苏科版九年级上册第2章 对称图形——圆2.3 确定圆的条件精品测试题

这是一份苏科版九年级上册第2章 对称图形——圆2.3 确定圆的条件精品测试题，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题2.12 确定圆的条件（分层练习）（提升练）
一、单选题
1．如图，在中，是斜边上的中线，以为圆心，为半径画圆，则下列各点中，在内的是（    ）
  
A．点A B．点B C．点C D．点O
2．已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（    ）
A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（1，2） D．（1，﹣2）
3．如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（    ）

A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断
4．如图，为锐角三角形的外心，四边形为正方形，其中点在的外部，判断下列叙述不正确的是（    ）

A．是的外心，不是的外心 B．是的外心，不是的外心
C．是的外心，不是的外心 D．是的外心，不是的外心
5．如图中△ABC外接圆的圆心坐标是（      )

A．(2,5) B．(5,2) C．(2,6) D．(6,2)
6．如图，是等边三角形的外接圆，若的半径为r，则的面积为（    ）

A． B． C． D．
7．如果一个三角形的外心恰好在它一边的中线上，那么这个三角形一定是（          ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不能确定
8．如图，O是的外心，则　　

A． B． C． D．
9．如图，半圆O的半径长为5，点P为直径AB上的一个动点，已知CP⊥AB，交半圆O于点C，若D为半圆O上的一动点，且CD=4，M是CD的中点，则PM的值有（ ）

A．最小值5 B．最小值4 C．最大值5 D．最大值4
10．如图，△ABC为⊙O的内接等边三角形，BC=12，点D为上一动点，BE⊥OD于E，当点D由点B沿运动到点C时，线段AE的最大值是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题
11．一个直角三角形的两边长分别为和，则这个直角三角形的外接圆直径为 ．
12．下面有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑤任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆．其中错误的结论序号有
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是，，是的外接圆，则点M的坐标为 ．

14．如图，O为△ABC的外心，△OCP是等边三角形，OP与AC相交于点D，连接OA．若∠BAC=70°，AB=AC，则∠ADP的度数为 ．

15．如图，和都是等边三角形，，，固定，把绕点C旋转任意角度，连接AD，BE，设AD，BE所在的直线交于点O，则在旋转过程中，始终有，且的大小保持不变，这时点O到直线AB的最大距离为 ．

16．如图，在矩形中，，，M，N分别是，上的动点，连接，交于点E，且．

（1） ．
（2）连接，则的最小值为 ．
17．在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，动点P为矩形边上的一点，点P沿着B﹣C的路径运动（含点B和点C），则△ADP的外接圆的圆心O的运动路径长是 ．

18．四边形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC＝60°，点E在AB上，∠AED＝∠CEB，AD＝5，DE+CE＝，则BD的长为 ．

三、解答题
19．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高．请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆．（保留作图痕迹，不写做法）

20．如图，正三角形ABC内接于，的半径为r，求这个正三角形的周长和面积．









21．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的外接圆．
（1）如图①，求⊙O的半径；
（2）如图②，∠ABC的平分线交半径OA于点E，交⊙O于点D．求OE的长．







22．如图，在△ABC中，AB＝CB＝15，∠ABC＝90°，点D为直线BC上一点，点E为AB延长线上一点，且BE＝BD，连接AD，EC．
（1）求证：△ABD≌△CBE；
（2）当∠CAD＝25°时，求∠BEC的度数；
（3）点P是△CAD的外心，当点D在线段BC上运动，且点P恰好在△ABC内部或边上时，直接写出点P运动的路径的长．




23．如图，∠BCD＝90°，BC＝DC，直线PQ经过点D．设∠PDC＝α（45°＜α＜135°），BA⊥PQ于点A，将射线CA绕点C按逆时针方向旋转90°，与直线PQ交于点E．
（1）判断：∠ABC　 　∠PDC（填“＞”或“＝”或“＜”）；
（2）猜想△ACE的形状，并说明理由；
（3）若△ABC的外心在其内部（不含边界），直接写出α的取值范围．






24．如图，点D是△ABC边BC上一点(不与点B、点C重合)，延长BC到E，使CE=BD，点F是直线BC外一点，且EF//AC，DF//AB．
（1）求证：△ABC≌OFDE；
（2）已知∠ABC=45°，∠E=60°，连接AD．
①若点O是△ABD的外心，求∠BOD的取值范围；
②若BC=+3，求AD的最小值．





























参考答案
1．D
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解．
【详解】解：因为三角形是直角三角形
又是斜边上的中线

故三点均在上，只有点在内
故选：D
【点拨】本题考查直角三角形的“斜中半”定理．掌握定理结论是解题关键．
2．C
【分析】先利用待定系数法求出直线的解析式，再把每点代入函数解析式，根据不在同一直线上的三点能确定一个圆即可得出答案．
【详解】解：设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
A.当时，，则此时点不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意；
B.当时，，则此时点不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意；
C.当时，，则此时点在同一直线上，不可以确定一个圆，此项符合题意；
D.当时，，则此时点不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了确定一个圆、求一次函数的解析式，熟练掌握确定一个圆的条件是解题关键．
3．B
【分析】根据三点确定一个圆，圆心的确定方法：任意两点中垂线的交点为圆心即可判断．
【详解】解；如图，分别连接AB、AC、BC，取任意两条线段的中垂线相交，交点就是圆心．

故选：B．
【点拨】本题考查已知圆上三点求圆心，取任意两条线段中垂线交点确定圆心是解题关键．
4．C
【分析】根据三角形的外心得出，根据正方形的性质得出，求出，再逐个判断即可．
【详解】解：连接、、，

为锐角三角形的外心，
，
四边形为正方形，
，
，即不是的外心，
，即是的外心，
，即是的外心，
，即不是的外心，
故选：．
【点拨】本题考查了正方形的性质和三角形的外心与外接圆，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：三角形的外心到三个顶点的距离相等，正方形的四边都相等．
5．B
【分析】△ABC的外接圆的圆心是其三边垂直平分线的交点，要求它的坐标，先要在图形中找到这一点；在具体作△ABC的外心时，由于BC的垂直平分线就是一条网格线，AB的垂直平分线是以线段AB为对角线的正方形的另一条对角线所在的直线，故只需作边AB和BC的垂直平分线即可，其交点就是△ABC的外心；确定外心的位置后，即可过外心分别向x轴、y轴作垂线，其垂足所对应的实数即为外心的坐标.
【详解】∵△ABC外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，
∴三角形的外心在边BC的垂直平分线上，又在边AB的垂直平分线上，
∴三角形的外接圆圆心的坐标为（5，2）.
故答案选B.
【点拨】本题考查的知识点是三角形的外接圆与外心及坐标与图形性质，解题的关键是熟练的掌握三角形的外接圆与外心及坐标与图形性质.
6．D
【分析】连接，，延长交于D，根据等边三角形性质得出，，，求出，根据勾股定理求出，即可求出，根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】连接，，延长交于D，

∵等边三角形是，
∴，，，
∴，
∴
由勾股定理得：，
∴
则的面积是
，
故选：D．
【点拨】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外接圆，三角形的面积等知识点的应用，关键是能正确作辅助线后求出的长，题目具有一定的代表性，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
7．C
【分析】因为一个三角形的外心恰好在它一边的中线上，又外心在这边的中垂线上，即可推出这个三角形是等腰三角形.
【详解】解：∵一个三角形的外心恰好在它一边的中线上，
∴外心在这边的中垂线上，
∴这个三角形是等腰三角形，
故选C．
【点拨】此题主要考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理；熟练掌握圆周角定理，由直径所对的圆周角是直角是解决问题的关键．
8．C
【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】如图，

，
，
同理，，，
，
，
故选C．
【点拨】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外接圆的概念，三角形内角和定理是解题的关键．
9．C
【分析】连接OM，OC，由垂径定理的推论可知OM⊥CD，从而由∠CPO=∠OMC=90°，可知点P，O，M，C四点共圆，PM为此圆的弦，因此当弦为直径时取最大值．
【详解】解：连接OM，OC，

∵点M是CD的中点，
∴OM⊥CD，
∵CP⊥AB，
∴∠CPO=∠OMC=90°，
∴点P，O，M，C四点共圆，OC是圆的直径，设圆心为I
∴当点M，P，I三点共线时即PM是圆的直径时，即PM=OC=5时，PM的值最大．
故选：C．
【点拨】本题考查了圆中的最值问题，把PM的长转化为圆中弦的最值问题是解题的关键．
10．A
【分析】连接BO，取BO中点M，连接ME，点E在以M为圆心，BM为半径的圆上，由△ABC是等边三角形可得AH=BH=6，BH=6，BO=MH=4，BM=2，根据勾股定理可得AM的长即
可求AE的最大值．
【详解】解：如图

连接BO，取BO中点M，连接ME
∵DE⊥BE，M是BO中点
∴ME=BO
∴E在以M为圆心，BM为半径的圆上
∴当A，M，E共线且E在AM的延长线上时，AE的值最大
延长BO交AC于H
∵△ABC为⊙O的内接等边三角形
∴HB⊥AC，且△ABC是等边三角形，BC=12
∴CH=AH=6
∴AH=6 ，AO=4，BH=6
则OM=2，MH=4
∴AM=
∴AE的最大值为2+2
故选A．
【点拨】本题考查了三角形外接圆和外心，等边三角形的性质，以及勾股定理，找到E的运动轨迹是解本题的关键，具有一定的难度．
11．10cm或8cm/8cm或10cm
【分析】有两种情况：（1）当两直角边是6 cm和8 cm时，求出斜边长即可得到答案；（2）当一个直角边是6cm，斜边是8 cm时，即可得出答案．
【详解】解：分两种情况：（1）当两直角边是6 cm和8 cm时，
由勾股定理得：( cm)，
此时外接圆的半径是5cm，直径是10 cm；
（2）当一个直角边是6 cm，斜边是8 cm时，
此时外接圆的半径是4 cm，直径是8 cm．
故答案为：10 cm或8 cm．
【点拨】本题主要考查了三角形的外接圆和外心，勾股定理等知识点，解此题的关键是知道直角三角形的外接圆的半径等于斜边的长，求出斜边长即可，用的数学思想是分类讨论思想．
12．①②③
【分析】根据确定圆的条件、垂径定理、三角形的外心的概念等知识点一一判断即可．
【详解】解：①任意三点确定一个圆；错误，应该的不在同一直线上的三点可以确定一个圆；
②相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该加个前提条件即：在同圆或等圆中；
③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，此弦不是直径的前提下才满足上述结论；
④三角形的外心到它的三顶点的距离相等，此选项正确；
⑤任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，故正确．
【点拨】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
13．
【分析】过点B作于E，作于F，连接，作的垂直平分线，垂足为C，交于M，则，即点M的横坐标为1，再证四边形为正方形，则垂直平分，所以点M是的外心，求出直线的解析式为，把代入求得，即可求解．
【详解】解：如图，过点B作于E，作于F，连接，作的垂直平分线，垂足为C，交于M，

∵，垂直平分线，
∴，即点M的横坐标为1，
∵，，，
∴，
∴四边形为正方形，
∴垂直平分，
∴点M是的外心，
∵，
∴，，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查三角形外心，正方形的性质，一次函数解析式，熟练掌握三角形外心的概念是解题的关键．
14．85°/85度
【分析】根据题意利用三角形外心的性质以及利用等腰三角形的性质得出∠OAC=∠OCA=35°，进而结合三角形外角的性质得出答案．
【详解】解：∵O为△ABC的外心，∠BAC=70°，AB=AC，
∴∠OAC=35°，AO=CO，
∴∠OAC=∠OCA=35°，
∴∠AOC=110°，
∵△OCP为正三角形，
∴∠COP =60°，
∴∠AOP=∠AOC -∠COP =50°，
∴∠ADP=∠OAD+∠AOD=85°．
故选：85°．
【点拨】本题主要考查三角形的外心的性质以及等边三角形的性质等知识，得出∠OAC=∠OCA=35°是解题的关键．
15．
【分析】证明△ACD≌△BCE(SAS) ，作△ABC的外接圆⊙M，则当点O与点C重合时，点O到直线AB的距离最大，最大距离为线段CF的长，勾股定理求解即可
【详解】∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC = BC, CD = CE，∠BAC =∠ABC =∠ACB =∠DCE，
∴∠ACE＋∠DCE =∠ACE＋∠ACB，
即∠ACD＝∠BCE，
则△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠CAD = ∠CBE，
∴∠AOB = ∠ACB，
作△ABC的外接圆⊙M，如图：

则点O在⊙OM上，
作OF⊥AB于点F，
则当点O与点C重合时，点O到直线AB的距离最大，最大距离为线段CF的长，

在Bt△ACF中，
AF = BF = AB=3，
CF =AF =3,
即点O到直线AB的最大距离为3
故答案为：
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，三角形的外心，作出辅助圆是解题的关键．
16． /90度 2
【分析】（1）由，推出，最后利用矩形的性质即可得解；
（2）先确定E点的运动路径是个圆，再利用圆的知识和两点这间线段最短确定最短长度，然后利用勾股定理即可得解．
【详解】（1）∵，，
∴，
∴
.∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
故答案为．
（2）∵，点E在以为直径的圆上，设的中点为O，则当O，E，C三点共线时，的值最小，此时

∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为2．
【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，最短距离，圆等知识的应用，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
17．
【详解】分析：如图，连接AC、BD交于点O′．当点P与B或C重合时，△PAD的外接圆的圆心与O′重合，当PA=PD时，设△PAD的外接圆的圆心为O，PO的延长线交AD于E，设PO=OD=x，因为△PAD的外心在线段AD的垂直平分线上，
观察图象可知，点P沿着B-C的路径运动，△ADP的外接圆的圆心O的运动路径长是2OO′，由此即可解决问题；
详解：如图，连接AC、BD交于点O′．

当点P与B或C重合时，△PAD的外接圆的圆心与O′重合，
当PA=PD时，设△PAD的外接圆的圆心为O，PO的延长线交AD于E，设PO=OD=x，
Rt△ODE中，∵OD2=OE2+DE2，
∴x2=（4-x）2+32，
解得x=，
∴OE=4-=，
∵O′B=O′D，AE=DE，
∴O′E=AB=2，
∴OO′=O′E-OE=，
∵△PAD的外心在线段AD的垂直平分线上，
观察图象可知，点P沿着B-C的路径运动，△ADP的外接圆的圆心O的运动路径长是2OO′=．
故答案为:．
点拨：本题考查轨迹、矩形的性质、三角形的外接圆等知识，解题的关键是正确寻找点O的运动轨迹．
18．7
【分析】连接AC，延长DE至F，使EF=CE，作正三角形ADG，使B、G分别在AD两侧，连接AF、BF、BG，证明△BEF≌△BEC(SAS)，可证得△ABF是等边三角形，得出AF=AB，∠BAF=60°，证明△DAF≌△GAB(SAS)，得出BG=DF=DE+EF=DE+CE=，证明△ABC是等边三角形，得出AC=BC=DC，∠ACB=60°，得出点C是△ABD的外心，由圆周角定理得出∠ADB=∠ACB=30°，证出∠BDG=∠ADB+∠ADG=90°，由勾股定理即可得出答案．
【详解】连接AC，延长DE至F，使EF=CE，作正三角形ADG，使B、G分别在AD两侧，连接AF、BF、BG，如图所示：

∵∠AED=∠CEB，∠BEF=∠AED，
∴∠BEF=∠AED=∠CEB，
在△BEF和△BEC中，，
∴△BEF≌△BEC(SAS)，
∴∠ABF=∠ABC=60°，BF=BC=AB，
∴△ABF是等边三角形，
∴AF=AB，∠BAF=60°，
∵△ADG是等边三角形，
∴∠ADG=∠DAG=60°=∠BAF，AG=AD=5，
∴∠DAF=∠DAB+∠BAF=∠DAB+∠DAG=∠GAB，
在△DAF和△GAB中，，
∴△DAF≌△GAB(SAS)，
∴BG=DF=DE+EF=DE+CE=，
∵AB=BC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=DC，∠ACB=60°，
∴点C是△ABD的外心，
∴∠ADB=∠ACB=30°，
∴∠BDG=∠ADB+∠ADG=90°，
∴BD=；
故答案为：7．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识、三角形外心的性质、圆周角定理等；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
19．如图所示见解析.
【分析】分别以A、C为圆心，大于AC的一半长为半径画弧，两弧在AC的两侧分别交于两点，过这两点作直线，与AD交于点O，然后以点O为圆心，以AO长为半径画圆即可.
【详解】如图所示，⊙O即为△ABC的外接圆.

【点拨】本题考查了尺规作图——三角形的外接圆，正确把握三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点是解题的关键.
20．周长为．面积为．
【分析】连接OB，OA，延长AO交BC于D，根据等边三角形性质得出AD⊥BC，BD=CD=BC，∠OBD=30°，求出OD，根据勾股定理求出BD，即可求出BC，BC的三倍即为周长，根据三角形的面积公式即可求出面积．
【详解】解：连接OB，OA，延长AO交BC于D，如图所示：

∵正△ABC外接圆是⊙O，
∴AD⊥BC，BD=CD=BC，∠OBD=∠ABC=×60°=30°，
∴OD=OB=r，
由勾股定理得：BD=，
即三角形边长为BC=2BD=r，AD=AO+OD=r+r=，
则△ABC的周长=3BC=3×r=3r；
△ABC的面积=BC×AD=×r×=．
∴正三角形ABC周长为；正三角形ABC面积为．
【点拨】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的外接圆、三角形的面积等知识点；关键是能正确作辅助线后求出BD的长．
21．（1）⊙O的半径为；（2）OE
【分析】(1)过A点作AH⊥BC于H，如图①，利用等腰三角形的性质得BH=CH=3，根据垂径定理的推论可判断点O在AH上，则利用勾股定理可计算出AH=4，连接OB，设⊙O的半径为r，在Rt△OBH中利用勾股定理得到32+（4-r）2=r2，然后解方程即可；
(2)作EF⊥AB于F，如图，根据角平分线的性质得到EH=EF，利用面积法得到，所以EHAH，然后利用（1）得OH,从而计算EH-OH得到OE的长．
【详解】解：（1）过A点作AH⊥BC于H，如图①，

∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BH＝CHBC＝3，
即AH垂直平分BC，
∴点O在AH上，
在Rt△ABH中，AH4，
连接OB，设⊙O的半径为r，则OB＝r，OH＝AH﹣OA＝4﹣r，
在Rt△OBH中，32+（4﹣r）2＝r2，解得r，
即⊙O的半径为；
（2）作EF⊥AB于F，如图②

∵BD平分∠ABC，
∴EH＝EF，
∵S△ABEBH•AEAB•EF，
∴，
∴EHAH4，
由（1）得OH＝AH﹣OA＝4，
∴OE=EH-OH．
【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心，掌握三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点和等腰三角形的性质是解题的关键．
22．(1)见解析；
(2)∠E的度数为70°或20°；
(3)P的运动路径为
【分析】（1）根据边角边即可证明△ABD≌△CBE；
（2）分两种情况点D在线段BC上时，点D在BC延长线上时，根据∠CAD＝25°，即可求∠BEC的度数；
（3）根据点P是△CAD的外心，可得点P在线段AC的垂直平分线上随点D的运动而运动，如图，过点B作BF⊥AC于点F，根据点P恰好在△ABC的内部，可得BF即为所求的点P的运动路径，且BF＝AC，根据勾股定理即可求出AC的长，据此即可求得．
（1）
证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE＝90°，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS）；
（2）
解：若点D在线段BC上时，
∵AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠CAB＝45°，
∵∠CAD＝25°，
∴∠ADB＝∠DAC+∠ACB＝25°+45°＝70°，
∵△ABD≌△CBE，
∴∠ADB＝∠BEC＝70°，
若点D在BC延长线上时，如图2，

∵△ABD≌△CBE，
∴∠BEC＝∠ADB＝∠ACB﹣∠CAD＝45°﹣25°＝20°，
综上所述：∠BEC的度数为70°或20°；
（3）
解：∵点P是△CAD的外心，
∴点P在线段AC的垂直平分线上随点D的运动而运动，
如图2，过点B作BF⊥AC于点F，
∵点P恰好在△ABC的内部或边上，且△ABC是等腰三角形，
∴BF即为所求的点P的运动路径，且BF＝AC，
∵，
∴．
即点P的运动路径为．
【点拨】本题考查圆的综合题，三角形的外心与外角的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．
23．（1）=；（2）△ACE是等腰直角三角形，理由见解析；（3）45°＜α＜90°
【分析】（1）利用四边形内角和等于360度得：∠B+∠ADC＝180°，而∠ADC+∠EDC＝180°，即可求解；
（2）证明△ABC≌△EDC（AAS）即可推知△ACE是等腰直角三角形；
（3）当∠ABC＝α＝90°时，△ABC的外心在其直角边上，∠ABC＝α＞90°时，△ABC的外心在其外部，即可求解．
【详解】解：（1）在四边形BADC中，∠B+∠ADC＝360°﹣∠BAD﹣∠DCB＝180°，
而∠ADC+∠EDC＝180°，
∴∠ABC＝∠PDC．
故答案是：＝；
（2）△ACE是等腰直角三角形，理由如下：
∵∠ECD+∠DCA＝90°，∠DCA+∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠ECD．
由（1）知：∠ABC＝∠PDC，
又∵BC＝DC，
∴△ABC≌△EDC（AAS），
∴AC＝CE．
又∵∠ACE＝90°，
∴△ACE是等腰直角三角形；
（3）当∠ABC＝α＝90°时，△ABC的外心在其直角边上，
∠ABC＝α＞90°时，△ABC的外心在其外部，
而45°＜α＜135°，
故：45°＜α＜90°．
【点拨】本题考查的是圆的综合运用，涉及到三角形全等、三角形外心等基本知识，难度不大．
24．（1）证明见解析；（2）①0°＜∠BOD＜150°；②3．
【分析】（1）由平行线的性质可得∠ACB=∠FED，∠B=∠FDE，继而可证明△ABC≌△FDE（ASA）；
（2）①连接AD，解得∠BAC=75°，由外心性质解得∠BOD=2∠BAD，由此可知0°＜∠BOD＜150°；
②根据正切定义解题．
【详解】解：（1）证明：∵BD=CE，
∴BC=DE，
∵EF//AC，
∴∠ACB=∠FED，
∵AB//DF，
∴∠B=∠FDE，
∴△ABC≌△FDE；
（2）①连接AD，
∵∠ACB=∠FED=60°，∠B=45°，
∴∠BAC=75°，
∵点D是△ABC边BC上一点(不与点B、点C重合)
∴0°＜∠BAD＜75°
∵点O是△ABC的外心，
∴∠BOD=2∠BAD
∴0°＜∠BOD＜150°；
②当AD⊥BC于D时，AD最小

∵∠B=45°，
∴BD=AD
∵∠ACB=∠E=60°，
∴tan∠ACB=，
∴CD=AD
∵BC=BD+CD=AD+AD=+3，
∴AD=3．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、涉及平行线的性质、正切、三角形的外心等知识，难度一般，掌握相关知识是解题关键．