专题15 导数及其应用（公式、定理、结论图表）-备战2024年新高考数学必背知识手册

这是一份专题15 导数及其应用（公式、定理、结论图表）-备战2024年新高考数学必背知识手册，共8页。试卷主要包含了曲线在点处切线，曲线过点处切线，利用导数求最值，．解决优化问题的步骤，))等内容，欢迎下载使用。

 导数及其应用（公式、定理、结论图表）



一.导数定义：在点处的导数记作
二.导数的几何意义
函数在处导数的几何意义，曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是：。
注意两种情况：
1.曲线在点处切线：性质：。相应的切线方程是：
2.曲线过点处切线：先设切点，切点为 ,则斜率k=，切点 在曲线上，切点在切线上，切点坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=，确定切线方程。
三.常见函数的导数公式:
①；②；③；④；
⑤；⑥；⑦；⑧ 。
四.导数的四则运算和复合函数的求导法则：
（1） (2)
（3）（4）
五.导数的应用：
1.利用导数判断函数单调性：设函数在某个区间内可导，
①该区间内为增函数；
②该区间内为减函数；
注意：当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或递减）的。
③在该区间内单调递增在该区间内恒成立；
④在该区间内单调递减在该区间内恒成立；
2.利用导数求极值：
（1）定义：设函数在点附近有定义，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极大值。记作＝，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极小值。记作＝。极大值和极小值统称为极值。
（2）求函数在某个区间上的极值的步骤：（i）求导数；（ii）求方程的根；（iii）检查在方程的根的左右的符号：“左正右负”在处取极大值；“左负右正”在处取极小值。
特别提醒：
①是极值点的充要条件是点两侧导数异号，而不仅是＝0，＝0是为极值点的必要而不充分条件。
②给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！
3.利用导数求最值：比较端点值和极值
（1）定义：函数在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。
（2）求函数在[]上的最大值与最小值的步骤：
①求函数在（）内的极值（极大值或极小值）；
②将的各极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小
值。
<解题方法与技巧>
1．导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f ′(x0)(x－x0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f (x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f (x)的切线方程”的异同点．
2．围绕着切点有三个等量关系：切点(x0，y0)，则k＝f ′(x0)，y0＝f (x0)，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到．
3．利用导数确定参数的取值范围时，要充分利用f(x)与其导数f′(x)之间的对应关系，然后结合函数的单调性等知识求解.
求解参数范围的步骤为：
(1)对含参数的函数f(x)求导，得到f′(x)；
(2)若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；
(3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f′(x)＝0.若f′(x)＝0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常函数，舍去此参数值.
4.求连续函数f (x)在区间[a，b]上的最值的方法
(1)若函数f (x)在区间[a，b]上单调递增或递减，则f (a)与f (b)一个为最大值，一个为最小值；
(2)若函数f (x)在闭区间[a，b]内有极值，则要先求出[a，b]上的极值，再与f (a)，f (b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．
5．已知函数的极值(最值)情况求参数的值(取值范围)的方法
根据极值和最值的关系，与最值有关的问题一般可以转化为极值问题．
已知f (x)在某点x0处有极值，求参数的值(取值范围)时，应逆向考虑，可先将参数当作常数，按照求极值的一般方法求解，再依据极值与导数的关系，列等式(不等式)求解．
6.．解决优化问题的步骤
(1)要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域.
(2)要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具.
(3)验证数学问题的解是否满足实际意义.
典例1：已知函数f (x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f (x)在点(2，－6)处的切线方程；
(2)直线l为曲线y＝f (x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f (x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
【解析】　(1)∵f ′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴f (x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f ′(2)＝13.
∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，
即y＝13x－32.
(2)设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f ′(x0)＝3x＋1，
∴直线l的方程为
y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.
又∵直线l过点(0，0)，
∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16.
整理得，x＝－8，
∴x0＝－2.
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.
k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)∵切线与直线y＝－＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4.
设切点坐标为(x0，y0)，
则f ′(x0)＝3x＋1＝4，
∴x0＝±1.
∴或
即切点为(1，－14)或(－1，－18)．
切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14.
典例2：已知函数f (x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1，0)且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)求函数f (x)在区间[0，t](0＜t＜3)上的最大值和最小值．
【解析】　(1)因为f ′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1，0)处的切线斜率为f ′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.
又函数过(1，0)点，即－2＋b＝0，b＝2.
所以a＝－3，b＝2，f (x)＝x3－3x2＋2.
(2)由(1)得f (x)＝x3－3x2＋2，
得f ′(x)＝3x2－6x.
由f ′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
①当0＜t≤2时，在区间(0，t)上，f ′(x)＜0，f (x)在[0，t]上是减函数，所以f (x)max＝f (0)＝2，f (x)min＝f (t)＝t3－3t2＋2.
②当2＜t＜3时，当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：
x
0
(0，2)
2
(2，t)
t
f ′(x)
0
－
0
＋

f (x)
2
↘
－2
↗
t3－3t2＋2
f (x)min＝f (2)＝－2，f (x)max为f (0)与f (t)中较大的一个．
f (t)－f (0)＝t3－3t2＝t2(t－3)＜0，
所以f (x)max＝f (0)＝2.
典例3：如图，曲线AH是一条居民平时散步的小道，小道两旁是空地，当地政府为了丰富居民的业余生活，要在小道两旁规划出两块地来修建休闲活动场所，已知空地ABCD和规划的两块用地(阴影区域)都是矩形，AB＝144，AD＝150，CH＝30，若以AB所在直线为x轴，A为原点，建立如图平面直角坐标系，则曲线AH的方程为y＝a，记AM＝t，规划的两块用地的面积之和为S(单位：米)．

(1)求S关于t的函数S(t)；
(2)求S的最大值．
【解析】　(1)根据所建平面直角坐标系，可得点H(144，120)，所以120＝a，解得a＝10，又AM＝t，所以P(t，10)，所以S关于t的函数关系式为S(t)＝t·(150－10)＋(144－t)·10＝150t－20t·＋1 440·(0＜t＜144)．
(2)令m＝，则S＝150m2－20m3＋1 440m(0＜m＜12)，
所以S′＝300 m－60m2＋1 440＝－60(m＋3)(m－8)，S′＝0⇒m＝8负值舍去；S′＞0⇒0＜m＜8；S′＜0⇒8＜m＜12；
所以函数S在区间(0，8)上单调递增，在区间(8，12)上单调递减，
所以当m＝8时，S取得最大值，为10 880平方米．
答：S的最大值为10 880平方米．
典例4：已知函数f (x)＝xex－a(ln x＋x)，a∈R.
(1)当a＝e时，求f (x)的单调区间；
(2)若f (x)有两个零点，求实数a的取值范围．
【解析】　(1)f (x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝e时，f (x)＝xex－eln x－ex，
f ′(x)＝，令f ′(x)＞0，解得x＞1，令f ′(x)＜0，解得0＜x＜1，∴f (x)在(0，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．
(2)令t＝ln x＋x，则t＝ln x＋x在(0，＋∞)上单调递增，且t∈R，
∴f (x)＝xex－a(ln x＋x)＝et－at，令g(t)＝et－at.
∴f (x)在(0，＋∞)上有两个零点等价于g(t)＝et－at在t∈R上有两个零点．
①当a＝0时，g(t)＝et在R上递增，且g(t)＞0，故g(t)无零点；
②当a＜0时，g′(t)＝et－a＞0，g(t)在R上单调递增，
又g(0)＝1＞0，g＝e－1＜0，故g(t)在R上只有一个零点；
③当a＞0时，由g′(t)＝et－a＝0，可知t∈(－∞，ln a)时，g′(t)＜0，g(t)为减函数；t∈(ln a，＋∞)时，g′(t)＞0，g(t)为增函数，∴g(t)在t＝ln a时有唯一的一个极小值g(ln a)＝a(1－ln a)．
若0＜a＜e，则g(t)min＝g(ln a)＝a(1－ln a)＞0，g(t)无零点；若a＝e，则g(t)min＝0，g(t)只有一个零点；若a＞e，则g(t)min＝g(ln a)＝a(1－ln a)＜0，而g(0)＝1＞0，由于f (x)＝在x＞e时为减函数，可知当a＞e时，ea＞ae＞a2.
从而g(a)＝ea－a2＞0，
∴f (x)在(0，ln a)和(ln a，＋∞)上各有一个零点．
综上可知：当a＞e时，f (x)有两个零点，即所求a的取值范围是(e，＋∞)．