第5讲 圆锥曲线综合问题-【冲刺双一流】备战2023年高考数学二轮复习核心专题讲练（新高考版）

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第5讲　圆锥曲线综合问题
目录
重难点题型突破
突破一：求椭圆，双曲线，抛物线轨迹方程
突破二：离心率问题
突破三：圆锥曲线上点到定点（定直线）距离最值
突破四：圆锥曲线中三角形（四边形）面积最值问题
突破五：圆锥曲线中定点，定值问题
突破六：圆锥曲线中定直线问题
突破七：圆锥曲线中的向量问题


突破一：求椭圆，双曲线，抛物线轨迹方程
1．（2022·北京·海淀教师进修学校附属实验学校高二阶段练习）平面直角坐标系中，动圆T与x轴交于两点A，B，与y轴交于两点C，D，若|AB|和均为定值，则T的圆心轨迹一定是（    ）
A．椭圆（或圆） B．双曲线 C．抛物线 D．前三个答案都不对
2．（2022·全国·高三专题练习）已知两圆，动圆与圆外切，且和圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ）
A． B．
C． D．
3．（2022·湖北省天门外国语学校高二阶段练习）直线和上各有一点（其中点的纵坐标分别为且满足），的面积为4，则的中点的轨迹方程为（    ）
A． B．
C． D．
2·湖北·高二阶段练习）圆的半径为定长是圆上任意一点，是圆所在平面上与不重合的一个定点，线段的垂直平分线和直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹可能是（    ）
A．一个点 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
5．（多选）（2022·江苏南通·高二期中）过椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为，如果，那么点的轨迹可能是（    ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．线段
6．（2022·上海市嘉定区第一中学高二期末）已知、，，函数．若、、成等比数列，则平面上点的轨迹是______．
7．（2022·福建三明·高二期中）双曲线：实轴的两个顶点为，，点为双曲线上除，外的一个动点，若，，则动点的轨迹方程是______.
8．（2022·河北·任丘市第一中学高二期中）已知，B是圆C：上的任意一点，线段BF的垂直平分线交BC于点P.则动点P的轨迹方程为______.
9．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴､轴于两点，当点运动时，点的轨迹方程是___________.
10．（2022·吉林·辽源市第五中学校高三期中）已知过定点的直线交曲线于A，B两点．
(1)若直线的倾斜角为，求；
(2)若线段的中点为，求点的轨迹方程．




11．（2022·四川·雅安中学高二期中）已知抛物线经过点（a为正数），F为抛物线的焦点，且．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若点Q为抛物线C上一动点，点M为线段的中点，求点M的轨迹方程．








12．（2022·全国·高二单元测试）已知动点是曲线上任一点，动点到点的距离和到直线的距离相等，求的方程，并说明是什么曲线；




13．（2022·全国·高三专题练习）已知直线和 与抛物线 （p＞0）分别相交于A，B两点（异于原点O）与直线l：y＝2x+p分别相交于P，Q两点，且．求线段AB的中点M的轨迹方程；





14．（2022·全国·高三专题练习）已知点到定点的距离比它到x轴的距离大，求点P的轨迹C的方程；









15．（2022·全国·高三专题练习）已知点，，为直线上的两个动点，且，动点满足，（其中为坐标原点），求动点的轨迹的方程．



突破二：离心率问题
1．（2022·湖南·模拟预测）若，椭圆C：与椭圆D：的离心率分别为，，则（    ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最大值为
2．（2022·河北·模拟预测）设､分别是椭圆的左､右焦点，为椭圆上的一点，若的最大值为，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与的另一个交点为．若，则的离心率为（    ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖南永州·一模）已知椭圆分别为其左､右焦点，过作直线轴交椭圆于两点，将椭圆所在的平面沿轴折成一个锐二面角，设其大小为，翻折后两点的对应点分别为，记.若，则椭圆的离心率为（    ）
A． B． C． D．
5．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知椭圆的左右焦点为，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
6．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））已知斜率为的直线l与椭圆相交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于C，D两点，若C，D恰好是线段的两个三等分点，则椭圆E的离心率e为（    ）
A． B． C． D．
7．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））一个底面半径为1，高为3的圆柱形容器内装有体积为的液体，当容器倾斜且其中液体体积不变时，液面与容器壁的截口曲线是椭圆，则该椭圆离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
8．（2022·河北·模拟预测）已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，为上顶点，若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
9．（2022·江苏盐城·三模）已知点为椭圆：的上顶点，点，在椭圆上，满足且，若满足条件的△有且只有一个，则的离心率的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
10．（2022·广西广西·模拟预测（理））双曲线的左右顶点分别为，曲线上的一点关于轴的对称点为，若直线的斜率为，直线的斜率为，则当取到最小值时，双曲线离心率为（　　）
A． B．2 C．3 D．6
11．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（理））已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线右支上的一点，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
12．（2022·四川省宜宾市第四中学校模拟预测（文））已知是双曲线的右焦点，点，连接与渐近线交于点，，则C的离心率为 （    ）
A． B． C． D．
13．（2022·四川雅安·三模（文））已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
14．（2022·山西·模拟预测（理））双曲线的右顶点为在轴上，若上存在一点（异于点）使得，则的离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
15．（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））双曲线：的左､右焦点分别为，，若在双曲线上有一点使得三角形为直角三角形，且该三角形某个锐角的正切值为，那么该双曲线离心率的最大值为（    ）
A． B． C． D．5
16．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））已知点F为双曲线（，）的右焦点，若双曲线左支上存在一点P，使直线与圆相切，则双曲线离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
17．（2022·甘肃兰州·一模（理））已知椭圆：与双曲线有公共的焦点､，为曲线､在第一象限的交点，且的面积为2，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（    ）
A．9 B． C．7 D．
突破三：圆锥曲线上点到定点（定直线）距离最值
1．（2022·河南郑州·三模（文））斜率为1的直线l与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（    ）
A．2 B． C． D．
2．（2022·四川·成都外国语学校高二期中（理））已知，，分别为椭圆C：的左，右焦点，过垂直于长轴的直线交椭圆C于A、B两点，且；Q为C上任意一点，求的最小值为（    ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2022·江苏南通·高二期中）若点，分别在椭圆和直线上运动，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
4．（2022·四川攀枝花·高二期末（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
5．（2022·福建·莆田第六中学高二阶段练习）已知点是抛物线上的动点，点A的坐标为，则点到点A的距离与到轴的距离之和的最小值为（    ）
A．13 B．12 C．11 D．
6．（2022·陕西·交大附中模拟预测（文））已知抛物线的焦点为，若，是抛物线上一动点，则的最小值为（    ）
A． B．2 C． D．3
7．（2022·全国·高三阶段练习）已知双曲线，过双曲线C上任意一点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N.则的最小值为______.
8．（2022·江苏南通·高三阶段练习）已知是抛物线上一点，则的最小值为______.
9．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期末（理））已知P为抛物线y2＝4x上的一个动点，直线l1：x＝－1，l2：x＋y＋3＝0，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为_______
10．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的焦点为，，点P为椭圆上任意一点，过作的外角平分线所在直线的垂线，垂足为点Q.抛物线上有一点M，它在x轴上的射影为点H，则的最小值是________.

突破四：圆锥曲线中三角形（四边形）面积最值问题
1．（2022·湖北·高二阶段练习）在中，已知点与边上的中线长之和为6.记的重心的轨迹为曲线.

(1)求的方程；
(2)若圆，过坐标原点且与轴不重合的任意直线与圆相交于点，直线与曲线的另一个交点分别是点，求面积的最大值.



2．（2022·重庆巴蜀中学高二阶段练习）定义：若点在椭圆上，并满足，则称这两点是关于的一对共轭点，或称点关于的一个共轭点为．已知点在椭圆上，是坐标原点．
(1)求点关于的所有共轭点的坐标：
(2)设点在上，且，求点关于的所有共轭点和点所围成封闭图形面积的最大值．






3．（2022·河北·衡水市第二中学高二期中）已知抛物线的准线过椭圆的左焦点,且椭圆的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线交椭圆于两点,点在线段上移动,连接交椭圆于两点,过作的垂线交轴于,求面积的最小值.





4．（2022·山西省运城中学校高二期中）已知椭圆，点P为E上的一动点，分别是椭圆E的左､右焦点，的周长是12，椭圆E上的点到焦点的最短距离是2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的动直线l与椭圆交于P，Q两点，求面积的最大值及此时l的方程.




5．（2022·辽宁·鞍山一中高二期中）已知椭圆经过点且离心率为
(1)求椭圆的方程
(2)过点的直线与椭圆相交于、两点，为椭圆的左焦点，记的面积为，求的取值范围．









6．（2022·全国·高三专题练习）如图，椭圆和圆，已知椭圆的离心率为，直线与圆相切．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆的上顶点为，是圆的一条直径，不与坐标轴重合，直线、与椭圆的另一个交点分别为、，求的面积的最大值及此时所在的直线方程．






7．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆和抛物线，椭圆的左，右焦点分别为，，且椭圆上有一点满足，抛物线的焦点为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过作两条互相垂直的直线和，其中直线交椭圆于，两点，直线交抛物线于，两点，求四边形面积的最小值．



8．（2022·全国·高三专题练习）在直角坐标系中，已知点，，动点满足：．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)若分别过点、，作两条平行直线，，设，与轨迹的上半部分分别交于、两点，求四边形面积的最大值．
9．（2022·湖南师大附中高二阶段练习）已知双曲线，其虚轴长为，直线与曲线的左支相交于相异两点.
(1)求的取值范围；
(2)为坐标原点，若双曲线上存在点，使（其中），求的面积的取值范围.





10．（2022·上海·复旦附中高二期中）如图，为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为；双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，已知， 且 过作的不垂直于轴的弦，为的中点，直线与交于、两点.

(1)求、的方程；
(2)若四边形为平行四边形，求直线的方程；
(3)求四边形面积的最小值.









11．（2022·江苏省邗江中学高二期中）在一张纸片上，画有一个半径为4的圆（圆心为M）和一个定点N，且，若在圆上任取一点A，将纸片折叠使得A与N重合，得到折痕BC，直线BC与直线AM交于点P．

(1)若以MN所在直线为轴，MN的垂直平分线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求点P的轨迹方程；
(2)在（1）中点P的轨迹上任取一点D，以D点为切点作点P的轨迹的切线，分别交直线，于S，T两点，求证：的面积为定值，并求出该定值；
(3)在（1）基础上，在直线，上分别取点G，Q，当G，Q分别位于第一、二象限时，若，，求面积的取值范围．


12．（2022·四川·德阳五中高二期中（文））已知椭圆：，以椭圆的右焦点为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线，的斜率分别为，.

(1)求抛物线的方程及的值；
(2)求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标；
(3)若直线交椭圆于、两点，分别是、的面积，求的最小值.

13．（2022·四川·成都七中高三阶段练习（理））已知点是抛物线与椭圆的公共焦点，椭圆上的点到点的最大距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作的两条切线，记切点分别为，求面积的最大值.





14．（2022·贵州铜仁·高二期末（文））已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在坐标轴上，设是抛物线上一点．
(1)求抛物线方程；
(2)若抛物线的焦点在x轴上，过点M做两条直线分别交抛物线于A，B两点，若直线与的倾斜角互补，求面积的最大值．





15．（2022·湖南·长沙市同升湖高级中学有限公司高三阶段练习）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过的两直线交抛物线于，，且的平分线平行于y轴，试判断的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由.








突破五：圆锥曲线中定点，定值问题
1．（2022·湖南长沙·高二阶段练习）双曲线：的离心率为，且点在双曲线上.
(1)求曲线的方程；
(2)动点M，N在曲线上，已知点，直线PM，PN分别与y轴相交的两点关于原点对称，点在直线MN上，，证明：存在定点，使得为定值.





2．（2022·辽宁·本溪满族自治县高级中学高二阶段练习）已知双曲线的焦距为8，双曲线的左焦点到渐近线的距离为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)设分别是双曲线的左､右顶点，为双曲线上任意一点（不与重合），线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，设点的横坐标分别为，求证：为定值.




3．（2022·广东·江门市第一中学高二阶段练习）已知，，点满足，记点的轨迹为曲线.斜率为的直线过点，且与曲线相交于，两点.
(1)求曲线的方程；
(2)求斜率的取值范围；
(3)在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，总有轴平分？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由.






4．（2022·福建·高二阶段练习）已知圆，点是圆外的一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点．
(1)求点的轨迹的方程
(2)过点的直线交曲线于两点，问在轴是否存在定点使？若存在，求出定点坐标；若不存在，说明理由．






5．（2022·广东·东涌中学高三期中）已知椭圆的离心率为，短轴长为10，右顶点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)不经过点的直线与椭圆交于两点，以为直径的圆过点.求证：直线过定点，并求此定点坐标.




6．（2022·湖南·衡阳师范学院祁东附属中学高二期中）已知椭圆：的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点．
(1)求椭圆的标准方程：
(2)设点，是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，，若，试问直线是否经过定点，若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由．






7．（2022·江苏·南京市建邺高级中学高二阶段练习）知椭圆E：的左右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为

(1)求椭圆E的方程；
(2)如图，下顶点为A，过点作一条与y轴不重合的直线.该直线交椭圆E于C，D两点.直线AD，AC分别交x轴于点H，求证：与的面积之积为定值，并求出该定值.




8．（2022·四川·简阳市阳安中学高二阶段练习（理））已知以坐标原点为圆心的圆与抛物线：相交于不同的两点，与抛物线的准线相交于不同的两点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)若不经过坐标原点的直线与抛物线相交于不同的两点､，且满足，证明直线过定点，并求出点的坐标.












9．（2022·福建·莆田第六中学高二阶段练习）若位于轴右侧的动点到的距离比它到轴距离大.

(1)求动点的轨迹方程D.
(2)过轨迹D上一点作倾斜角互补的两条直线，交轨迹于两点，求证：直线的斜率是定值.





10．（2022·四川·成都七中高二期中（文））设抛物线 ​的准线为l，A、B为抛物线上两动点，，​为垂足，已知​有最小值​，其中​的坐标为​.
(1)求抛物线的方程;
(2)当（​，且）时，是否存在一定点​满足​为定值? 若存在，求出​的坐标和该定值; 若不存在，请说明理由.





11．（2022·河南安阳·高二期中）已知抛物线：（）的焦点为，点在上，且．
(1)求的方程；
(2)若不过点的直线与相交于两点，且直线，的斜率之积为1，证明：直线过定点．


突破六：圆锥曲线中定直线问题
1．（2022·江苏南京·高二期中）已知圆A：，T是圆A上一动点，BT的中垂线与AT交于点Q，记点Q的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点（0，2）的直线l交曲线C于M，N两点，记点P（0，）.问：是否存在直线l，满足PM=PN？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由.




2．（2022·山东聊城·三模）已知椭圆C：的离心率为，左顶点为，左焦点为，上顶点为，下顶点为，M为C上一动点，面积的最大值为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过的直线l交椭圆C于D，E两点（异于点，），直线，相交于点Q，证明：点Q在一条平行于x轴的直线上.



3．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率，长轴的左、右端点分别为
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线 与椭圆交于两点，直线与交于点，试问：当变化时，点是否恒在一条直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.


4．（2022·广东·肇庆市第一中学高三阶段练习）已知双曲线的离心率是2，直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的右支交于两点.当直线垂直于轴时，.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)记双曲线的左､右顶点分别是，直线与交于点，试问点是否恒在某直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由.

5．（2022·海南·海口中学高三开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为.
(1)求C的方程；
(2)设A，B是直线上关于x轴对称的两点，直线与C交于M，N两点，证明：直线AM与BN的交点在定直线上.





6．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线和圆，抛物线的焦点为.

（1）求的圆心到的准线的距离；
（2）若点在抛物线上，且满足， 过点作圆的两条切线，记切点为，求四边形的面积的取值范围；
（3）如图，若直线与抛物线和圆依次交于四点，证明:的充要条件是“直线的方程为”








7．（2022·全国·高三专题练习）曲线C上任一点到定点的距离等于它到定直线的距离．
（1）求曲线C的方程；
（2）经过P（1,2）作两条不与坐标轴垂直的直线分别交曲线C于A、B两点，且，设是AB中点，问是否存在一定点和一定直线，使得M到这个定点的距离与它到定直线的距离相等．若存在，求出这个定点坐标和这条定直线的方程．若不存在，说明理由．





突破七：圆锥曲线中的向量问题
1．（2022·河北·模拟预测（理））已知椭圆的离心率为，为的左焦点，，是上的两个动点，且直线经过的右焦点，的周长为．
(1)求的标准方程；
(2)若点在椭圆上，且满足（其中为坐标原点），证明：的面积为定值．



2．（2022·江苏·苏州中学模拟预测）已知，，点满足，记点的轨迹为，
(1)求轨迹的方程；
(2)若直线过点且法向量为，直线与轨迹交于、两点．
①过、作轴的垂线、，垂足分别为、，记，试确定的取值范围；
②在轴上是否存在定点，无论直线绕点怎样转动，使恒成立？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由．




3．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知椭圆的两个焦点分别为和，椭圆上一点到和的距离之和为，且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过左焦点的直线交椭圆于、两点，线段的中垂线交轴于点（不与重合），是否存在实数，使恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说出理由.




4．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知F为抛物线的焦点，点P在抛物线T上，O为坐标原点，的外接圆与抛物线T的准线相切，且该圆周长为.

(1)求抛物线的方程；
(2)如图，设点A，B，C都在抛物线T上，若是以AC为斜边的等腰直角三角形，求的最小值.




5．（2022·江西萍乡·三模（文））设椭圆的离心率为，点在椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设E的右顶点为D，若直线与椭圆E交于A，B两点（A，B不是左右顶点）且满足，求原点到直线l距离的最大值.





6．（2022·天津市武清区杨村第一中学二模）已知椭圆的左焦点为F，上顶点为B，M为的中点，且．
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线，l与椭圆有唯一公共点N，与y轴的正半轴相交．若点P满足，且四边形的面积为，求椭圆的方程．





7．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，焦距为，点在曲线上.
(1)求的标准方程；
(2)若是曲线上一点，为轴上一点，.设直线与椭圆交于两点，且满足的内切圆的圆心落在直线上， 求直线的斜率．