专题04 首届新高考-概率统计大题综合-【冲刺双一流之大题必刷】备战2024年高考数学冲刺双一流之大题必刷满分冲刺（首届新高考江西、广西、贵州、甘肃专用）

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专题04 首届新高考-概率统计大题综合（首届新高考江西、广西、贵州、甘肃专用）

一、解答题
1．（2023·山东日照·三模）某学校有两家餐厅，王同学第一天午餐时随机的选择一家餐厅用餐.如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.6；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.8.
(1)计算王同学第二天去餐厅用餐的概率；
(2)王同学某次在餐厅就餐，该餐厅提供5种西式点心，种中式点心，王同学从这些点心中选择3种点心，记选择西式点心的种数为，求的最大值，并求此时的值.
【答案】(1)0.7
(2)或10时，有最大值为

【分析】（1）根据条件概率公式和全概率公式求解即可；
（2）利用超几何分布表示出，列出不等式即可求最大值.
【详解】（1）设“第一天去餐厅用餐”，“第一天去餐厅用餐”，
“第二天去A餐厅用餐”，
根据题意得，
由全概率公式，得：，
所以，王同学第二天去A餐厅用餐的概率为0.7.
（2）由题意，的可能取值有：0，1，2，3，
由超几何分布可知，
令，若最大，则，
即，解得，
又∵， 所以，
易知当和时，的值相等，
所以当或10时，有最大值为，
即当的值为9或10时，使得最大.
2．（2023·云南保山·统考二模）中医药是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，是具有悠久历史传统和独特理论技术方法的医药体系，长期呵护着我们的健康，为中华文明的延续作出了突出贡献.某科研机构研究发现，某味中药的药用量x（单位：克）与药物功效（单位：药物功效单位）之间具有关系.
(1)估计该味中药的最佳用量与功效；
(2)对一批含有这昧中药的合成药物进行检测，发现这味中药的药用量平均值为6克，标准差为2，估计这批合成药的药物功效的平均值.
【答案】(1)该药物使用量为克时可达最大功效.
(2)

【分析】（1）根据用量与功效之间具有关系，结合二次函数的性质，即可求解；
（2）根据题意求得，，结合则，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，某味中药的药用量与药物功效之间具有关系，
可得，所以当时，，
即该药物使用量为克时可达最大功效.
（2）解：由题意，得，，所以，
则，
这批合成药的药物功效平均值为.
3．（2023·江苏苏州·模拟预测）数据报告显示，2018-2022年期间，某公司旗下一款软件产品的年度活跃用户数每年都保持着较为稳定的增长态势，具体数据如下表.
年份代码
1
2
3
4
5
活跃用户数（单位：亿）
11.51
12.25
12.58
13.67
18.01
(1)根据上表的数据，可用函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（计算的值时精确到0.01），并预测2025年的活跃用户数；
(2)公司规定，活跃用户数大于12.00（单位：亿）的年份为“企业腾飞年”.在企业腾飞年中，将活跃用户数低于13.00的视为良好，赋1分；将活跃用户数不低于13.00的视为优秀，赋2分.现从企业腾飞年中任取两年，用表示赋分之和，求的分布列和数学期望.
（参考数据：，，）
【答案】(1)，2025年的活跃用户数约为20.85亿；
(2)分布列见解析，数学期望为.

【分析】（1）根据最小二乘法计算可得回归方程，代入年份代码即可预测2025年用户数；
（2）根据条件得出得分的分布列，由期望公式计算即可.
【详解】（1）由表格计算可得：，，
因为，，，
所以.
因为满足，即，
所以关于的回归方程是.
令，得，所以2025年的活跃用户数约为20.85亿.
（2）由表格可知：企业腾飞年有4个，其中计分为1分的年份有2个，计分为2分的年份有2个，所以的可能取值有2，3，4，
则，，，
所以的分布列为：

2
3
4




所以数学期望为.
4．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）某学校为了解学生对航天知识的知晓情况，在全校学生中开展了航天知识测试（满分100分），随机抽取了100名学生的测试成绩，按照[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：
  
(1)根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的平均数；
(2)从测试成绩在[90，100]的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有6道题，从中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者才可以进入复赛．现有甲、乙两人参加选拔，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对3道，且甲、乙两人各题是否答对相互独立．记甲、乙两人中进入复赛的人数为，求的分布列及期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，

【分析】（1）利用平均数的计算方法，即可求解；
（2）由题意可求，甲乙分别进入复赛的概率，然后求出时的概率，即可得到分布列和期望.
【详解】（1）平均数，
所以该校学生测试成绩的平均数为.
（2）由题意可知，从6道题中选4题共有，
因为甲能答对6道题中的4道题，故甲能进复赛的情况共有；
所以甲能进复赛的概率为，则甲不能进复赛的概率为，
因为乙能答对6道题中的3道题，故乙能进复赛的情况共有；
所以乙能进复赛的概率为，则乙不能进复赛的概率为；
依题可得，的可能取值为0，1，2，
所以，，
，
则分布列为：

0
1
2
P



则.
5．（2023·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．下图是2018-2022年移动物联网连接数与年份代码的散点图，其中年份2018-2022对应的分别为1~5．

(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到），并推断它们的相关程度；
(2)求关于的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．
附：样本相关系数，，，
【答案】(1)0.98，两个变量具有很强的线性相关性
(2)，2024年移动物联网连接数亿户．

【分析】（1）由散点图可判断是否线性相关，再根据已知数据计算相关系数即可；
（2）由数据计算回归方程，并由方程计算预测即可.
【详解】（1）由图可知，两个变量线性相关．
由已知条件可得：，，
所以，   
，，
所以相关系数，
因此，两个变量具有很强的线性相关性．
（2）结合（1）可知，，   
所以回归方程是：，    
当时，有，即预测2024年移动物联网连接数为亿户．
6．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）一只不透朋的袋中装有10个相同的小球，分别标有数字0~9，先后从袋中随机取两只小球.用事件A表示“第二次取出小球的标号是2”，事件B表示“两次取出小球的标号之和是m”.
(1)若用不放回的方式取球，求；
(2)若用有放回的方式取球，求证：事件A与事件B相互独立的充要条件是.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.

【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式计算作答.
（2）利用列举法求出概率，结合独立性推理判断充分性，再利用条件概率公式推理判断必要性作答.
【详解】（1）用C表示“第一次取出小球的标号是2”，则，，，，
所以
.
（2）记第一次取出的球的标号为x，第二次的球的标号为y，用数组两次取球，则，
充分性：当时，
事件B发生包含的样本点为，
因此，事件AB发生包含的样本点为，则，
又，于是，所以事件A与事件B相互独立；
必要性
因为事件A与事件B相互独立，则，即，
而，，于是，
事件AB发生包含的样本点为，即，则，
又，，，
因此关于x的不等式组，有10组整数解，
即关于x的不等式组，有10组整数解，从而，得，
所以事件A与事件B相互独立的充要条件是.
7．（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测）某大学平面设计专业的报考人数连创新高，今年报名已经结束．考生的考号按0001，0002，的顺序从小到大依次排列．某位考生随机地了解了50个考生的考号，具体如下：
0400    0904    0747    0090    0636    0714    0017    0432    0403    0276
0986    0804    0697    0419    0735    0278    0358    0434    0946    0123
0647    0349     0105    0186    0079    0434    0960    0543    0495    0974
0219    0380    0397    0283    0504    0140    0518    0966    0559    0910
0558    0442    0694    0065    0757    0702    0498    0156    0225    0327
(1)据了解，这50名考生中有30名男生，20名女生．在某次模拟测试中，30名男生平均分数是70分，样本方差是10，20名女生平均分数是80分，样本方差是15，请求出此50人该次模拟考试成绩的平均分和方差；（考生个人具体分数不知晓）
(2)请根据这50个随机抽取的考号，帮助这位考生估计考生总数N，并说明理由．
【答案】(1)平均分是74，方差是36
(2)答案见解析

【分析】（1）根据公式计算即可；
（2）根据条件叙述清楚理由即可.
【详解】（1）记30名男生得分记为，20名女生得分记，
男生得分平均分   女生得分平均分，
所以总平均分，
，
所以此50人该次模拟考试成绩的平均分是74，方差是36．
（2）答案一：986，理由是用给出数据的最大值986（与0986对应）估计考生总数；    
答案二：1003，理由是用数据的最大值与最小值的和（）估计考生总数；    
答案三：987，这50个数的算术平均值是，它应该与接近．
因此，估计今年报考这所大学美术系平面设计专业的考生总数为（人）；                
答案四：1006，理由：把这50个数据从小到大排列，这50个数把区间分成51个小区间．
由于N未知，除了最右边的区间外，其他区间都是已知的．可以利用这些区间长度来估计N．
由于这50个数是随机取的，一般情况下可以认为最右边区间的长度近似等于长的，
并且可以用前50个区间的平均长度近似代替这个区间的长度．
因为这50个区间长度的和，恰好是这50个数中的最大值986，因此得到.
8．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）为了丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球个人赛，有甲、乙、丙、丁四位同学参加，甲与其他三人各进行一场比赛，共进行三场比赛，而且三场比赛相互独立.根据甲最近分别与乙、丙、丁比赛的情况，得到如下统计表：

乙
丙
丁
比赛的次数
60
60
50
甲获胜的次数
20
30
40
以上表中的频率作为概率，求解下列问题.
(1)如果甲按照第一场与乙比赛、第二场与丙比赛、第三场与丁比赛的顺序进行比赛.
（ⅰ）求甲至少胜一场的概率；
（ⅱ）如果甲胜一场得2分，负一场得0分，设甲的得分为，求的分布列与期望；
(2)记“甲与乙、丙、丁进行三场比赛中甲连胜二场”的概率为，那么以什么样的出场顺序才能使概率最大，并求出的最大值.
【答案】(1)（ⅰ）（ⅱ）分布列见解析，期望为
(2)出场顺序为丙丁乙或乙丁丙时概率最大，最大值为

【分析】（1）先求得甲与乙比赛获胜概率为，与丙比赛获胜概率为，与丁比赛获胜概率为，再根据独立性乘法公式，结合对立事件即可求解甲至少胜一场的概率；按分布列的求解步骤即可求解分布列，进而求得期望；
（2）由于乙、丙、丁有6种出场顺序，分别求得概率，从而可确定最大值.
【详解】（1）甲与乙比赛获胜概率为；与丙比赛获胜概率为；
与丁比赛获胜概率为；
（ⅰ）则甲至少胜一场的概率
（ⅱ）的可能取值为0，2，4，6
则，
，
，
，
所以的分布列为

0
2
4
6





（2）若出场顺序为乙丙丁：；
若出场顺序为乙丁丙：；
若出场顺序为丙乙丁：；
若出场顺序为丙丁乙：；
若出场顺序为丁丙乙：；
若出场顺序为丁乙丙：；
故出场顺序为丙丁乙或乙丁丙时概率最大，最大值为.
9．（2023·山东威海·统考二模）乒乓球被称为中国的“国球”．20世纪60年代以来，中国乒乓球选手取得世界乒乓球比赛的大部分冠军，甚至多次包揽整个赛事的所有冠军．乒乓球比赛每局采用11分制，每赢一球得1分，一局比赛开始后，先由一方发2球，再由另一方发2球，依次每2球交换发球权，若其中一方先得11分且至少领先2分即为胜方，该局比赛结束；若双方比分打成平后，发球权的次序仍然不变，但实行每球交换发球权，先连续多得2分的一方为胜方，该局比赛结束．现有甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，已知某局比赛甲先发球．
(1)求该局比赛中，打完前4个球时甲得3分的概率；
(2)求该局比赛结束时，双方比分打成且甲获胜的概率；
(3)若在该局双方比分打成平后，两人又打了X个球该局比赛结束，求事件“”的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）分类讨论，甲失一球，这球有是甲发球还是是乙发球，结合独立事件概率乘法公式分析运算；
（2）分类讨论，甲失一球，这球有是甲发球还是是乙发球，结合独立事件概率乘法公式分析运算；
（3）由题意可得：或，分类讨论，甲赢得比赛还是是乙赢得比赛，结合独立事件概率乘法公式分析运算.
【详解】（1）若打完前4个球时甲得3分，则甲失一球，这球有可能是甲发球也可能是乙发球，
所以打完前4个球时甲得3分的概率.
（2）若双方比分打成且甲获胜，则甲失一球，这球有可能是甲发球也可能是乙发球，且乙最后一次发球甲胜，
双方比分打成且甲获胜的概率.
（3）由题意可得：若，则或，
可得；
；
所以.
10．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）某市为了更好的了解全体中小学生感染新冠感冒后的情况，以便及时补充医疗资源.从全市中小学生中随机抽取了100名抗原检测为阳性的中小学生监测其健康状况，100名中小学生感染奥密克戎后的疼痛指数为，并以此为样本得到了如下图所示的表格：
疼痛指数



人数（人）
10
81
9
名称
无症状感染者
轻症感染者
重症感染者
其中轻症感染者和重症感染者统称为有症状感染者.
(1)统计学中常用表示在事件A发生的条件下事件发生的似然比.现从样本中随机抽取1名学生，记事件：该名学生为有症状感染者，事件：该名学生为重症感染者，求似然比的值；
(2)若该市所有抗原检测为阳性的中小学生的疼痛指数近似的服从正态分布，且.若从该市众多抗原检测为阳性的中小学生中随机抽取3名，设这3名学生中轻症感染者人数为，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，

【分析】（1）应用条件概率公式计算求解即可；
（2）应用，由二项分布分别写出求分布列及计算数学期望.
【详解】（1）由题意得：，
，
，
.
（2），
，则，
可能的取值为，


的分布列为：

0
1
2
3





数学期望.
11．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）为纪念中国共产党成立102周年，加深青少年对党的历史、党的知识、党的理论和路线方针的认识，激发爱党爱国热情，坚定走新时代中国特色社会主义道路的信心，我校举办了党史知识竞赛．竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答3道题，若答对题目不少于5道题，则获得一个积分．已知甲乙两名同学一组，甲同学和乙同学对每道题答对的概率分别是和，且每道题答对与否互不影响．
(1)若，求甲乙同学这一组在一轮竞赛中获得一个积分的概率；
(2)若，且每轮比赛互不影响，若甲乙同学这一组想至少获得7个积分，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？
【答案】(1)

(2)


【分析】（1）根据可求得；
（2）得出获得一个积分的，由已知可得，进而求得，根据甲乙两同学在轮比赛中获得的积分数满足，根据即可解得.
【详解】（1）假设甲和乙答对的题目个数分别为和，
故所求概率
，
所以甲乙同学这一组在一轮竞赛中获得一个积分的概率为；
（2）由（1）知，一轮获得一个积分的概率为
，
整理得，
因为且，所以，
所以，当且仅当时等号成立，即，
令，则，
所以，则，对称轴为，又， 所以当时，，则当时，，
甲乙两同学在轮比赛中获得的积分数满足，
所以由，即解得，
因为为正整数，所以至少为20，
所以若甲乙同学这一组想至少获得7个积分，那么理论上至少要进行20轮竞赛.
12．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）杭州2022年第19届亚运会（The 19th Asian Games Hangzhou 2022）将于2023年9月23日至10月8日举办．本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目．同时，在保持40个大项目不变的前提下，增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．
传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军．双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？
这里我们简单研究一下两个赛制．假设四支队伍分别为，其中对阵其他三个队伍获胜概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时同组，同组．
(1)若，在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率分别为多少？
(2)分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？
【答案】(1)；；
(2)淘汰赛制获得冠军概率为，双败赛制获得冠军概率为；双败赛制下，会使得强者拿到冠军概率变大，弱者拿到冠军的概率变低，更加有利于筛选出“强者”，人们“对强者不公平”的质疑是不对的．

【分析】（1）若拿冠军则只需要连赢两场，对于想拿到冠军，首先得战胜，然后战胜中的胜者，然后根据独立事件的乘法公式计算即可；
（2）根据独立事件的乘法公式分别算出在不同赛制下拿冠军的概率，然后作差进行比较.
【详解】（1）记拿到冠军分别为事件淘汰赛赛制下，只需要连赢两场即可拿到冠军，因此，
对于想拿到冠军，首先得战胜，然后战胜中的胜者，
因此．
（2）记两种寒制下获得冠军的概率分别为，则.
而双败赛制下，获得冠军有三种可能性：
（1）直接连赢三局；（2）从胜者组掉入败者组然后杀回总决赛；（3）直接掉入败者组拿到冠军.
因此，，.
则不论哪种赛制下，获得冠军的概率均小于，.
若，双败赛制下，队伍获得冠军的概率更大，其他队伍获得冠军的概率会变小，
若，双败赛制下，以伍获得冠军的概率更小，其他队伍获得冠军的概率会变大，
综上可知：双败赛制下，会使得强者拿到冠军概率变大，弱者拿到冠军的概率变低，更加有利于筛选出“强者”，人们“对强者不公平”的质疑是不对的．
13．（2023·湖南·校联考模拟预测）为了让学生了解毒品的危害，加强禁毒教育，某校组织了全体学生参加禁毒知识竞赛，现随机抽取50名学生的成绩（满分100分）进行分析，把他们的成绩分成以下6组：，，，，，．整理得到如图所示的频率分布直方图．
  
(1)求图中a的值并估计全校学生的平均成绩μ．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(2)在（1）的条件下，若此次知识竞赛得分，为了激发学生学习禁毒知识的兴趣，对参赛学生制定如下奖励方案：得分不超过57分的不予奖励，得分超过57分但不超过81分的可获得学校食堂消费券5元，得分超过81分但不超过93分的可获得学校食堂消费券10元，超过93分可获得学校食堂消费券15元．试估计全校1000名学生参加知识竞赛共可获得食堂消费券多少元．（结果四舍五入保留整数）
参考数据：，，．
【答案】(1)，
(2)5114元

【分析】（1）由频率分布直方图所有小矩形面积之和为，即可求得，根据平均数公式计算即可得；
（2）利用参考数据由正态分布的对称性分别求出获得学校食堂消费券为元时的概率，即可得出一名学生的期望值为，便可计算出全校1000名学生共可获得食堂消费券为5114元．
【详解】（1）由题意可知，，
解得

（2）设参加知识竞赛的每位学生获得的学校食堂消费券为Y元，
，
，
，
，
Y的分布列如下表：
Y
0
5
10
15
P
0.15865
0.6827
01359
0.02275
即一名学生获得的学校食堂消费券的期望值为
，
所以，全校学生可获得（元）．
故估计全校1000名学生参加知识竞赛共可获得食堂消费券5114元．
14．（2023·广东韶关·统考模拟预测）研究表明，如果温差太大，人们不注意保暖，可能会导致自身受到风寒刺激，增加感冒患病概率，特别是对于儿童以及年老体弱的人群，要多加防范.某中学数学建模社团成员研究了昼夜温差大小与某小学学生患感冒就诊人数多少之间的关系，他们记录了某六天的温差，并到校医室查阅了这六天中每天学生新增感冒就诊的人数，得到数据如下：
日期
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
昼夜温差（℃）
4
7
8
9
14
12
新增感冒就诊人数(位)






参考数据：，.
(1)已知第一天新增感冒就诊的学生中有位男生，从第一天新增的感冒就诊的学生中随机抽取位，其中男生人数记为，若抽取的人中至少有一位女生的概率为，求随机变量的分布列和数学期望；
(2)已知两个变量与之间的样本相关系数，请用最小二乘法求出关于的经验回归方程，据此估计昼夜温差为时，该校新增感冒就诊的学生人数.
参考公式：，.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)，人

【分析】（1）首先根据抽取的2人中至少有一位女生的概率为，计算出的值，从而可得随机变量的取值，根据超几何分布概率计算可得分布列和期望；
（2）首先根据样本相关系数和已知条件计算出，的值，进一步计算可得的值，利用最小二乘法计算的值，从而可得线性回归方程，将代入即可求得结果．
【详解】（1）依题意，所以，
所以，解得或（舍去），
即第一天新增患感冒而就诊的学生有位，其中男生位，女生位，
则随机变量的可能取值为：0，1，2，且服从超几何分布，其中，，，
所以，，，
所以的分布列为

0
1
2




则数学期望；
（2）依题意可得，
所以，
由于，
所以，
所以，
因为，，所以，
所以，
所以，当时，，
所以可以估计，昼夜温差为时，该校新增患感冒的学生人数人．
15．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考模拟预测）中日围棋擂台赛是由中国围棋队与日本围棋队各派若干名棋手，以擂台制形式举行的围棋团体赛.这是中国和国外开设的最早的围棋对抗赛，由中国围棋协会、日本棋院和中国《新体育》杂志社联合举办，日本电器公司（NEC）赞助，因此也称NEC杯中日围棋擂台赛.该赛事从1984年开始至1996年停办，共进行了11届，结果中国队以7比4的总比分获胜.该赛事对中国围棋甚至世界围棋发展产生了很大影响，被认为是现代围棋最成功的比赛之一.中日围棋擂台赛由中日双方各派同样数量的若干名棋手组成队伍，两队各设一名主帅，采用打擂台的形式，决出最后的胜负.比赛事先排定棋手的上场顺序（主帅最后上场），按顺序对局，胜者坐擂，负方依次派遣棋手打擂，直至一方“主帅”被击败为止.设中、日两国围棋队各有名队员，按事先排好的顺序进行擂台赛，中国队的名队员按出场的先后顺序记为；日本队的名队员按出场的先后顺序记为.假设胜的概率为（为常数）.
(1)当时，若每个队员实力相当，求中国队有四名队员被淘汰且最后战胜日本队的概率；
(2)记中国队被淘汰人且中国队获得擂台赛胜利的概率为，求的表达式；
(3)写出中国队获得擂台赛胜利的概率的表达式（不用说明理由）.
【答案】(1)；
(2)；
(3).

【分析】（1）方法1，列举出中国队的出场且获得胜利的所有结果，再求出每种结果的概率并借助互斥事件概率的加法公式求解作答；方法二，求出出场的结果种数，再利用独立重复试验的概率公式求解作答.
（2）根据给定条件，利用独立重复试验的概率公式列式作答.
（3）利用（2）的结论，结合互斥事件的加法公式求解作答.
【详解】（1）方法一：由于每个队员实力相当，则每场比赛胜的概率均为，
列举出中国队的出场且获得胜利的所有对阵形式，共分五种情况：
①负于，只有一种情况，获胜的概率为；
②负于，此前共淘汰4人，及，共进行4场比赛，而日本队负1场，有种情况，获胜的概率为；
③负于，此前共进行5场比赛，日本队负2场，共有种情况，获胜的概率为；
④负于，此前共进行6场比赛，日本队负3场，共有种情况，获胜的概率为；
⑤负于，此前共进行7场比赛，日本队负4场，共有种情况，获胜的概率为，
这五种情况是互斥的，所以所求事件的概率为：.
方法二：由于两队的实力相当，则可认为与（）比赛时，获胜的概率为，
而每进行一场比赛淘汰一人，中国队的出场且获得胜利，就有9人被淘汰，则共进行了9场比赛，
且最后一场是中国队胜，在此之前的8场比赛中，中国队必胜4场，负4场（若胜5场，则不必出场），
所以所求事件的概率为.
（2）中国队被淘汰人且中国队获得擂台赛胜利，则共进行了场比赛，
前场比赛中，中国队被淘汰了人，负了场，
所以.
（3）中国队获得擂台赛胜利的事件是胜的个互斥事件的和，
由（2）知，胜的概率为，
所以中国队获得擂台赛胜利的概率.
16．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）2021年奥运会我国射击项目收获丰盛，在我国射击也是一项历史悠久的运动.某射击运动爱好者甲来到靶场练习.
(1)已知用于射击打靶的某型号枪支弹夹中一共有发子弹，甲每次打靶的命中率均为，一旦出现子弹脱靶或者子弹打光便立即停止射击.记标靶上的子弹数量为随机变量，求的分布列和数学期望；
(2)若某种型号的枪支弹巢中一共可装填6发子弹，现有一枪支其中有发为实弹，其余均为空包弹，现规定：每次射击后，都需要在下一次射击之前填充一发空包弹，假设每次射击相互独立且均随机，在进行次射击后，记弹巢中空包弹的发数为，
①当时，请直接写出数学期望与的关系；
②求出关于的表达式.
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为；
(2)①；②.

【分析】（1）根据给定条件，求出的所有可能值，再求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望作答.
（2）①按第次射出是空包弹和实弹求出对应的概率及空包弹数，进而求出即可；②利用构造法求出数列的通项公式作答.
【详解】（1）依题意，的所有可能取值为，
，，
所以的分布列为

0
1
2
…






…


的数学期望，
显然，
两式相减得
，
所以.
（2）①第次射击后，包含两种情况：第次射出空包弹和第次射出实弹，
第次射击前，剩余空包弹的期望是，
若第次射出空包弹，则此时对应的概率为，因为射击后要填充一发空包弹，则此时空包弹的数量为，
若第次射出实弹，则此时对应的概率为，此时空包弹的数量为，
所以.
②当时，弹巢中有发空包弹，即，
由，得，
当时，数列是首项为，公比为的等比数列，
因此，而当时，满足上式，
所以.
17．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次数学知识竞赛.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩（单位：分），并以此为样本绘制了如下频率分布直方图.
  
(1)求该100名学生竞赛成绩的中位数；（结果保留整数）
(2)从竞赛成绩在的两组的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记竞赛成绩在的学生人数为，求的分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从随机抽取20名学生，用表示这20名学生中恰有名学生竞赛成绩在内的概率，其中．当最大时，求.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)或

【分析】（1）利用给定的频率分布直方图，由中位数的意义以及计算公式，代入计算即可得到结果；
（2）利用分层抽样求出成绩在，内的人数，再求出X的可能值及对应概率，列出分布列并求出期望作答；
（3）随机抽一名学生，求出成绩在的概率，再利用独立重复试验的概率公式，列出不等式求解作答.
【详解】（1）由直方图可知成绩在，，，的频率和为，而成绩在的频率为，
则抽取的100名学生成绩的中位数在内，设中位数为x，则，
解得，所以该100名学生竞赛成绩的中位数约为；
（2）由频率分布直方图可得：竞赛成绩在，两组的频率之比为，
则10人中竞赛成绩在的人数为人；在的人数为人；
则X所有可能的取值为0，1，2，3，
于是，，
，，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P




数学期望为；
（3）用频率估计概率，竞赛成绩在内的概率，
则，
．
令，解得，
当且仅当时取等号，即，
当时，，当时，，
所以当或，最大.
18．（2023·云南·校联考模拟预测）“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门app.为了了解全民对于“学习强国”使用的情况，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有名员工，其中是男性，是女性.
(1)当时，求抽出3人中男性员工人数的分布列和数学期望；
(2)我们知道，当总量足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑.从名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作；在二项分布中（即男性员工的人数）男性员工恰有2人的概率记作.那么当至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.（参考数据：）
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为
(2)N至少为145时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布

【分析】（1）利用超几何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求数学期望；
（2）利用二项分布概率模型和超几何分布概率模型即可求解.
【详解】（1）当时，男性员工有8人，女性员工有12人.
服从超几何分布，，
，，
，，
∴的分布列为

0
1
2
3





数学期望为.
（2），
，
由于，则，
即，
即，
由题意易知，
从而，
化简得，
又，于是.
由于函数在处有极小值，
从而当时单调递增，
又，.
因此当时符合题意，
而又考虑到和都是整数，则一定是5的整数倍，于是.
即N至少为145时，
我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.
19．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）生产某种特殊零件的废品率为（），优等品的概率为0.4，若20个此特殊零件中恰有4件废品的概率为，设的最大值点为．
(1)求；
(2)若工厂生产该零件的废品率为．
（ⅰ）从生产的产品中随机抽取个零件，设其中优等品的个数为，记，，已知时优等品概率最大，求的最小值；
（ⅱ）已知合格率为，每个零件的生产成本为80元，合格品每件售价150元，同时对不合格零件进行修复，修复为合格品后正常售卖，若仍不合格则以每件10元的价格出售，若每个不合格零件修复为合格零件的概率为0.5，工厂希望一个零件至少获利50元，试求一个零件的修复费用最高为多少元．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）12；（ⅱ）30

【分析】（1）根据二项分布求出的解析式，利用函数的单调性求解；
（2）（i）根据二项分布，写出的分布列，再根据最大求出n的范围；
（ii）根据数学期望求出最高维修费用.
【详解】（1）由题意得：
，（）
，
所以，在递增，在递减，
当时，取最大值；
（2）（ⅰ）设优等品的个数为，则，
，，
若时，有最大值，则 ，即 ，解得，
所以的最小值为12；
（ⅱ）设工厂生产一个零件获利元，零件的修复费用为元
则的可能取值为：70，，
， ，  
，,
所以，一个零件需要修复费用最高为30元；
综上，（1），（2）（i）的最小值为12，（ii）一个零件需要修复费用最高为30元.
20．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.
(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；
(2)如果取到的零件是次品，计算它是第1台车床所加工的概率（结果用分数表示）；
(3)参照第（2）问给出判断，求第1，2，3台车床操作员对加工次品分别应承担的份额.
【答案】(1)0.0525
(2)
(3)第1，2台车床操作员应承担，第3台车床操作员应承担.

【分析】（1）设“任取一零件为次品”，“零件为第i台车床加工”，
则，且，，两两互斥，求出、、，以及、、，由全概率公式得；
（2）“求次品为第1台车床所加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率由条件概率公式计算可得答案；
（3）由条件概率公式计算可得答案；
【详解】（1）设“任取一零件为次品”，“零件为第i台车床加工”，
则，且，，两两互斥，根据题意得，
，，，
，，，
由全概率公式，得


；
（2）“求次品为第1台车床所加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率，
；
（3）根据（2）
，
，
故第1，2台车床操作员应承担，第3台车床操作员应承担.
21．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，一款无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注，成为了进博会的“明星展品”．体积仅有维生素胶囊大小，体积比传统心脏起搏器减小93%，重量仅约2克，拥有强大的电池续航能力，配合兼容1.5T/3.0T全身核磁共振扫描检查等创新功能．在起搏器研发后期，某企业快速启动无线充电器主控芯片生产，试产期每天都需同步进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测，选择哪种检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”和“1”，连续生成4次，把4次的数字相加，若和小于3，则该天的检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式．
(1)求该企业前三天的产品检测选择智能检测的天数X的分布列；
(2)当地政府为了检查该企业是否具有一定的智能化管理水平，采用如下方案：设表示事件“第n天该企业产品检测选择的是智能检测”的概率，若恒成立，认为该企业具有一定的智能化管理水平，将给予该企业一定的奖励资金，否则将没有该项奖励资金．请问该企业能拿到奖励资金吗？请说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)可以；理由见解析

【分析】（1）根据题意，由条件可得的可能取值为，然后分别求出其所对应的概率，即可得到分布列.
（2）根据题意，由条件可得是以为首项，为公比的等比数列，然后结合等比数列的通项公式即可得到结果.
【详解】（1）设计算机4次生成的数字之和为，则，
则，
，
的可能取值为，
则，
，
，
所以的分布列为

1
2
3




（2）设表示事件第天该企业产品检测选择的是智能检测，
表示事件第天该企业产品检测选择的是智能检测，
由全概率公式可知
则，，
即，，且，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
则，所以恒成立，
所以该企业具有一定的智能化管理水平，能拿到奖金.
22．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）某中学对学生钻研理工课程的情况进行调查，将每周独立钻研理工课程超过6小时的学生称为“理工迷”，否则称为“非理工迷”，从调查结果中随机抽取100人进行分析，得到数据如表所示：

理工迷
非理工迷
总计
男
24
36
60
女
12
28
40
总计
36
64
100
(1)根据的独立性检验，能否认为“理工迷”与性别有关联？
(2)在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生是非理工迷”，表示“选到的学生是男生”请利用样本数据，估计的值.
(3)现从“理工迷”的样本中，按分层抽样的方法选出6人组成一个小组，从抽取的6人里再随机抽取3人参加理工科知识竞赛，求这3人中，男生人数的概率分布列及数学期望.
参考数据与公式：

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
，其中.
【答案】(1)认为理工迷与性别无关
(2)
(3)分布列见解析，数学期望为2

【分析】（1）计算出卡方，即可判断；
（2）根据条件概率公式计算可得；
（3）首先利用分层抽样求出男生、女生抽取的人数，则的所有可能取值为，，，求出所对应的概率，从而得到分布列与数学期望.
【详解】（1）提出假设：“理工迷”与性别无关.
则，而，
根据的独立性检验，可以推断成立，所以认为理工迷与性别无关.
（2）因为，
所以估计的值为.
（3）按照分层抽样，男生抽取人，女生抽取人，
随机变量的所有可能取值为，，，
所以，，，
所以的分布列为：

1
2
3




则.
23．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）现有4个除颜色外完全一样的小球和3个分别标有甲、乙、丙的盒子，将4个球全部随机放入三个盒子中（允许有空盒）．
(1)记盒子乙中的小球个数为随机变量，求的数学期望；
(2)对于两个不互相独立的事件，若，称为事件的相关系数．
①若，求证：；
②若事件盒子乙不空，事件至少有两个盒子不空，求．
【答案】(1)
(2)①证明见详解；②

【分析】（1）每个小球的选择都是一次独立重复试验，而每个小球选择盒子乙的概率为，所以可知随机变量服从二项分布；
（2）①由条件概率的公式很容易证明；②主要是根据题意，确定是平均分组还是非平均分组，进而根据排列组合的公式即可得到相关事件的概率；由于某些分组情况比较复杂，因此考虑其对立事件，会减少计算量.
【详解】（1）由题意可知，的可能的取值为0,1,2,3,4，且，故；
（2）①因为，且，
所以，即，而,
所以成立.
②事件：盒子乙不空，则事件：盒子乙空，
由第1问可知，所以，
事件：至少有两个盒子不空，则事件：有一个盒子不空，
，所以
事件：至少有两个盒子不空且盒子乙不空，分为两种情况，一种是三个盒子都不空，按照1、1、2分组；另一种是两个盒子不空且乙不空，此时甲或者丙是空的，故按照1、3或者2、2分组即可，
故,
所以，
化简得.
24．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）在2005年世青赛中，被称作“超白金一代”的中国男足U23代表队打出了中国男足在世界舞台上的最好表现．球队的战术核心，来自沈阳的陈涛入选了奏事最佳阵容．世青赛的赛制分为小组赛、淘汰赛两个阶段．小组赛中，参赛的32支代表队被分为8各小组，每个小组4支球队，按照单循环赛制选出两支球队进入淘汰赛．淘汰赛中16支球队捉对厮杀，败者淘汰胜者晋级，通过4轮比赛决出最后的冠军．
(1)已知在小组赛中，每赢一场记3分，打平一场记1分，输一场记0分．小组赛阶段中国队与巴拿马、土耳其、乌克兰三支球队分在同一组．首战中中国队惊险战胜了欧洲亚军土耳其队，在小组赛占据了优势．面对后两场比赛的对手乌克兰队和巴拿马对，根据赛前球探报告分析，中国队都有实力优势，可以近似认为后两场比赛中国的获胜的概率都为0.5，打平的概率都为0.2，输球的概率都为0.3．设中国队三场小组赛之后的总积分为随机变量X，求出其分布列和期望．
(2)10号队员陈涛作为中国队的进攻核心，他的表现对中国队而言举足轻重．过往数据表示，在所有陈涛出场并且有进球或者助攻的比赛中，中国队赢得了其中80%的场次，陈涛在其代表中国队出场的40场比赛中，有30场比赛完成了进球或者助攻．在本届比赛中，中国队在小组赛中顺利出线，淘汰赛首轮中对阵世界足坛的传统强队德国队．已知在淘汰赛对阵德国队的比赛中，陈涛代表中国队出场比赛，虽然经过全队不懈努力，仍然不敌强大的德国队，遗憾告别世界杯．那么，若以过往的数据估计概率，请估计陈涛在本场比赛贡献进球或者助攻的概率．
【答案】(1)分布列见解析，期望为分；
(2).

【分析】（1）求出的可能值，及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望作答.
（2）利用全概率公式求出中国队获胜的概率，再利用条件概率公式求解作答.
【详解】（1）依题意，随机变量可取值为：3，4，5，6，7，9，
,
，
所以的分布列为：

3
4
5
6
7
9

0.09
0.12
0.04
0.3
0.2
0.25
的期望为分
（2）记事件为陈涛取得进球或者助攻，则为末进球且未助攻，则，，
事件为中国队获胜，则，
，
，，
所以，即在中国队输给德国队的前提下，陈涛进球或助攻的概率为.
25．（2023·浙江·校联考三模）为贯彻落实习近平总书记关于学生近视问题的指示精神和《教育等八部门关于印发的通知》以及《中国防治慢性病中长期规划（2017-2025年）》等文件要求，切实提升我省儿童青少年视力健康整体水平，实施了，“明眸”工程.各中小学为推进近视综合防控，落实“明眸”工程，开展了近视原因的调查.其校为研究本校的近视情况与本校学生是否有长时间使用电子产品习惯的关系，在已近视的学生中随机调查了100人，同时在未近视的学生中随机调查了100人，得到如下数据：

长时间使用电子产品
非长时间使用电子产品
近视
45
55
未近视
20
80
(1)能否有99%的把握认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关？
(2)据调查，某校患近视学生约为46%，而该校长时间使用电子产品的学生约为30%，这些人的近视率约为60%.现从每天非长时间使用电子产品的学生中任意调查一名学生，求他患近视的概率.
附：，其中.

0.10
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)有的把握认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关
(2)

【分析】（1）根据条件，利用公式求出，即可判断出结果；
（2）先弄清事件的构成，再利用条件概率公式即可求出结果.
【详解】（1）零假设为：学生患近视与长时间使用电子产品无关.

根据小概率的独立性检验，没有充分证据推断出成立，所以不成立，
即有的把握认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关.
（2）设“长时间使用电子产品的学生”，“非长时间使用电子产品的学生”，
“任意调查一人，此人患近视”，
则，且互斥，，
根据全概率公式有
，
所以
26．（2023·福建厦门·统考模拟预测）甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环小组赛，比赛分三轮，每轮两场比赛，具体赛程如下表：
第一轮
甲VS乙
丙VS丁
第二轮
甲VS丙
乙VS丁
第三轮
甲VS丁
乙VS丙
规定：每场比赛获胜的球队记3分，输的球队记0分，平局两队各记1分，三轮比赛结束后以总分排名.总分相同的球队以抽签的方式确定排名，排名前两位的球队出线.假设甲、乙、丙三支球队水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为，丁的水平较弱，面对其他任意一支球队胜、负、平的概率都分别为，，.每场比赛结果相互独立.
(1)求丁的总分为7分的概率；判断此时丁能否出线，并说明理由；
(2)若第一轮比赛结束，甲、乙、丙、丁四支球队积分分别为3，0，3，0，求丁以6分的成绩出线的概率.
【答案】(1)，一定出线，理由见解析
(2)

【分析】（1）由相互独立事件的乘法公式求解即可得出丁的总分为7分的概率；再分析丁出线的原因；
（2）丁以6分的成绩出线分为三种情况：第二轮中若甲负于丙或平丙、第二轮中若甲胜丙、第三轮中丙平乙或负于乙和第二轮中若甲胜丙时、第三轮中丙胜乙时，甲、丁、丙队总分均为6分，分别求出其概率即可得出答案.
【详解】（1）记第轮比赛丁胜、平、负的事件分别为，每场比赛结果相互独立.
丁总分为7分，则丁三场比赛两胜一平，记丁三轮比赛两胜一平的事件为，

丁总分7分一定出线.
理由如下：丁三场比赛中赢两场，这两场丁的对手比分最多6分.
小组赛两队出线，所以丁一定出线.
（2）第一轮比赛，甲胜乙，丙胜丁，又丁总分为6分，则丁对战甲、乙都获胜，此时，乙队总分最多3分，少于丁队总分，
①第二轮中若甲负于丙或平丙时，甲总分最多4分，少于丁队总分，此时甲、乙两队少于丁队总分，丁一定出线，其相应的概率，
②第二轮中若甲胜丙、第三轮中丙平乙或负于乙时，丙总分最多4分，此时丙、乙两队少于丁队总分，丁一定出线，其相应的概率，
③第二轮中若甲胜丙时、第三轮中丙胜乙时，甲、丁、丙队总分均为6分，此时由抽签确定出线，三队中有两队出线，每队出线概率为，
丁队出线的概率，
综上，丁以6分出线的概率为.
27．（2023·山东泰安·统考模拟预测）现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞间相互独立.设有一个初始的细胞，在第一个周期中开始分裂，其中.
(1)设结束后，细胞的数量为，求的分布列和数学期望；
(2)设结束后，细胞数量为的概率为 .
（i）求；
（ii）证明：.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（i）；（ii）证明见解析

【分析】（1）求出的取值及不同取值对应的概率，进而列出分布列，利用期望公式求出期望；
（2）（i）求出第时分裂为个细胞的概率，再用等比数列求和公式，即可求解；
（ii）求出第时分裂为个细胞的概率，再用等比数列求和公式，求出，再利用导数法确定函数的单调性，从而确定最值，即可得证.
【详解】（1）个结束后，的取值可能为,其中,
，
，，
所以分布列为










.
（2）（i）表示分裂结束后共有个细胞的概率，则必在某一个周期结束后分裂成个细胞. 不妨设在第时分裂为个细胞，之后一直有 个细胞，
此事件概率，
所以
.
（ii）代表分裂后有个细胞的概率，设细胞在后分裂为个新的细胞，这两个细胞在剩下的中，其中一个分裂为个细胞，一个保持一直分裂为个细胞，此事件的概率
，
得，

，
其中，.
令,，
记，,令，得.
当,,递增；
当，,递减.
故，
也就是.
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个，一是求解时，利用等比数列的知识求解；二是求解的最值时，根据解析式的特点，利用导数来求解.
28．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模）甲、乙两人组团参加答题挑战赛，规定：每一轮甲、乙各答一道题，若两人都答对，该团队得1分；只有一人答对，该团队得0分；两人都答错，该团队得－1分．假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别为，．
(1)记X表示该团队一轮答题的得分，求X的分布列及数学期望；
(2)假设该团队连续答题n轮，各轮答题相互独立．记表示“没有出现连续三轮每轮得1分”的概率，，求a，b，c；并证明：答题轮数越多（轮数不少于3），出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大．
【答案】(1)分布列见解析，；
(2)，证明见解析.

【分析】（1）根据题意，求得的取值，再求对应的概率即可求得分布列；再根据分布列求即可；
（2）求得，再分析第轮得分情况和第轮得分情况，从而求得递推关系，通过的正负，即可判断和证明.
【详解】（1）由题可知是，的取值为，
；
；
                                                                                                                                                                        
故的分布列如下：








则.
（2）由题可知，；
经分析可得：
若第轮没有得分，则；
若第轮得分，且第轮没有得分，则；
若第轮得分，且第轮得分，第轮没有得分，则；
故，故；
因为，故，
故

；
故，且，
则，
所以答题轮数越多（轮数不少于3），出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大.
【点睛】关键点点睛：本题考察离散型随机变量分布列、数学期望的求解；第二问处理的关键是能够合理分析第轮的得分对概率的影响，从而求得递推关系；属综合困难题.
29．（2023·浙江·校联考模拟预测）为了解中学生的阅读情况，现随机抽取了某重点中学100人，调查他们是否喜爱阅读，统计人数如下表：

喜爱阅读
不喜爱阅读
共计
女生
45

50
男生

15

共计



(1)根据列联表中数据判断是否有的把握认为“喜爱阅读与性别有关”？
(2)现进行一项阅读答题测试，测试规则：若该同学连续三次答对，则测试通过，答题结束；若出现连续两次答错，则未通过测试，答题结束.其余情况下可以一直答题，直至出现前面两种情况.已知该同学每次答对的概率为，求该同学通过测试的概率.
参考附表：

0.050
0.025
0.010

3.841
5.024
6.635
参考公式：，其中
【答案】(1)有的把握认为“喜爱阅读与性别有关”
(2)

【分析】（1）根据列联表数据填写，再求出卡方判断即可；
（2）分别表示答错1次、连续答错2次、答对1次、连续答对2次和连续答对3次的情况下最终通过的概率，再列出递推公式求解，联立求解即可.
【详解】（1）由题意：

喜爱阅读
不喜爱阅读
共计
女生
45
5
50
男生
35
15
50
共计
80
20
100
参照表格，有的把握认为“喜爱阅读与性别有关”
（2）用表示答错1次的情况下最终通过的概率；
用表示连续答错2次的情况下最终通过的概率；
用表示答对1次的情况下最终通过的概率；
用表示连续答对2次的情况下最终通过的概率；
用表示连续答对3次的情况下最终通过的概率，
该同学每次答对的概率为.
依题意有，，以及，，.
也就是有方程组，解得，，，
所以通过概率为.
代入原题数据有.
30．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）在一个典型的数字通信系统中，由信源发出携带着一定信息量的消息，转换成适合在信道中传输的信号，通过信道传送到接收端.有干扰无记忆信道是实际应用中常见的信道，信道中存在干扰，从而造成传输的信息失真.在有干扰无记忆信道中，信道输入和输出是两个取值的随机变量，分别记作和.条件概率，描述了输入信号和输出信号之间统计依赖关系，反映了信道的统计特性.随机变量的平均信息量定义为：.当时，信道疑义度定义为
(1)设有一非均匀的骰子，若其任一面出现的概率与该面上的点数成正比，试求扔一次骰子向上的面出现的点数的平均信息量；
(2)设某信道的输入变量与输出变量均取值0，1.满足：.试回答以下问题：
①求的值；
②求该信道的信道疑义度的最大值.
【答案】(1)2.40
(2)①；②1

【分析】（1）充分理解题意，利用随机变量的平均信息量定义解决本小题；
（2）由全概率和条件概率公式解决本小题.
【详解】（1）设表示扔一非均匀股子点数，则

1
2
3
4
5
6







扔一次平均得到的信息量为




.
（2）①由全概率公式，得


②由题意，.
所以，



;
其中.
令

.
时时，,
.