2022-2023学年山东省滨州市无棣县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省滨州市无棣县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列式子一定是二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3.  如图，在平行四边形中，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  在中，有两边的长分别为和，则第三边的长(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

5.  实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，数轴上点表示的数为，，且，以原点为圆心，为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，▱的对角线，相交于点，若，，则的长可能是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在中，，，，点是上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，平行四边形的对角线，相交于点点为的中点，连接并延长交于点，，下列结论：
▱；；；其中正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  二次根式有意义，则实数的取值范围是______ ．

12.  在二次根式中，最简二次根式有______个．

13.  在中，若，则 ______ ．

14.  如图，在▱中，，，的平分线与的延长线相交于点，则的长为______ ．

15.  如图，在四边形中，，，、、、分别是边、、、的中点，则四边形的周长为______ ．

16.  如图所示，是用个全等的直角三角形与个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为，小正方形面积为，若用，表示直角三角形的两直角边，下列四个说法：，，，，其中说法正确的结论有______填序号．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.  如图，折叠长方形一边，点落在边的点处，，．
求：的长；
的长．

四、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算：
；
先化简，再求值：，其中．

19.  本小题分
如图，在▱中，、分别是、边上的点，且，
求证：≌．
若，求证：四边形是矩形．

20.  本小题分
如图，在中，为斜边的中点，为上一点，为中点，若，．
求证：为的角平分线；
求的长．

21.  本小题分
某中学在校园一角开辟了一块四边形的“试验田”，把课堂的“死教材”转换为生动的“活景观”，学生们在课堂上学习理论之余，还可以到“试验田”实际操练，对生物的发展规律有了更为直观的认识如图，四边形是规划好的“试验田”，经过测量得知：，，，，求四边形的面积．

22.  本小题分
如图，在中，，为的中线．，，连接．
求证：四边形为菱形；
连接，若，，求的长．

23.  本小题分
用“”、“”、“”填空： ______ ， ______ ， ______ ．
由中各式猜想与的大小，并说明理由．
请利用上述结论解决下面问题：
某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要______

24.  本小题分
如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么我们就把这样的三角形叫做“智慧三角形”．

【简单运用】下列三个三角形，是智慧三角形的是______ 填序号；
如图，已知等边，请用尺规在该三角形边上找出所有满足条件的点，使为“智慧三角形”，并画出作图痕迹；
【深入探究】如图，在正方形中，点是的中点，是上一点，且，试判断是否为“智慧三角形”，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，有可能小于，故不一定是二次根式，不符合题意；
B、，，故一定是二次根式，符合题意；
C、，若时，无意义，不符合题意；
D、是三次根式，不符合题意；
故选：．
根据二次根式的定义，逐项判断即可求解．
本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、，可以组成直角三角形，故此选项符合题意；
C、，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．
此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
 

3.【答案】 

【解析】解：在平行四边形中，，
又有，
把这两个式子相加即可求出，
故选：．
利用平行四边形的邻角互补和已知，就可建立方程求出未知角．
本题考查了平行四边形的性质：邻角互补，建立方程组求解．
 

4.【答案】 

【解析】解：设第三边的长为，当为直角边时，，
当为斜边时，，
故选：．
根据题意，分第三边为直角边与斜边两种情况讨论，利用勾股定理即可求解．
【点睛】本题考查了勾股定理，分类讨论是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由图可知：，，
则


．
故选：．
直接利用数轴上，的位置，进而得出，，再利用绝对值以及算术平方根的定义化简得出答案．
此题主要考查了算术平方根以及实数与数轴，正确得出各项符号是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是勾股定理，实数与数轴以及复杂作图，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．
根据勾股定理，结合数轴即可得出结论．
【解答】
解：在中，，
则．
以为圆心，以为半径画弧，交数轴的正半轴于点，
，
点表示的实数是．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：▱的对角线，相交于点，，，
，，
，，
，
，
在，，，四个数中，，
符合题意，
故选：．
由平行四边形的性质得，，由，得，而，可知符合题意，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、三角形的三边关系等知识，求得，，并且列出不等式是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：在矩形中，，，
，
，
点为中点，
又点为边的中点，
为的中位线，
．
故选：．
由可得点为中点，从而可得为的中位线，进而求解．
本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，解题关键是掌握三角形的中位线的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：，且，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
当时，的值最小，
此时，的面积，
，
的最小值为；
故选：．
由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：点为的中点，
，
又，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
即，故正确；
在平行四边形中，，，，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，点为的中点，
，
平行四边形是菱形；
，故正确，
在中，，
，故正确；
在平行四边形中，，
又点为的中点，
，故正确；
综上所述：正确的结论有个，
故选：．
通过判定为等边三角形求得，利用等腰三角形的性质求得，从而判断；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断，然后结合菱形的性质和含直角三角形的性质判断；根据三角形中线的性质判断．
本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件可得：，再解不等式即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，，因此，，不是最简二次根式，而是最简二次根式，
故答案为：．
根据最简二次根式的定义逐个进行判断即可．
本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义，掌握二次根式的化简方法是正确解答的前提．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
则是直角三角形，且边是斜边，
是直角．
故答案为：．
根据勾股定理的逆定理可判定，若三角形的三边满足，则所对的角是直角．
本题主要考查勾股定理逆定理的内容，了解长边所对角是直角是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由平行四边形，平分，可得，利用等角对等边得出，结合图形中线段间的数量关系即可得出结果．
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握运用这些基础知识点是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形中，、、、分别是边、、、的中点，
，
，
四边形的周长为：．
故答案为：．
根据三角形中位线定理可知，所求四边形的边长，等于的一半，，等于的一半，从而求得四边形的周长．
本题考查三角形中位线等于第三边的一半的性质，中位线是三角形中的一条重要线段，它的性质与线段的中点及平行线紧密相连．
 

16.【答案】 

【解析】解：大正方形面积为，
大正方形边长为，
在直角三角形中，
，
故说法正确；
小正方形面积为，
小正方形边长为，
，
，
，
故说法错误；
大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和，
，
，
故说法正确；
，
，
，
，
，
，
故说法错误；
故答案为：．
利用大正方形面积和小正方形面积可得出大正方形和小正方形的边长，利用勾股定理可判断，利用平方差公式可判断，利用大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和可判断，利用可判断．
本题考查勾股定理的证明，解题的关键是利用大正方形面积和小正方形面积得出大正方形和小正方形的边长．
 

17.【答案】解：由题意可得，，
在中，，
，
．
由题意可得，可设的长为，
则在中，，
解得，
即的长为． 

【解析】由于翻折得到，所以可得，则在中，第一问可求解；
由于，可设的长为，进而在中，利用勾股定理求解直角三角形即可．
本题主要考查了矩形的性质以及翻折的问题，能够熟练运用矩形的性质求解一些简答的问题．
 

18.【答案】解：原式


；


，
当时，
原式． 

【解析】先化简二次根式，再根据二次根式的混合计算法则求解即可；
先根据单项式乘以多项式的计算法则和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的化简求值，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
在和中，
，
≌．

四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形． 

【解析】由在▱中，，可利用判定≌．
由在▱中，且，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形是平行四边形，又由，可证得四边形是矩形．
此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意有一个角是直角的平行四边形是矩形，首先证得四边形是平行四边形是关键．
 

20.【答案】证明：，
，
为斜边的中点，为中点，
是的中位线，
，
，
，
为的角平分线；

解：为斜边的中点，为中点，，
，
，
，
在中，为斜边的中点，
． 

【解析】根据等腰三角形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义即可得到结论；
根据三角形中位线定理得到，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查三角形的中位线定理，直角三角线斜边上的中线和斜边的关系，解答本题的关键是求出的长．
 

21.【答案】解：连接，

在中，，，
，
在中，，，，
，
为直角三角形，．
，
，
． 

【解析】利用勾股定理计算，再利用勾股定理的逆定理，判断三角形是直角三角形，后计算四边形的面积．
本题考查了勾股定理及其逆定理，灵活运用定理及其逆定理是解题的关键．
 

22.【答案】证明：，，
四边形为平行四边形，
，为边上的中线，
，
四边形为菱形；
解：连接交于点，如图，

四边形为菱形，，
，
，
，
，，
． 

【解析】先证明四边形为平行四边形，由直角三角形的性质可得，可得结论；
由菱形的性质可得，，，由直角三角形的性质可求的长，即可求解．
本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
 

23.【答案】       

【解析】解：，，
，，
，
；
，，
；
，，
．
故答案为：，，．

理由如下：
当，时，
，
，
，
．

设花圃的长为米，宽为米，则，，，
根据的结论可得：，
篱笆至少需要米．
故答案为：．
分别进行计算，比较大小即可；
根据第问填大于号或等于号，所以猜想；比较大小，可以作差，，联想到完全平方公式，问题得证；
设花圃的长为米，宽为米，需要篱笆的长度为米，利用第问的公式即可求得最小值．
本题主要考查了二次根式的计算，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平方公式，利用平方的非负性求证．
 

24.【答案】 

【解析】解：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
直角三角形是“智慧三角形”，故符合题意；
如图所示，分别取，的中点、，连接，，
由三角形三边的关系可知，
，即；
，是的中点，
，，
在中，由勾股定理得，
综上所述，图中的三角形不是“智慧三角形”；

如图所示，取的中点，连接，
，，
是等边三角形，
，
在中，由勾股定理得
图中的三角形不是“智慧三角形”；

故答案为：；
如图所示，分别作线段，的垂直平分线，垂足分别是和，
则点和点即为所求；

是“智慧三角形”．

理由如下：如图，设正方形的边长为．
是的中点，
．
，
，
，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
，
是直角三角形，即．
直角的斜边上的中线等于的一半，
为“智慧三角形”．
根据直角三角形斜边上的中线的性质即可判断图；如图所示，分别取，的中点、，连接，，利用三角形三边的关系，勾股定理以及三线合一定理分别证明，即可判断图；如图，取的中点，连接，先证明是等边三角形，推出，即可判断图；
由可知直角三角形一定是“智慧三角形”，结合等边三角形的性质只需要是或的中点时，此时，满足为“智慧三角形”，据此作图即可；
如图，设正方形的边长为，求出，，，利用勾股定理分别求出，，，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可得到结论．
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三线合一定理，等边三角形的性质与判断，线段垂直平分线的尺规作图，三角形三边的关系，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线的性质等等，正确理解题意并熟练掌握相关知识是解题的关键．