 2.2.3　直线与圆的位置关系(3)（含解析）

2．2.3　直线与圆的位置关系(3)

1. 综合运用直线与圆的位置关系解决复杂的问题．

2. 体会数形结合思想及分类讨论思想在直线与圆的位置关系中的应用．

例1　过点A(4，1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，求圆C的方程．

例2　已知圆C过点A(1，2)，B(3，4)且在x轴上截得的弦长为6，求圆C的方程．

例3　已知直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，证明：当m∈R时，直线l与圆C必相交，并求相交弦长的最小值及对应的m的值．

例4　已知圆C过点M(0，－2)，N(3，1)，且圆心C在直线x＋2y＋1＝0上．

(1) 求圆C的方程；

(2) 设直线ax－y＋1＝0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(2，0)的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

1. 圆x2＋y2＝16上的点到直线x－y＝3的距离的最大值为(　　)

A.   B. 4－  C. ＋4  D. 0

2. 圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为的点的个数为(　　)

A. 1  B. 2  C. 3  D. 4

3. (多选)(2021·南京期中)在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点(－2，0)，(0，2)，则下列说法中正确的是(　　)

A. 圆C的半径大于2

B. 圆心C不可能在第一象限

C. 当圆心C在x轴上时，圆C的周长为4π

D. 当圆心C在第四象限时，圆C截y轴所得的弦长大于8

4. 在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．

5. 如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，岛A在岛O的北偏东45°方向，与岛O相距40 km，岛B在岛O的正东方向，与岛O相距20km.以O为坐标原点，为x轴的正方向，1km为1个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点．

(1) 求圆C的方程；

(2) 若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在岛O的南偏西30°方向，与岛O相距40km，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？

参考答案与解析

【活动方案】

例1　由题意，得直线AB的方程为y＝1，

所以线段AB的中垂线方程为x＝3.①

过点B且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0.②

联立①②，解得

所以圆心坐标为(3，0)，

半径r＝＝，

所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2.

例2　设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.

因为圆C过点A(1，2)，B(3，4)，

所以①

因为圆C在x轴上截得的弦长为6，

令y＝0，则x2＋Dx＋F＝0，

所以|x1－x2|＝＝6.②

由①②，解得或

故圆C的方程为x2＋y2＋12x－22y＋27＝0或x2＋y2－8x－2y＋7＝0.

例3　直线l的方程整理为(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，

令解得

所以直线l过定点(3，1)．

又因为(3－1)2＋(1－2)2＝5<25，

所以点(3，1)在圆C内，所以直线l与圆C必相交．

圆心(1，2)与定点(3，1)的连线l1的斜率k＝－，

当l1⊥l时，直线l与圆C相交的弦长最小，

则－＝2，解得m＝－，

所以相交弦长的最小值为2×＝4.

例4　(1) 设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

则解得

所以圆C的方程为x2＋y2－6x＋4y＋4＝0.

(2) 假设符合条件的实数a存在．

因为直线l垂直平分弦AB，

所以圆心C(3，－2)必在直线l上，

所以直线l的斜率kPC＝－2.

又kAB＝a＝－，所以a＝.

将直线ax－y＋1＝0与圆C方程联立，

消去y并整理，得(a2＋1)x2＋6(a－1)x＋9＝0.

因为直线ax－y－1＝0交圆C于A，B两点，

所以Δ＝36(a－1)2－36(a2＋1)>0，解得a<0，

与a＝矛盾，故假设不成立，

故不存在实数a，使得过点P(2，0)的直线l垂直平分弦AB.

【检测反馈】

1. C　解析：圆心(0，0)到直线x－y＝3的距离为＝，则该圆到直线x－y＝3的距离的最大值为＋4.

2. C　解析：圆的一般方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，则圆心坐标为(－1，－2)，圆的半径为2，所以圆心到直线l的距离为＝＝r，所以和直线l平行的圆的直径的两个端点及直线l上方且与直线l平行的圆的切线的切点到直线l的距离都为，即共有3个点到直线l的距离为.

3. BD　解析：由题意可设M(－2，0)，N(0，2)，对于A，MN＝＝4，则圆C的半径≥2，故A错误；对于B，MN的中垂线方程为x＋y＋2＝0，可知该直线不过第一象限，且圆心C在该直线上，所以圆心C不可能在第一象限，故B正确；对于C，当圆心C在x轴上时，可令直线x＋y＋2＝0中的y＝0，解得x＝－，即 C，则其半径为2－＝，所以周长为2πr＝，故C错误；对于D，因为直线x＋y＋2＝0过定点(0，－2)，且圆心C在第四象限，所以圆心的纵坐标小于－2，则圆C截y轴所得的弦长大于8，故D正确．故选BD.

4. 10　解析：将圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－3)2＝10.由圆的性质可知最长弦AC＝2，最短弦BD是以E(0，1)为中点，且与AC垂直的弦．设点F为其圆心，坐标为(1，3)，故EF＝，所以BD＝2×＝2，所以S四边形ABCD＝AC·BD＝10.

5. (1) 由题意，得A(40，40)，B(20，0)，

设过O，A，B三点的圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则

解得D＝－20，E＝－60，F＝0，

故圆C的方程为x2＋y2－20x－60y＝0.

(2) 该船初始位置为点D，则D(－20，－20)，

且该船航线所在直线l的斜率为1，

故该船航线所在直线l的方程为x－y＋20－20＝0.

由(1)，得圆心C(10，30)，半径r＝10，

所以圆心C到直线l的距离d＝＝10<10，

故该船有触礁的危险．