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2022-2023学年山东省滨州市无棣县八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年山东省滨州市无棣县八年级（下）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省滨州市无棣县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 要使式子 3x−9在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x≥3 B. x≤3 C. x>3 D. x≠3
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=7，BC=4，则AC的值是( )
A. 3 B. 11 C. 65 D. 33
3. 直线y=kx+1一定经过点( )
A. (1,0) B. (1,k) C. (0,k) D. (0,1)
4. 若四边形ABCD是甲，则四边形ABCD一定是乙，甲、乙两空可以填( )
A. 平行四边形，矩形 B. 矩形，菱形
C. 菱形，正方形 D. 正方形，平行四边形
5. 在对一组样本数据进行分析时，爱国列出了方差的计算公式：
s2=15[(7−x)2+2(5−x)2+(8−x)2+(10−x)2]，下面结论错误的是( )
A. 众数是5 B. 方差是3.6 C. 平均数是7 D. 中位数是5
6. 古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦−秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记P=a+b+c2，那么三角形的面积为S= P(p−a)(p−b)(p−c).如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a=4，b=5，c=7，则△ABC的面积为( )
A. 16 B. 4 6 C. 4 2 D. 4 3
7. 如图，直线y=−x+a与y=x+b的交点的横坐标为−2，两直线与x轴交点的横坐标分别是−1，−3，则关于x的不等式−x+a>x+b>0的解集是( )
A. x>−2
B. x<−2
C. −3
证明一：用直尺测量发现：
AB=1.1cm，CD=1.1cm，
BC=1.1cm，AD=1.1cm，
∴AB=CD=BC=DA，
∴四边形ABCD是菱形．
证明二：设两张等宽的纸条宽为m，
∵两个纸条是等宽的矩形，
∴AB//BC，AB//CD，
∵S四边形ABCD=BC⋅m=CD⋅m
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形．
下列说法正确的是( )
A. 证明1用特殊到一般法证明了该问题
B. 证明2的证明过程是完整的，能够得出结论
C. 证明2还需要证明三角形全等，该证明才完整
D. 证明1只要测量够一百个四边形的边长进行验证，就能证明该问题
9. 如图，点P是▱ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是( )
A. B.
C. D.
10. 如图，在矩形ABCD中，R，P分别是AB，AD上的点，E，F分别是RP，PC的中点，当点P在AD上从点A向点D移动，而点R保持不动时，下列结论成立的是( )
A. 线段EF的长逐渐增大 B. 线段EF的长逐渐减小
C. 线段EF的长不变 D. 线段EF的长先增大后减小
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 把直线y=34x+1向右平移______个单位可得到直线y=34x−2．
12. 某企业招聘工作人员，竞聘者需通过计算机、语言表达和写作能力测试，李强的三项测试百分制得分依次是94分，80分，85分，其中计算机成绩占50%，语言表达占30%，写作能力成绩占20%，则李强最终的成绩是______ 分.
13. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若DC=5，AE=3，那么CE的长为______ ．
14. 如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线BD于点F，垂足为点E，连接AF、AC，若∠BDC=55°，则∠DAF= ______ ．
15. 阅读材料：如果两个正数a、b，即a>0，b>0，则有下面的不等式a+b2≥ ab，当且仅当a=b时取到等号.我们把a+b2叫做正数a、b算术平均数，把 ab叫做正数a、b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.它在数学中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具.根据上述材料，若y=3x+6x(x>0)，则y最小值为______ ．
16. 如图，甲乙两人以相同的路线前往距离单位10km的培训中心参加学习，图中l甲，l乙分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程S(千米)随时间t(分)变化的函数图象，以下说法中正确的是______ .(填序号)
①甲平均速度为0.25千米/小时；
②甲比乙晚12分钟到达；
③甲、乙相遇时，乙走了5千米；
④乙出发6分钟后追上甲．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：
(1)计算： 27 3− 23× 6+( 2+1)2024⋅( 2−1)2023；
(2)已知a= 5+12，b= 5−12，求ba+ab的值．
18. (本小题6.0分)
一次函数的图象过点(2,−1)与(−4,−4)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)求一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积．
19. (本小题8.0分)
如图，四边形ABCD为平行四边形，∠ADC的角平分线DE交AB于点E，连接AC交BE于点F．
(1)求证：DC−DA=EB；
(2)若AD⊥AC，AF=6，AC=16，求AE的长．
20. (本小题6.0分)
某校九年级(3)班甲、乙两名同学在5次引体向上测试中的有效次数如下：
甲：8，8，7，8，9．
乙：5，9，7，10，9．
甲、乙两同学引体向上的平均数、众数、中位数、方差如下：
平均数
众数
中位数
方差
甲
8
b
8
m
乙
a
9
c
3.2
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中a=______，b=______，c=______，m=______.(填数值)
(2)年级举行引体向上比赛，根据这5次的成绩，在甲、乙两人中选择一个代表班级参加比赛，如选择甲同学，其理由是______；如选择乙同学，其理由是______．
21. (本小题6.0分)
学习完一次函数后，某班同学在数学老师的指导下，继续对函数y=|x−1|的图象和性质进行探究.同学们在研究的过程中发现，这个函数的自变量x的取值范围是全体实数，他们将x与y的几组对应值列表(如表)，并画出了函数图象的一部分(如图)．
x
…
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
4
m
2
1
0
n
2
3
4
…
请你完成以下的研究问题：
(1)表中的m+n= ______ ．
(2)根据表格的数据，画出函数图象的另一部分．
(3)请你根据函数y=|x−1|的图象判断以下两种说法(在相应的括号内填“对”或“错”)．
①当x>1时，y随x的增大而减小(______ )；
②整个函数图象关于直线x=1对称(______ ).
22. (本小题8.0分)
下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边的中点．
求证：DE//BC，且DE=12BC．
方法一：证明：如图，延长DE到点F，使DE=EF，连接FC，DC，AF．
方法二：证明：如图，取BC中点G，连接GE并延长到点F，使EF=GE，连接AF．
23. (本小题10.0分)
如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．
(1)如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；
(2)如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．
24. (本小题8.0分)
二十大报告中指出，要深入推进能源革命，加强清洁能源高效利用，加快规划建设新型能源体系，积极参与应对气候变化全球治理.为保护环境，某百货公司计划购买A型和B型两种环保节能灯，共购买50盏，且当天全部售出，其生产成本及销售单价如表所示：
节能灯
生产成本(元/盏)
销售单位(元/盏)
A型
40
50
B型
35
43
设该百货公司每天购买A型节能灯x盏，每天销售两种型号的节能灯共获利润为y元．
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)若该百货公司计划每天采购这两种节能灯的总成本不超过1900元，要使得每天所获利润最大，求每天应各购买多少盏A型和B型环保节能灯？并求出最大利润．
25. (本小题12.0分)
如图，在矩形AOBC中，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上，BC=5，点B的坐标为(4,0)，点E是BC边上一点，把矩形AOBC沿BE翻折后，C点恰好落在x轴上点F处．
(1)求BE的长度；
(2)求BF所在直线的函数关系式；
(3)在x轴上求一点P，使△PBF成为以BF为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意得：3x−9≥0，
解得：x≥3，
故选：A．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵∠C=90°，AB=7，BC=4，
∴AC= AB2−BC2= 72−42= 33．
故选：D．
直接根据勾股定理进行解答即可．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：把各点分别代入一次函数y=kx+1，
A、k+1不一定等于0，原式不成立；
B、k+1≠k，原式不成立；
C、1≠k，原式不成立；
D、1=1，原式成立．
故选：D．
把各选项中点的坐标代入直线的解析式，即可得出答案．
本题考查一定经过某点的函数应适合这个点的横纵坐标．
4.【答案】D
【解析】解：A、若四边形ABCD是平行四边形，则四边形ABCD不一定是矩形，说法错误，不符合题意；
B、若四边形ABCD是矩形，则四边形ABCD不一定是菱形，说法错误，不符合题意；
C、若四边形ABCD是菱形，则四边形ABCD不一定是正方形，说法错误，不符合题意；
D、若四边形ABCD是正方形，则四边形ABCD一定是平行四边形，说法正确，符合题意；
故选：D．
根据正方形、菱形、矩形和平行四边形的性质判断即可．
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形是平行四边形解答．
5.【答案】D
【解析】解：∵方差的计算公式s2=15[(7−x)2+2(5−x)2+(8−x)2+(10−x)2]，
∴样本数据是5，5，7，8，10，
∴众数是5，
平均数是15×(7+5+5+8+10)=7，
s2=15[(7−x)2+2(5−x)2+(8−x)2+(10−x)2]=15[(7−7)2+2(5−7)2+(8−7)2+(10−7)2]=3.6，
中位数是7，
故选：D．
根据方差的计算公式可得，样本容量是5，样本数据是7，5，5，8，10，根据样本数据调查平均数、众数以及中位数即可判断．
本题考查了方差以及平均数、中位数以及众数，解题的关键是掌握方差的定义．
6.【答案】B
【解析】解：∵a=4，b=5，c=7．
∴p=4+5+72=8，
∴△ABC的面积S= 8×(8−4)×(8−5)×(8−7)=4 6；
故选：B．
利用阅读材料，先计算出p的值，然后根据海伦公式计算△ABC的面积；
考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算，难度不大．
7.【答案】C
【解析】解：∵直线y=−x+a与y=x+b的交点的横坐标为−2，两直线与x轴交点的横坐标分别是−1，−3，
∴关于x的不等式−x+a>x+b>0解集就是直线y=−x+a位于直线y=x+b上方的部分所对应的x取值范围，即：−3
根据题意和图形可以求得不等式−x+a>x+b>0的解集，从而可以解答本题．
本题考查一次函数与一元一次不等式、两条直线相交或平行问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8.【答案】B
【解析】解：证法2证明过程是严谨完整的，证法1是用特殊值法，这方法不能用于这题证明，
故选：B．
利用矩形的性质和菱形的判定依次判断两个证明方法可求解．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定，面积法等知识，掌握矩形的性质是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大；
点P沿D→C移动，△BAP的面积不变；
点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小．
故选：A．
分三段来考虑点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大；点P沿D→C移动，△BAP的面积不变；点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小，据此选择即可．
本题主要考查了动点问题的函数图象．注意分段考虑．
10.【答案】C
【解析】解：如图，连接CR，
∵在矩形ABCD中，R，P分别是AB，AD上的点，当点P在AD上从点A向点D移动，而点R保持不动时，
∴CR的长度是定值，
∵E，F分别是RP，PC的中点，
∴EF=12CR，
∴EF的长度是定值．
故选：C．
如图，连接CR，先说明明CR的长度是定值，再证明EF=12CR，可得EF的长度是定值，从而可得答案．
本题考查的是三角形的中位线的性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解本题的关键．
11.【答案】4
【解析】解：由“左加右减”的原则可知：
直线y=34x+1向右平移n个单位，得到直线的解析式为：y=34(x−n)+1，
又∵平移后的直线为y=34x−2，
∴34(x−n)+1=34x−2，
解得n=4，
故答案为：4．
根据“左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的原则是解答此题的关键．
12.【答案】88
【解析】解：李强最终的成绩是94×50%+80×30%+85×20%=88(分)，
故答案为：88．
根据加权平均数的计算方法进行计算即可．
本题考查加权平均数的意义和计算方法，理解加权平均数的意义，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的前提．
13.【答案】 29
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形．
∴AB=BC=CD=5，∠B=90°，
∵AE=3，
∴BE=5−3=2．
在Rt△BCE中，根据勾股定理得：
CE= BC2+BE2= 52+22= 29，
故答案为： 29．
根据正方形的性质求出AB=BC=CD=5.∠B=90°，得出BE=5−3=2，根据勾股定理求出CE= BC2+BE2= 52+22= 29即可．
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，求出BE=2．
14.【答案】15°
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BDC=55°，
∴AB=AD，∠BDA=∠BDC=55°，AD//BC，
∴∠ABD=∠BDA=55°，∠BAD+∠ABC=180°，
∴∠ABC=2∠ABD=110°，
∴∠BAD=180°−∠ABC=180°−110°=70°，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AF=BF，
∴∠FAB=∠FBA=55°，
∴∠DAF=∠BAD−∠FAB=70°−55°=15°，
故答案为：15°．
由菱形的性质得AB=AD，∠BDA=∠BDC=55°，AD//BC，再求出∠BAD=70°，然后由线段垂直平分线的性质得AF=BF，则∠FAB=∠FBA=55°，即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
15.【答案】6 2
【解析】解：由题意，∵ a+b2≥ ab，
∴a+b≥2 ab．
∵x>0，
∴3x>0，6 x>0，
∴y=3x+6x≥2 3 x⋅6x=2 18=6 2．
故答案为：6 2．
依据题意，读懂题目然后由公式可以得a+b≥2 ab，从而y≥2 18=6 2，进而可以得解．
本题主要考查新定义问题，解题时要能读懂题目找出其中蕴含关系是关键．
16.【答案】②④
【解析】解：①甲的平均速度为1040÷60=1.5(千米/小时)，
故①错误，不符合题意；
②乙在28分时到达，甲在40分时到达，
所以甲比乙晚12分钟到达，
故②正确，符合题意；
④设乙出发x分钟后追上甲，则有：1028−18x=1040×(18+x)，
解得x=6，
故④正确，符合题意；
③由④知：乙遇到甲时，所走的距离为：6×1028−18=6(km)，
故③错误，不符合题意．
所以正确的结论有两个个：②④，
故答案为：②④．
观察函数图象可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程，然后根据图象上特殊点的意义进行解答．
本题考查了一次函数的应用，关键是理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，通常根据路程、速度、时间三者之间的关系求解．
17.【答案】解；(1)原式= 273− 23×6+[( 2+1)( 2−1)]2023×( 2+1)
=3−2+(2−1)2023×( 2+1)
=1+ 2+1
=2+ 2；
(2)∵a= 5+12，b= 5−12，
∴a+b= 5，ab=5−14=1，
∴ba+ab=a2+b2ab=(a+b)2−2abab=( 5)2−2×11=3．
【解析】(1)先根据二次根式的除法法则、乘法法则和积的乘方法则运算，再利用平方差公式计算，然后合并即可；
(2)先计算出a+b= 5，ab=1，再运用通分和完全平方公式得到ba+ab=(a+b)2−2abab，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分式的化简求值．
18.【答案】解：(1)设一次函数的解析式为：y=kx+b，
∵图象过点(2,−1)与(−4,−4)．
∴2k+b=−1−4k+b=−4，解得：k=12b=−2，
∴一次函数解析式为：y=12x−2；
(2)当y=0，x=4，
当x=0，y=−2，
∴一次函数与坐标轴围成的三角形面积=12×4×2=4．
【解析】(1)待定系数法求出一次函数解析式即可；
(2)求出与坐标轴的交点坐标，得到两条直角边的长，根据面积公式解出即可．
本题考查了一次函数函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式．
19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB//DC，
∴∠AED=∠EDC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠EDC，
∴∠ADE=∠AED，
∴DA=AE，
∵AB=DC=AE+BE，
∴DC−DA=BE；
(2)解：过点F作FM⊥DC，垂足为M，
设AE的长为x，
∵AD⊥AC，FM⊥DC，
∴∠FAD=∠FMD=∠FMC=90°，
∵∠ADE=∠EDC，DF=DF，
∴△ADF≌△MDF(AAS)，
∴FA=FM=6，AD=DM，
∵AD=AE，
∴AD=AE=DM=x，
∵AC=16，
∴FC=AC−AF=16−6=10，
在Rt△FMC中，CM= CF2−FM2= 102−62=8，
∴DC=DM+CM=x+8，
在Rt△ADC中，AD2+AC2=DC2，
∴x2+162=(x+8)2，
解得：x=12，
∴AE的长为12．
【解析】(1)利用平行四边形的性质可得AB=DC，AB//DC，然后根据角平分线和平行可证△ADE是等腰三角形，从而可得AD=AE，根据线段的和差即可解答；
(2)过点F作FM⊥DC，垂足为M，设AE的长为x，根据垂直定义可得∠FAD=∠FMD=∠FMC=90°，从而利用AAS证明△ADF≌△MDF，然后利用全等三角形的性质可得FA=FM=6，AD=DM，从而可得AD=AE=DM=x，再根据已知可求出CF的长，从而在Rt△FMC中，利用勾股定理求出CM的长，进而求出DC的长，最后在Rt△ADC中，利用勾股定理列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
20.【答案】8 8 9 0.4 甲的方差较小，比较稳定 乙的中位数是9，众数是9，获奖可能性较大
【解析】解：(1)甲的成绩中，8出现的次数最多，因此甲的众数是8，即b=8，
甲的方差s2=15[3×(8−8)2+(7−8)2+(9−8)2]=0.4，即m=0.4，
乙的平均数：(5+9+7+10+9)÷5=8，即a=8，
将乙的成绩从小到大排列为5，7，9，9，10，处在第3位的数是9，因此中位数是9，即c=9．
故答案为8，8，9，0.4；
(2)年级举行引体向上比赛，根据这5次的成绩，在甲、乙两人中选择一个代表班级参加比赛，如选择甲同学，其理由是甲的方差较小，比较稳定；如选择乙同学，其理由是乙的中位数是9，众数是9，获奖可能性较大．
故答案为甲的方差较小，比较稳定；乙的中位数是9，众数是9，获奖可能性较大．
(1)根据平均数，众数，中位数，方差的定义的计算方法分别计算结果，得出答案，
(2)选择甲，只要看甲的方差较小，发挥稳定，选择乙由于乙的众数较大，中位数较大，成绩在中位数以上的占一半，获奖的次数较多．
本题考查方差，平均数，中位数，众数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型
21.【答案】4 错 对
【解析】解：(1)当x=−2时，m=−2−1=3，
当x=2时，n=2−1=1，
∴m+n=3+1=4；
故答案为：4；
(2)解：画出函数另一部分图象如下：
(3)①观察图象知，当x>1时，图象是上升的，即y随x的增大而增大，
故答案为：错；
②由图象知，整个函数图象关于直线x=1对称，
故答案为：对．
(1)分别求出当x=−2=2时的函数值m，n再相加即可；
(2)描点、连线即可画出自变量大于1时的函数图象；
(3)观察图象的升降即可对D作出判断观察整个函数图象即可对2作出判断．
本题考查了一次函数的图象与性质，画函数图象等知识，掌握函数基础知识及一次函数的知识是解题的关键．
22.【答案】解：选择方法一，
证明如下：在△AED和△CEF中，
AE=EC∠AED=∠CEFDE=EF，
∴△AED≌△CEF(SAS)，
∴CF=AD，∠DAE=∠FCE，
∴CF//AB，
∵AD=DB，
∴CF=DB，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴DF=BC，DF//BC，
∵DE=12DF，
∴DE=12BC，DE//BC；
方法二，
在△AEF与△CEG中，
EF=EG∠AEF=∠CEGAE=CE，
∴△AEF≌△CEG(SAS)，
∴AF=CG，∠FAC=∠C，
∴AF//BG，
∵BG=CG，
∴AF=BG，
∴四边形ABGF为平行四边形，
∵AD=BD，EF=GE，
∴DE//BC，DE=BG，
∵BG=12BC，
∴DE=12BC，DE//BC．
【解析】证明△AED≌△CEF，根据全等三角形的性质得到CF=AD，∠DAE=∠FCE，再证明四边形DBCF为平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可．
本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
23.【答案】解：(1)结论：PB=PQ，
理由：如图①中，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F．
∵P为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，
∴PF=PE，
∴四边形PECF为正方形．
∵∠BPE+∠QPE=90°，∠QPE+∠QPF=90°，
∴∠BPE=∠QPF，
在△PQF和△PBE中，
∠PFQ=∠PEBPF=PE∠QPF=∠BPE，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE(ASA)，
∴PB=PQ；
(2)结论：PB=PQ．
理由：如图②，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，
∵P为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，
∴PF=PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF+∠BPE=90°，
∴∠BPE=∠QPF，
在△PQF和△PBE中，
∠PFQ=∠PEBPF=PE∠QPF=∠BPE，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE(ASA)，
∴PB=PQ．
【解析】(1)结论：PB=PQ，如图①中，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F.只要证明Rt△PQF≌Rt△PBE即可．
(2)结论不变，证明方法类似．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等的三角形解决问题，属于中考常考题型．
24.【答案】解：(1)由题意得：y=(50−40)x+(43−35)(50−x)=2x+400，
∴y与x之间的函数关系式为y=2x+400；
(2)由题意，40x+35(50−x)≤1900，
解得x≤30，
∵y=2x+400，
∵2>0，
∴y随x的增大而增大，
∴x=30时，y有最大值=2×30+400=460，
此时50−x=50−30=20(件)，
答：每天应各购买A型30盏和B型20盏，可使该厂一天所获得的利润最大，最大利润460元．
【解析】(1)根据总利润=销售两种节能灯的利润之和，列出式子即可解决问题；
(2)根据题意得到不等式，解不等式，结合(1)的结论即可解答．
本题考查了一次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是读懂题意列出函数关系式并熟练掌握求一次函数最大值的方法．
25.【答案】解：(1)∵在矩形AOBC中，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上，BC=5，点B的坐标为(0,4)，
∴AC=OB=4，BC=OA=5，
∵长方形AOBC沿BE翻折后，C点恰好落在x轴上点F处，
∴△BCE≌△BFE，
∴BF=BC=5，EF=CE，
在Rt△BOF中，OF= BF2−OB2=3，
设AE=x，则FE=CE=4−x，
在Rt△AEF中，EF2=EA2+FA2，
x2+22=(4−x)2，解得：x=32，
∴EF=52，
Rt△BFE中，BE= BF2+EF2= 52+(52)2=5 52；
(2)∵OF=3，
∴F(3,0)，
设BF所在直线的函数解析式为：y=kx+b，
把B(0,4)，F(3,0)代入y=kx+b，
得3k+b=0b=4，
解得k=−43b=4，
∴AF所在直线的函数解析式为y=−43x+4；
(3)①当BF=BP时，如图，则OP=OF=3，
∴点P坐标是(−3,0)；
②当BF=FP时，如图，则PF=5.OP=PF+OF=8．
∴点P坐标是(8,0)；
③当BF=FP时，如图，则PF=5.OP=PF−OF=2，
∴点P坐标是(−2,0)，
综上，符合条件的点P坐标为(−3,0)或(−2,0)或(8,0)．
【解析】(1)根据矩形和折叠性质BF=BC=5，EF=CE，再利用勾股定理求解即可；
(2)先得到点F坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可；
(3)根据等腰三角形的性质分三种情况讨论求解即可．
本题考查了坐标与图形、矩形性质、折叠性质、勾股定理、求一次函数解析式、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键，
2022-2023学年山东省滨州市无棣县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 要使式子 3x−9在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x≥3 B. x≤3 C. x>3 D. x≠3
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=7，BC=4，则AC的值是( )
A. 3 B. 11 C. 65 D. 33
3. 直线y=kx+1一定经过点( )
A. (1,0) B. (1,k) C. (0,k) D. (0,1)
4. 若四边形ABCD是甲，则四边形ABCD一定是乙，甲、乙两空可以填( )
A. 平行四边形，矩形 B. 矩形，菱形
C. 菱形，正方形 D. 正方形，平行四边形
5. 在对一组样本数据进行分析时，爱国列出了方差的计算公式：
s2=15[(7−x)2+2(5−x)2+(8−x)2+(10−x)2]，下面结论错误的是( )
A. 众数是5 B. 方差是3.6 C. 平均数是7 D. 中位数是5
6. 古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦−秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记P=a+b+c2，那么三角形的面积为S= P(p−a)(p−b)(p−c).如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a=4，b=5，c=7，则△ABC的面积为( )
A. 16 B. 4 6 C. 4 2 D. 4 3
7. 如图，直线y=−x+a与y=x+b的交点的横坐标为−2，两直线与x轴交点的横坐标分别是−1，−3，则关于x的不等式−x+a>x+b>0的解集是( )
A. x>−2
B. x<−2
C. −3
证明一：用直尺测量发现：
AB=1.1cm，CD=1.1cm，
BC=1.1cm，AD=1.1cm，
∴AB=CD=BC=DA，
∴四边形ABCD是菱形．
证明二：设两张等宽的纸条宽为m，
∵两个纸条是等宽的矩形，
∴AB//BC，AB//CD，
∵S四边形ABCD=BC⋅m=CD⋅m
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形．
下列说法正确的是( )
A. 证明1用特殊到一般法证明了该问题
B. 证明2的证明过程是完整的，能够得出结论
C. 证明2还需要证明三角形全等，该证明才完整
D. 证明1只要测量够一百个四边形的边长进行验证，就能证明该问题
9. 如图，点P是▱ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是( )
A. B.
C. D.
10. 如图，在矩形ABCD中，R，P分别是AB，AD上的点，E，F分别是RP，PC的中点，当点P在AD上从点A向点D移动，而点R保持不动时，下列结论成立的是( )
A. 线段EF的长逐渐增大 B. 线段EF的长逐渐减小
C. 线段EF的长不变 D. 线段EF的长先增大后减小
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 把直线y=34x+1向右平移______个单位可得到直线y=34x−2．
12. 某企业招聘工作人员，竞聘者需通过计算机、语言表达和写作能力测试，李强的三项测试百分制得分依次是94分，80分，85分，其中计算机成绩占50%，语言表达占30%，写作能力成绩占20%，则李强最终的成绩是______ 分.
13. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若DC=5，AE=3，那么CE的长为______ ．
14. 如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线BD于点F，垂足为点E，连接AF、AC，若∠BDC=55°，则∠DAF= ______ ．
15. 阅读材料：如果两个正数a、b，即a>0，b>0，则有下面的不等式a+b2≥ ab，当且仅当a=b时取到等号.我们把a+b2叫做正数a、b算术平均数，把 ab叫做正数a、b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.它在数学中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具.根据上述材料，若y=3x+6x(x>0)，则y最小值为______ ．
16. 如图，甲乙两人以相同的路线前往距离单位10km的培训中心参加学习，图中l甲，l乙分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程S(千米)随时间t(分)变化的函数图象，以下说法中正确的是______ .(填序号)
①甲平均速度为0.25千米/小时；
②甲比乙晚12分钟到达；
③甲、乙相遇时，乙走了5千米；
④乙出发6分钟后追上甲．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：
(1)计算： 27 3− 23× 6+( 2+1)2024⋅( 2−1)2023；
(2)已知a= 5+12，b= 5−12，求ba+ab的值．
18. (本小题6.0分)
一次函数的图象过点(2,−1)与(−4,−4)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)求一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积．
19. (本小题8.0分)
如图，四边形ABCD为平行四边形，∠ADC的角平分线DE交AB于点E，连接AC交BE于点F．
(1)求证：DC−DA=EB；
(2)若AD⊥AC，AF=6，AC=16，求AE的长．
20. (本小题6.0分)
某校九年级(3)班甲、乙两名同学在5次引体向上测试中的有效次数如下：
甲：8，8，7，8，9．
乙：5，9，7，10，9．
甲、乙两同学引体向上的平均数、众数、中位数、方差如下：
平均数
众数
中位数
方差
甲
8
b
8
m
乙
a
9
c
3.2
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中a=______，b=______，c=______，m=______.(填数值)
(2)年级举行引体向上比赛，根据这5次的成绩，在甲、乙两人中选择一个代表班级参加比赛，如选择甲同学，其理由是______；如选择乙同学，其理由是______．
21. (本小题6.0分)
学习完一次函数后，某班同学在数学老师的指导下，继续对函数y=|x−1|的图象和性质进行探究.同学们在研究的过程中发现，这个函数的自变量x的取值范围是全体实数，他们将x与y的几组对应值列表(如表)，并画出了函数图象的一部分(如图)．
x
…
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
4
m
2
1
0
n
2
3
4
…
请你完成以下的研究问题：
(1)表中的m+n= ______ ．
(2)根据表格的数据，画出函数图象的另一部分．
(3)请你根据函数y=|x−1|的图象判断以下两种说法(在相应的括号内填“对”或“错”)．
①当x>1时，y随x的增大而减小(______ )；
②整个函数图象关于直线x=1对称(______ ).
22. (本小题8.0分)
下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边的中点．
求证：DE//BC，且DE=12BC．
方法一：证明：如图，延长DE到点F，使DE=EF，连接FC，DC，AF．
方法二：证明：如图，取BC中点G，连接GE并延长到点F，使EF=GE，连接AF．
23. (本小题10.0分)
如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．
(1)如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；
(2)如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．
24. (本小题8.0分)
二十大报告中指出，要深入推进能源革命，加强清洁能源高效利用，加快规划建设新型能源体系，积极参与应对气候变化全球治理.为保护环境，某百货公司计划购买A型和B型两种环保节能灯，共购买50盏，且当天全部售出，其生产成本及销售单价如表所示：
节能灯
生产成本(元/盏)
销售单位(元/盏)
A型
40
50
B型
35
43
设该百货公司每天购买A型节能灯x盏，每天销售两种型号的节能灯共获利润为y元．
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)若该百货公司计划每天采购这两种节能灯的总成本不超过1900元，要使得每天所获利润最大，求每天应各购买多少盏A型和B型环保节能灯？并求出最大利润．
25. (本小题12.0分)
如图，在矩形AOBC中，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上，BC=5，点B的坐标为(4,0)，点E是BC边上一点，把矩形AOBC沿BE翻折后，C点恰好落在x轴上点F处．
(1)求BE的长度；
(2)求BF所在直线的函数关系式；
(3)在x轴上求一点P，使△PBF成为以BF为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意得：3x−9≥0，
解得：x≥3，
故选：A．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵∠C=90°，AB=7，BC=4，
∴AC= AB2−BC2= 72−42= 33．
故选：D．
直接根据勾股定理进行解答即可．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：把各点分别代入一次函数y=kx+1，
A、k+1不一定等于0，原式不成立；
B、k+1≠k，原式不成立；
C、1≠k，原式不成立；
D、1=1，原式成立．
故选：D．
把各选项中点的坐标代入直线的解析式，即可得出答案．
本题考查一定经过某点的函数应适合这个点的横纵坐标．
4.【答案】D
【解析】解：A、若四边形ABCD是平行四边形，则四边形ABCD不一定是矩形，说法错误，不符合题意；
B、若四边形ABCD是矩形，则四边形ABCD不一定是菱形，说法错误，不符合题意；
C、若四边形ABCD是菱形，则四边形ABCD不一定是正方形，说法错误，不符合题意；
D、若四边形ABCD是正方形，则四边形ABCD一定是平行四边形，说法正确，符合题意；
故选：D．
根据正方形、菱形、矩形和平行四边形的性质判断即可．
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形是平行四边形解答．
5.【答案】D
【解析】解：∵方差的计算公式s2=15[(7−x)2+2(5−x)2+(8−x)2+(10−x)2]，
∴样本数据是5，5，7，8，10，
∴众数是5，
平均数是15×(7+5+5+8+10)=7，
s2=15[(7−x)2+2(5−x)2+(8−x)2+(10−x)2]=15[(7−7)2+2(5−7)2+(8−7)2+(10−7)2]=3.6，
中位数是7，
故选：D．
根据方差的计算公式可得，样本容量是5，样本数据是7，5，5，8，10，根据样本数据调查平均数、众数以及中位数即可判断．
本题考查了方差以及平均数、中位数以及众数，解题的关键是掌握方差的定义．
6.【答案】B
【解析】解：∵a=4，b=5，c=7．
∴p=4+5+72=8，
∴△ABC的面积S= 8×(8−4)×(8−5)×(8−7)=4 6；
故选：B．
利用阅读材料，先计算出p的值，然后根据海伦公式计算△ABC的面积；
考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算，难度不大．
7.【答案】C
【解析】解：∵直线y=−x+a与y=x+b的交点的横坐标为−2，两直线与x轴交点的横坐标分别是−1，−3，
∴关于x的不等式−x+a>x+b>0解集就是直线y=−x+a位于直线y=x+b上方的部分所对应的x取值范围，即：−3
根据题意和图形可以求得不等式−x+a>x+b>0的解集，从而可以解答本题．
本题考查一次函数与一元一次不等式、两条直线相交或平行问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8.【答案】B
【解析】解：证法2证明过程是严谨完整的，证法1是用特殊值法，这方法不能用于这题证明，
故选：B．
利用矩形的性质和菱形的判定依次判断两个证明方法可求解．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定，面积法等知识，掌握矩形的性质是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大；
点P沿D→C移动，△BAP的面积不变；
点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小．
故选：A．
分三段来考虑点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大；点P沿D→C移动，△BAP的面积不变；点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小，据此选择即可．
本题主要考查了动点问题的函数图象．注意分段考虑．
10.【答案】C
【解析】解：如图，连接CR，
∵在矩形ABCD中，R，P分别是AB，AD上的点，当点P在AD上从点A向点D移动，而点R保持不动时，
∴CR的长度是定值，
∵E，F分别是RP，PC的中点，
∴EF=12CR，
∴EF的长度是定值．
故选：C．
如图，连接CR，先说明明CR的长度是定值，再证明EF=12CR，可得EF的长度是定值，从而可得答案．
本题考查的是三角形的中位线的性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解本题的关键．
11.【答案】4
【解析】解：由“左加右减”的原则可知：
直线y=34x+1向右平移n个单位，得到直线的解析式为：y=34(x−n)+1，
又∵平移后的直线为y=34x−2，
∴34(x−n)+1=34x−2，
解得n=4，
故答案为：4．
根据“左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的原则是解答此题的关键．
12.【答案】88
【解析】解：李强最终的成绩是94×50%+80×30%+85×20%=88(分)，
故答案为：88．
根据加权平均数的计算方法进行计算即可．
本题考查加权平均数的意义和计算方法，理解加权平均数的意义，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的前提．
13.【答案】 29
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形．
∴AB=BC=CD=5，∠B=90°，
∵AE=3，
∴BE=5−3=2．
在Rt△BCE中，根据勾股定理得：
CE= BC2+BE2= 52+22= 29，
故答案为： 29．
根据正方形的性质求出AB=BC=CD=5.∠B=90°，得出BE=5−3=2，根据勾股定理求出CE= BC2+BE2= 52+22= 29即可．
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，求出BE=2．
14.【答案】15°
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BDC=55°，
∴AB=AD，∠BDA=∠BDC=55°，AD//BC，
∴∠ABD=∠BDA=55°，∠BAD+∠ABC=180°，
∴∠ABC=2∠ABD=110°，
∴∠BAD=180°−∠ABC=180°−110°=70°，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AF=BF，
∴∠FAB=∠FBA=55°，
∴∠DAF=∠BAD−∠FAB=70°−55°=15°，
故答案为：15°．
由菱形的性质得AB=AD，∠BDA=∠BDC=55°，AD//BC，再求出∠BAD=70°，然后由线段垂直平分线的性质得AF=BF，则∠FAB=∠FBA=55°，即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
15.【答案】6 2
【解析】解：由题意，∵ a+b2≥ ab，
∴a+b≥2 ab．
∵x>0，
∴3x>0，6 x>0，
∴y=3x+6x≥2 3 x⋅6x=2 18=6 2．
故答案为：6 2．
依据题意，读懂题目然后由公式可以得a+b≥2 ab，从而y≥2 18=6 2，进而可以得解．
本题主要考查新定义问题，解题时要能读懂题目找出其中蕴含关系是关键．
16.【答案】②④
【解析】解：①甲的平均速度为1040÷60=1.5(千米/小时)，
故①错误，不符合题意；
②乙在28分时到达，甲在40分时到达，
所以甲比乙晚12分钟到达，
故②正确，符合题意；
④设乙出发x分钟后追上甲，则有：1028−18x=1040×(18+x)，
解得x=6，
故④正确，符合题意；
③由④知：乙遇到甲时，所走的距离为：6×1028−18=6(km)，
故③错误，不符合题意．
所以正确的结论有两个个：②④，
故答案为：②④．
观察函数图象可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程，然后根据图象上特殊点的意义进行解答．
本题考查了一次函数的应用，关键是理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，通常根据路程、速度、时间三者之间的关系求解．
17.【答案】解；(1)原式= 273− 23×6+[( 2+1)( 2−1)]2023×( 2+1)
=3−2+(2−1)2023×( 2+1)
=1+ 2+1
=2+ 2；
(2)∵a= 5+12，b= 5−12，
∴a+b= 5，ab=5−14=1，
∴ba+ab=a2+b2ab=(a+b)2−2abab=( 5)2−2×11=3．
【解析】(1)先根据二次根式的除法法则、乘法法则和积的乘方法则运算，再利用平方差公式计算，然后合并即可；
(2)先计算出a+b= 5，ab=1，再运用通分和完全平方公式得到ba+ab=(a+b)2−2abab，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分式的化简求值．
18.【答案】解：(1)设一次函数的解析式为：y=kx+b，
∵图象过点(2,−1)与(−4,−4)．
∴2k+b=−1−4k+b=−4，解得：k=12b=−2，
∴一次函数解析式为：y=12x−2；
(2)当y=0，x=4，
当x=0，y=−2，
∴一次函数与坐标轴围成的三角形面积=12×4×2=4．
【解析】(1)待定系数法求出一次函数解析式即可；
(2)求出与坐标轴的交点坐标，得到两条直角边的长，根据面积公式解出即可．
本题考查了一次函数函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式．
19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB//DC，
∴∠AED=∠EDC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠EDC，
∴∠ADE=∠AED，
∴DA=AE，
∵AB=DC=AE+BE，
∴DC−DA=BE；
(2)解：过点F作FM⊥DC，垂足为M，
设AE的长为x，
∵AD⊥AC，FM⊥DC，
∴∠FAD=∠FMD=∠FMC=90°，
∵∠ADE=∠EDC，DF=DF，
∴△ADF≌△MDF(AAS)，
∴FA=FM=6，AD=DM，
∵AD=AE，
∴AD=AE=DM=x，
∵AC=16，
∴FC=AC−AF=16−6=10，
在Rt△FMC中，CM= CF2−FM2= 102−62=8，
∴DC=DM+CM=x+8，
在Rt△ADC中，AD2+AC2=DC2，
∴x2+162=(x+8)2，
解得：x=12，
∴AE的长为12．
【解析】(1)利用平行四边形的性质可得AB=DC，AB//DC，然后根据角平分线和平行可证△ADE是等腰三角形，从而可得AD=AE，根据线段的和差即可解答；
(2)过点F作FM⊥DC，垂足为M，设AE的长为x，根据垂直定义可得∠FAD=∠FMD=∠FMC=90°，从而利用AAS证明△ADF≌△MDF，然后利用全等三角形的性质可得FA=FM=6，AD=DM，从而可得AD=AE=DM=x，再根据已知可求出CF的长，从而在Rt△FMC中，利用勾股定理求出CM的长，进而求出DC的长，最后在Rt△ADC中，利用勾股定理列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
20.【答案】8 8 9 0.4 甲的方差较小，比较稳定 乙的中位数是9，众数是9，获奖可能性较大
【解析】解：(1)甲的成绩中，8出现的次数最多，因此甲的众数是8，即b=8，
甲的方差s2=15[3×(8−8)2+(7−8)2+(9−8)2]=0.4，即m=0.4，
乙的平均数：(5+9+7+10+9)÷5=8，即a=8，
将乙的成绩从小到大排列为5，7，9，9，10，处在第3位的数是9，因此中位数是9，即c=9．
故答案为8，8，9，0.4；
(2)年级举行引体向上比赛，根据这5次的成绩，在甲、乙两人中选择一个代表班级参加比赛，如选择甲同学，其理由是甲的方差较小，比较稳定；如选择乙同学，其理由是乙的中位数是9，众数是9，获奖可能性较大．
故答案为甲的方差较小，比较稳定；乙的中位数是9，众数是9，获奖可能性较大．
(1)根据平均数，众数，中位数，方差的定义的计算方法分别计算结果，得出答案，
(2)选择甲，只要看甲的方差较小，发挥稳定，选择乙由于乙的众数较大，中位数较大，成绩在中位数以上的占一半，获奖的次数较多．
本题考查方差，平均数，中位数，众数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型
21.【答案】4 错 对
【解析】解：(1)当x=−2时，m=−2−1=3，
当x=2时，n=2−1=1，
∴m+n=3+1=4；
故答案为：4；
(2)解：画出函数另一部分图象如下：
(3)①观察图象知，当x>1时，图象是上升的，即y随x的增大而增大，
故答案为：错；
②由图象知，整个函数图象关于直线x=1对称，
故答案为：对．
(1)分别求出当x=−2=2时的函数值m，n再相加即可；
(2)描点、连线即可画出自变量大于1时的函数图象；
(3)观察图象的升降即可对D作出判断观察整个函数图象即可对2作出判断．
本题考查了一次函数的图象与性质，画函数图象等知识，掌握函数基础知识及一次函数的知识是解题的关键．
22.【答案】解：选择方法一，
证明如下：在△AED和△CEF中，
AE=EC∠AED=∠CEFDE=EF，
∴△AED≌△CEF(SAS)，
∴CF=AD，∠DAE=∠FCE，
∴CF//AB，
∵AD=DB，
∴CF=DB，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴DF=BC，DF//BC，
∵DE=12DF，
∴DE=12BC，DE//BC；
方法二，
在△AEF与△CEG中，
EF=EG∠AEF=∠CEGAE=CE，
∴△AEF≌△CEG(SAS)，
∴AF=CG，∠FAC=∠C，
∴AF//BG，
∵BG=CG，
∴AF=BG，
∴四边形ABGF为平行四边形，
∵AD=BD，EF=GE，
∴DE//BC，DE=BG，
∵BG=12BC，
∴DE=12BC，DE//BC．
【解析】证明△AED≌△CEF，根据全等三角形的性质得到CF=AD，∠DAE=∠FCE，再证明四边形DBCF为平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可．
本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
23.【答案】解：(1)结论：PB=PQ，
理由：如图①中，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F．
∵P为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，
∴PF=PE，
∴四边形PECF为正方形．
∵∠BPE+∠QPE=90°，∠QPE+∠QPF=90°，
∴∠BPE=∠QPF，
在△PQF和△PBE中，
∠PFQ=∠PEBPF=PE∠QPF=∠BPE，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE(ASA)，
∴PB=PQ；
(2)结论：PB=PQ．
理由：如图②，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，
∵P为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，
∴PF=PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF+∠BPE=90°，
∴∠BPE=∠QPF，
在△PQF和△PBE中，
∠PFQ=∠PEBPF=PE∠QPF=∠BPE，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE(ASA)，
∴PB=PQ．
【解析】(1)结论：PB=PQ，如图①中，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F.只要证明Rt△PQF≌Rt△PBE即可．
(2)结论不变，证明方法类似．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等的三角形解决问题，属于中考常考题型．
24.【答案】解：(1)由题意得：y=(50−40)x+(43−35)(50−x)=2x+400，
∴y与x之间的函数关系式为y=2x+400；
(2)由题意，40x+35(50−x)≤1900，
解得x≤30，
∵y=2x+400，
∵2>0，
∴y随x的增大而增大，
∴x=30时，y有最大值=2×30+400=460，
此时50−x=50−30=20(件)，
答：每天应各购买A型30盏和B型20盏，可使该厂一天所获得的利润最大，最大利润460元．
【解析】(1)根据总利润=销售两种节能灯的利润之和，列出式子即可解决问题；
(2)根据题意得到不等式，解不等式，结合(1)的结论即可解答．
本题考查了一次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是读懂题意列出函数关系式并熟练掌握求一次函数最大值的方法．
25.【答案】解：(1)∵在矩形AOBC中，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上，BC=5，点B的坐标为(0,4)，
∴AC=OB=4，BC=OA=5，
∵长方形AOBC沿BE翻折后，C点恰好落在x轴上点F处，
∴△BCE≌△BFE，
∴BF=BC=5，EF=CE，
在Rt△BOF中，OF= BF2−OB2=3，
设AE=x，则FE=CE=4−x，
在Rt△AEF中，EF2=EA2+FA2，
x2+22=(4−x)2，解得：x=32，
∴EF=52，
Rt△BFE中，BE= BF2+EF2= 52+(52)2=5 52；
(2)∵OF=3，
∴F(3,0)，
设BF所在直线的函数解析式为：y=kx+b，
把B(0,4)，F(3,0)代入y=kx+b，
得3k+b=0b=4，
解得k=−43b=4，
∴AF所在直线的函数解析式为y=−43x+4；
(3)①当BF=BP时，如图，则OP=OF=3，
∴点P坐标是(−3,0)；
②当BF=FP时，如图，则PF=5.OP=PF+OF=8．
∴点P坐标是(8,0)；
③当BF=FP时，如图，则PF=5.OP=PF−OF=2，
∴点P坐标是(−2,0)，
综上，符合条件的点P坐标为(−3,0)或(−2,0)或(8,0)．
【解析】(1)根据矩形和折叠性质BF=BC=5，EF=CE，再利用勾股定理求解即可；
(2)先得到点F坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可；
(3)根据等腰三角形的性质分三种情况讨论求解即可．
本题考查了坐标与图形、矩形性质、折叠性质、勾股定理、求一次函数解析式、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键，
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