2021届贵州省遵义市高三第一次联考数学（文）试题（解析版）

这是一份2021届贵州省遵义市高三第一次联考数学（文）试题（解析版），共21页。

2021届贵州省遵义市高三第一次联考数学（文）试题


一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】先利用绝对值不等式求解，对数函数求定义域，解出集合，再利用集合的交集运算求解即可.
【详解】
由可得，
由可得，
所以.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了集合的交集运算以及求对数函数的定义域.属于较易题.
2．设复数z满足，且z在复平面内对应的点为则满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，代入，再由复数模的计算公式求解.
【详解】
设，
由得：
，
即，
故选：A
【点睛】
本题考查复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.
3．从2019年12月底开始，新型冠状病毒引发的肺炎疫情不断蔓延，给全国人民带来了重大损失，如图是我国2020年1月20日至2月10日，湖北内外新增确诊人数的折线统计图，由图可知，1月20日至2月10日这几天内，下列选项中正确的是（ ）




A．湖北新增确诊人数逐日增加
B．全国新增确诊人数呈增加的趋势
C．2月4号全国患病人数达到最多
D．湖北地区新增确诊人数的方差大于非湖北地区新增确诊人数的方差
【答案】D
【解析】观察图象根据点的波动逐项判断.
【详解】
湖北最新确诊人数有增有减，A错误；
全国最新确诊人数呈先增加后减少的趋势，B错误；
2月4号全国新增确诊人数达到最多，并非患病人数最多，C错误；
非湖北地区1月20日至2月10日这几天内新增确诊人数相较于湖北地区新增确诊人数的波动性较小，变化比较平稳，方差更小，D正确.
故选：D
【点睛】
本题考查统计图表的实际应用，属于基础题.
4．如图所示的算法框图思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减相术”，执行该算法框图，若输入的、分别为、，则输出的（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，由程序框图，逐步运算，即可得出结果.
【详解】
第一步：初始值，；此时；进入循环；
第二步：，计算，此时，进入循环；
第三步：，计算，此时，进入循环；
第四步：，计算，此时，进入循环；
第五步：，计算，此时，结束循环，输出.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查循环程序框图求输出值，属于基础题型.
5．若函数无极值点则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】求出函数的导数，问题转化为最多1个实数根，根据二次函数的性质求出a的范围即可.
【详解】
,
，
由函数无极值点知，
至多1个实数根，
，
解得，
实数a的取值范围是，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，属于中档题.
6．过抛物线焦点F的直线交抛物线于两点，若点与点关于直线对称，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】利用抛物线的焦半径公式可得，，再由即可求解.
【详解】
抛物线，，
过焦点F的直线交抛物线于两点，
其横坐标分别为，利用抛物线焦半径公式，
则，，
，
又点与点关于直线对称，
则，
所以.
故选：C
【点睛】
本题考查了抛物线的焦半径公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
7．已知，若是方程的两根，则（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】C
【解析】根据韦达定理可得的和与积关系, 再根据判断的范围.再代入两角和的正切公式求解,判断的大小即可.
【详解】
因为是方程的两根可得
.所以均为正数,又,故
所以.又.故.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了两角和的正切公式的运用,包括根据正切值范围求解角度范围的方法等.属于中等题型.
8．已知某函数的图像如图所示，则下列函数中，图像最契合的函数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据时的函数值，即可选择判断.
【详解】
由图可知，当时，
当时，，故排除；
当时，，故排除；
当时，，故排除；
当时，，满足题意.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数图像的选择，涉及正余弦值的正负，属基础题.
9．2019年湖南等8省公布了高考改革综合方案将采取“”模式即语文、数学、英语必考，考生首先在物理、历史中选择1门，然后在思想政治、地理、化学、生物中选择2门，一名同学随机选择3门功课，则该同学选到历史、地理两门功课的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先由列举法计算出基本事件的总数，然后再求出该同学选到历史、地理两门功课的基本事件的个数，基本事件个数比即为所求概率.
【详解】
由题意，记物理、历史分别为、，从中选择1门；记思想政治、地理、化学、生物为、、、，从中选择2门；
则该同学随机选择3门功课，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，共个基本事件；
该同学选到历史、地理两门功课所包含的基本事件有：，，共个基本事件；
该同学选到物理、地理两门功课的概率为.
故选：A.
【点睛】
本题考查求古典概型的概率，属于基础题型.
10．已知的外接圆的的圆心是M，若，则P是的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】D
【解析】由题意画出相关示意图，、分别是、的中点，连，，，根据向量在几何图形中的应用有，即得与共线即可知P与的关系.
【详解】

如图，、分别是、的中点，连，，，则有，而，
∴，即有，有与共线，
∵的外接圆的的圆心是M，有，则，同理有，，
∴P是的垂心.
故选：D.
【点睛】
本题考查了向量的几何应用，根据几何线段的向量表示，结合向量线性运算求证点与三角形的关系.
11．已知是双曲线的半焦距，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题中条件，得到，再由基本不等式，即可求出结果.
【详解】
因为是双曲线的半焦距，
所以，
则，
当且仅当时，等号成立.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查由基本不等式求最值，考查双曲线的性质，属于基础题型.
12．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将、、分别表示为，，，然后构造函数，利用导数分析函数的单调性，并利用单调性比较、、三个数的大小．
【详解】
根据题意，，，.
令，则，
由得；由得；
则函数在上单调递增，在上单调递减，
又，所以，
因此．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查由函数单调性比较函数值大小，熟记导数的方法判定函数单调性即可，属于常考题型.


二、填空题
13．已知可行域，则目标函数的最小值为_____．
【答案】
【解析】由约束条件可得可行域，将问题转化为可行域内的点到原点距离的最小值的平方，由图象利用点到直线的距离公式求解，代入即可得到结果.
【详解】
由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：

的最小值表示的几何意义是可行域内的点到原点距离的最小值的平方，
由图象可知：当垂直于直线时，目标函数最小，
由点到直线的距离公式得：，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查线性规划中的平方和型函数的最值的求解问题，关键是能够将目标函数转化为可行域内的点到直线的距离的平方的问题，利用几何意义求得最值.属于中档题.
14．已知数列的通项公式，其前n项和为，则_____．（用分数作答）
【答案】
【解析】根据数列的通项公式，利用裂项相消法求解.
【详解】
因为数列的通项公式，
所以，
，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
15．已知，若，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】利用“1”的代换，将变形为，再利用基本不等式求解出最小值.
【详解】
因为，
所以，取等号时即，
所以的最小值为，
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用基本不等式求解最小值，解题的关键在于能将给定的常数与待求的式子联系起来，难度一般.
16．三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，且，则该三棱锥的外接球的体积为_____．
【答案】
【解析】首先确定外接球的球心，进—步确定球的半径，最后求出球的体积.
【详解】
如图所示，取中点，连，

，
又三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，
，
，即，
平面，
三棱锥的外接球的球心在上，连，
且，所以，
设外接球的半径为R，
则在△BOD中，利用勾股定理：，
解得，
所以 ,
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了三棱锥的外接球问题，球的体积公式，考查了运算能力，属于中档题.

三、解答题
17．的内角所对边分别为，已知．
（1）求角C；
（2）若D为中点，且，求的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）先根据正弦定理完成角化边，然后利用余弦定理求解出的值；
（2）先根据已知条件表示出，再利用基本不等式求解出的范围，从而可求解出的最大值.
【详解】
（1）因为，所以，
所以且，所以，
所以；
（2）因为，所以，
又因为，所以，所以（取等号时），
所以，所以（取等号时），
所以的最大值为.
【点睛】
本题考查解三角形的综合应用，其中涉及到正弦定理完成边化角以及利用余弦定理求解最值，对学生的转化与计算能力要求较高，难度一般.注意：使用基本不等式时要说明取等号的条件.
18．为激活国内消费市场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优惠政策，某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，界定3至8月份购买商品在5000元以上人群属“购买力强人群”，购买商品在5000元以下人群属“购买力弱人群”现从电商平台消费人群中随机选出200人，发现这200人中属购买力强的人数占80%，并将这200人按年龄分组，记第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图，如图所示．

（1）求出频率分布直方图中的a值和这200人的平均年龄；
（2）从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，并再从这5人中随机抽取2人进行电话回访，求这两人恰好属于不同组别的概率；
（3）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中“购买力弱人群”的中老年人有20人，问是否有99%的把握认为是否“购买力强人群”与年龄有关？
附：

0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
，
【答案】（1）；；（2）；（3）没有99%的把握认为是否“购买力强人群”与年龄有关.
【解析】（1）由频率分布直方图各小长方形的面积总和为，可计算频率分布直方图中的值，以各组的区间中点值代表该组的取值，即可得出结论.
（2）利用对立事件的概率公式可得结果；
（3）根据题中的数据，列出列联表，计算出观测值，再利用独立性检验的基本思想即可求解.
【详解】
（1）由题意得：
，
所以，
200人的平均年龄为：；

（2）由题意得：利用分层抽样的方法从第一组抽取人，从第二组抽取人，
设两人恰好属于不同组别为事件，
则.
（3）
由题意可得列联表为：

购买力强人群
购买力弱人群
合计
青少年组
100
20
120
中老年组
60
20
80
合计
160
40
200
故，
故没有99%的把握认为是否“购买力强人群”与年龄有关.
【点睛】
本题主要考查了利用频率分布直方图求平均数的问题，考查了对立事件的概率公式，考查了列联表、独立性检验的基本思想、考查了考生的分析能力、计算能力，属于中档题.
19．如图1，等腰梯形，．沿折起得到四棱锥（如图2），G是的中点．

（1）求证平面；
（2）当平面平面时，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见详解；（2）
【解析】（1）取的中点，连接，证明，再利用线面平行的判定定理即可证明.
（2）证明面，由，利用锥体的体积公式即可求解.
【详解】
（1）取的中点，连接，
则且，
在等腰梯形，，，，
，且，
且，
四边形是平行四边形，
，
又平面，平面，
平面.

（2）平面平面时，平面平面，
面，且，面，即，
.
【点睛】
本题考查了线面平行的判定定理、锥体的体积公式，考查了考生的逻辑推理能力以及运算求解能力，属于基础题.
20．已知椭圆，以抛物线的焦点为椭圆E的一个顶点，且离心率为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）椭圆E上的动点，点P关于原点O的对称点为点Q，F是椭圆E的右焦点，连接并延长与椭圆E交于M点，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）先求出抛物线的焦点坐标得到的值，再利用离心率求出，又得到；（2）先利用已知条件得到点Q的坐标，利用两点的距离公式得到，利用点斜式求解直线的方程，设是椭圆上一点，利用点到直线的距离公式得到，又，利用辅助角公式整理即可得到结果.
【详解】
（1）由题意得：抛物线的焦点坐标为，
则，又，
故，又，
所以椭圆E的标准方程为：；
（2）
由，
则点P关于原点O的对称点为点Q的坐标为，
则，
由题意得椭圆的右焦点的坐标为，
则，
所以直线的方程为：，
设是椭圆上一点，则
点到直线的距离为：，
则面积为，
则，，
又点在圆上，则，
故.
当时，
面积取得最大值为.
【点睛】
本题主要考查了求椭圆的标准方程以及两点的距离公式，考查了点斜式，点到直线的距离公式以及辅助角公式.属于中档题.
21．已知．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若函数在处取得极大值，求实数a的取值范围．
【答案】（1）递增区间为，递减区间为； （2）.
【解析】（1）代入，求得，结合导数的符号，即可求得函数的单调区间；
（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，结合极大值的概念，即可求解.
【详解】
（1）由题意，当时，函数的定义域为，
可得，
令，即，解得，所以函数在区间上单调递增；
令，即，解得，所以函数在区间上单调递减，
即函数的递增区间为，递减区间为.
（2）由题意，函数的定义域为，
可得，
（Ⅰ）当时，
①若时，令，即，解得，
令，即，解得或，
所以函数在区间上递减，在区间递增，在递减，
所以当时，函数取得极大值，符合题意；
②当时，可得，此时函数在单调递减，
函数无极值，不符合题意（舍去）；
③当时，令，即，解得，
令，即，解得或，
所以函数在区间上递减，在区间递增，在递减，
所以当时，函数取得极小值，不符合题意（舍去）.
（Ⅱ）当时，，
令，即，解得，
令，即，解得，
所以函数在区间递增，在递减，
所以当时，函数取得极大值，符合题意；
综上可得，实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，以及利用导数研究函数的极值及应用，其中解答中熟记函数的导数与函数的关系，以及熟练应用导数求得函数的单调性是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
22．已知平面直角坐标系中，曲线的方程为，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）写出曲线的极坐标方程；
（2）若直线的斜率为，且与曲线交于两点，求的长.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据，代入计算即可.
（2）根据直线的斜率可得直线的参数方程，然后与曲线C的普通方程联立可得，使用韦达定理计算即可.
【详解】
（1），
，
曲线的极坐标方程为.
（2）直线的参数方程为
代入的方程得 ，
设直线与曲线交于点，对应参数分别为，易知>0，

，
即.
【点睛】
本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的应用，熟练掌握三种方程之间的互化方法，尤其对于直线参数方程中的参数的几何意义，考查分析能力，属中档题.
23．设函数．
（1）若，求a的取值范围；
（2）若对恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）计算出的值，对采用零点分段的方式解不等式，注意，从而求解出的取值范围；
（2）先分析的最小值，再根据条件将问题转化为与的关系，从而求解出的取值范围.
【详解】
（1）因为，所以，
当时，，则，解得：；
当时，，则，解得：；
当时，，则，解得：；
当时，，则，此时无解，
综上可知：；
（2）因为，所以,当且仅当时取等号，
又因为恒成立，所以，
所以恒成立，且（取等号时），
所以，即.
【点睛】
本题考查绝对值不等式的综合应用，其中涉及到零点分段法求参数范围以及不等式恒成立求解参数范围，对学生的计算与转化能力要求较高，难度一般.