初中苏科版2.3 确定圆的条件精品课后练习题

这是一份初中苏科版2.3 确定圆的条件精品课后练习题，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题2.11 确定圆的条件（分层练习）（基础练）
一、单选题
1．三角形的外心具有的性质是（    ）
A．外心在三角形外 B．外心在三角形内
C．外心到三角形三边距离相等 D．外心到三角形三个顶点距离相等
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，－3）．则经画图操作可知：△ABC的外接圆的圆心坐标是（    ）


A．（－2，－1） B．（－1，0） C．（－1，－1） D．（0，－1）
3．已知直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，那么这个直角三角形外接圆的半径等于(      )
A．1 B． C． D．5
4．如图，已知是的外接圆，的半径为5，，则为　　

A． B． C． D．
5．直角三角形的外心在（   ）
A．直角顶点 B．直角三角形内 C．直角三角形外 D．斜边中点
6．下列说法正确的是（    ）
A．弧长相等的弧是等弧 B．直径是最长的弦
C．三点确定一个圆 D．平分弦的直径垂直于弦
7．小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（　　）

A．① B．② C．③ D．均不可能
8．如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
9．已知：不在同一直线上的三点A,B,C
求作：⊙O，使它经过点A,B,C
作法：如图，
（1）连接AB ，作线段AB的垂直平分线DE；
（2）连接BC ，作线段BC的垂直平分线FG,交DE于点O；
（3）以O为圆心，OB 长为半径作⊙O．
⊙O就是所求作的圆.
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是（   ）
  
A．连接AC, 则点O是△ABC的内心 B．
C．连接OA,OC，则OA, OC不是⊙的半径 D．若连接AC, 则点O在线段AC的垂直平分线上
10．下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：如图1，在中，．
求作：的外接圆．
作法：如图2．
（1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；
（2）作直线，交于点O；
（3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．
  
下列不属于该尺规作图依据的是（    ）
A．两点确定一条直线
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
二、填空题
11．平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3） 确定一个圆（填“能”或“不能”）．
12．在中，，，，则其外接圆的半径为 ．

13．若一个三角形的外心在这个三角形的外部，则这个三角形按角分类属于 ．
14．如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为 ．

15．如图，在平面直角坐标系中，过点作一圆弧，则该弧所在圆的圆心坐标为 ．

16．如图，点是的外心，连接、，若，则的度数为 ．

17．如图，点O是的外心，，，垂足分别为D、E，点M、N分别是的中点，连接，若，则 ．

18．如图，已知AB＝AC＝BE＝CD，AD＝AE，点F为△ADE的外心，若∠DAE＝40°，则∠BFC＝ °．

三、解答题
19．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝10.求△ABC的外接圆的半径r.




20．如图，是一块残破的圆轮片，A、B、C是圆弧上的三点
（1）作出弧ACB所在的⊙O（不写作法，保留作图痕迹）
（2）如果AC＝BC＝60cm，∠ACB＝120°，求该残破圆轮片的半径．





21．如图，在中，，平分，   
（1）在边上找一点O，以点O为圆心，且过A、D两点作（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，若，求的半径．




22．如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A、B、C．
（1）用尺规作图法，找出弧所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）设是等腰三角形，底边cm，腰cm，求圆片的半径R．





23．综合与实践
在综合与实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究线段长度的有关问题． 动手操作：
第一步：在图1中，测得三角形纸片ABC中，∠ACB=60°，BC 第二步：将图1中的△ABC纸片折叠，使点B落在边AC上的点E处，然后展平，得到折痕CD，连结BE、DE，如图2． 解决问题，请根据图2完成下列问题．
（1）BD____DE（请正确选择“>”“=”“<”中的一个）；
（2）试判断△BCE 的形状，并给予证明；
（3）若BC=6，则△BCE 的外接圆的半径为_____．





24．如图，在四边形ABCD中，，，AD不平行于BC，过点C作交的外接圆O于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AECD为平行四边形
（2）连接CO，求证：CO平分．















25．[探索发现]有张形状为直角三角形的纸片， 小俊同学想用些大小不同的圆形纸片去覆盖这张三角形纸片，经过多次操作发现，如图1，以斜边AB为直径作圆，刚好是可以把Rt△ABC覆盖的面积最小的圆，称之为最小覆盖圆.
[理解应用]
我们也可以用一些大小不同的圆覆 盖锐角三角形和钝角三角形，请你通过操作探究解决下列问题
(1)如图2.在中， ∠A=105° ，试用直尺和圆规作出这个三角形的最小覆盖圆(不写作法，保留作图痕迹) .
（2）如图3，在中，∠A=80° ，∠B=40° ，AB= ，请求出△ABC的最小覆盖圆的半径
[拓展延伸]
（3）如图4，在中，已知AB=15， AC=12, BC=9，半径为1的在的内部任意运动，则覆盖不到的面积是





















参考答案
1．D
【分析】直接根据三角形的外心的定义判断即可
【详解】解：A．外心不一定在三角形外，错误；
B．外心不一定在三角形内，错误；
C．外心到三角形三角距离相等，错误；
D．外心到三角形三个顶点距离相等，正确；
故选D．
【点拨】本题考查了三角形的外心，熟练掌握定义是解答本题的关键．三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等．
2．A
【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．
【详解】解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
如图所示：EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．
故选：A

【点拨】此题考查了三角形外心的知识．注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用．
3．C
【分析】根据题意可知，直角三角形的两条直角边长是方程x2-7x+12=0的两个根，解可得方程x2-7x+12=0的两个根为3与4；故直角三角形外接圆的直径即斜边边长为5；故半径等于2.5．
【详解】解：解可得方程x2-7x+12=0得，
x1=3，x2=4，
∴斜边边长为5，
即直角三角形外接圆的直径是5，
∴半径等于2.5．
故选C.
【点拨】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．
4．D
【分析】根据等边三角形的性质求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数．
【详解】解：是的外接圆，的半径为5，，
是等边三角形，
，
，
故选D．
【点拨】本题主要考查了三角形的外接圆与外心的知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．
5．D
【分析】根据三角形外心的定义即可进行解答．
【详解】解：∵三角形的外心为三角形三边垂直平分线的交点，
∴直角三角形的外心在斜边中点，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了三角形的外心，解题的关键是熟练掌握三角形外心的定义：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点．锐角三角形的外心在三角新内，直角三角形外心在斜边上，钝角三角形在外心在三角形外．
6．B
【分析】根据等弧的概念、弦的概念、确定圆的条件以及垂径定理判断即可．
【详解】A、能够重合的弧是等弧，弧长相等的弧不一定是等弧，故本选项说法错误，不符合题意；
B、直径是最长的弦，本选项说法正确，符合题意；
C、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项说法错误，不符合题意；
D、平分弦（不是直径的弦）的直径垂直于弦，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查的是圆的概念和有关性质，熟记等弧的概念、弦的概念、确定圆的条件以及垂径定理是解题的关键．
7．A
【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
【详解】第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
【点拨】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．
8．D
【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得．
【详解】解：如图，

以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），
以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），
以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），
以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），
以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），
以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），
共6组．
故选D．
【点拨】本题考查四点共圆的判断方法．解题的关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆．
9．D
【分析】根据三角形的外心性质即可解题.
【详解】A:连接AC, 根据题意可知，点O是△ABC的外心，故 A错误；
B: 根据题意无法证明，故 B错误；
C: 连接OA,OC，则OA, OC是⊙的半径，故 C错误
D: 若连接AC, 则点O在线段AC的垂直平分线上，故 D正确
故答案为：D.
【点拨】本题考查了三角形的确定即不在一条线上的三个点确定一个圆，这个圆是三角形的外接圆，o是三角形的外心.
10．D
【分析】利用直角三角形斜边中线的性质证明：即可．
【详解】解：作直线（两点确定一条直线），
连接，
  
∵由作图，，
∴且（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．
∵，
∴（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴，
∴A，B，C三点在以O为圆心，为直径的圆上．
∴为的外接圆．
故选：D．
【点拨】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的定义，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11．能
【详解】∵B（0，-3）、C（2，-3），
∴BC∥x轴，
而点A（1，0）在x轴上，
∴点A、B、C不共线，
∴三个点A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3）能确定一个圆．
故答案为能．
12．5
【分析】首先根据勾股定理，得其斜边是10，再根据直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，得其半径是5．
【详解】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴BA＝10，
∴其外接圆的半径为5．
【点拨】熟练运用勾股定理；注意：直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半．
13．钝角三角形．
【分析】根据三角形外心的性质“锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；钝角三角形的外心在三角形外”即可得.
【详解】由三角形外心的性质得：这个三角形按角分类属于钝角三角形
故答案为：钝角三角形.
【点拨】本题考查了三角形外心的性质，熟记三角形外心的性质是解题关键.
14．5
【分析】根据圆的确定方法做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．
【详解】如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，

以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，
故答案为5．
【点拨】此题考查了确定圆的方法，三角形的外接圆，解题的关键是根据题意确定三角形ABC外接圆的圆心．
15．（2，0）
【分析】连接AC，作AC的垂直平分线，交坐标轴于D，D即为圆心，根据图形即可得出点的坐标．
【详解】解：如图所示：D（2，0），
故答案为：（2，0）．

【点拨】本题主要考查垂径定理、坐标与图形性质，关键是根据题意确定出圆心D的位置．
16．/140度
【分析】根据三角形外心的性质，等腰三角形的性质，再结合三角形内角和定理计算即可．
【详解】点是的外心

是等腰三角形


故答案为：
【点拨】本题主要考查三角形的外接圆与外心，三角形的内角和，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形外心的性质解题的关键．
17．4
【分析】连接，由点O是的外心，得到是的中位线，根据三角形中位线定理即可求得．
【详解】解：如图所示，连接，

∵O是的外心，，
∴，
∴是中位线，
∴，
∵M、N分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查了三角形外接圆与圆心，三角形中位线定理，正确作出辅助线并熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键．
18．140
【分析】由等腰三角形的性质得出∠BEA=∠BAE= 70°，求出∠ABE= 40°，连接AE，EF，DF，由三角形外心的性质求出∠EBF=∠FCB=20°，由三角形内角和定理可得出答案．
【详解】解:∵∠DAE＝40°，AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠AED＝（180°﹣40°）＝70°，
∵AB＝BE，
∴∠BEA＝∠BAE＝70°，
∴∠ABE＝40°，
连接AE，EF，

∵点F为△ADE的外心，
∴AF＝EF，AF＝DF，
∴点F在AE的垂直平分线上，
同理点B在AE的垂直平分线上，
∴∠ABF＝∠EBF，
∴∠EBF＝∠ABE＝20°，
同理∠FCB＝20°，
∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠FCB＝180°﹣20°﹣20°＝140°．
故答案为：140
【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
19．
【分析】连接AO交BC于D,连接OB、OC.已知AB=AC,由同圆或等圆中,等弦对等弧可得圆弧AB=圆弧AC,由此可得∠BOA=∠AOC；
在△BOC中,OB=OC,∠BOD=∠COD,根据三线合一可得OA⊥BC,BD=DC,根据直角三角形勾股定理,即可求得AD；
设CO=R,则DO=AO−AD=R−,在Rt△CDO中,由勾股定理就可以得出关于R的方程,求出R的值即可解答本题.
【详解】
连接AO交BC于D,连接OB、OC
∵ AB=AC
∴弧 AB=弧AC (同圆或等圆中,等弦对等弧)
∴ ∠BOA=∠AOC (同圆或等圆中,等弧所对的圆心角相等)
∵ OB=OC ∠BOA=∠AOC
∴ OA⊥BC （三线合一）
BD=DC=×BC=×10=5 (三线合一)
∴ AD= == (直角三角形勾股定理求值)
设CO=R 则DO=AO−AD=R−
∵ △CDO是直角三角形
∴ += (直角三角形勾股定理)
∵ DO=R− CO=R  DC=5
∴+=
解得R=
所以△ABC的外接圆的半径R为
【点拨】本题考查三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，勾股定理及圆的基本性质.
20．（1）作图略 ；（2）60cm.
【分析】（1）利用垂径定理得出AC，BC的垂直平分线，交点即是圆心，到任意一点距离即是半径；
（2）利用垂径定理以及等边三角形的判定得出△OBC是等边三角形，即可得出答案．
【详解】①如图1所示：
②如图2,∵AC=BC=60cm,  
∴
又∵ BO=CO，
∴
∴△OBC是等边三角形，
∴半径为60cm.

【点拨】考查了垂径定理的应用，利用垂径定理得到进而得到△OBC是等边三角形是解题的关键.
21．(1)见解析
(2)的半径为2．
【分析】（1）作的垂直平分线与的交点为圆心，为半径作圆即可；
（2）设的半径为x，根据勾股定理列方程求解．
【详解】（1）解：如图：即为所求；
  ；
（2）解：连接，设的半径为x，即，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即：，
解得：，
∴的半径为2．
【点拨】本题考查了复杂作图，勾股定理．解题的关键是注意数形结合思想的应用．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）可根据，的垂直平分线来确定圆心．
（2）本题可通过构建直角三角形来求解．连接交于．先求出的值，然后在直角三角形中，用半径表示出，，然后根据勾股定理求出半径的值．
【详解】（1）解：分别作、的垂直平分线，设交点为，则为所求圆的圆心．

（2）连接交于，连接．
，
，（cm），
在中，（cm），
设的半径为cm，在中，
，即，
，
．
所以所求圆的半径为cm．
【点拨】本题综合考查了垂径定理，勾股定理等知识点，要注意作图中是根据垂径定理作为作图依据．
23．（1）=；（2）是等边三角形，证明见解析；（3）．
【分析】（1）根据折叠的性质可直接得出结果；
（2）由折叠可得，再由题中，可证明是等边三角形；
（3）由（2）得是等边三角形，作出其外接圆，圆心为O，连接BO，过点O作，根据外接圆圆心为三条线段中垂线的交点及等边三角形三线合一的性质可得：，，在直角三角形中利用角的特殊性质及勾股定理求解即可．
【详解】解：
（1）根据折叠的性质可得：，
故答案为：=；
（2）是等边三角形，
∵由折叠可得，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
（3）如图所示，由（2）得是等边三角形，作出其外接圆，圆心为O，连接BO，过点O作，

∵是等边三角形，
∴，，
∴，
，
即，
∴，
故答案为：．
【点拨】题目主要考查折叠的性质，等边三角形的判定与性质，三角形外接圆的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出相应图形，综合运用这些知识点是解题关键．
24．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠B=∠E，得到∠E=∠D，根据平行线的判定和性质定理得到AE/CD，证明结论；
（2）作OM⊥BC于M，ON⊥CE于N，根据垂径定理、角平分线的判定定理证明．
【详解】（1）证明：∵∠B=∠E，∠B=∠D，
∴∠E=∠D，
∵，
∴∠D+∠ECD=180°，
∴∠E+∠ECD=180°，
∴，
∴四边形AECD为平行四边形；
（2）证明：作OM⊥BC于M，ON⊥CE于N，如图，

∵四边形AECD为平行四边形，
∴AD=CE，
又∵AD=BC，
∴CE=CB，
∵OM⊥BC，ON⊥CE，
∴∠ONC=∠OMC=90°，，
∴，
∵OC=OC，
∴，
∴ON=OM，
∵OM⊥BC，ON⊥CE，
∴CO平分∠BCE．
【点拨】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握平行四边形的判定定理、垂径定理、圆周角定理是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）r=2；（3）.
【分析】（1）由题意，这个三角形的最小覆盖圆就是三角形的外接圆.三角形外接圆的圆心在每条边的垂直平分线上，又因三角形的三条垂直平分线必交于一点，故只需作两条边的垂直平分线，其交点即为圆心O，连接OC，则OC为半径，画图（见解析）即可；
（2）如图（见解析），的最小覆盖圆为的外接圆，由已知条件可得，则圆心角；连接OA、OB，过O作，由等腰三角形的性质可得，在中利用勾股定理求解即可；
（3）由已知条件可是直角三角形，利用的面积减去圆的面积即可得.
【详解】（1）由题意，这个三角形的最小覆盖圆就是三角形的外接圆.三角形外接圆的圆心在每条边的垂直平分线上，又因三角形的三条垂直平分线必交于一点，故只需作两条边的垂直平分线，其交点即为圆心O，连接OC，则OC为半径，画图如下：

（2）如图，的最小覆盖圆为的外接圆
连接OA、OB，过O作


（圆周角定理）
，则是等腰三角形

在中，
由勾股定理得：
解得：
故的最小覆盖圆的半径为2；

（3）

是直角三角形

又
故所求的面积为.
【点拨】本题考查了三角形外接圆的性质，理解题意，将其转化为三角形外接圆问题是解题关键.