黑龙江省大庆市林甸县第一中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题（解析版）

这是一份黑龙江省大庆市林甸县第一中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题（解析版），共16页。
2022-2023学年度下学期三月份质量检测
高一数学试卷
2023.3
考生注意：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
3．本卷命题范围：人教A版必修第一册到必修二第六章6.2.4．
一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求解出分式不等式的解集，然后根据交集的概念求解出的结果.
【详解】因为，所以，
所以，所以
又因为，所以，
故选：D.
【点睛】本题考查集合的交集运算，其中涉及到分式不等式的解法，难度较易.解分式不等式时，先将其转化为整式不等式（注意分母不为零），然后再去求解集.
2. 已知函数，则（ ）
A. 5 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分段函数求值，根据自变量的取值范围代相应的对应关系
【详解】因为
所以
故选：A
3. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知条件利用诱导公式，余弦的两角和差公式求解即可.
【详解】



，
故选：D.
4. 向量（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量的加法运算即可得到结果.
【详解】
故选:C
5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用对数函数、指数函数单调性并结合“媒介”数即可比较判断作答.
【详解】函数在上单调递增，而，则，
，函数在R上单调递减，，则，即，
所以a，b，c的大小关系为.
故选：C.
6. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析函数的定义域、奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】对于函数，有，解得且，
所以，函数的定义域为，
因为，函数为奇函数，排除CD选项，
当时，，则，排除B选项.
故选：A.
7. 定义在上的奇函数，在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得，，在递增，分别讨论，，，，，结合的单调性，可得的范围．
【详解】函数是定义在上的奇函数，在区间上单调递增，且（1），
可得，，在递增，
若时，成立；若，则成立；
若，即，可得（1），即有，可得；
若，则，，可得，解得；
若，则，，可得，解得．
综上可得，的取值范围是，，．
故选：B．
8. 已知函数，其图象与直线的相邻两个交点的距离分别为和，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据的图象与直线的相邻两个交点的距离可求出函数的周期，从而可求出的值，再根据，可求出.
【详解】因为的图象与直线的相邻两个交点的距离分别为和，
所以其周期为，即，因为，所以，所以，
又，所以，又，所以.
故选：A．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列说法错误的是（ ）
A. ， B. 的充要条件是
C. ， D. ，是的充分条件
【答案】BC
【解析】
【分析】A. 利用存在量词命题定义判断；B.举例，利用充要条件的定义判断； C.举例，利用全称量词命题的定义判断； D.利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】A. 因为，所以，故正确；
B. 当时，，故错误；
C. 当时，，故错误；
D. 因为，，由不等式的基本性质得，故充分，
当时，可以是，故不必要，故正确；
故选：BC
10. 已知向量，，，设，所成的角为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】
由两边平方，将条件代入可得，再由可得，又，从而可对各个选项作出判断，得到答案.
【详解】向量，
由，可得
即，解得 ，所以A正确.
，所以
又，所以，所以D正确,C不正确.
,则，故B正确.
故选：ABD
11. 下列不等式一定成立的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据各选项的条件，结合基本不等式使用的条件“一正、二定、三相等”来进行判断即可完成求解.
【详解】当时，，所以，此时，故A正确；
此时当时成立，取，则，故B错误；
当时，故C错误；
当时，，则，故D正确．
故选：AD．
12. 已知，则的可能值为（ ）
A. B.
C D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据两角差的正弦公式，结合两角和的余弦公式进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以当在第三象限时，有，
所以；
当在第四象限时，有，
所以，
故选：BD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 函数的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据定义域的求法：（为偶数）、．
【详解】由题意得
【点睛】常见函数定义域的求法：
（为偶数）


14. 《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分若弧田所在圆的半径为1，圆心角为，则此弧田的面积为____________.

【答案】
【解析】
【分析】根据题意所求面积为，再根据扇形和三角形面积公式，进行求解即可.
【详解】易知为等腰三角形，腰长为，底角为，，
所以，
弧田的面积即图中阴影部分面积，根据扇形面积及三角形面积可得：
所以.
故答案为：.
15. 若“，”是假命题，则实数的取值范围是_________.
【答案】；
【解析】
【分析】利用命题为假命题，得到其命题得否定为真命题，即在上恒成立，分离参数，利用基本题不等式求出最小值，即可得出结论.
【详解】“，”是假命题，
，为真命题，
即在上恒成立，
当时，，当且仅当时，等号成立，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查由存在性命题的真假求参数的取值范围，利用等价转换思想，转化恒成立问题，应用基本不等式求最值是解题的关键，考查的是计算能力，是中档题.
16. 在直角边长为3的等腰直角中，E、F为斜边上的两个不同的三等分点，则______.
【答案】4
【解析】
【分析】
以为基底表示出，，再根据为等腰直角三角形，即可求出.
【详解】解：设是接近的一个三等分点，
则，
，
又，

故答案为：.
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17. 已知全集，集合，集合.
（1）当时，求与；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1），或
（2）
【解析】
【分析】（1）先求解一元二次不等式得到集合，代入，得到集合，利用交集运算可得，利用补集运算得到，在利用并集运算可得；
（2）先求解集合时的解，再求解时，根据包含关系得到不等式组，即可求解.
【小问1详解】
解：集合，当时，
或，故，或.
【小问2详解】
解：由题可知.或，若
①当时，即，符合题意
②当时，即时
（ⅰ）不符合题意，舍去
（ⅱ）解得，
综上所述，.
18. 已知，.
（1）求；
（2）若角的终边上有一点，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由条件求得，将所求式展开计算
（2）由条件求得与，再由二倍角与两角和的正切公式计算
【小问1详解】
，，则
故
小问2详解】
角终边上一点，
则
由（1）可得，

19. 某游泳馆拟建一座平面图形为矩形（如图所示）且面积为200平方米的泳池，池的深度为1米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元（池壁厚忽略不计），当泳池的长设计为x米时，可使总造价最低，求．

【答案】泳池的长设计为15米，
【解析】
【分析】设泳池的长为x米，则宽为米，则可得总造价与的关系，利用基本等式可求总造价合适最低.
【详解】因为泳池的长为x米，则宽为米，
则总造价，
整理得到,
，
当且仅当等号成立．
故泳池的长设计为15米时，可使总造价最低．
20. 设函数是增函数，对于任意x，都有．
（1）写一个满足条件的并证明；
（2）证明是奇函数；
（3）解不等式．
【答案】（1），证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）开放性试题，可写一个满足条件的正比例函数即可；
（2）利用赋值法，令，并结合奇函数的定义即可证明；
（3）先把不等式转化成，然后根据的单调性脱去“”，从而通过解不等式可得结果.
【小问1详解】
解：因为函数是增函数，对于任意x，都有，这样的函数很多，其中一种为：．
证明如下：函数满足是增函数，
因为，
所以满足题意．
【小问2详解】
证明：令，则由，得，即；
令，则由，得，
即，故是奇函数．
【小问3详解】
因为，所以，
则，即，
因为，所以，
所以，
又因为函数是增函数，所以，所以或．
所以不等式的解集为.
21. 设函数，其中.
（1）当时，求函数的零点；
（2）若，求函数的最大值.
【答案】（1）1和
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）分段函数，在每一段上分别求解后检验
（2）根据对称轴与区间关系，分类讨论求解
【小问1详解】
当时，
当时，由得；
当时，由得（舍去）
当时，函数的零点为1和
【小问2详解】
①当时，，，
由二次函数的单调性可知在上单调递减

②当即时，，，
由二次函数的单调性可知在上单调递增

③当时，
在上递增，在上的最大值为
当时在递增，在上递减，
在上的最大值为
，当时
当时在上递增，
在上的最大值为
，当时
综上所述：
当时，
当时，
当时，
当时，
22. 已知函数，其中常数．
（1）在上单调递增，求的取值范围；
（2）若，将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象，且过，若函数在区间（，且）满足：在上至少含30个零点，在所上满足上述条件的中，求的最小值；
（3）在（2）问条件下，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】(1)由二倍角正弦公式化简原函数，即知最小正周期，找到其中一个递增区间，由已知区间属于递增区间列不等式组求的范围即可；(2)根据函数图象平移得到，由其过P点且求出值，在上至少含30个零点，根据三角函数的图象及性质分析即可知的最小值；(3)由不等式恒成立，令，即成立即可求的范围
【详解】解（1）由题意，有，又则最小正周期
由正弦函数的性质，当，函数取得最小值，函数取得最大值
∴是函数的一个单调递增区间
若函数在上单调递增，则且
解得
（2）∵由（1）：
∴将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象
∵的图象过．
∴，可得：，解得：，，
即：，，
∵
∴，可得的解析式为：
∴的周期为
在区间（，且）满足：在上至少有30个零点，
即在上至少有30个解．
∴有或
解得：或
分析：直线与三角函数图象的一个周期内的交点中，两个交点距离：最小为波谷跨度，最大为波峰跨度：
∴当交点正好跨过15个波谷，即跨过14个整周期和一个波谷时，有最小值
即，在所有满足上述条件的中的最小值为
（3），设，
∵即可
只需要解得
综上所述
【点睛】本题考查了三角函数的图象及性质，1、应用二倍角正弦公式化简，结合正弦函数的单调性求参数范围；2、根据函数图象平移得到新函数的解析式，由函数的零点个数求最值；3、将不等式恒成立转化为函数的最值情况下不等式成立，进而求参数范围