2023届贵州省遵义市高三上学期第一次统一考试数学（文）试题含解析

这是一份2023届贵州省遵义市高三上学期第一次统一考试数学（文）试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届贵州省遵义市高三上学期第一次统一考试数学（文）试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用集合交集的定义求解即可.【详解】因为集合，，所以，故选：C.2．已知复数满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由复数除法运算可得，由此可求得复数的模长.【详解】，.故选：A.3．若是方程的根，则下列选项正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据方程的根和函数的零点的关系可得为函数的零点，结合零点存在性定理确定的范围.【详解】设，因为是方程的根，所以为函数的零点，因为函数，在上都为单调递增函数，所以在上单调递增，又，，所以函数的零点一定在区间内，所以，故选：A.4．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度【答案】C【分析】根据三角函数图象的平移变换规律，即可判断出答案.【详解】因为，故为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，故选：C.5．下列说法正确的是（    ）A．命题“若，则”的否命题是：“若，则”B．“”是“”的必要不充分条件C．命题“，使得”的否定是：“，均有”D．命题“若，则”为真命题【答案】D【分析】利用否命题、充分必要条件、命题的否定、逆否命题分析判断得解.【详解】A. 命题“若，则”的否命题是：“若，则”，所以选项A错误；B. ，所以或， “”是“”的充分不必要条件，所以选项B错误；C. 命题“，使得”的否定是：“，均有”，所以选项C错误；D. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，逆否命题正确，所以原命题为真命题，所以选项D正确.故选：D6．函数的大致图象为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先判断函数的奇偶性，利用导数说明函数在上的单调性，即可判断.【详解】解：定义域为，且，故为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除A，令，即，解得，又，故排除D，当时，则，所以当时，当时，即在上单调递增，在上单调递增，故排除C；故选：B7．如图1．规定1个正方形对应1个三角形和1个正方形，1个三角形对应1个正方形．已知图2中，第1行有1个正方形和1个三角形，按上述规定得到第2行，共有2个正方形和1个三角形，按此规定维续可得到第3行，第4行，第5行，则在图2中第5行正方形的个数为（    ）A．5 B．8 C．13 D．16【答案】B【分析】设为第行中正方形的个数，为第行中三角形的个数，再推断与下一行的关系，从而得到第5行正方形的个数.【详解】解：设为第行中正方形的个数，为第行中三角形的个数，由于每个正方形产生下一行的1个三角形和1个正方形，每个三角形产生下一行的1个正方形，则有，，整理得，且，，则，，.所以第5行的正方形的个数为8.故选：B8．已知的内角所对的边分别为，若，，则面积的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，代入三角形面积公式即可.【详解】由余弦定理得：，（当且仅当时取等号），，，即面积的最大值为.故选：A.9．已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则（    ）A． B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据条件明确函数的周期性为4，则，结合所给分段函数，即可得到结果.【详解】∵为偶函数，，∴，即，即函数的周期为4，∴，又当时，，∴.故选：C10．已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：①在区间上有且仅有3个不同的零点；②的最小正周期可能是；③的取值范围是；④在区间上单调递增．其中所有正确结论的序号是（    ）A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④【答案】B【分析】令，则，由函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，可求出判断③，再利用三角函数的性质可依次判断①②④.【详解】由函数， 令，则函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，由，得，则，即，，故③正确；对于①，，，当时，在区间上有且仅有3个不同的零点；当时，在区间上有且仅有4个不同的零点；故①错误；对于②，周期，由，则，，又，所以的最小正周期可能是，故②正确；对于④，，，又，又，所以在区间上不一定单调递增，故④错误．故正确结论的序号是：②③故选：B【点睛】方法点睛：函数的性质：(1) .(2)周期(3)由 求对称轴，由求对称中心.(4)由求增区间；由求减区间.11．已知函数，，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数解析式，判断函数奇偶性，对函数求导并判断其单调性，比较三个数值的大小，进而利用单调性做出判断.【详解】由题意可知：函数为偶函数，当时，函数，则，当时，；当时，；所以函数在上单调递减，在上单调递增；因为函数为偶函数，所以，作差：，所以，又因为，所以，所以，而函数在上单调递减，所以，也即，故选：. 二、多选题12．若函数在区间内不存在最小值，则的值可以是（    ）A． B． C． D．【答案】CD【分析】先求函数的最小值点，由区间内不存在最小值，判断区间端点与最近的最小值点的大小，解出的取值范围，最后根据范围选择可能的取值即可.【详解】令，得为函数的最小值点，当时，是区间右侧第一个最小值点，因为区间内不存在最小值，所以，满足条件的的值有，.故选：CD. 三、填空题13．已知数列的前项和满足，则______．【答案】18.【分析】根据数列的前n项和公式，利用即可求得答案.【详解】由题意数列的前项和满足，则,故答案为：18.14．已知，则曲线在处的切线方程为______．【答案】【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再求出切点坐标，最后利用点斜式求出切线方程.【详解】解：因为，所以，，则，即切点为，切线的斜率，所以切线方程为，即；故答案为：15．已知函数，的解集为______．【答案】【分析】先利用导数判断出单调性，利用单调性解不等式即可.【详解】定义域，，则，故在上单调递减，于是，解得，解集为.故答案为：16．设函数，若函数存在最小值，则的取值范围为______．【答案】【分析】根据分段函数的单调性分类讨论进行求解即可.【详解】当时，函数，函数在上单调递减，所以有，当时，函数在上单调递增，此时，因为存在最小值，所以有，化简可得，而，所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，此时当时，函数有最小值为，因为存在最小值，所以有，故，而，所以，综上所述：， 所以的取值范围为，故答案为：. 四、解答题17．已知，．(1)求的值：(2)求的值．【答案】(1)(2) 【分析】(1) 原式两边同时平方，用同角的平方和关系可得到结果.(2)用二倍角公示将化简，通过辅助角公示可以将原式化简为，利用第一问的答案即可得到结果.【详解】（1），， 得（2）==.由可知，..18．已知函数 在处取得极值2．(1)求的值；(2)若方程有三个相异实根，求实数的取值范围．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）对函数求导，根据题意建立关于，的方程组，解出即可；（2）由（1）求出函数的单调性及极值情况，由此可得答案．【详解】（1），依题意，，解得，经检验，，符合题意，，的值分别为，；（2）由（1）可得，，方程有三个相异实根，即的图象与直线有三个不同的交点，，令，解得或，令，解得，在单调递增，在单调递减，且，，即实数的取值范围为．19．在①是与的等比中项：②；③这三个条件中任选两个补充到下面的横线中并解答．问题：已知公差不为零的等差数列的前项和为，且满足______．(1)求；(2)若，求数列的前项和．注：如果选择多个组合分别作答，按第一个解答计分．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据等差数列的性质，设出相应的基本量，列出相应的方程即可求出；（2）利用裂项相消求和法进行求解即可.【详解】（1）方法1：选①和③，整理得，设等差数列的公差为，则有，整理得,，解得，又由，可得，解得，故，所以，方法2：选①和②，，所以，，设等差数列的公差为，则有，化简得，解得，，则，方法3：选②和③，，可得，，设等差数列的公差为，则有，得到方程，解得，故，所以等差数列的通项公式为：.（2），20．的内角的对边分别是，且，(1)求角的大小；(2)若，为边上一点，，且为的平分线，求的面积．【答案】(1);(2). 【分析】（1）先利用正弦定理，角化边，再利用余弦定理求角即可；（2）利用等面积法结合余弦定理，求出的值即可求得的面积.【详解】（1）因为，由正弦定理得，化简得，所以由余弦定理得，又因为，所以.（2）如图所示因为即，化简得①,又由余弦定理得即②，①②联立解得（舍去）或，所以.21．已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若恒成立，求的取值范围．【答案】(1)答案见解析；(2). 【分析】（1）利用导数与单调性的关系，分大于或小于等于零两种情况进行讨论，可得答案；（2）整理不等式，构造函数，利用导数研究新函数的单调性求其值域，由于含有参数，则利用分情况讨论，可得答案.【详解】（1）由，则，当时，，则在上单调递增；当时，令，解得，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；故当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由，，整理可得，令，则，当时，在上，恒成立，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增，，符合题意；当时，由（1）可得，令，即，此时恒有，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增，，符合题意；当时，，不符合题意.综上，解得.【点睛】方法点睛：对于含参不等式的恒成立问题，往往采用参变分离或构造含参函数两种方法，参变分离在使用时，一定保证分离出并购的函数，可利用导数清晰的研究出其单调性；构造含参函数，利用导数研究其单调性时，首先分解因式，再利用分类讨论，可得答案.22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．(1)求曲线的直角坐标方程；(2)若直线与曲线交于，两点，点，求的值．【答案】(1)曲线的直角坐标方程；(2). 【分析】（1）由，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得，结合韦达定理、直线参数方程的几何意义，即可求.【详解】（1）因为，又，，所以，即，曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入方程，并整理得，设A，B的对应的参数分别是则，，所以，∵，则直线l过P，由直线参数方程的几何意义得，，，∴.23．设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若恒成立，求的取值范围.【答案】(1)；(2) .【详解】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为，再根据绝对值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范围．详解：（1）当时，可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．