2022-2023学年河南省南阳市镇平县七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省南阳市镇平县七年级（下）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年河南省南阳市镇平县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 满足x>2023的最小整数是(    )
A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024
2. 在△ABC中，∠A=2∠B=2∠C，则△ABC的形状是(    )
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 任意三角形
3. 小明同学照镜子，如图所示镜子里哪个是他的像？(    )
A.
B.
C.
D.


4. 已知一等腰三角形的两边长分别为6cm和13cm，则该三角形第三条边的长为(    )
A. 6cm或13cm B. 6cm
C. 13cm D. 大于7cm，且小于19cm的任何值
5. 有足够多的如下4种边长相等的正多边形瓷砖图案进行平面镶嵌，则不能铺满地面的是(    )

A. ①②④ B. ①② C. ①④ D. ②③
6. 不等式组−x<11−3x5≥−1的解集在数轴上表示正确的是(    )
A. B.
C. D.
7. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“今有五只雀、六只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重、燕轻，将一只雀、一只燕交换位置而放，则衡器两边的总重量相等，如果五只雀和六只燕的总重量为十六两，问每只雀、燕的重量各为多少两？”解：设每只雀重x两，每燕只重y两，则可列出方程组为(    )
A. 5x+y=4y+x5x+6y=16 B. 4x+y=5y+x6x+5y=16
C. 5x+y=4y+x6x+5y=16 D. 4x+y=5y+x5x+6y=16
8. 如图，△ABC中，∠1=∠2，G为AD中点，延长BG交AC于E，其满足BE⊥AC；F为AB上一点，且CF⊥AD于H，下列判断：
①线段AG是△ABE的角平分线；
②BE是△ABD边AD上的中线；
③线段AE是△ABG的边BG上的高；
④∠1+∠FBC+∠FCB=90°．
其中正确的个数是(    )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定的角度得到△ADE，若∠BAC=85°，∠E=70°，且AD⊥BC，则∠CAE的度数为(    )
A. 60°
B. 65°
C. 75°
D. 90°
10. 如图，在△ABC中，AB=15cm，AC=9cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，同时点Q从点A出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，AQ的长度是(    )
A. 3cm B. 5cm C. 6cm D. 9cm
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 请写出方程x−2y=0的一组非正整数解：______ ．
12. 如图，小明将一个含有45°角的直角三角尺放在画有平行线的作业本上，已知∠β=82°，则∠α的度数是______ ．


13. 已知x，y满足方程组x+3y=−13x+y=9，则3x+3y的值为______ ．
14. 如图，将长为5cm，宽为3cm的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A′B′C′D′，则阴影部分的面积为           cm2．





15. 如图1，∠DEF=24°，将长方形纸片ABCD沿直线EF折叠成图2，再沿直线GF折叠成图3，则图3中∠CFE=______．


三、解答题（本大题共9小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题5.0分)
解方程：x−32−4x+13=1．
17. (本小题5.0分)
已知x+y=3，且y<1，求x的取值范围，并将x的解集在数轴上表示出来：


18. (本小题9.0分)
解方程组：x+y=9amp;①2x−y=6amp;②．
(1)小组合作时，发现有同学这么做：①+②得3x=15，解得x=5，代入①得y=4.∴这个方程组的解是______ .该同学解这个方程组的过程中使用了______ 消元法，目的是把二元一次方程组转化为______ 求解，其中①+②得3x=15的依据是______ ．
(2)请你用其它方法解这个方程组．
19. (本小题9.0分)
已知一个正n边形的内角和是三角形内角和的4倍．
(1)求n；
(2)求正n边形每个内角的度数；
(3)用足够多边长相等的这种正n边形和正三角形两种地板镶嵌地面，则一个顶点处需要此正n边形和正三角形的地板块数分别为：______ ．
20. (本小题9.0分)
如图为8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点.网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形，且顶点均在格点上，请按要求解答：
(1)利用网格线画出△ABC与△DEF的对称轴l；
(2)在直线l上画出点P，使PA+PC最小；这样画图的理由是______ ；
(3)如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积为______ ．

21. (本小题9.0分)
我们规定，若关于x的一元一次方程ax=b的解为x=2a+b，则称该方程为“合并式方程”.例如：2x=−8的解为x=−4，又−4=2×2+(−8)，所以2x=−8是合并式方程．
(1)请判断12x=1是不是合并式方程并说明理由；
(2)若关于x的一元一次方程3x=m+1是合并式方程，求m的值．
22. (本小题9.0分)
如图1，将一副三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE=α(0°<α<180°)．
(1)当α= ______ 度时，AD⊥BC；
当α= ______ 度时，AD//BC；
(2)当α的度数是45°时，图中互相平行的线段是______ ；
当α的度数是135°时，图中互相平行的线段是______ ；
当α的度数是150°时，图中互相平行的线段是______ ；
(3)当0°<α<45°，连接BD，如图4，在探究∠BDE+∠CAE+∠DBC的度数是否会发生变化时，小亮发现利用五角星ABECD五个角的和很容易证明，请给出你的结论并进行证明．
、

23. (本小题10.0分)
在2022年卡塔尔世界杯期间，某商店分两次购入某款纪念册和某款吉祥物两种商品进行销售，若两次进价相同，第一次购入25件纪念册和20件吉祥物共花费5250元，第二次购入20件纪念册和25件吉祥物共花费6000元．
(1)分别求每件纪念册和每件吉祥物的进价．
(2)为满足市场需求，商店准备第三次购入纪念册和吉祥物共500件，且购入吉祥物的数量不超过纪念册数量的2倍.若进价不变，每件纪念册与每件吉祥物的售价分别为65元、220元，求购入纪念册和吉祥物分别多少件时，商店获得利润最高．

24. (本小题10.0分)
小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D.猜想∠B、∠C、∠EAD之间的数量关系．
(1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到下面几组对应值：
∠B(单位：度)
10
30
30
20
20
∠C(单位：度)
70
70
60
60
80
∠EAD(单位：度)
30
a
15
20
30
上表中a= ______ ，于是得到∠B、∠C、∠EAD之间的数量关系为______ ；
(2)小明继续探究，如图2，在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请尝试写出∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系，并说明理由．
(3)小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，如图3，过EA的延长线上一点F作FD⊥BC交CB的延长线于点D，当∠ABC=85°，∠C=23°时，∠F度数为______ °.


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：∵x>2023，
∴最小整数解是2024，
故选：D．
根据不等式的解集，即可求出最小整数．
本题考查了解一元一次不等式的整数解，是基础题．

2.【答案】B 
【解析】解：设∠C=x°，则∠A=2x°，由三角形内角和定理得，
2x+x+x=180°，
解得x=36°，
即∠C=36°，∠A=72°，∠B=36°，
所以△ABC是锐角三角形，
故选：B．
根据三角形内角和定理列方程求出各个内角的度数，进而判断出三角形的形状．
本题考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和是180°是解决问题的前提．

3.【答案】B 
【解析】解：由镜面对称的性质，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即可得出只有B与原图形成镜面对称．
故选：B．
直接利用镜面对称的定义得出答案．
此题主要考查了镜面对称，正确把握镜面对称的定义是解题关键．

4.【答案】C 
【解析】解：分两种情况考虑：
若6cm为等腰三角形的腰长，则三边分别为6cm，6cm，13cm，6+6<13，不符合题意，舍去；
若13cm为等腰三角形的腰长，则三边分别为6cm，13cm，13cm，符合题意，
则第三条边的长是13cm．
故选：C．
分类讨论，利用等腰三角形的性质，以及三角形三边关系确定出第三边的长即可．
此题考查了等腰三角形的性质，以及三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解本题的关键．

5.【答案】A 
【解析】解：①正三角形的每个内角是60°，60°×6=360°，故该选项不符合题意；
②正方形的每个内角是90°，90°×4=360°，故该选项不符合题意；
③正五边形的每个内角是108°，不能铺满地面，故该选项符合题意；
④正六边形的每个内角是120°，120°×3=360°，故该选项不符合题意；
故选：A．
根据判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能判断即可．
本题考查了平面镶嵌(密铺)，掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能是解题的关键．

6.【答案】B 
【解析】解：−x<1①1−3x5≥−1②，
解不等式①得：x>−1，
解不等式②得：x≤2，
∴原不等式组的解集为：−1 ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：

故选：B．
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．

7.【答案】D 
【解析】解：根据题意可列出方程组为：
4x+y=5y+x5x+6y=16．
故选：D．
直接利用“五只雀、六只燕，共重16两，互换其中一只，恰好一样重”，进而分别得出等式求出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确表示出“五只雀、六只燕，互换一只恰好一样重”的等式是解题关键．

8.【答案】C 
【解析】解：①∵∠1=∠2，
∴AD平分∠BAC．
∴AG是△ABE的角平分线，
故①正确；
②∵G为AD中点，
∴AG=DG，
∴BG是△ABD边AD上的中线．
故②错误；
③∵BE⊥AC，
∴AE⊥BG，
∴线段AE是△ABG的边BG上的高．
故③正确；
④根据三角形外角的性质，∠1+∠AFH=∠1+∠FBC+∠FCB=90°，所以∠1+∠FBC+∠FCB=90°，
故④正确．
综上所述，正确的个数是3个．
故选：C．
①根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．
②根据三角形的中线定义判断．
③根据高线的定义进行判断．
④根据外角与内角的关系进行判断．
本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．

9.【答案】B 
【解析】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转一定的角度得到△ADE，
∴∠C=∠E=70°，∠CAE=∠BAD，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC=20°，
∴∠BAD=∠CAE=85°−20°=65°，
故选：B．
由旋转的性质，可得∠C=∠E=70°，∠CAE=∠BAD，由余角的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．

10.【答案】C 
【解析】解：设AQ的长为x cm，
则点Q的运动时间为x2，
∴AP=15−(x2×3)，
∵当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，
∴AP=AQ，
即x=15−(32x)，
解得x=6，
即AQ=6cm，
故选：C．
设AQ的长为x cm，根据△APQ是以PQ为底的等腰三角形得出方程求解即可．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，根据题意设未知数得出方程求解是解题的关键．

11.【答案】x=−2y=−1(答案不唯一) 
【解析】解：∵x−2y=0，
∴x=2y，
当y=−1时，x=−2，
∴x=−2y=−1是方程x−2y=0的一组解．
故答案为：x=−2y=−1(答案不唯一)．
由x−2y=0，可得出x=2y，代入y=−1，可求出x的值，此题得解．
本题考查了二元一次方程的解，采用“给一个，求一个”的方法求出方程的一组非正整数解是解题的关键．

12.【答案】37° 
【解析】解：∵a//b，
∴∠2=∠β=82°，
∵∠1=∠2−∠3=82°−45°=37°，
∵b//c，
∴∠α=∠1=37°．
故答案为：37°．
由a//b，得到∠2=∠β=82°，由三角形外角的性质得到∠1=∠2−∠3=82°−45°=37°，由b//c，得到∠α=∠1=37°．
本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是掌握平行线的性质得到∠2=∠β=82°，∠α=∠1，由三角形外角的性质，即可求解．

13.【答案】6 
【解析】解：将方程组中两个方程相加可得：4x+4y=8，
则x+y=2，
那么3x+3y=3(x+y)=3×2=6．
故答案为：6．
将两个方程相加后可求得(x+y)的值，然后将3x+3y变形为3(x+y)后代入数值计算即可．
本题考查解二元一次方程组，结合已知条件求得(x+y)的值是解题的关键．

14.【答案】18 
【解析】解：由题意，空白部分是长方形，长为5−2=3(cm)，宽为3−1=2(cm)，
∴阴影部分的面积=5×3×2−2×2×3=18(cm2)，
故答案为：18．
利用平移的性质求出空白部分长方形的长，宽即可解决问题．
本题考查平移的性质，长方形的性质等知识，解题的关键是求出空白部分的长和宽．

15.【答案】108° 
【解析】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD//BC，
∴∠BFE=∠DEF=24°．
由翻折的性质可知：
图2中，∠EFC=180°−∠BFE=156°，∠BFC=∠EFC−∠BFE=132°，
图3中，∠CFE=∠BFC−∠BFE=108°．
故答案为：108°．
由长方形的性质可知AD//BC，由此可得出∠BFE=∠DEF=24°，再根据翻折的性质可知每翻折一次减少一个∠BFE的度数，由此即可算出∠CFE度数．
本题考查了平行线的性质，翻折变换以及长方形的性质，根据翻折变换找出相等的边角关系是解题的关键．

16.【答案】解：去分母，可得：3(x−3)−2(4x+1)=6，
去括号，可得：3x−9−8x−2=6，
移项，可得：3x−8x=6+9+2，
合并同类项，可得：−5x=17，
系数化为1，可得：x=−3.4． 
【解析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．
此题主要考查了解一元一次方程的方法，解答此题的关键是要明确解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．

17.【答案】解：∵x+y=3，
∴x=3−y，
∵y<1，
∴3−y>2，
∴x>2，
在数轴上表示为：
 
【解析】根据x+y=3，得x=3−y，再根据y<1，即可求出x>2，再将x的解集在数轴上表示出来即可．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，关键是求出x的取值范围．

18.【答案】x=5y=4  加减  一元一次方程  等式基本性质 
【解析】解：(1)由题意可得原方程组的解为x=5y=4，该同学解这个方程组的过程中使用了加减消元法，目的是把二元一次方程组转化为一元一次方程求解，其中①+②得3x=15的依据是等式基本性质，
故答案为：x=5y=4；加减；一元一次方程；等式基本性质；
(2)由①得：x=9−y③，
将③代入②得：2(9−y)−y=6，
解得：y=4，
将y=4代入③得：x=9−4=5，
故原方程组的解为x=5y=4．
(1)根据加减消元法解方程组的步骤即可得出答案；
(2)利用代入消元法解方程组即可．
本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的解法是解题的关键．

19.【答案】2个，2个或1个，4个 
【解析】解：(1)根据题意得：180°⋅(n−2)=180°×4，
解得n=6，
答：n的值为6；
(2)180°×(6−2)6=120°，
答：每个内角的度数为120°；
(3)设在平面镶嵌时，围绕在某一点有x个正六边形和y个正三角形的内角可以拼成一个周角，
根据题意可得：120x+60y=360，
∴2x+y=6，
∴x=2y=2或x=1y=4，
∴一个顶点处需要此正六边形和正三角形的地板块数分别为：2个，2个或1个，4个．
故答案为：2个，2个或1个，4个．
(1)根据n边形的内角和公式列方程即可求出答案；
(2)用内角和除以边数即可；
(3)设围绕在某一点有x个正六边形和y个正三角形的内角可以拼成一个周角，根据题意可得：120x+60y=360，x、y为正整数，进而判断出情况．
本题主要考查多边形内角和和平面镶嵌，解题关键是掌握平面镶嵌的要求：拼接在同一个顶点处的多边形的内角之和等于360°．

20.【答案】两点之间线段最短  3 
【解析】解：(1)如图，直线l为所作；


(2)如图，点P为所作，此时PA+PC最小；这样画图的理由是两点之间线段最短；
故答案为：两点之间线段最短；
(3)△ABC的面积=2×4−12×2×1−12×2×2−12×1×4=3．
故答案为：3．
(1)利用网格特点和轴对称的性质作AD的垂直平分线得到两三角形的对称轴；
(2)连接CD交直线l于P点，由于PA+PD，所以PA+PC=PD+PC=CD，则根据两点之间线段最短可判断此时PA+PC最小；
(3)用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算ABC的面积．
本题考查了作图−轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键(先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点).也考查了最短路线问题．

21.【答案】解：(1)12x=1是“合并式方程”，理由如下：
由12x=1，得x=2．
∵2=12×2+1，
∴12x=1是“合并式方程”．
(2)解3x=m+1，得x=m+13．
∵关于x的一元一次方程3x=m+1是合并式方程，
∴m+13=2×3+m+1．
∴m=−10． 
【解析】(1)先解12x=1，再根据“合并式方程”的定义判断．
(2)先解关于x的一元一次方程3x=m+1，再根据“合并式方程”的定义判断．
本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解决本题的关键．

22.【答案】105  15  AB和DE  AC和DE  AE和BC 
【解析】解：(1)如图1，
∵AD⊥BC，∠B=60°，
∴∠BAD=30°，
∵∠DAE=45°，
∴∠BAE=∠DAE−∠BAD=45°−30°=15°，
∴∠CAE=∠BAC+∠BAE=90°+15°=105°，
即当α=105°时，AD⊥BC；
如图2，
∵AD//BC，
∴∠DAC=∠C=30°，
∵∠DAE=45°，
∴∠CAE=∠DAE−∠DAC=45°−30°=15°，
即当α=15°时，AD//BC．
故答案为：105，15；

(2)如图3，当α的度数是45°时，∠ADE=∠BAC=90°，
∴AB//DE；
如图4，当α的度数是135°时，∠EAC+∠E=135°+45°=180°，
∴AC//DE；
如图5，当α的度数是150°时，∠EAC+∠C=150°+30°=180°，
∴AE//BC．
故答案为：AB和DE，AC和DE，AE和BC；

(3)结论：∠BDE+∠CAE+∠DBC=105°，度数不会发生变化，
证明：如图6，
∵∠AFB是△BCF的外角，
∴∠AFB=∠DBC+∠C，
∵∠AGF是△DEG的外角，
∴∠AGF=∠BDE+∠E，
∵∠CAE+∠AFB+∠AGF=180°，
∴∠CAE+∠DBC+∠C+∠BDE+∠E=180°，
∵∠C=30°，∠E=45°，
∴∠CAE+∠DBC+∠BDE=180°−∠C−∠E=180°−30°−45°=105°．
即∠BDE+∠CAE+∠DBC的度数不会发生变化．

(1)分别根据AD⊥BC，AD//BC，再结合三角板的内角度数并利用平行线的性质，即可求解；
(2)分别画出对应图形，结合α的度数和三角板内角的度数，利用平行线的判定定理，即可求解；
(3)利用三角形内角和定理，和三角形外角定理，可求得∠CAE+∠DBC+∠C+∠BDE+∠E=180°，再结合三角板内角度数，即可求解．
本题考查了旋转的性质，平行的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的外角定理等知识点，熟练掌握平行的判定与性质是解题的关键．

23.【答案】解：(1)设每件纪念册的进价为x元，每件吉祥物的进价为y元，
根据题意得25x+20y=525020x+25y=6000，
解得x=50y=200，
答：每件纪念册的进价为50元，每件吉祥物的进价为200元；
(2)设商店购入纪念册m件，则购进吉祥物(500−m)件，利润为w元，
根据题意得：w=(65−50)m+(220−200)(500−m)=15m+20(500−m)=−5m+10000，
∵购入吉祥物的数量不超过纪念册数量的2倍，
∴500−m≤2m，
解得m≥5003，
∵m为正整数，
∴m的最小值为167，
∵−5<0，
∴当m=167时，w有最大值，
此时，500−m=500−167=333，
购入纪念册167件，吉祥物333件时，商店获得利润最高． 
【解析】(1)设每件纪念册的进价为x元，每件吉祥物的进价为y元，根据“购入25件纪念册和20件吉祥物共花费5250元，购入20件纪念册和25件吉祥物共花费6000元”列出方程组，解方程组即可；
(2)设商店购入纪念册m件，则购进吉祥物(500−m)件，利润为w元，根据总利润=两种利润之和列出函数解析式，由函数的性质求出函数的最值，并求出此时m得值．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组和一次函数，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．

24.【答案】20  ∠EAD=12(∠C−∠B)  31 
【解析】解：(1)a=20，理由如下：
∵∠B=30°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−30°−70°=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=40°，
∵AD⊥BC，∠C=70°，
∴∠CAD=90°−∠C=90°−70°=20°，
∴∠EDC=∠CAE−∠CAD=40°−20°=20°；
即：a=20．
∠B、∠C、∠EAD之间的关系是：∠EAD=12(∠C−∠B)．
理由如下：
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=90°−∠C，
∵∠BAC=180°−(∠B+∠C)，AE平分∠BAC，
∴∠CAE=12∠BAC=12[180°−(∠B+∠C)]=90°−12(∠B+∠C)，
∵∠EAD=∠CAE−∠CAD，
∴∠EAD=90°−12(∠B+∠C)−(90°−∠C=12(∠C−∠B)．
故答案为：20，∠EAD=12(∠C−∠B)．
(2)∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系是：∠EPD=12(∠C−∠B)．
理由如下：
过点A作AF⊥BC于F，如图：

由(1)可知：∠EAF=12(∠C−∠B)，
∵PD⊥BC，AF⊥BC，
∴∠EPD=∠EAF=12(∠C−∠B)；
(3)过点B作BG⊥BC交EF于点G，如图：

∵FD⊥BC，
∴FD//BG，
∴∠F=∠AGB，
∵∠ABC=85°，∠C=23°，
∴∠BAC=180°−∠ABC−∠C=180°−85°−23°=72°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC=36°，
∵GB⊥BC，
∴∠ABG=90°−∠ABC=90°−85°=5°，
∵∠BAE=∠AGB+∠ABG，
∴∠AGB=∠BAE−∠ABG=36°−5°=31°，
∴∠F=∠AGB=31°．
故答案为：31．
(1)先求出∠BAC=80°，根据角平分线的定义得∠BAE=∠CAE=40°，然后根据AD⊥BC，∠C=70°得∠CAD=20°，据此可求出∠EDC的度数，进而可得a的值；
由AD⊥BC得∠CAD=90°−∠C，再由角平分线的定义得∠CAE=12∠BAC=90°−12(∠B+∠C)，然后∠EAD=∠CAE−∠CAD可得出∠B、∠C、∠EAD之间的数量关系；
(2)过点A作AF⊥BC于F，由(1)可知∠EAF=12(∠C−∠B)，再根据PD⊥BC，AF⊥BC得PD//AF，然后由平行线的性质得∠EPD=∠EAF，据此可得∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系；
(3)过点B作BG⊥BC交EF于点G可得FD//BG，进而得∠F=∠AGB，根据∠ABC=85°，∠C=23°求出∠BAC=72°，再由角平分线的定义得∠BAE=36°，然后再求出∠ABG=5°，进而由三角形外角定理得∠AGB=∠BAE−∠ABG=31°，据此即可得出∠F的度数．
此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，垂直的定义，平行线的判定和性质，角平分线的定义，解答此题的关键是熟练掌握三角形的内角和定理和三角形的外角定理，理解垂直于同一条直线的两条直线平行；难点是正确的作出辅助线构造平行线．