人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.3 直线的交点坐标与距离公式教学设计

2.3.1两条直线的交点坐标（第一课时）

(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第二章)

教学目标

1. 知识与技能

会求利用二元一次方程组的解的情况来判断直线和直线是否相交，并能熟练地求出交点.

2. 过程和方法

1）经历两直线交点坐标的求法，会初步判断两直线位置关系：相交或平行.

2）学会用代数方程的解来研究平面中两条直线的位置关系.           

3. 情感、态度和价值观

  感受用代数方法研究几何问题的方便,增强学习解析几何学的信心.

教学重点，难点

重点：判断两直线是否相交，求交点坐标。

难点：两直线相交与二元一次方程的关系。

教学过程

导语

在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点、直线相关的距离问题等．

一、求相交直线的交点坐标

问题1　已知两条直线l1：x＋y－5＝0，l2：x－y－3＝0，画出两条直线的图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系？

提示　直线l1，l2的图象如图所示．点M既在直线l1上，也在直线l2上．满足直线l1的方程x＋y－5＝0，也满足直线l2的方程x－y－3＝0.

即交点坐标是方程组的解．

知识梳理

已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组的解．

例1　求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．

解　方法一　由方程组

解得

即l1与l2的交点坐标为(－2,2)．

∵直线过坐标原点，

∴其斜率k＝＝－1.

故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0.

方法二　∵l2不过原点，

∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，

即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.

将原点坐标(0,0)代入上式，得λ＝1，

∴直线l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.

反思感悟　求与已知两直线的交点有关的问题，可有以下两种解法：

(1)先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再利用其他条件求解．

(2)运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解．

跟踪训练1　求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．

解　方法一　由方程组

得即P(0,2)．

∵l⊥l3，l3的斜率为，

∴kl＝－，

∴直线l的方程为y－2＝－x，

即4x＋3y－6＝0.

方法二　∵直线l过直线l1和l2的交点，

∴可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，

即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.

∵l与l3垂直，

∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11，

∴直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0.

二、判断两直线位置关系的方法

知识梳理

已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)：

注意点：

(1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．

有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.

(2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．

例2　(教材P71例2改编)分别判断下列直线是否相交，若相交，求出交点坐标．

(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；

(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；

(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.

解　　(1)方程组的解为

因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)．

(2)解方程组

①×2得4x－12y＋8＝0.

①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合．

(3)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.

反思感悟　判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．

跟踪训练2　已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是______.

答案　

解析　由得

由得

所以－<a<2.

三、直线系过定点问题

问题2　观察下面的图象，发现直线都经过点M(4,1)，怎么表示出经过M点的直线方程？

提示　当斜率存在时，y－1＝k(x－4)(k∈R)；当斜率不存在时，x＝4.

知识梳理

1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．

2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0.

3．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．

例3　无论m为何值，直线l：(m＋1)x－y－7m－4＝0恒过一定点P，求点P的坐标．

解　∵(m＋1)x－y－7m－4＝0，

∴m(x－7)＋(x－y－4)＝0，

∴∴

∴点P的坐标为(7,3)．

反思感悟　解含参数的直线恒过定点问题的策略

(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．

(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)．

跟踪训练3　已知直线(a－2)y＝(3a－1)x－1，求证：无论a为何值，直线总经过第一象限．

证明　将直线方程整理为a(3x－y)＋(－x＋2y－1)＝0.

因为直线3x－y＝0与x－2y＋1＝0的交点为，

即直线系恒过第一象限内的定点，

所以无论a为何值，直线总经过第一象限．

1．知识清单：

(1)两条直线的交点．

(2)直线系过定点问题．

2．方法归纳：消元法、直线系法．

3．常见误区：对两直线相交条件认识模糊．

1．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　　)

A．(3,2)   B．(2,3)

C．(－2，－3)   D．(－3，－2)

答案　B

解析　解方程组得

2．不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点(　　)

A．(－3，－1)   B．(－2，－1)

C．(－3,1)   D．(－2,1)

答案　C

解析　直线l的方程可化为m(x＋2y＋1)－x－3y＝0，

令解得

∴直线l恒过定点(－3,1)．故选C.

3．斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为______________．

答案　2x＋y－4＝0

解析　设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0，

即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0，

∴k＝＝－2，解得λ＝5.

∴所求直线方程为2x＋y－4＝0.

4．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k＝________.

答案　－

解析　解方程组得

又该点(－1，－2)也在直线x＋ky＝0上，

∴－1－2k＝0，∴k＝－.