高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.2 排列与组合教案设计

6.2.4 组合数

一、内容与内容解析

1.内容：组合数的定义和表示，推导组合数公式及性质；利用组合数公式求具体问题的组合数；

2.内容解析：

（1）在组合基础上给出组合数的概念：给出组合数公式的主要目的是为了更加便捷地求出不同组合的个数。有了组合数的定义和符号表示，为导出组合数公式奠定了基础。在组合数概念教学中，要注意引导学生区分组合数和组合两个概念。

（2）组合数公式的推导：推导组合数公式的关键在于引导学生探究组合和排列的关系，发现排列可以分为“先取元素分组，再对组内元素全排列”两个步骤。为了让学生充分经历“发现”的过程，教材从具体问题“从4个不同元素中取出3个元素的排列数与组合数的关系”出发，为学生设置认知台阶，并将具体结果推广为一般形式，得到组合数公式。

（3）组合数公式的理解和性质：引导学生把握组合数公式的特点，掌握组合数公式的连乘形式与阶乘形式，并通过例题发现在时，选择连乘形式计算更为简单，当时，选择阶乘形式计算更为简单；通过计算简单的组合数，发现组合数的简单性质，从组合数的意义和组合数的计算公式两个方面进行证明。

（4）组合数公式的应用：能够利用组合的知识，解决一些简单的组合问题，及时巩固组合数公式，形成解决组合问题的一般方法，即“先分类，后分步”的解题策略。

3.教学重点：

理解组合数的概念、推导组合数的公式及性质

二、目标与目标解析

1.目标

（1）理解组合和组合数的概念，能够区分组合数和组合；

（2）通过探索排列和组合的关系，利用计数原理推导组合数公式；

（3）通过组合数的计算，体会“数学运算”，通过探索排列和组合的关系，体会“逻辑推理”

2.目标解析

达成以上目标的标志是：

（1）能在组合基础上给出组合数的定义和表示，并能区别组合和组合数；

（2）通过利用计数原理分析和解决具体的组合问题，由组合数与排列数的关系得到所求组合数，再将具体结果归纳为一般形式，从而得到组合数公式，并能利用公式求具体问题的组合数；

（3）通过组合数的计算和推导，提高分析和解决问题的能力，发展数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养

三、教学问题诊断解析

1. 问题诊断

（1）推导组合数的公式是第一个教学问题，也是本节课的难点。与推导排列数公式不同，推导组合数公式不仅需要将具体情况归纳为一般情况，还要研究组合与排列的关系，通过建立有关排列数与组合数的等量关系式得到组合数公式，学生对此的理解会有一定困难。教学中应该紧扣实际案例，引导学生利用分步乘法计算原理分析具体问题，发现排列可以分为“先取元素分组，再对组内元素全排列”两个步骤，从而得到，并认识到等式两边是对同一个问题作出的两个等价解释。

（2）利用组合数公式解决具体问题是第二个教学问题，也是本节课的难点。在解决问题时，需要正确选择计数原理，辨别排列问题和组合问题，正确运用排列数公式和组合数公式，这对学生来说有一定难度。其次，对于综合问题，要同时使用分类加法和分步乘法两种计数原理。

2. 教学难点：推导和应用组合数公式

四、教学支持条件分析

当和较小时，可以通过手算得出。当和较大时，可以利用计算工具计算组合数。一般的计算工具可以直接求阶乘，利用阶乘形式的组合数公式可以计算。有的信息技术工具含有计算组合数的构造函数，可以直接求得组合数。本节课使用Excel内置函数作为教学支持条件。

五、教学过程设计

1.温故知新

问题1 从集合中取出3个元素组成三元子集，共有哪些不同的子集？

引导语 在问题1中，我们通过列举数数的方式得到各问题的组合个数，但随着元素个数的增加，这种方法越来越繁琐了。能否像排列一样，也能找到计算组合个数的公式，从而能便捷得求出组合个数？

定义：类比排列数，我们引进组合数的概念——从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示。

辨析：组合与组合数的区别。

[设计意图]结合已解决的具体问题，类比排列数给出组合数的定义和表示，并与相似的组合概念做对比，引入组合数公式。

2.新知探究

问题2 前面已经提到，组合与排列有关系，能否利用这种关系，由排列数来求组合

呢？

追问（1） 求从4个不同的元素中取出3个元素的排列数和组合数.

师生活动：列举从4个不同的元素中取出3个元素的排列和组合，以“元素相同”作为标准将排列分为4组，每组中元素的全排列有种，得出.分析等式两边的实际意义，可以发现“从4个不同元素中任取3个的排列”可以分为两步完成：第1步，从4个元素中任取3个作为组合；第2步，将取出的3个元素作全排列。所以，.

追问（2） 将求的方法推广为一般形式，如何求组合数？

师生活动：求“从个不同元素中任取个元素的排列数”，可以由以下两步得到：

第1步：从个不同元素中任取个元素作为一组，共有种不同的取法；

第2步：将取出的个元素作全排列，共有种不同的排法。

根据分布乘法计数原理，有，因此

追问（3）：由的公式，你能得到的公式吗？

师生活动：

规定：

[设计意图]从一个具体问题出发，利用排列数求出组合数，由具体推广到到一般，用同样的方法得到组合数的公式，发展逻辑推理的核心素养。

3.学以致用

例1  计算：（1） （2） （3）  （4）

追问：观察（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现和猜想？

师生活动：可以发现，.这两组组合数的共同特征是：两个组合数的下标相同，且上标之和等于下标，由此可以猜想：.

证明：，，所以.

从组合数的含义也可以解释上述等式：当确定取出哪些m个元素时，剩余的n-m个元素也确定下来，所以取m个元素的每一个组合，与选出剩余n–m个元素的每一个组合是一一对应的。所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，与从n个不同元素中取出n–m个元素的组合数是相等的。

[设计意图]通过利用公式求组合数，以把握公式的结构，加深对公式的理解。通过追问深入思考，发现组合数的对称性，提出猜想，并从组合数的计算和意义两个角度进行证明,提升数学运算、逻辑推理等核心素养。

例2  一个口袋里有7个不同的白球和1个红球，从中取出5个球：

（1）共有多少种不同的取法？

（2）如果必须取红球，共有多少种不同的取法？

（3）如果不取红球，共有多少种不同的取法？

解：（1）是一个组合问题，有种取法。

（2）因为红球只有1个，所以只需从剩余的7个白球中取出4个白球即可，

有种取法。

（3）方法1：问题转化为“从7个不同白球中取出5个白球”，

故有种取法。

方法2（间接法）：不取红球，可以理解为从“任意取出5个球”中，去掉“必须取红球”即可。结合前2问的结论可以得到：种取法

从问题（3）的直接法和间接法中，我们又发现一个有趣的结论：

，即

追问： 你能解释 的意义吗？

师生活动：从分类加法计数原理解释上述公式，猜想组合数的性质2:，从组合数的意义进行证明，从组合数的计算公式证明留给学生作课后作业。

[设计意图]应用巩固组合数公式，学会解决简单的组合问题。追问给学生留下探索的空间，引导学生利用组合的定义和两个计数原理进行证明。

例3  在100件产品中，有98件合格品，2件次品。从这100件产品中任意抽出3件。

（1）有多少种不同的抽法？

（2）抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？

（3）抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？

解：（1）这是个从100个元素中取3个的组合问题，所以抽法的种数为

（2）从2件次品中抽出1件有种抽法，从98件合格品中抽出2件的抽法有种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为

（3）方法1（直接法）：3件产品中至少1件为次品，包括有1件次品和2件次品两种情况，根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件次品的抽法种数为

方法2（间接法）：抽出的3件中至少有1件次品的抽法种数，就是从100件产品种抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即

追问 你能总结一下解决组合问题的思路和方法吗？

师生活动：引导学生梳理解决组合问题的一般思路——先分类，后分步；对于含有“至少”、“至多”等关键词的问题，可以使用直接法或间接法，通过分析两种方法的计算复杂度进行选择。

演示：当和较小时，可以通过手算得出。当和较大时，可以利用Excel等计算工具计算组合数。

[设计意图]通过应用公式解决问题，及时巩固组合数公式，形成解决组合问题的一般方法，提升数学建模和数学运算的核心素养，学会用计算工具来计算组合数。

4.课堂小结

1.组合数的公式

2.组合数的性质

3.解决组合问题

“先分类，后分步”    直接法  间接法

4.发展能力  

提高分析问题、解决问题的能力，

              发展数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养

[设计意图]回顾本堂课的主要内容，明确组合数的概念、回顾组合数公式的推导和性质，总结解决组合问题的一般方法，提高学生分析问题、解决问题的能力，发展数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养。

六.板书设计

七、目标检测设计

1.计算

（1）   （2）   （3）   （4）

2.求证

（1）   （2）

[设计意图]选择合适的组合数公式进行运算和证明，检测学生对于组合数公式的掌握情况，促进学生记住公式，并掌握公式的使用。

3.从含有3件次品的100件产品中，任意抽取5件进行检验

（1）       抽出的产品都是合格品的抽法有多少种？

（2）       抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法有多少种？

（3）       抽出的产品中至少有2件是次品的抽法有多少种？

（4）       抽出的产品中至多有2件是次品的抽法有多少种？

[设计意图]通过应用进一步熟悉解决组合问题的一般方法，提高分析和解决问题的能力。