河北省邢台市信都区2022-2023学年九年级下学期开学考试数学试题（解析版）

九年级数学试题（冀教版）

考试范围：23—30章

说明：1．本试卷共6页，满分120分．

2．请将所有答案填涂在答题卡上，答在本试卷上无效．

一、选择题（本大题共16个小题，1—10小题各3分，11—16小题各2分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 反比例函数的比例系数是（    ）

A. 3 B. 2 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】将反比例解析式写成的形式即可求解．

【详解】解：

故

故选：D

【点睛】本题考查反比例函数的解析式．掌握公式形式即可．

2. 如图，是叶脉的黄金分割点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据黄金分割数的性质（如果把一条线段分为两部分，使其中较长一段与整个线段的比是黄金分割数，那么较短一段与较长一段的比也是黄金分割数）求解即可．

【详解】根据黄金分割数的性质可知．

故选：A．

【点睛】本题主要考查黄金分割数，牢记黄金分割数的性质（如果把一条线段分为两部分，使其中较长一段与整个线段的比是黄金分割数，那么较短一段与较长一段的比也是黄金分割数）是解题的关键．

3. 二次函数的图象如图所示，那么的值可以是（    ）

A.  B.  C.  D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】对于二次函数：①，图象开口向上；，图象开口向下；②越大，开口越小．

【详解】解：∵的图象开口向下

∴

∵的图象比的图象开口更大

∴

即

A：错误；B：正确；C：错误；D：错误．

故选：B

【点睛】本题考查的图象和性质，熟记相关结论是解题关键．

4. 如图所示两个三角形相似（图中给出部分数据），则的值是（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】D

【解析】

【分析】根据相似三角形对应边成比例，即可解答．

【详解】解：∵图中两个三角形相似，，

∴，

解得：，

故选：D．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．

5. 已知的半径为，点在内，则的长可能为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据点在圆内，即圆的半径的长度大于的长度即可求解．

【详解】解：根据题意，令的半径为，且，点到圆心的距离为，

∵点在圆内，

∴，

故选：．

【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，理解点在圆内是指点到圆心的距离小于半径是解题的关键．

6. 现有，两组数据：数据：，，，数据：，，；若数据的方差为，数据的方差为，则说法正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据方差的公式进行计算即可．

【详解】解：数据的平均数为，

数据的方差为，

数据的平均数为，

方差为，

∴，

故选：A．

【点睛】本题考查了方差的公式，熟练掌握方差的公式是解题的关键．

7. 已知表示两幢大楼，现从点分别对点进行观测，俯角分别为和，若点在同一条直线上，则的度数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】确定点对点进行观测的俯角即可求解．

【详解】解：如图所示：

由题意得：
 

由水平线互相平行可得：

∴

故选：C

【点睛】本题考查俯角的定义：朝下看时，视线与水平面夹角为俯角．掌握相关定义即可求解．

8. 如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，O都在格点上，下列说法正确的是（    ）

A. 点O是ABC的内心 B. 点O是ABC的外心

C. 点O是ABD的内心 D. 点O是ABD的外心

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心即可解决问题．

【详解】解：根据点A，B，C，D，O都在正方形网格的格点上．

可知：点O到点A，B，D的三点的距离相等，

所以点O是△ABD的外心，

故选：D．

【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握内心与外心的定义．

9. 以为位似中心，画出一个矩形，使得所画的矩形与矩形位似，且位似比为，则所画的矩形可以是（    ）

A. ① B. ② C. ③ D. ④

【答案】C

【解析】

【分析】分别连接并延长，，，，即可根据位似的性质判断．

【详解】解：分别连接并延长，，，，根据图形可得只有③中矩形的各点在延长线上，如图：

故选：C．

【点睛】本题考查的是位似的性质，根据位似中心和能代表原图的关键点画出符合条件的位似图形是解题的关键．

10. 某农户，用长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长），且面积为的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为，如图所示，若可列方程为，则★表示的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】确定平行于墙的一边与的关系即可求解．

【详解】解：由题意可得：平行于墙的一边为：

即为：

故选：B

【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意确定长方形的长和宽即可．

11. 小杭同学将自己前7次体育模拟测试成绩（单位：分）统计如表，第8次测试的成绩为a分，若这8次成绩的众数不止一个，则a的值为（    ）

A. 27 B. 28 C. 29 D. 30

【答案】C

【解析】

【分析】根据众数的定义作答即可．

【详解】解：∵前7次体育模拟测试成绩27和30出现了1次，28出现了3次，29出现了2次．这8次成绩的众数不止一个，

∴第8次测试的成绩为29分，

∴a=29．

故选：C．

【点睛】本题考查了众数的定义．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．一组数据的众数可以不止一个．

12. 若函数和函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则坐标系的原点可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据反比例函数的取值，分析即可得到答案．

【详解】解：∵，，

∴的图象在第一象限，的图象在第二象限，

∵，

∴函数的图象更靠近坐标轴，

∴坐标系的纵轴是：，

∴坐标系的原点是：，

故选：C．

【点睛】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．

13. 已知关于的一元二次方程，其中数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（    ）

A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个实数根

【答案】C

【解析】

【分析】先由数轴得出与0的关系，再计算判别式的值即可判断．

【详解】解：由数轴得，，

∴，

∴方程有两个不相等的实数根，

故选：C．

【点睛】本题考查了根的判别式，掌握：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解决问题的关键．

14. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法求抛物线的顶点坐标，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成求解．过程如图所示：

接力中，自己负责的出现错误的是（    ）

A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 乙和丁 D. 甲和丙

【答案】A

【解析】

【分析】将正确进行配方，即可发现错误步骤．

【详解】解：老师—甲： ，故甲错误；

甲－乙：，故乙错误；

乙－丙：，故丙正确；

丙－丁：的顶点坐标为，故丁正确．

A：正确；B：错误；C：错误；D：错误．

故选：A

【点睛】本题考查将抛物线一般式配成顶点式．易错点：直接除以二次项系数、加了常数不减．

15. 对于“过直线外一点作这条直线的垂线”的几何作图，甲、乙均设计了自己的尺规作图的过程：

对于以上作图过程（    ）

A. 甲对 B. 乙对 C. 甲、乙均不对 D. 甲、乙均对

【答案】D

【解析】

【分析】（1）根据垂直平分线定义及在圆中直径所对的圆周角是直角判断甲作图正确；

（2）可证，得到，再根据等腰三角形三线合一性质得到进而判断乙图正确．

【详解】解：由甲图作线段的垂直平分线，交于点，

以为圆心，长为半径作圆，交直线于点，

所以是直径，且在上，

，

，

直线即为所求作的直线

如图，连接，

由乙作图过程可知：，，

在和中

，

，

，

，

，

直线就是所求的直线，

甲、乙的尺规作图都对．

故选：D．

【点睛】本题考查了尺规作图中的复杂作图及垂直平分线定义、圆中直径所对的圆周角是直角、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是正确理解题意，综合利用所学性质做出判断．

16. 如图所示正六边形的面积为6，点是边的中点，连接相交于，若四边形的面积记作，四边形的面积记作，则的值是（    ）

A.  B. 1 C.  D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】，根据正六边形的性质分别求出 即可．

【详解】解：连接，如图所示：

由正六边形的对称性可知：

∴是全等的等边三角形

∴四边形是菱形

同理，

∵

∴

∵点是边的中点

∴

∵

∴

故选：B

【点睛】本题考查了正六边形的性质．将所求面积与正六边形的面积建立联系是解题关键．

二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分．其中18小题第一空2分，第二空1分，19小题每空1分）

17. 面积为的一个三角形，它的底边随着这边上的高的变化而变化．则与之间的关系式为__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据三角形的面积公式可得答案．

【详解】解：由题意可得，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了反比例函数的应用，掌握三角形的面积公式是解答本题的关键．

18. 一元二次方程配方后得，则__________，__________．

【答案】    ①. 4    ②. 5

【解析】

【分析】根据完全平方公式展开，即可求出答案．

【详解】解：∵一元二次方程配方后得，

∴，

∴，

解得：，

故答案为：4；5．

【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是利用完全平方公式展开，比较系数，本题属于基础题型．

19. 小明利用折射定律，（为折射率，为入射角，为折射角）制作了一个测算液体折射率的装置．光线从点按固定角度从空气射入液面，通过调节液面高度，使光线折射后恰好落到点．已知，空气折射率为1，正方形的边长为．

（1）如图1装入某款家用食用油时，恰好__________，该食用油的折射率为__________；

（2）如图2，装入纯净水时，若水的折射率为，则__________．

【答案】    ①. ##0.8    ②. 1.7    ③. ##

【解析】

【分析】（1）根据正弦值的定义及勾股定理即可求解；

（2）先求出，即，即可求解．

【详解】解：（1）∵

∴

设

∴

故

∴

∴

∵

∴

解得：

故答案为：

（2）∵水的折射率为，即

∴

∴

∴

解得：

∴

故答案为：

【点睛】本题以物理知识为背景，考查了三角函数值的定义，勾股定理的应用．掌握锐角三角函数的定义是关键．

三、解答题（本大题共7个小题，满分69分，解答题应写出必要的解题步骤或文字说明）

20. 如图，一量角器所在圆的直径为，其外缘有两点，其读数分别为和．

（1）劣弧所对圆心角=__________；

（2）求的长（结果不求近似值）．

【答案】（1）24    （2）

【解析】

【分析】（1）根据量角器所示的度数计算；

（2）根据弧长公式计算．

【小问1详解】

解：劣弧所对圆心角的度数为．

故填：．

【小问2详解】

解：的长．

【点睛】本题考查的是圆心角的计算与弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．

21. 已知反比例函数y＝（m为常数，且m≠3）

（1）若在其图象的每一个分支上，y随x增大而减小，求m的取值范围；

（2）若点A（2，）在该反比例函数的图象上；

①求m的值；

②当x＜﹣1时，直接写出y取值范围．

【答案】（1）m>3    （2）①m=6；②-3<y<0

【解析】

【分析】（1）解不等式m−3＞0即可；

（2）①把A（2，）代入中，可得m值；

②根据反比例函数关系式，结合x＜−1，列出含y的不等式即可．

【小问1详解】

解：∵在反比例函数图象的每一个分支上，y随x增大而减小，

∴m−3＞0，解得m＞3；

即m的取值范围是m＞3．

小问2详解】

①把A（2，）代入得：m−3＝3，解得m＝6；

②由①可得，

当x＜−1时，，

解得：，

y的取值范围为：−3＜y＜0．

【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解决此类问题一般依据函数关系式构造不等式求解未知数的取值范围．

22. 某学校招募志愿者，甲、乙两班各报名20名同学．现对这40名同学进行基本素质测评（满分10分，且得分均为整数分），测评结束后，把他们的成绩制成不完整的统计图．

（1）请补充完整条形统计图；

（2）若按成绩的高低，分别从甲、乙两班各招募10名志愿者，甲班的佳佳和乙班的音音均得7分，说明他们两人能否被录取；

（3）说明哪个班整体测评成绩较好．

【答案】（1）见解析    （2）佳佳不能被录取；音音可以被录取   

（3）甲班

【解析】

【分析】（1）求出甲班成绩为8分的人数，即补充完整条形统计图；

（2）分别求出两个班成绩的中位数，即可求解；

（3）分别求出两个班成绩的方差，即可求解．

【小问1详解】

解：根据题意得：甲班成绩为8分的人数为人，

补全条形统计图，如下：

  【小问2详解】

解：根据题意得：甲班成绩的中位数为，

乙班成绩的中位数为，

∵，，

∴佳佳不能被录取；音音可以被录取；

小问3详解】

解=，

乙=，

∵，

∴甲班成绩较好．

【点睛】本题主要考查了条形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；中位数，方差，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

23. 嘉淇在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如下所示：

解方程

解：                （第一步）

                （第二步）

∴原方程无实数根                （第三步）

（1）嘉淇的解答过程从第__________步开始出错的，其错误的原因是__________；

（2）请你写出此题的正确的求解过程．

【答案】（1）一，原方程没有化成一般形式   

（2）见解析

【解析】

【分析】（1）运用公式法的前提是将一元二次方程化成一般形式；

（2）将一元二次方程化成一般形式，即可代入公式法求解．

【小问1详解】

解：确定各项系数时，应将一元二次方程化成一般形式

故答案为：一；原方程没有化成一般形式；

【小问2详解】

解：原方程化成一般形式是：

∵，，

∴

∴

即，

【点睛】本题考查利用公式法求解一元二次方程．注意求解过程中的易错点：未将一元二次方程化成一般形式，直接使用公式法．

24. 如图，为上一点，．

（1）求证：；

（2）若平分，，求的长．

【答案】（1）见解析    （2）6

【解析】

【分析】（1）根据三角形的外角等于和它不相等的两个内角和可得，证明即可解答 ．

（2）结合（1）和平分，证明，可得，进而可得答案．

【小问1详解】

证明：∵，，

∴，

又∵，

∴．

【小问2详解】

解：∵平分，

∴，

由（1）知，，

∴，

又∵，

∴，

∴ ，即 ，

∴．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．

25. 如图，是线段的四等分点，以为圆心，为半径作扇形，且，点在半圆上，连接并延长交优弧于点，连接，已知线段．

（1）求证：；

（2）若；

①求证：是优弧所在圆的切线；

②连接，求点到的距离．

【答案】（1）见解析    （2）①见解析；②

【解析】

【分析】（1）根据“SAS”即可求证；

（2）①连接，根据条件证即可；②过C作，由勾股定理可求；连接，过O点作，根据等面积法即可求点到的距离．

【小问1详解】

证明：∵是线段的四等分点

∴

∴

∴，

∵，

∴

【小问2详解】

解：①连接

∵

∴是等边三角形

∴

∴

∵

∴

∴，

∴是优弧所在圆的切线

②过C作于H点，

∵

∴ ，

∵，

∴

∴

连接，过O点作于F点，

∵，

∴OF=

【点睛】本题考查了全等三角形的判定、切线的证明、勾股定理的应用等知识点．掌握相关结论是解题关键．

26. 如图为从游乐场的过山车抽象出来的函数图象，线段是一段平行于轴的水平滑道，，滑道是一段抛物线，最低点，且，滑道是与滑道的形状完全相同，开口方向相反的一段抛物线，其最高点为，点在轴上，．

（1）求抛物线的解析式及线段的长；

（2）求抛物线的解析式，当小车（看成点）沿滑道从运动到的过程中，小车距离轴的垂直距离为时，它到出发点的水平距离是多少？

（3）现在需要对滑道部分进行加固，过作支架轴于点，然后建造如图所示的水平支架和竖直支架，求所有支架（虚线部分）长度之和的最大值及此时点的坐标．

【答案】（1），AB=2   

（2）或或   

（3）有最大值，此时的坐标为

【解析】

【分析】（1）根据顶点式设抛物线的解析式为，待定系数法求得抛物线的解析式为，结合题意可得B点纵坐标为，代入求得，即可求解；

（2）待定系数法求得抛物线的解析式为，结合题意即可求解；

（3）根据顶点式求得顶点坐标，推得，设，则点，推得，，即可求得，根据二次函数的性质即可求得最值．

【小问1详解】

解：抛物线的顶点为，

∴设抛物线的解析式为，

将代入得，

解得：，

∴抛物线的解析式为，

∵轴，，

∴B点纵坐标为，令，

解得：，；

∵，

∴，

∵，

∴．

【小问2详解】

解：∵抛物线是与抛物线的形状完全相同，开口方向相反，

抛物线的解析式为，

∴抛物线的解析式为，

∵，

∴，

将，代入得：

，

解得：，

∴抛物线的解析式为；

当小车距离轴的垂直距离为时，即，

解得：，

或，

解得：，（不符题意，舍去）

∴小车到出发点A的水平距离为或或．

【小问3详解】

解：由抛物线，可得顶点，

∴，，

设，则点

则，，

∴所有支架的长度和

化简，得

∵，，

∴当时，有最大值，最大值为，

此时的坐标为．

【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，求二次函数的函数值，二次函数的性质等，熟练掌握二次函数的解析式和性质是解题的关键．