苏教版 高中数学 选择性必修第一册 活动单导学课程 2.1.2圆的方程(2)（含解析）

2．1.2　圆的方程(2)

1. 掌握圆的一般方程并能将圆的一般方程化成圆的标准方程．

2. 会求与圆有关的简单的轨迹方程问题．

　　1. 复习巩固：圆的标准方程是什么？

思考1

将圆的标准方程展开，得到的是关于x，y的什么形式的方程？

思考2

形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程，它一定表示圆吗？

(1) 当D2＋E2－4F>0时，关于x，y的二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的点的轨迹是什么？

(2) 当D2＋E2－4F＝0时，关于x，y的二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的点的轨迹是什么？

(3) 当D2＋E2－4F<0时，关于x，y的二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的点的轨迹是什么？

2. 圆的一般方程：

思考3

圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？

例1　下列方程是否表示圆？若表示圆，写出圆心的坐标和半径．

(1) x2＋y2－4x＝0；

(2) x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；

(3) x2＋y2－4x－2y＋5＝0；

(4) 2x2＋2y2－4x＋6＝0.

例2　已知△ABC的三个顶点为A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)，求△ABC外接圆的方程．

思考4

(1) 根据圆的一般方程，确定一个圆需要几个独立条件？

(2) 用待定系数法求圆的一般方程的步骤是什么？

(3) 例2还有其他解法吗？

思考5

若圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则如何判断点A(m，n)与圆的位置关系？

例3　已知点M(x，y)到两个定点A(－3，0)，B(3，0)的距离之比为2，求x，y满足的关系式，并指出满足条件的点M所构成的曲线．

思考6

已知平面上两个定点A，B，动点M满足＝λ(λ>0)，则点M的轨迹是什么？建立适当的直角坐标系，写出其轨迹方程．

1. “m>”是“x2＋y2－2mx－m2－5m＋3＝0为圆方程”的(　　)

A. 充分不必要条件  B. 必要不充分条件

C. 充要条件  D. 既不充分又不必要条件

2. 过点(，1)的直线l平分了圆：x2＋y2－4y＝0的周长，则直线l的倾斜角为(　　)

A. 30°  B. 60°  C. 120°  D. 150°

3. (多选)已知直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于A，B两点，弦AB的中点为M(0，1)，则实数a的取值可能为(　　)

A. 1  B. 2  C. 3  D. 4

4. 已知圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，当圆面积最大时，圆心坐标为________.

5. 已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，求圆的一般方程．

参考答案与解析

【活动方案】

1. (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．

思考1：将圆的标准方程展开，得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，由此可见，圆的方程具有如下形式：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.

思考2：由x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，得＋＝(D2＋E2－4F)，方程表示的不一定是圆．

(1) 当D2＋E2－4F>0时，方程表示以(－，－)为圆心，为半径的圆．

(2) 当D2＋E2－4F＝0时，方程只有一个解，表示一个点.

(3) 当D2＋E2－4F<0时，方程无实数解，不表示任何图形．

2. x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．

思考3：圆的标准方程的特点：可以直接看出圆的圆心和半径；

圆的一般方程的特点：若知道圆上三点坐标，则可直接得到圆的一般方程，即解出D，E，F，其中D2＋E2－4F>0，适用于方程参数的解答．

例1　(1) 因为(－4)2＋0－0＝16>0，所以方程x2＋y2－4x＝0表示一个圆，圆心为(2，0)，半径为2.

(2) 方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0不表示一个圆．

(3) 因为(－4)2＋(－2)2－4×5＝0，所以方程x2＋y2－4x－2y＋5＝0不表示一个圆．

(4) 2x2＋2y2－4x＋6＝0可化成x2＋y2－2x＋3＝0.因为(－2)2＋0－4×3＝－8<0，所以方程2x2＋2y2－4x＋6＝0不表示一个圆．

例2　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.

因为点A，B，C在所求的圆上，

所以解得

故所求圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋5＝0.

思考4：(1) 确定一个圆需要3个不在一条直线上的点．

(2) 略

(3)由题意，得AC的中点为，直线AC的斜率为1，

则线段AC的垂直平分线的方程为y－＝－，即y＝－x＋4.

同理可得线段BC的垂直平分线的方程为y＝－2x＋7.

联立解得

故△ABC外接圆圆心的坐标为(3，1)，

则半径为＝，

故△ABC外接圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5.

 思考5：①若m2＋n2＋Dm＋En＋F>0，则点A在圆外；②若m2＋n2＋Dm＋En＋F＝0，则点A在圆上；③若m2＋n2＋Dm＋En＋F<0，则点A在圆内．

例3　依题意，得点M满足＝2.

由MA＝，MB＝，

得＝2，

化简整理，得x2＋y2－10x＋9＝0.　(*)

反过来，可以验证，当x，y满足(*)式时，点M到点A，B的距离之比为2.

因此x，y满足的关系式为x2＋y2－10x＋9＝0.

由x2＋y2－10x＋9＝0，得(x－5)2＋y2＝16，

所以满足条件的点M所构成的曲线为以点(5，0)为圆心，4为半径的圆．

思考6：设定线段AB的长为2a，以线段AB所在直线为x轴，以线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－a，0)，B(a，0)，设M(x，y)，由＝λ，得＝λ，化简，得(1－λ2)x2＋(1－λ2)y2＋2a(1＋λ2)x＋a2(1－λ2)＝0.当λ＝1时，点M的轨迹方程为x＝0，为A，B两点的垂直平分线；当λ>0时，且λ≠1时，配方得点M的轨迹方程为＋y2＝，所以点M的轨迹为圆，圆心为，半径为.

【检测反馈】

1. A　解析：若方程x2＋y2－2mx－m2－5m＋3＝0表示圆，则(－2m)2－4(－m2－5m＋3)>0，解得m<－3或m>，所以“m>”是“x2＋y2－2mx－m2－5m＋3＝0为圆方程”的充分不必要条件．

2. D　解析：由x2＋y2－4y＝0，得圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝4，则圆心为(0，2)．又直线l平分了圆：x2＋y2－4y＝0的周长，故直线l过圆的圆心(0，2)，所以直线l的斜率为k＝＝－，所以直线l的倾斜角为150°.

3. AB　解析：由圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，得a<5.因为弦AB的中点为M(0，1)，故点M在圆内，所以(0＋1)2＋(1－2)2<5－a，则a<3.综上，实数a的取值范围为(－∞，3)．故选AB.

4. (0，－1)　解析：由题意，得圆的标准方程为＋(y＋1)2＝－k2＋1，则0<r2，r2＝1－k2≤1，所以当k＝0时，r有最大值，所以圆心为(0，－1)．

5. 由题意，得圆心C的坐标为.

因为圆心在直线x＋y－1＝0上，

所以－－－1＝0，即D＋E＝－2.①

又r＝＝，所以D2＋E2＝20.②

由①②联立，解得或

因为圆心在第二象限，所以－<0，即D>0，

所以D＝2，E＝－4，

所以圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.