高考数学一轮复习考点测试刷题本13 函数模型及其应用（含答案解析）

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2020高考数学(文数)考点测试刷题本13 函数模型及其应用一         、选择题1.当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是(　　)A．8           B．9           C．10             D．11  2.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y=ekx＋b(e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是(　　)A．16小时         B．20小时       C．24小时        D．28小时  3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(　　)A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油  4.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　　)(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)A．2018年       B．2019年       C．2020年       D．2021年 5.一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠卷，每张优惠卷只能购买一件商品，根据购买商品的标价，三张优惠券优惠方式不同，具体如下：优惠券1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%.优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元．优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%.若该顾客购买某商品使用优惠券1比优惠券2、优惠券3减免的都多，则他购买的商品的标价可能为(　　)A．179元         B．199元         C．219元         D．239元 6.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年的年产量的增长速度保持不变，将该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系用图象表示，则正确的是(　　) 7.已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是(　　)A．40万元       B．60万元       C．120万元       D．140万元 8.设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20 min，在乙地休息10 min后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30 min，则小王从出发到返回原地所经过的路程y与其所用的时间x的函数的图象为(　　) 二         、填空题9.已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为________元． 10.调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则至少经过________小时他才可以驾驶机动车．(精确到小时)  11.某人根据经验绘制了2018年春节前后，从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．  12.我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则当z=81时，x=________，y=________. 三         、解答题13.某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y=f(t)；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．                      14.候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现， 该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为：v=a＋blog3(其中a，b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a，b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？                     15.已知某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万部还需另投入16万元，设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万元，且R(x)=(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．                  16.食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P=80＋4，Q=a＋120，设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．(1)求f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？                
答案解析1.答案为：C；解析：设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n(n∈N*)个“半衰期”后的含量为n，由n＜得n≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.  2.答案为：C；解析：由题意得即所以该食品在33 ℃的保鲜时间是y=e33k＋b=(e11k)3·eb=3×192=24(小时)．  3.答案为：D；解析：对于A选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h时的燃油效率大于5 km/L，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A错误．对于B选项，由图可知甲车消耗汽油最少．对于C选项，甲车以80 km/h的速度行驶时的燃油效率为10 km/L，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L汽油，所以C错误．对于D选项，当最高限速为80 km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D正确．  4.答案为：B；解析：设第n(n∈N*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．根据题意得130(1＋12%)n－1>200，则lg [130(1＋12%)n－1]>lg 200，∴lg 130＋(n－1)·lg 1.12>lg 2＋2，∴2＋lg 1.3＋(n－1)lg 1.12>lg 2＋2，∴0.11＋(n－1)×0.05>0.30，解得n>.又∵n∈N*，∴n≥5，∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年．故选B.  5.答案为：C；解析：因为使用优惠券1比优惠券2减免的多，所以他购买的商品的标价超过200元．如果他购买的商品的标价为219元，那么使用优惠券1可以减免21.9元，使用优惠券2可以减免20元，使用优惠券3可以减免21.42元；如果标价为239元，那么使用优惠券1可以减免23.9元，使用优惠券2可以减免20元，使用优惠券3可以减免25.02元，不满足题意．故选C.  6.答案为：A；解析：因为前3年年产量的增长速度越来越快，可知图象的斜率随x的变大而变大，在图象上呈现下凹的情形；又因为后3年年产量的增长速度保持不变，可知图象的斜率不变，呈直线型变化．故选A.  7.答案为：C；解析：甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120÷6=20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2=40(万元)，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4=40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2=80(万元)，共获利40＋80=120(万元)．故选C.  8.答案为：D；解析：由题意知小王在0～20 min，30～60 min这两段时间运动的路程都在不断增加，在20～30 min时，运动的路程不变．故选D.   一         、填空题9.答案为：3300；解析：设利润为y元，租金定为3000＋50x(0≤x≤70，x∈N)元．则y=(3000＋50x)(70－x)－100(70－x)=(2900＋50x)(70－x)=50(58＋x)(70－x)≤502，当且仅当58＋x=70－x，即x=6时，等号成立，故每月租金定为3000＋300=3300(元)时，公司获得最大利润．  10.答案为：4；解析：设n小时后他才可以驾驶机动车，由题意得3(1－0.5)n≤0.2，即2n≥15，故至少经过4小时他才可以驾驶机动车．  11.答案为：；解析：前10天满足一次函数关系，设为y=kx＋b，将点(1，10)和点(10，30)代入函数解析式得解得k=，b=，所以y=x＋，则当x=6时，y=.  12.答案为：8，11；解析：把z=81代入方程组，化简得解得x=8，y=11.   二         、解答题13.解：(1)由题图，设y=当t=1时，由y=4得k=4，由=4得a=3.所以y=(2)由y≥0.25得或解得≤t≤5.因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－=(小时)．  14.解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s，此时耗氧量为30个单位，则a＋blog3=0，即a＋b=0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，则a＋blog3=1，整理得a＋2b=1.解方程组得(2)由(1)知，v=a＋blog3=－1＋log3.所以要使飞行速度不低于2 m/s，则v≥2，所以－1＋log3≥2，即log3≥3，解得≥27，即Q≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位．  15.解：(1)当0<x≤40时，W=xR(x)－(16x＋40)=－6x2＋384x－40，当x>40时，W=xR(x)－(16x＋40)=－－16x＋8360.所以W=(2)①当0<x≤40时，W=－6(x－32)2＋6104，所以Wmax=W(32)=6104；②当x>40时，W=－－16x＋8360，由于＋16x≥2=1600；当且仅当=16x，即x=50时取等号，此时Wmax=－1600＋8360=6760，综合①②知，当x=50时，W取得最大值6760万元．  16.解：(1)由题意知甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，∴f(50)=80＋4＋×150＋120=277.5(万元)．(2)f(x)=80＋4＋(200－x)＋120=－x＋4＋250，依题意得⇒20≤x≤180，故f(x)=－x＋4＋250(20≤x≤180)．令t=，则t∈[2，6]，y=－t2＋4t＋250=－(t－8)2＋282，当t=8，即x=128时，f(x)取得最大值，f(x)max=282.所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元．