河北省廊坊市第四中学2022-2023学年九年级下学期月考数学试题（解析版）

这是一份河北省廊坊市第四中学2022-2023学年九年级下学期月考数学试题（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，四象限可确定，进而得到解析式．等内容，欢迎下载使用。

2022—2023学年度第二学期第一次质量检测（数学）
一、选择题（共15小题，每小题3分，共48分）
1. 下列函数中，反比例函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依据反比例函数的第三种表达式，可得出正确答案
【详解】A、是一次函数函数，错误；
B、是反比例函数，正确；
C、是正比例函数，错误；
D、的分母上是，错误．
故选B．
【点睛】本题考查反比例函数表达式的三种不同形式，细心观察是正确解题的关键．
2. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据特殊角三角函数值直接求解即可．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
3. 反比例函数的图象经过点，则此函数的图象也经过点（ ）
A. (，2) B. (，4) C. (，) D. (，)
【答案】A
【解析】
【分析】将点代入求出k的值，再根据求解判断即可．
【详解】解：将点代入反比例函数中，
则，．
A.，∴点(，2)在此函数的图象上；
B.，∴点(，2)不在此函数的图象上；
C.，∴点不在此函数的图象上；
D.，∴点不在此函数的图象上．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练运用反比例函数图象上点的坐标满足其解析式是解决本题的关键．
4. 已知，下列变形错误的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等式的性质逐项判断即可．
【详解】A、∵，
∴．
等式两边除以，得
．
化简，得
．
变形正确，该选项不符合题意．
B、∵，
∴．
等式两边除以，得
．
化简，得
．
变形错误，该选项符合题意．
C、由B项计算过程可知，变形正确，该选项不符合题意．
D、等式两边除以，得
．
化简，得
．
变形正确，该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查等式的性质（等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等），牢记等式的性质是解题的关键．
5. 下列各组线段中，成比例的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．
【详解】解：A、由于，所以不成比例，不符合题意；
B、由于，所以不成比例，不符合题意；
C、由于，所以不成比例，不符合题意；
D、由于，所以成比例，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查线段成比例的知识．解决本类问题只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例．
6. 已知反比例函数y＝的图象在第一、三象限内，则k（ ）
A. k＞2 B. k≥2 C. k＜2 D. k≤2
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质：反比例函数的图象在第一、三象限内，则可知2-k＞0，解得k的取值范围即可．
【详解】解：∵反比例函数y=的图象在第一、三象限内，
∴2-k＞0，
解得 k<2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，当k＞0时，双曲线的两个分支在一，三象限，y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两个分支在二，四象限，y随x的增大而增大．
7. 在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度是体积的反比例函数，它的图象如图所示，当时，气体的密度是（ ）．

A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】设密度是体积的反比例函数为，把点代入解析式，根据待定系数法求得的值和函数解析式，再将代入函数，即可解答．
【详解】解：设密度是体积的反比例函数为，
把点代入解析式，可得，解得，
，
当时，（），
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的关系，再利用待定系数法求出他们的解析式．
8. 已知，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由，于是可设，则，代，计算即可求解．
【详解】解：∵，
设，则，其中，
则，
故选：D．
【点睛】此题主要考查比例的性质，设是解题的关键．
9. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据k0可知增减性：在每一象限内，y随x的增大而增大，根据横坐标的大小关系可作判断，也可将x的值代入求出y值作比较得出答案．
【详解】解：点，，在反比例函数的图象上，
，，，
又，
．
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数性质（增减性），解决本题的方法比较多，可以利用反比例函数图象上点的坐标特征求出、、的值然后进行比较，也可以根据题意画出草图，根据三个点的相对位置比较三个点的纵坐标的大小．
10. 如图，在中，，，若，则等于（ ）

A. 7 B. 4 C. 8 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】由，可证，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得的面积，再作差即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴

，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质．关键是利用平行线得相似，利用相似三角形的面积的性质求解．
11. 如图，在的正方形网格降中，已知点均在格点上，其中又在上，点是线段与的交点．则的正切值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同弧所对的圆周角相等，可得，再根据正切的概念，即可解答．
【详解】解：由题意，可得，
在中，，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，锐角三角函数正切的概念，熟练利用圆周角定理把所求角经过等量转换放到直角三角形中是解题的关键．
12. 如图，与位似，点为位似中心，其中，若，则长为（ ）

A 18 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据位似图形的性质得出相似比，进而即可求解．
【详解】解：∵与位似，点位似中心，其中，，
∴，则，
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似的两个图形对应边平行是解题的关键．
13. 如果各边长都缩小为原来的倍，那么锐角A的正弦、余弦值是（  ）
A. 都扩大为原来的2倍 B. 都缩小为原来的
C. 没有变化 D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定定理、正弦、余弦的概念解答．
【详解】三角形各边长度都缩小为原来的倍，
∴得到的三角形与原三角形相似，
∴锐角A的大小不变，
∴锐角A正弦、余弦值不变，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，正弦与余弦的定义，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
14. 如图，点D在的边上，添加下列条件，不能判断的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由相似三角形的判定定理即可得到答案．
【详解】解：，，∽，故选项A不符合题意；
，，∽，故选项B不符合题意；
，但无法确定与是否相等，所以无法判定两三角形相似，故选项C符合题意；
，，∽，故选项D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．
15. 如图，有一艘轮船由东向西航行，在处测得西偏北15°方向上有一灯塔，继续航行20海里后到处，又测得灯塔在西偏北30°方向上．如果轮船航向不变，则灯塔与轮船之间的最近距离是（ ）海里．

A. 10 B. 15 C. 13 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】过P作于D，则PD的长就是灯塔与船之间的最近距离，求出，推出海里，根据含30度角的直角三角形性质求出，代入求出即可．
【详解】解：如图：过P作于D，则的长就是灯塔与船之间的最近距离，

∴，
∵，
∴，
∴海里，
在Rt△PBD中，PB=20海里，∠PBD=30°，
∴海里，
故选A．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的应用，解题的关键是求出的长和得出．
16. 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝CD，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF，其中正确的个数为(　　)

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】设CF=x，则CD=4x， DF=3x，BE=EC=2x，进而可以证明△ABE∽△ECF，得到AB：EC=AE：EF，∠AEB=∠EFC．进而可以证明△ABE∽△AEF，AE⊥EF，从而得到结论．
【详解】∵在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，
设CF=x，则CD=4x，
∴DF=3x，BE=EC=2x，
∴AB：EC=BE：CF=2：1．
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABE∽△ECF，
∴AB：EC=AE：EF，∠AEB=∠EFC．
∵BE=CE，
∴AB：AE=BE：EF，
∵∠FEC+∠EFC=90°，∠AEB=∠EFC，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠AEF=∠B=90°，
∴△ABE∽△AEF，AE⊥EF，
∴②③正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，①有两个对应角相等的三角形相似，②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
二．填空通（共4小通，每小退3分，共12分）
17. 如图，点在反比例函数的图象上，过分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点、，已知矩形的面积为6，则__________．

【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数的几何意义可得，再根据图象在二、四象限可确定，进而得到解析式．
【详解】解：，
，
图象在二、四象限，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义，正确记忆过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于是解题关键．
18. 已知，它们的周长分别为30和15，且，则的长是______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解答．
【详解】解∶，它们的周长分别为30和15，
∴和的相似比为，
∵，
∴，
解得，
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
19. 如图，小正方形的边长均为1，点,,都在格点上，那么的值是______．

【答案】
【解析】
【分析】过 作交 延长线于点，在中，由勾股定理得到的长，进而得到．
【详解】解：过 作交 延长线于点，

， ，
在中，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解直角三角形和勾股定理，利用勾股定理求出的长度是解题的关键．
20. 如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴负半轴和轴正半轴上，点在上，，连接，过点作交的延长线于．若，则的值是______．

【答案】
【解析】
【分析】过点P作x轴的垂线段交于点Q，证明，利用相似三角形的性质得到，再根据平行线分线段成比例，得到的值，根据正切的概念得到的值即可解答．
【详解】解：如图，过点P作x轴的垂线段交于点Q，

，
，
，
，
，，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的概念，根据平行线分线段成比例定理得到是解题的关键．
三．解答题（共5小题，共60分）
21. 如图，在中，，，，点在上，且．求的长和的值．

【答案】，
【解析】
【分析】在中，根据已知条件，得到，进而求出；设，从而，在中，利用勾股定理得到，解得，从而得到．
【详解】解：在中，，，，
，解得；
设，
，
，
，
在中，，，，，则，即，解得，
．
【点睛】本题考查解直角三角形，涉及已知正切值求边长、已知边的关系求正切值问题，熟练掌握正切函数定义、勾股定理求线段长是解决问题的关键．
22. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像都经过点．

（1）求点的坐标和反比例函数表达式．
（2）若点在轴上，且，求点坐标．
（3）若点在该反比例函数图像上，且它到轴距离大于3，请根据图像直接写出的取值范围．
【答案】（1），
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数关系式可求出a的值，再代入反比例函数关系式确定k的值，进而得出答案；
（2）设点B坐标为，根据，列出方程，解之可得结果；
（3）确定m的取值范围，再根据反比例函数关系式得出n的取值范围即可．
【小问1详解】
解：把的坐标代入，即，
解得：，
∴，
又∵点是反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的关系式为；
【小问2详解】
设点B坐标为，
∵，
∴，
解得：，即点B坐标为或；
【小问3详解】
∵点在该反比例函数图象上，且它到y轴距离大于3，
∴或，
当时，，当时，，
由图象可知，
若点在该反比例函数图象上，且它到y轴距离大于3，
则n的取值范围为或．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数与一次函数的图象交点坐标，把点的坐标代入相应的函数关系式求出待定系数是求函数关系式的常用方法．
23. 如图是的弦，是直径，，垂足为，求证：

（1）．
（2）若，，求半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据题意证明，再利用相似三角形的性质，即可解答；
（2）根据相似的性质和正切的概念求得的值，再将代入（1）中结论，求得，即可求得半径．
【小问1详解】
证明：是直径，
，

，
，，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，
由（1）得，
，
，
半径为．
【点睛】本题考查了圆直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的概念，利用条件证明三角形相似是解题的关键．
24. 如图，在中，，，，点从点A出发，沿折线向终点运动，在上以每秒8个单位长度的速度运动，在上以每秒2个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿CA方向以每秒个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点P停止时，点也随之停止．设点运动的时间为秒．

（1）求线段的长；（用含的代数式表示）
（2）当点在边上运动时，求与的一边垂直时的值；
【答案】（1）
（2）0或或
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理和含有30度角直角三角形的三边关系，可得，，相减可得答案；
（2）分三种情况，即分别与的三边垂直，根据含有30度角的直角三角形的三边关系列方程，即可解答．
【小问1详解】
解：在中，，，，
，
，
由题意得，
；
【小问2详解】
解：点在边上运动时，，
当时，在A点，即；
当时，如图所示：

此时，，，
，
，
可得方程，解得，
经检验，是原方程的解；
当时，如图所示：

此时，，，
，
，
可得方程，解得，
经检验，是原方程的解,
综上所述，当点在边上运动时，求与的一边垂直时的值为0或或．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数，学会用分类讨论和方程思想是解题的关键．
25. 在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1.直角尺的直角顶点放在点P处，直角尺的两边分别交AB、BC于点E、F，连接EF(如图1).

(1)当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合(如图2).
①求证：△APB∽△DCP；
②求PC、BC的长.
(2)探究：将直角尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止.在这个过程中(图1是该过程的某个时刻)，观察、猜想并解答：
① tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由.
② 设AE=x，当△PBF是等腰三角形时，请直接写出x的值.
【答案】(1)①证明见解析；②PC=2，BC=5；(2)①tan∠PEF的值不变；②x=或x=或x=.
【解析】
【分析】（1）①由勾股定理求BP，利用互余关系证明△APB∽△DCP；②利用相似比求PC，DP, 再根据BC=AD=AP+DP即可求得BC的长；
（2）①tan∠PEF的值不变．理由为：过F作FG⊥AD，垂足为点G. 则四边形ABFG是矩形，同（1）的方法证明△APE∽△GFP，得相似比，再利用锐角三角函数的定义求值；②利用相似比求GP，再矩形性质求出BF，△PBF是等腰三角形，分三种情况讨论：(Ⅰ) 当PB=PF时，根据BF=2AP求值；当BF=BP时，(Ⅱ)根据BP=求值；(Ⅲ) 当BF=PF时，根据PF=即可求出x值.
【详解】解：(1)①如图3.2，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，CD=AB=2，
∴在Rt△ABC中，
∠1+∠2=90°，BP=.
又∵∠BPC=90°,
∴∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3.
∴△APB∽△DCP.
②由△APB∽△DCP.
∴，即.
∴PC=2，DP=4.
∴BC=AD=AP+DP=5.
(2)①tan∠PEF的值不变.
理由如下：
如图3.1，过F作FG⊥AD，垂足为点G. 则四边形ABFG是矩形.
∴∠A=∠PGF=90°，FG=AB=2，
∴在Rt△APE中，∠1+∠2=90°，
又∵∠EPF=90°,∴∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3.
∴△APE∽△GFP，
∴.
∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=2.
∴tan∠PEF的值不变.

②由△APE∽△GFP.
∴.
∴GP=2AE=2x，
∵四边形ABFG是矩形.
∴BF=AG=AP+GP=2x+1.
△PBF是等腰三角形，分三种情况讨论：
(Ⅰ)当PB=PF时，点P在BF的垂直平分线上.
∴ BF=2AP. 即2x+1=2，
∴x=.
(Ⅱ)当BF=BP时，
BP=BP=
∴2x+1=.
∴x=.
(Ⅲ)当BF=PF时，
∵PF=，
∴(2x)2+22=(2x+1)2，
∴x=.
【点睛】本题是综合题：熟练掌握线段垂直平分线的判定、矩形的性质和相似三角形的判定方法和性质；灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系和计算线段的长；合理作平行线构建相似三角形是解决问题的关键．