第2讲 数列解答题（数列求通项）-【冲刺双一流】备战2023年高考数学二轮复习核心专题讲练（新高考版）

第2讲　数列解答题（数列求通项）
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：法
突破二：法
突破三：累加法
突破四：累乘法
突破五：构造法
突破六：倒数法
突破七：隔项等差
突破八：隔项等比
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、对于数列，前项和记为；
①；②
①- ②：
法归类
角度1：已知与的关系；或与的关系

用，得到

例子：已知，求
角度2：已知与的关系；或与的关系
替换题目中的
例子：已知；
已知
角度3：已知等式中左侧含有：
作差法（类似）
例子：已知求

2、对于数列，前项积记为；
①；②
①②：
法归类
角度1：已知和的关系
角度1：用，得到
例子：的前项之积.

角度2：已知和的关系
角度1：用替换题目中
例子：已知数列的前n项积为，且.
3、累加法（叠加法）
若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。
具体步骤：





将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：
=
整理得：=
4、累乘法（叠乘法）
若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。
具体步骤：





将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：

整理得：
5、构造法
类型1： 用“待定系数法”构造等比数列
形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.
标准模型：（为常数，）或（为常数，）
类型2：用“同除法”构造等差数列
（1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.
（2）形如，可通过两边同除，将它转化为，换元令：，则原式化为：，先利用构造法类型1求出，再求出的通项公式.
（3）形如的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.
6、倒数法
用“倒数变换法”构造等差数列
类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.
类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.）
7、隔项等差数列
已知数列，满足，
则；
（其中为常数）；或则称数列为隔项等差数列，其中：
①构成以为首项的等差数列，公差为；
②构成以为首项的等差数列，公差为；
8、隔项等比数列
已知数列，满足，
则；
（其中为常数）；或则称数列为隔项等比数列，其中：
①构成以为首项的等比数列，公比为；
②构成以为首项的等比数列，公比为；
第二部分：重难点题型突破
突破一：法
1．（2022·河北张家口·高三期中）已知正项数列的前n项和为，其中．
(1)求的通项公式，并判断是否是等差数列，说明理由；
【答案】(1)，数列不是等差数列，理由见解析；
【详解】（1）由得，当时，，两式相减得，整理得，
因为数列为正项数列，所以，则，即，
在中，令，则，
解得或-1（舍去），所以，
所以数列从第2项起为等差数列，公差为2，
所以，数列不是等差数列.
2．（2022·湖南益阳·高二阶段练习）已知各项为正数的数列的前项和为，若.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）当时，，解得；
当时，由，得，
两式相减可得，，又，
，即是首项为，公差为的等差数列，
因此，的通项公式为；
3．（2022·江苏·苏州中学模拟预测）已知正项数列的前项和，且.
(1)证明：数列为等差数列；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）证明：∵，
∴当时，，
∴，
∴.
当时，，
∴，即，
故是首项为1，公差为1的等差数列；
4．（2022·江苏南通·高三期中）已知为正项数列的前n项和，且，当时，.
(1)证明为等差数列，并求的通项公式；
【答案】(1)证明见解析，
【详解】（1）因为，所以，
所以为等差数列.
因为，所以，所以，
所以
当时，
，
当时，，所以.
5．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））已知数列满足.
(1)求的通项公式；
【答案】(1)；
【详解】（1）由题，当时，，即.
①
当时，②
①-②得，
所以.
当时，也适合，
综上，.
6．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知数列的各项均为正数，且对任意的都有．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)，
【详解】（1）解：因为，，
当时，，
两式相减，得，即．
又当时，，得，满足上式．
所以，．
7．（2022·福建·泉州五中高三期中）设各项均为正数的数列的前n项和为．且，．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）由已知得：，
因为，，
所以，且，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，．
8．（2022·湖北襄阳·高三期中）已知数列满足
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）解：当时，，则，
当时，由，
可得，
上述两个等式作差可得，则，
又也满足，所以的通项公式为.
9．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和，满足，.求证：数列是等差数列.
【答案】证明见解析.
【详解】，，而有，于是得，
显然，，因此，
所以数列是首项，公差为的等差数列.
突破二：法
1．（2022·江苏南通·高三阶段练习）已知数列满足，，为其数列的前项积，且.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）∵为前项积，且，则，
∴，则，
又∵，，则时上式也成立，
∴成首项为1，公比为-2的等比数列，
故，.
2．（2021·陕西·咸阳市实验中学高二阶段练习（理））已知为数列的前项积，且，为数列的前项和，满足（，）.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求的通项公式；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）∵，，
，，
（）
而，数列是首项为2，公差为2的等差数列.
（2）由（1）知，，
当时，，
当时，，
而，，，均不满足上式.

3．（2022·河南安阳·高三期中（理））已知数列的各项均不为0，其前项的乘积.
(1)若为常数列，求这个常数；
(2)若，设，求数列的通项公式.
【答案】(1)2
(2)
【详解】（1）已知，当时，有，
因为为常数列，所以
故这个常数为2.
（2）已知，
所以当时，，
两边同时取对数，则，
当时，，，
因此的首项为1，且从第二项开始，是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，所以
所以数列的通项公式为.
4．（2022·江苏南京·模拟预测）已知数列的前n项积为，且满足a1＝1，.
(1)求的通项公式；
【答案】(1)；
（1）因为，则，所以，
显然，所以，即，
故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，
5．（2022·河北邢台·高三开学考试）数列的前n项积.数列的前n项和.
(1)求数列、的通项公式.
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)，，
(2)前n项和为，
（1）前n项积为，
①n＝1时，，
②时，，，
符合上式，∴，，.
的前n项和为，
①n＝1时，，
②时，，
，
符合上式，∴，；
（2）
记前n项和为
   ①
        ②
①－②得



∴，
6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，各项均为正数的数列的前项积为，且，，.
(1)求的通项公式；
(2)证明：为等比数列.
【答案】(1)
(2)证明见解析
（1）解：当时，，，
当时，，
所以，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以；
（2）证明：，，
当时，，则，
由于，则，
所以数列是等比数列.
7．（2022·湖北·模拟预测）已知数列前项和，的前项之积.
(1)求与的通项公式.
【答案】(1)，
(1)解：（1）由，
当时，
当时，，
当时，上式也成立，
所以，
由，
当时，，
当时，，
当时，上式也成立，
所以；
突破三：累加法
1．（2022·安徽·阜阳师范大学附属中学高三阶段练习）已知数列满足数列为等比数列，，且对任意的．
(1)求实数的值及的通项公式；
【答案】(1)；
【详解】（1）设的公比为．

．
，解得．
又．
，
，时，
当时，满足解析式，所以的通项公式为．
2．（2022·陕西宝鸡·高三期中（文））设数列满足，且.
(1)求证：数列为等差数列，并求的通项公式；
【答案】(1)证明见解析，;
【详解】（1）由已知得， 即，
是以 4 为首项， 2 为公差的等差数列.
，
当时，,
当时，也满足上式，所以;
3．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）已知数列满足：．
(1)证明数列为等差数列，并求数列的通项公式．
【答案】(1)证明见解析，
（1）由，
故数列是以2为首项，公差为2的等差数列，
∴，
∴，
当时，满足，
故对．
4．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））在数列中，，且对任意的，都有.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
【答案】(1)证明见解析，
（1）由，可得
又，，
所以.
所以首项为，公比为的等比数列.
所以.
所以.
又满足上式，所以
突破四：累乘法
1．（2022·河北张家口·高三期中）已知正项数列满足．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）由条件可知，,
得，
当时，

，
当时，成立，
所以；
2．（2022·湖南岳阳·高二期中）已知数列的前项和为，且满足，
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）解：由已知，时，，
与已知条件作差得：
所以，
所以,n=1成立
3．（2022·福建·高三阶段练习）设数列的前项和为且.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）解：由，得，
当时，，
，即，
，
当时，上式也成立，
；
4．（2022·湖北·高三阶段练习）已知数列的前n项和为，且是公差为2的等差数列．
(1)求的通项公式以及；
【答案】(1)，；
【详解】（1）解：由题意可知，
整理可得，①
则，②
由②-①可得，
整理可得，因为，
所以，
因为，所以，
．
5．（2022·江苏泰州·高三期中）设数列的前项和为，，．
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）解：当时，由可得，
上述两个等式作差可得，所以，，则，
所以，，
也满足，故对任意的，.
突破五：构造法
1．（2022·江苏盐城·高三阶段练习）已知数列中,,．
(1)求证:是等比数列,并求的通项公式;
【答案】(1)证明见解析,
【详解】（1）证明:
,
,
故数列是以为首项,4为公比的等比数列,
,
即．
2．（2022·重庆八中高三阶段练习）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列.
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
（1），，即；
当且时，，
即，，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，则.
3．（2022·河北·三河市第三中学高三阶段练习）已知数列满足，且．
(1)若，证明：数列是等比数列；
【答案】(1)证明见解析
（1）因为，
所以，
所以，即，
又，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列
4．（2022·辽宁·高二阶段练习）设数列的前n项和为，若对任意的正整数n，都有．
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
(1)解：∵对任意的正整数都成立，
∴，
两式相减，得，
∴，
即，
∴，
∴是以2为公比的等比数列，由已知得，
，
即；
5．（2022·黑龙江实验中学高三期中）已知数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)；
【详解】（1）当时，，即，解得；
当时，∵，∴，
两式作差得，
即，
∴，又，
∴数列是以为首项，3为公比的等比数列，
∴，

突破六：倒数法
1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，.求数列的通项公式;
【答案】
【详解】，，，即，解得：；
由题意知：；由得：，又，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
，则.
2．（2022·全国·高三专题练习）对负整数，数、、依次成等差数列．
(1)求的值；
(2)若数列满足，，求的通项公式；
【答案】(1)
(2)
（1）解：由题意可得，整理可得，
为负整数，解得.
（2）解：因为，等式两边同时除以可得，
所以，数列是首项为，公差为的等差数列，
故，因此，.
3．（2022·辽宁·昌图县第一高级中学高二期末）已知正项数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
(1)解：由，得，
因为，所以，即，
令，则，又，所以，
所以是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以，故．
4．（2022·黑龙江·龙江县第一中学高二阶段练习）已知数列的通项公式为，
(1)求数列的通项公式.
【答案】(1)
(1)解：因为，
所以，
则，
又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以，
所以；
5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，，证明：数列是等比数列
【答案】证明见解析
【详解】因为，所以，即，
所以，
又，∴是以为首项，3为公比的等比数列.
突破七：隔项等差
1．（2022·山西运城·高三期中）已知正项等差数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）法1：数列为等差数列，且前项和为满足.
，
数列通项公式为.
法2：.
当时，，
，
.    
数列的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列.
为等差数列，通项公式为.
2．（2022·江苏盐城·高三期中）数列中，．
(1)求的通项公式；
【答案】(1)；
【详解】（1）由①②，
②-①，
∴的奇数项与偶数项各自成等差数列，
由，∴，
∴，∴，n为奇数，
，∴，n为偶数．
∴.
3．各项均为正数的数列的前n项和为，且，则 ．
【答案】
【解析】∵ ∴（）
两式相减得，即
又因为的各项均为正数，所以（）
当时，由得，所以
故是以为首项，公差为的等差数列
∴.
4．（2022·全国·模拟预测）已知数列的前n项和为，．
(1)求；
【答案】(1)；
（1）
由，
，
可得，即，
所以，
所以，
令，可得，令，可得，
所以为奇数时，，
当为偶数时，，
即；
突破八：隔项等比
1．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知数列满足，，.
求数列的通项公式；
【答案】(1)
解：由题意，当时，，可得，
因为，可得，所以，，
所以数列的奇数项和偶数项都是公比为的等比数列.
所以当为奇数时，设，则，
当为偶数时，设，则.
因此，.
2.若数列，，，求数列的通项公式.
答案
当是奇数时：，整理得；当是偶数时：，整理得
解：因为，所以，两式相除：，所以是隔项等比数列；
构成以为首项的等比数列，公比为；
构成以为首项的等比数列，公比为；
当是奇数时：，整理得
当是偶数时：，整理得
第三部分：冲刺重难点特训
1．（2022·河南·民权县第一高级中学模拟预测（文））已知数列的前项和为，，且．
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）因为，所以当时．
因为，所以，，即．
所以，两式相减可得．
又，，所以，则．
所以是以为首项，为公比的等比数列．因此．
2．（2022·全国·模拟预测）已知为数列的前n项和，且．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）由①，
得②，
②－①得，
则，
当时，，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
所以，则．
3．（2022·江苏南京·模拟预测）记数列的前项和为，已知，.
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）由，两边同时除以可得：，
故数列为以为公差的等差数列，则，即，
当时，，
将代入上式，可得，则满足上式，
故数列的通项公式.
4．（2022·江苏盐城·模拟预测）已知数列满足，()，且()．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)，；
【详解】（1）因为，，，
可得，，
又，
则当时，
，
上式对也成立，
所以，；
5．（2022·江苏南通·模拟预测）已知数列满足，，.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式.
【答案】(1)见解析
(2)
（1）因为，所以，
从而，
因为，，所以，
故数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由(1)可知，，
故当时，，，，，，
由各式相加可知，，
故，
当时，也满足，
故数列的通项公式为：.
6．（2022·浙江绍兴·一模）已知数列满足，.有以下三个条件：①（，）；②；③（）；从上述三个条件中任选一个条件，求数列的通项公式和前项和.
【答案】，
【详解】解：选①由（，）得，
故是公比为2的等比数列，则
即，故是公差为的等差数列，
则，即.
选②由得，
故
化简得，即也满足
选③由  （1）得
当时，  （2）
由（1）－（2）得，故也满足，
因此，

两式相减得
化简得
7．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知数列的前项和为，若，且.
(1)求的通项公式;
【答案】(1)
(1)由得：，
则当时，，
又，，，
经检验：满足；
.
8．（2022·江苏·海安高级中学二模）已知数列前n项积为，且．
(1)求证：数列为等差数列；
【答案】(1)证明见解析
（1）因为，所以，
所以，
两式相除，得，整理为，
再整理得，．
所以数列为以2为首项，公差为1的等差数列．
9．（2022·四川·广安二中模拟预测（理））已知正项数列的前n项和为，且满足，
(1)求
【答案】(1)
【详解】（1）根据题意可得，当时，，解得，
由，代入得，整理后得
，即，根据等差数列的定义可知，数列
是首项为1，公差为1的等差数列，则，
10．（2022·内蒙古·满洲里市第一中学模拟预测（理））已知数列的前n项和为，满足，数列满足，且
(1)求数列和的通项公式；
【答案】(1)，
【详解】（1）∵，∴，两式相减得：
，∴，又，∴，
∴是以首项为1，公比为2的一个等比数列，∴；
由得：,又
∴是以首项为1，公差为1的一个等差数列，
∴，∴；
11．（2022·全国·模拟预测）设数列的前n项和为，且.
(1)求；
【答案】(1)
（1）当时，，解得，
当时，，
即，
是以为首项，为公比的等比数列，
则，即，
12．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））已知数列的前项和为，为等差数列的前项和，且满足，.
(1)求数列，的通项公式；
【答案】(1)，
【详解】（1）①当时，；
②当时，，
③将n=1代入中得： 符合.
∴，
设等差数列的公差为d，
则，解得：，
∴.
13．（2022·广西·模拟预测（理））设数列的前项和为，且满足
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）因为，
当时，，解得
当，时，，
所以，得
即，可知数列是首项为1，公比为5的等比数列，
所以