选择性必修 第三册6.2 排列与组合教案

第六章计数原理

6.2　排列与组合

6.2.3　组合　6.2.4　组合数

课后篇巩固提升

基础达标练

1.某新农村社区共包括8个自然村,且这些村庄分布零散,没有任何三个村庄在一条直线上,现要在该社区内建“村村通”工程,共需建公路的条数为(　　)

A.4 B.8 C.28 D.64

解析由于“村村通”公路的修建是组合问题,故共需要建=28(条)公路.

答案C

2.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动,若选出的4人中既有男生又有女生,则不同的选法共有(　　)

A.140种 B.120种 C.35种 D.34种

解析若选1男3女有=4(种);若选2男2女有=18(种);若选3男1女有=12(种).所以共有4+18+12=34(种)不同的选法.故选D.

答案D

3.已知,则n等于(　　)

A.14 B.12 C.13 D.15

解析由题意,得,故7+8=n+1,解得n=14.

答案A

4.(2019北京高二期末)某校有6名志愿者,在放假的第一天去北京世园会的中国馆服务,任务是组织游客参加“祝福祖国征集留言”“欢乐世园共绘展板”“传递祝福发放彩绳”三项活动,其中1人负责“征集留言”,2人负责“共绘展板”,3人负责“发放彩绳”,则不同的分配方案共有(　　)

A.30种 B.60种 C.120种 D.180种

解析从6人中选1人负责“征集留言”,从剩下的人中选2人负责“共绘展板”,最后剩下的3人负责“发放彩绳”,则不同的分配方案共有=60(种).故选B.

答案B

5.(2020浙江高三专题练习)安排A,B,C,D,E,F共6名义工照顾甲、乙、丙三位老人,每两位义工照顾一位老人,考虑到义工与老人住址距离问题,义工A不安排照顾老人甲,义工B不安排照顾老人乙,则安排方法共有              (　　)

A.30种 B.40种 

C.42种 D.48种

解析6名义工照顾三位老人,每两位义工照顾一位老人共有=90(种)安排方法,

其中A照顾老人甲的情况有=30(种),

B照顾老人乙的情况有=30(种),

A照顾老人甲,同时B照顾老人乙的情况有=12(种).

故符合题意的安排方法有90-30-30+12=42(种).

故选C.

答案C

6.若已知集合P={1,2,3,4,5,6},则集合P的子集中含有3个元素的子集数为　　　　. 

解析由于集合中的元素具有无序性,因此含3个元素的子集个数与元素顺序无关,是组合问题,共有=20(个)子集.

答案20

7.不等式-n<5的解集为　　　　. 

解析由-n<5,得-n<5,∴n2-3n-10<0.解得-2<n<5.由题设条件知n≥2,且n∈N*,∴n=2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}.

答案{2,3,4}

8.若对任意的x∈A,则∈A,就称A是“具有伙伴关系”的集合.集合M=-1,0,,1,2,3,4的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为　　　　. 

解析具有伙伴关系的元素组有-1;1;,2;,3,共4组.所以集合M的所有非空子集中,具有伙伴关系的非空集合中的元素,可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组.又因为集合中的元素是无序的,所以所求集合的个数为=15.

答案15

9.某区有7条南北向街道,5条东西向街道.(如图)

(1)图中有多少个矩形?

(2)从A点走向B点最短的走法有多少种?

解(1)在7条南北向街道中任选2条,5条南北向街道中任选2条,这样4条线可组成一个矩形,故可组成矩形有=210(个).

(2)每条东西向的街道被分成6段,每条南北向街道被分成4段,从A到B最短的走法包括10段,其中6段方向相同,另4段方向也相同,每种走法,即是从10段中选出6段,这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的),共有=210(种)走法.

能力提升练

1.楼道里有12盏灯,为了节约用电,需关掉3盏不相邻的灯,则关灯方案有(　　)

A.72种 B.84种 C.120种 D.168种

解析需关掉3盏不相邻的灯,即将这3盏灯插入9盏亮着的灯形成的10个空中,所以关灯方案共有=120(种).

答案C

2.(2020黑龙江海林朝鲜族中学高二月考)若=42,则=(　　)

A.60 B.70 C.120 D.140

解析∵=42=×2×1,

解得n=7,

∴=140.

故选D.

答案D

3.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为(　　)

A.33 B.34  C.35 D.36

解析①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有=12(个);

②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有=18(个);

③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有=3(个).

故共有符合条件的点的个数为12+18+3=33(个).故选A.

答案A

4.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有(　　)

A.50种 B.60种 

C.120种 D.210种

解析先安排甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有6种:(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7).甲任选一种为,然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观,安排方法有种,按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法=120(种),故选C.

答案C

5.(多选)(2020江苏盐城大丰新丰中学高二期中)有13名医生,其中女医生6人,现从中抽调5名医生组成医疗小组前往湖北疫区,若医疗小组至少有2名男医生,同时至多有3名女医生,设不同的选派方法种数为N,则下列等式能成为N的算式是(　　)

A. B.

C. D.

解析13名医生,其中女医生6人,男医生7人.

(方法一　直接法)2男3女;3男2女;4男1女;5男,所以N=.

(方法二　间接法)13名医生,任取5人,减去4、5名女医生的情况,即N=.

故选BC.

答案BC

6.某同学有同样的画册2本、同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有　　　　种. 

解析依题意,就所剩余的1本进行分类:

第1类,剩余的是1本画册,此时满足题意的赠送方法有4种;

第2类,剩余的是1本集邮册,此时满足题意的赠送方法有=6(种).

因此,满足题意的赠送方法共有4+6=10(种).

答案10

7.4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中,则恰好有1个空盒子的放法有　　　　种. 

解析由题意知,必有1个盒子内放入2个小球,从4个小球中取出2个小球,有种取法,此时把它看作1个小球,与另2个小球共3个小球放入4个盒子中,有种放法,所以满足题意的放法有=144(种).

答案144

8.(1)计算:.

(2)求证:+2.

(1)解原式=×1==56+4 950=5 006.

(2)证明由组合数的性质可知,

右边=()+()==左边.

所以原等式成立.

素养培优练

1.有9本不同的课外书,分给甲、乙、丙三名同学,求在下列条件下,各有多少种分法?

(1)甲得4本、乙得3本、丙得2本;

(2)一人得4本、一人得3本、一人得2本;

(3)甲、乙、丙各得3本.

解(1)分三步完成:

第1步,从9本不同的书中,任取4本分给甲,有种方法;

第2步,从余下的5本书中,任取3本给乙,有种方法;

第3步,把剩下的书给丙,有种方法,

所以甲得4本、乙得3本、丙得2本,共有=1 260(种)不同的分法.

(2)分两步完成:

第1步,按4本、3本、2本分成三组有种方法;

第2步,将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人,有种方法,所以一人得4本、一人得3本、一人得2本,共有=7 560(种)不同的分法.

(3)用与(1)相同的方法即可求解,可得甲、乙、丙各得3本,共有=1 680(种)不同的分法.

2.(2020吉林梅河口第五中学高二月考)按照下列要求,分别求有多少种不同的方法?

(1)5个不同的小球放入3个不同的盒子;

(2)5个不同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球;

(3)5个相同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球;

(4)5个不同的小球放入3个不同的盒子,恰有1个空盒.

解 (1)5个不同的小球放入3个不同的盒子,每个小球都有3种可能,利用分步乘法计数原理可得不同的方法有35=243(种).

(2)5个不同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球,先把5个小球分组,分法有2,2,1和3,1,1两种,再放入3个不同的盒子,故不同的方法共有=150(种).

(3)5个相同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球,类似于在5个小球间的空隙中,放入2个隔板,把小球分为3组,故不同的方法共有=6(种).

(4)5个不同的小球放入3个不同的盒子,恰有一个空盒,先把5个小球分2组,分法有3,2,0和4,1,0两种,再放入3个不同的盒子,故不同的方法共有(=90(种).