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2022-2023学年广东省清远市清城区八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年广东省清远市清城区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省清远市清城区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列不等式中，是一元一次不等式的是( )
A. 2x−1>0 B. −1<2 C. x−2y≤−1 D. y2+3>5
2. 把不等式2x≥x+2的解集在数轴上表示，正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. a(x−y)=ax−ay B. a2−b2=(a+b)(a−b)
C. x2+2x+1=x(x+2)+1 D. (x+1)(x+3)=x2+4x+3
4. 直角坐标系中，点P(2,−4)先向右平移4个单位后的坐标是( )
A. (2,0) B. (2,−8) C. (6,−4) D. (−2,−4)
5. 如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是∠ABC的角平分线，则∠ADB的度数等于( )
A. 70°
B. 100°
C. 105°
D. 120°
6. 若x2+2mx+16是一个完全平方式，则m的值为( )
A. ±4 B. ±2 C. 4 D. −4
7. 如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若AB=4，AC=3，BC=2，则BE的长为( )
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
8. 若关于x的不等式组x−m<07−2x≤1的整数解共有2个，则m的取值范围是( )
A. 4
A. 2 B. 2 C. 3 D. 1
10. 如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OC=5，OB=4，将线段BO以点B为旋转中心，逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：
①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；
②点O与O′的距离为4；
③∠AOB=150°；
④S四边形AOBO′=6+3 3；
其中结论正确有个．( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 利用因式分解计算：992−1= ______ ．
12. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=11，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G，则△AEG的周长为______ ．
13. 若不等式(m−2)x>2的解集是x<2m−2，则m的取值范围是______ ．
14. 如图，直线y=3x和y=kx+2相交于点P(1,3)，则不等式3x≥kx+2的解集为______ ．
15. 如图，已知∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1=2，则△A2022B2022A2023的边长为______．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
解不等式组5x+1>3(x−1)2x−1≤x+2，并把它的解集在数轴上表示出来．
17. (本小题8.0分)
分解因式：
(1)a2−4；
(2)xa2+2abx+xb2．
18. (本小题8.0分)
如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．
(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
(2)求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC
19. (本小题9.0分)
某社区要进行清远市创文十二条的内容宣讲，需要印刷宣传材料.有两个文印部前来联系业务，他们的报价相同，甲的优惠条件是：按每份定价6元的八折收费，另收500元制版费；乙的优惠条件是：每份定价6元的价格不变，而500元的制版费四折优惠.问：
(1)这个社区印制多少份宣传材料时两个文印部费用是相同的？
(2)现需印300份宣传资料，若让你去负责印制，如何选择可使费用较少？并说明理由．
20. (本小题9.0分)
如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(−1,1)，B(−4,2)，C(−3,4)．
(1)请画出△ABC向右平移5个单位长度后得到△A1B1C1；
(2)在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，并直接写出点P的坐标．
21. (本小题9.0分)
如图，已知直线y=kx+b经过点B(1,4)，与x轴交于点A(5,0)，与直线y=2x−4交于点C(3,m)．
(1)求直线y=kx+b的解析式及m的值；
(2)根据函数图象，直接写出关于x的不等式组2
22. (本小题12.0分)
如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作AF//BC交CD于F，延长AB、DC交于点E．
(1)求证：AC平分∠EAF；
(2)求证：∠FAD=∠E；
(3)若∠EAD=90°，AE=10，AF=6，求CF的长．
23. (本小题12.0分)
已知Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，且CA=CB．
(1)求证：∠CAD=∠CBD；
(2)如图1，当点C和点D在AB的同侧时，求∠ADC的度数；
(3)如图2，当点C和点D在AB的异侧时，△CBD绕点C顺时针旋转90°得△CAE，此时D、A、E三点共线.请判断AD、BD与CD三条线段的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
此题主要考查了一元一次不等式的定义，解题的关键是掌握一元一次不等式的定义．一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数项的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
根据一元一次不等式的定义解答即可．
【解答】
解：A、该不等式符合一元一次不等式的定义，故此选项符合题意；
B、不含未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；
C、该不等式中含有2个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；
D、未知数的次数是2，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意，
故选：A．
2.【答案】A
【解析】解：∵2x≥x+2，
∴2x−x≥2，
x≥2，
将解集表示在数轴上如下：
故选：A．
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
3.【答案】B
【解析】解：A、a(x−y)=ax−ay，是多项式的乘法运算，故此选项不符合题意；
B、a2−b2=(a+b)(a−b)，符合因式分解的定义，故此选项符合题意；
C、x2+2x+1=x(x+2)+1，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意；
D、(x+1)(x+3)=x2+4x+3，是多项式的乘法运算，故此选项不符合题意．
故选：B．
直接利用因式分解的定义分析得出答案．
此题主要考查了分解因式的定义．正确把握分解因式的定义是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了坐标与图形变化−平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据向右平移横坐标加列式计算即可得解．
【解答】
解：点P(2,−4)先向右平移4个单位后的坐标是(2+4,−4)，即(6,−4)．
5.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=(180°−40°)÷2=70°，
又∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=35°，
∴∠ADB=180°−(40°+35°)=105°．
故∠ADB的度数为105°．
故选：C．
由已知根据等腰三角形的性质易得两底角的度数，结合角平分线的定义和三角形内角和定理即可求解．
本题考查了三角形内角和定理及等腰三角形的性质、角平分线的定义；综合运用各种知识是解答本题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵x2+2mx+16是一个完全平方式，
∴m=±4，
故选：A．
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，
∴∠BAE=60°，BA=AE，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=4，
故选：B．
根据旋转的性质可得AB=AE，∠BAE=60°可得△ABE是等边三角形．可得BE的长．
本题考查旋转的性质，等边三角形的判定，本题关键是熟练掌握旋转图形的性质．
8.【答案】C
【解析】解：不等式组整理得：x
则m的范围为4
表示出不等式组的解集，由整数解有2个，确定出m的范围即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
9.【答案】D
【解析】解：过O点作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，如图，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴OD=OF，OE=OF，
即OE=OF=OD，
∵∠A=90°，AB=3，AC=4，
∴BC= AB2+AC2=5，
∵S△OAB+S△OAC+S△OBC=S△ABC，
∴12×3×OD+12×4×OE+12×5×OF=12×4×3，
∴OD=1，
∵∠DAE=∠ADO=∠AEO=90°，
∴四边形ADOE为矩形，
∵OD=OE，
∴四边形ADOE为正方形，
∴AD=OD=1．
故选：D．
过O点作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，如图，根据角平分线的性质得到OE=OF=OD，在利用勾股定理计算出BC=5，接着利用面积法求出OD=1，然后证明四边形ADOE为正方形，从而得到AD的长．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．利用面积法求出OD的长是解决问题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：连接OO′，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，AB=BC，
∵将线段BO以点B为旋转中心，逆时针旋转60°得到线段BO′，
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；
故①是正确的；
∵OB=OB，∠OBO′=60°，
∴△O′BO是等边三角形，
∴OO′=OB=4，
故②是正确的；
∵△O′BO是等边三角形，
∴∠O′OB=60°，
∵OO′=OB=4，AO=3，AO′=OC=5，
∴∠AOO′=90°，
∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=150°，
故③是正确的；
④S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OO′B=12(4×4× 32+4×3)=4 3+6，
故③是错误的，
故选：B．
①根据旋转的性质求解；
②根据等边三角形的性质求解；
③根据勾股定理的逆定理及角的和差求解；
④根据割补法求面积．
本题考查了旋转的性质，掌握勾股定理的逆定理、等边三角形的性质、旋转的性质及割补法求面积是解题的关键．
11.【答案】9800
【解析】解：992−1
=(99+1)(99−1)
=100×98
=9800．
故答案为：9800．
利用平方差公式分解因式可得原式=992+2×99×1+12，利用完全平方公式分解因式可得(99+1)2；
本题考查因式分解的应用，正确进行因式分解是解题关键．
12.【答案】11
【解析】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
同理，GA=GC，
∴△AEG的周长=AE+EG+GA=EB+EG+GC=BC=11，
故答案为：11．
根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，GA=GC，根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
13.【答案】m<2
【解析】解：根据题意得m−2<0，
∴m<2．
故答案为m<2．
因为系数化为1时不等号改变了方向，所以系数为负数，得到不等式求解．
此题考查不等式的性质3：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向发生改变．
14.【答案】x≥1
【解析】解：由图象可知，不等式3x≥kx+2的解集为x≥1．
故答案为：x≥1．
找出直线y=3x位于直线y=kx+2上方(含交点)时，x的取值范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题关键．
15.【答案】22022
【解析】解：∵△A1B1A2是等边三角形
∴∠B1A1A2=60°=∠MON+∠OB1A1
∵∠MON=30°
∴∠OB1A1=30°
∴B1A1=OA1=2
即等边△A1B1A2的边长=2，
同理可得△A2B2A3的边长=OA2=2×2=22，△A3B3A4的边长=OA3=22×2=23…，可归纳得△AnBnAn+1=2n，
∴△A2022B2022A2023的边长为22022，
故答案为：22022．
由OA1=2，可求得，△A1B1A2的边长为2，△A2B2A3，的边长为2×2=22，△A3B3A4的边长为22×2=23…，可归纳得△AnBnAn+1=2n，即可求得此题结果．
此题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定(等角对等边)，图形变化类规律归纳能力，关键是能根据图形进行猜想、验证、归纳规律．
16.【答案】解：5x+1>3(x−1)①2x−1≤x+2②，
解不等式①得：x>−2；
解不等式②得：x≤3；
∴原不等式组解集为−2
【解析】解出每个不等式，再取公共解集，最后把不等式组的解集在数轴上．
本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握求公共解集的方法．
17.【答案】解：(1)a2−4=(a+2)(a−2)；
(2)xa2+2abx+xb2
=x(a2+2ab+b2)
=x(a+b)2．
【解析】(1)利用平方差公式，进行分解即可解答；
(2)先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
18.【答案】解：(1)∠ABE=∠ACD，理由如下：
在△ABE和△ACD中，
AB=AC∠A=∠AAE=AD
∴△ABE≌△ACD(SAS)
∴∠ABE=∠ACD
(2)如图，连接AF，
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∵△ABE≌△ACD
∴∠ABE=∠ACD
∴∠FBC=∠FCB
∴FB=FC
∵AB=AC， FB=FC
∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，
即直线AF垂直平分线段BC
【解析】本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线段的判定的知识，解题的关键是能够从题目中整理出全等三角形，难度不大。
(1)证得△ABE≌△ACD后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论；
(2)利用垂直平分线段的判定即可证得结论。
19.【答案】解：(1)设这个社区印制x份宣传材料时两个文印部费用是相同的，
依题意得：6×0.8x+500=6x+500×0.4，
解得：x=250．
答：这个社区印制250份宣传材料时两个文印部费用是相同的；
(2)选择甲文印部费用较少；
理由：需要印刷300份宣传材料，甲文印部所需费用为：6×0.8×300+500=1940(元)，
乙文印部所需费用为：6×300+500×0.4=2000(元)．
∵1940<2000，
∴选甲文印部，
答：当印刷份数300份时，选择甲文印部费用较少．
【解析】(1)根据题意列方程求解；
(2)先分别计算两个文印部的费用，再比较大小．
本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是截图的关键．
20.【答案】解：(1)△A1B1C1如图所示．
(2)作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于P，点P即为所求．此时P(−2,0)．
【解析】(1)分别把A、B、C三点向右平移5个单位得到A1、B1、C1即可解决问题．
(2)作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于P，点P即为所求．
本题考查作图−平移变换，轴对称−最短问题、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．
21.【答案】解：(1)将(1,4)，(5,0)代入y=kx+b得4=k+b0=5k+b，
解得k=−1b=5，
∴y=−x+5．
将(3,m)代入y=2x−4得m=6−4=2．
(2)∵点B坐标为(1,4)，点C坐标为(3,2)，
由图象得1
∴点P，Q横坐标为3−1=2或3+1=4，
将x=2代入y=−x+5得y=−2+5=3，
∴点P坐标为(2,3)，
将x=4代入y=−x+5得y=−4+5=1，
∴点P坐标为(4,1)，
综上所述，点P坐标为(2,3)或(4,1)．
【解析】(1)通过待定系数法求出直线AB解析式，将点C坐标代入y=2x−4求出m的值．
(2)根据点B，C坐标结合图象求解．
(3)由点C到线段PQ的距离为1，可得点P，Q的横坐标，通过分类讨论求解．
本题考查一次函数的综合应用，解题关键是掌握一次函数与方程及不等式的关系．
22.【答案】(1)证明：∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴BA=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵BC//AF，
∴∠CAF=∠BCA，
∴∠CAF=∠BAC，即AC平分∠EAF；
(2)证明：∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∵∠DCA是△ACE的一个外角，
∴∠DCA=∠E+∠EAC，
∴∠E+∠EAC=∠FAD+∠CAF，
∵∠CAF=∠EAC，
∴∠FAD=∠E；
(3)解：∵∠EAD=90°，
∴∠E+∠ADE=90°，由(2)知，∠FAD=∠E，
∴∠DAF+∠ADE=90°，
∴∠AFD=∠AFE=90°，
∵AE=10，AF=6，
∴EF= AE2−AF2=8，
设DF=x，
∵DE2−AE2=AD2=AF2+DF2，
∴(8+x)2−102=62+x2，解得x=92，
∴DF=92，
∴DE=252，
∴AD= DE2−AE2=152，
∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴AD=CD=152，
∴CF=152−92=3．
【解析】(1)根据线段垂直平分线的性质得到BA=BC，从而可得∠BAC=∠BCA，根据平行线的性质得到∠CAF=∠BCA，再根据等量代换即可证明结论；
(2)根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠DCA，再根据三角形的外角性质证明即可；
(3)根据三角形的内角和定理得到∠E+∠ADE=90°，由(2)知，∠FAD=∠E，求得∠AFD=∠AFE=90°，根据勾股定理得到EF= AE2−AF2=8，设DF=x，求得DF=92，得到AD= DE2−AE2=152，根据线段垂直平分线的性质得到AD=CD=152，再根据线段的和差即可得到结论．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、勾股定理等，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴∠ACO=∠DBO=90°，
又∵∠AOC=∠DOB，
∴∠CAD=∠CBD；
(2)解：如图1，在AD上截取AE=BD，连接CE，
∵∠ACB=∠ADB=90°，且∠AOC=∠BOD，
∴∠CAE=∠DBC，
又∵AC=BC，
∴△CAE≌△CBD(SAS)，
∴CE=CD，∠ACE=∠DCB，
∴∠ECD=∠ACB=90°，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴∠ADC=45°；
(3)AD+BD= 2 CD．
证明：如图2，由旋转的性质得：△CAE≌△CBD，∠ECD=∠ACB=90°，
∴CE=CD，AE=BD，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴DE= 2CD，即AD+AE= 2CD，
∴AD+BD= 2CD．
【解析】(1)利用“8字形”中∠ACO=∠DBO=90°，∠AOC=∠DOB，即可得到∠CAD=∠CBD；
(2)在AD上截取AE=BD，连接CE，判定△CAE≌△CBD(SAS)，即可得出△CDE为等腰直角三角形，进而得到∠ADC=45°；
(3)由旋转的性质得△CAE≌△CBD，∠ECD=∠ACB=90°，进而得到△CDE为等腰直角三角形，依据线段的和差关系即可得到AD+BD= 2 CD．
本题属于几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形，全等三角形以及旋转变换的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰直角三角形，利用全等三角形的对应边相等进行转化．
2022-2023学年广东省清远市清城区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列不等式中，是一元一次不等式的是( )
A. 2x−1>0 B. −1<2 C. x−2y≤−1 D. y2+3>5
2. 把不等式2x≥x+2的解集在数轴上表示，正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. a(x−y)=ax−ay B. a2−b2=(a+b)(a−b)
C. x2+2x+1=x(x+2)+1 D. (x+1)(x+3)=x2+4x+3
4. 直角坐标系中，点P(2,−4)先向右平移4个单位后的坐标是( )
A. (2,0) B. (2,−8) C. (6,−4) D. (−2,−4)
5. 如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是∠ABC的角平分线，则∠ADB的度数等于( )
A. 70°
B. 100°
C. 105°
D. 120°
6. 若x2+2mx+16是一个完全平方式，则m的值为( )
A. ±4 B. ±2 C. 4 D. −4
7. 如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若AB=4，AC=3，BC=2，则BE的长为( )
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
8. 若关于x的不等式组x−m<07−2x≤1的整数解共有2个，则m的取值范围是( )
A. 4
A. 2 B. 2 C. 3 D. 1
10. 如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OC=5，OB=4，将线段BO以点B为旋转中心，逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：
①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；
②点O与O′的距离为4；
③∠AOB=150°；
④S四边形AOBO′=6+3 3；
其中结论正确有个．( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 利用因式分解计算：992−1= ______ ．
12. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=11，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G，则△AEG的周长为______ ．
13. 若不等式(m−2)x>2的解集是x<2m−2，则m的取值范围是______ ．
14. 如图，直线y=3x和y=kx+2相交于点P(1,3)，则不等式3x≥kx+2的解集为______ ．
15. 如图，已知∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1=2，则△A2022B2022A2023的边长为______．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
解不等式组5x+1>3(x−1)2x−1≤x+2，并把它的解集在数轴上表示出来．
17. (本小题8.0分)
分解因式：
(1)a2−4；
(2)xa2+2abx+xb2．
18. (本小题8.0分)
如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．
(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
(2)求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC
19. (本小题9.0分)
某社区要进行清远市创文十二条的内容宣讲，需要印刷宣传材料.有两个文印部前来联系业务，他们的报价相同，甲的优惠条件是：按每份定价6元的八折收费，另收500元制版费；乙的优惠条件是：每份定价6元的价格不变，而500元的制版费四折优惠.问：
(1)这个社区印制多少份宣传材料时两个文印部费用是相同的？
(2)现需印300份宣传资料，若让你去负责印制，如何选择可使费用较少？并说明理由．
20. (本小题9.0分)
如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(−1,1)，B(−4,2)，C(−3,4)．
(1)请画出△ABC向右平移5个单位长度后得到△A1B1C1；
(2)在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，并直接写出点P的坐标．
21. (本小题9.0分)
如图，已知直线y=kx+b经过点B(1,4)，与x轴交于点A(5,0)，与直线y=2x−4交于点C(3,m)．
(1)求直线y=kx+b的解析式及m的值；
(2)根据函数图象，直接写出关于x的不等式组2
22. (本小题12.0分)
如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作AF//BC交CD于F，延长AB、DC交于点E．
(1)求证：AC平分∠EAF；
(2)求证：∠FAD=∠E；
(3)若∠EAD=90°，AE=10，AF=6，求CF的长．
23. (本小题12.0分)
已知Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，且CA=CB．
(1)求证：∠CAD=∠CBD；
(2)如图1，当点C和点D在AB的同侧时，求∠ADC的度数；
(3)如图2，当点C和点D在AB的异侧时，△CBD绕点C顺时针旋转90°得△CAE，此时D、A、E三点共线.请判断AD、BD与CD三条线段的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
此题主要考查了一元一次不等式的定义，解题的关键是掌握一元一次不等式的定义．一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数项的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
根据一元一次不等式的定义解答即可．
【解答】
解：A、该不等式符合一元一次不等式的定义，故此选项符合题意；
B、不含未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；
C、该不等式中含有2个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；
D、未知数的次数是2，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意，
故选：A．
2.【答案】A
【解析】解：∵2x≥x+2，
∴2x−x≥2，
x≥2，
将解集表示在数轴上如下：
故选：A．
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
3.【答案】B
【解析】解：A、a(x−y)=ax−ay，是多项式的乘法运算，故此选项不符合题意；
B、a2−b2=(a+b)(a−b)，符合因式分解的定义，故此选项符合题意；
C、x2+2x+1=x(x+2)+1，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意；
D、(x+1)(x+3)=x2+4x+3，是多项式的乘法运算，故此选项不符合题意．
故选：B．
直接利用因式分解的定义分析得出答案．
此题主要考查了分解因式的定义．正确把握分解因式的定义是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了坐标与图形变化−平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据向右平移横坐标加列式计算即可得解．
【解答】
解：点P(2,−4)先向右平移4个单位后的坐标是(2+4,−4)，即(6,−4)．
5.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=(180°−40°)÷2=70°，
又∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=35°，
∴∠ADB=180°−(40°+35°)=105°．
故∠ADB的度数为105°．
故选：C．
由已知根据等腰三角形的性质易得两底角的度数，结合角平分线的定义和三角形内角和定理即可求解．
本题考查了三角形内角和定理及等腰三角形的性质、角平分线的定义；综合运用各种知识是解答本题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵x2+2mx+16是一个完全平方式，
∴m=±4，
故选：A．
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，
∴∠BAE=60°，BA=AE，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=4，
故选：B．
根据旋转的性质可得AB=AE，∠BAE=60°可得△ABE是等边三角形．可得BE的长．
本题考查旋转的性质，等边三角形的判定，本题关键是熟练掌握旋转图形的性质．
8.【答案】C
【解析】解：不等式组整理得：x
则m的范围为4
表示出不等式组的解集，由整数解有2个，确定出m的范围即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
9.【答案】D
【解析】解：过O点作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，如图，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴OD=OF，OE=OF，
即OE=OF=OD，
∵∠A=90°，AB=3，AC=4，
∴BC= AB2+AC2=5，
∵S△OAB+S△OAC+S△OBC=S△ABC，
∴12×3×OD+12×4×OE+12×5×OF=12×4×3，
∴OD=1，
∵∠DAE=∠ADO=∠AEO=90°，
∴四边形ADOE为矩形，
∵OD=OE，
∴四边形ADOE为正方形，
∴AD=OD=1．
故选：D．
过O点作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，如图，根据角平分线的性质得到OE=OF=OD，在利用勾股定理计算出BC=5，接着利用面积法求出OD=1，然后证明四边形ADOE为正方形，从而得到AD的长．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．利用面积法求出OD的长是解决问题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：连接OO′，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，AB=BC，
∵将线段BO以点B为旋转中心，逆时针旋转60°得到线段BO′，
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；
故①是正确的；
∵OB=OB，∠OBO′=60°，
∴△O′BO是等边三角形，
∴OO′=OB=4，
故②是正确的；
∵△O′BO是等边三角形，
∴∠O′OB=60°，
∵OO′=OB=4，AO=3，AO′=OC=5，
∴∠AOO′=90°，
∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=150°，
故③是正确的；
④S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OO′B=12(4×4× 32+4×3)=4 3+6，
故③是错误的，
故选：B．
①根据旋转的性质求解；
②根据等边三角形的性质求解；
③根据勾股定理的逆定理及角的和差求解；
④根据割补法求面积．
本题考查了旋转的性质，掌握勾股定理的逆定理、等边三角形的性质、旋转的性质及割补法求面积是解题的关键．
11.【答案】9800
【解析】解：992−1
=(99+1)(99−1)
=100×98
=9800．
故答案为：9800．
利用平方差公式分解因式可得原式=992+2×99×1+12，利用完全平方公式分解因式可得(99+1)2；
本题考查因式分解的应用，正确进行因式分解是解题关键．
12.【答案】11
【解析】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
同理，GA=GC，
∴△AEG的周长=AE+EG+GA=EB+EG+GC=BC=11，
故答案为：11．
根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，GA=GC，根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
13.【答案】m<2
【解析】解：根据题意得m−2<0，
∴m<2．
故答案为m<2．
因为系数化为1时不等号改变了方向，所以系数为负数，得到不等式求解．
此题考查不等式的性质3：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向发生改变．
14.【答案】x≥1
【解析】解：由图象可知，不等式3x≥kx+2的解集为x≥1．
故答案为：x≥1．
找出直线y=3x位于直线y=kx+2上方(含交点)时，x的取值范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题关键．
15.【答案】22022
【解析】解：∵△A1B1A2是等边三角形
∴∠B1A1A2=60°=∠MON+∠OB1A1
∵∠MON=30°
∴∠OB1A1=30°
∴B1A1=OA1=2
即等边△A1B1A2的边长=2，
同理可得△A2B2A3的边长=OA2=2×2=22，△A3B3A4的边长=OA3=22×2=23…，可归纳得△AnBnAn+1=2n，
∴△A2022B2022A2023的边长为22022，
故答案为：22022．
由OA1=2，可求得，△A1B1A2的边长为2，△A2B2A3，的边长为2×2=22，△A3B3A4的边长为22×2=23…，可归纳得△AnBnAn+1=2n，即可求得此题结果．
此题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定(等角对等边)，图形变化类规律归纳能力，关键是能根据图形进行猜想、验证、归纳规律．
16.【答案】解：5x+1>3(x−1)①2x−1≤x+2②，
解不等式①得：x>−2；
解不等式②得：x≤3；
∴原不等式组解集为−2
【解析】解出每个不等式，再取公共解集，最后把不等式组的解集在数轴上．
本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握求公共解集的方法．
17.【答案】解：(1)a2−4=(a+2)(a−2)；
(2)xa2+2abx+xb2
=x(a2+2ab+b2)
=x(a+b)2．
【解析】(1)利用平方差公式，进行分解即可解答；
(2)先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
18.【答案】解：(1)∠ABE=∠ACD，理由如下：
在△ABE和△ACD中，
AB=AC∠A=∠AAE=AD
∴△ABE≌△ACD(SAS)
∴∠ABE=∠ACD
(2)如图，连接AF，
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∵△ABE≌△ACD
∴∠ABE=∠ACD
∴∠FBC=∠FCB
∴FB=FC
∵AB=AC， FB=FC
∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，
即直线AF垂直平分线段BC
【解析】本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线段的判定的知识，解题的关键是能够从题目中整理出全等三角形，难度不大。
(1)证得△ABE≌△ACD后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论；
(2)利用垂直平分线段的判定即可证得结论。
19.【答案】解：(1)设这个社区印制x份宣传材料时两个文印部费用是相同的，
依题意得：6×0.8x+500=6x+500×0.4，
解得：x=250．
答：这个社区印制250份宣传材料时两个文印部费用是相同的；
(2)选择甲文印部费用较少；
理由：需要印刷300份宣传材料，甲文印部所需费用为：6×0.8×300+500=1940(元)，
乙文印部所需费用为：6×300+500×0.4=2000(元)．
∵1940<2000，
∴选甲文印部，
答：当印刷份数300份时，选择甲文印部费用较少．
【解析】(1)根据题意列方程求解；
(2)先分别计算两个文印部的费用，再比较大小．
本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是截图的关键．
20.【答案】解：(1)△A1B1C1如图所示．
(2)作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于P，点P即为所求．此时P(−2,0)．
【解析】(1)分别把A、B、C三点向右平移5个单位得到A1、B1、C1即可解决问题．
(2)作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于P，点P即为所求．
本题考查作图−平移变换，轴对称−最短问题、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．
21.【答案】解：(1)将(1,4)，(5,0)代入y=kx+b得4=k+b0=5k+b，
解得k=−1b=5，
∴y=−x+5．
将(3,m)代入y=2x−4得m=6−4=2．
(2)∵点B坐标为(1,4)，点C坐标为(3,2)，
由图象得1
∴点P，Q横坐标为3−1=2或3+1=4，
将x=2代入y=−x+5得y=−2+5=3，
∴点P坐标为(2,3)，
将x=4代入y=−x+5得y=−4+5=1，
∴点P坐标为(4,1)，
综上所述，点P坐标为(2,3)或(4,1)．
【解析】(1)通过待定系数法求出直线AB解析式，将点C坐标代入y=2x−4求出m的值．
(2)根据点B，C坐标结合图象求解．
(3)由点C到线段PQ的距离为1，可得点P，Q的横坐标，通过分类讨论求解．
本题考查一次函数的综合应用，解题关键是掌握一次函数与方程及不等式的关系．
22.【答案】(1)证明：∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴BA=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵BC//AF，
∴∠CAF=∠BCA，
∴∠CAF=∠BAC，即AC平分∠EAF；
(2)证明：∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∵∠DCA是△ACE的一个外角，
∴∠DCA=∠E+∠EAC，
∴∠E+∠EAC=∠FAD+∠CAF，
∵∠CAF=∠EAC，
∴∠FAD=∠E；
(3)解：∵∠EAD=90°，
∴∠E+∠ADE=90°，由(2)知，∠FAD=∠E，
∴∠DAF+∠ADE=90°，
∴∠AFD=∠AFE=90°，
∵AE=10，AF=6，
∴EF= AE2−AF2=8，
设DF=x，
∵DE2−AE2=AD2=AF2+DF2，
∴(8+x)2−102=62+x2，解得x=92，
∴DF=92，
∴DE=252，
∴AD= DE2−AE2=152，
∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴AD=CD=152，
∴CF=152−92=3．
【解析】(1)根据线段垂直平分线的性质得到BA=BC，从而可得∠BAC=∠BCA，根据平行线的性质得到∠CAF=∠BCA，再根据等量代换即可证明结论；
(2)根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠DCA，再根据三角形的外角性质证明即可；
(3)根据三角形的内角和定理得到∠E+∠ADE=90°，由(2)知，∠FAD=∠E，求得∠AFD=∠AFE=90°，根据勾股定理得到EF= AE2−AF2=8，设DF=x，求得DF=92，得到AD= DE2−AE2=152，根据线段垂直平分线的性质得到AD=CD=152，再根据线段的和差即可得到结论．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、勾股定理等，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴∠ACO=∠DBO=90°，
又∵∠AOC=∠DOB，
∴∠CAD=∠CBD；
(2)解：如图1，在AD上截取AE=BD，连接CE，
∵∠ACB=∠ADB=90°，且∠AOC=∠BOD，
∴∠CAE=∠DBC，
又∵AC=BC，
∴△CAE≌△CBD(SAS)，
∴CE=CD，∠ACE=∠DCB，
∴∠ECD=∠ACB=90°，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴∠ADC=45°；
(3)AD+BD= 2 CD．
证明：如图2，由旋转的性质得：△CAE≌△CBD，∠ECD=∠ACB=90°，
∴CE=CD，AE=BD，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴DE= 2CD，即AD+AE= 2CD，
∴AD+BD= 2CD．
【解析】(1)利用“8字形”中∠ACO=∠DBO=90°，∠AOC=∠DOB，即可得到∠CAD=∠CBD；
(2)在AD上截取AE=BD，连接CE，判定△CAE≌△CBD(SAS)，即可得出△CDE为等腰直角三角形，进而得到∠ADC=45°；
(3)由旋转的性质得△CAE≌△CBD，∠ECD=∠ACB=90°，进而得到△CDE为等腰直角三角形，依据线段的和差关系即可得到AD+BD= 2 CD．
本题属于几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形，全等三角形以及旋转变换的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰直角三角形，利用全等三角形的对应边相等进行转化．
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