第27讲 三角函数的综合运用-2023-2024学年高一数学期末总复习（人教A版必修第一册）

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第27讲 的综合运用
题型一：利用图象求解析式
【例1】（2022·福建高一月考）已知函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示，则

A．ω＝1， B．ω＝1，
C．ω＝2， D．ω＝2，
【答案】D
【解析】由函数的图象可知:，.
当，函数取得最大值1，，，
，.
故选：D.
【例2】（2022·全国·高一课时练习）数学家傅里叶关于三角函数的研究告诉我们：人类的声音，小提琴的奏鸣，动物的叫声等都可以归结为一些简单声音的组合，而简单声音是可以用三角函数模型描述的．已知描述百灵鸟的叫声时用到如图所示的图象，对应的函数解析式是，则（       ）

A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】由图象求得函数的最小正周期，可求得的值，然后代入点可求得的值.
【详解】由图象可知，函数的最小正周期为，
则，所以．
因为，且函数在附近单调递增，
所以，则，
因为，所以．
故选：C．
【例3】（2022·宁夏·石嘴山市第三中学三模（理））2022年春节期间，G市某天从8~16时的温度变化曲线（如图）近似满足函数（，，）的图像．下列说法正确的是（       ）

A．8～13时这段时间温度逐渐升高
B．8～16时最大温差不超过5°C
C．8～16时0°C以下的时长恰为3小时
D．16时温度为−2°C
【答案】D
【分析】由图像直接判断A、B、C选项，求出解析式判断D选项即可.
【详解】由图像可知：8～13时这段时间温度先下降再升高，A错误；
8～16时最大温度°C，最小温度°C，最大温差为°C，B错误；
8～16时0°C以下的时长超过3小时，C错误；
，，又过点，故，解得，
故，，故16时温度为−2°C，D正确.
故选：D.
【例4】（2022·全国·高一单元测试）若函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，则______．
【答案】
【分析】根据题意可得出函数的最小正周期，求出的值，然后代值计算可得的值.
【详解】因为，
且函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，
所以，函数的最小正周期，所以，则，
因此，.
故答案为：.
【例5】（2022全国高一课时练习）已知函数的部分图象如图所示.则A，，的一个数值可以是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由图可知，，即，所以，
所以函数解析式为，
将代入得：，
则，所以，
所以A选项符合，BCD不符合.
故选：A．
【题型专练】
1．（2022·云南·罗平县第一中学高二期末）已知函数图象的一部分如图所示，则 ____________．

【答案】2
【分析】由图可知，根据曲线过点（0,1），可得φ=，再由五点作图法得ω+=2π，进而求出的值，可得函数的解析式，从而即可求解.
【详解】解：由图象可知A=2，且点(0，1)在图象上，
所以1=2sin(ω·0+φ)，即sinφ=，
因为|φ|<，所以φ=，
又是函数的一个零点，由五点作图法可得ω+=2π，
所以ω=2，
所以，
所以.
故答案为：2.

2.（2022四川省大竹中学高一期中（文））函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意，所以，
，，而，所以，
所以．
故选：D．
3.（2022·广东实验中学高一期中）函数的部分图象如图所示，则下列结论成立的是（       ）

A．y＝f(x)的递增区间为，k∈Z
B．
C．成立的区间可以为
D．y＝f(x)其中一条对称轴为
【答案】C
【分析】根据函数图象，应用五点法求得，结合余弦型函数的性质求单调区间、解不等式判断A、B、C，代入法判断对称轴.
【详解】由题设，，则，故，
若，则，
由，则，，
由，满足要求，不妨设，
所以；
若，则，
由，则，，
由，满足要求，不妨设，则.
综上，，B错误；
令，，可得，，
所以递增区间为，，A错误；
，则，，
所以，，当有，C正确；
，故不是对称轴，D错误.
故选：C
4．（2023江西南昌·高三阶段练习）设函数(其中的大致图象如图所示， 则的最小正周期为（       ）


A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图象求得，，，从而即可求的最小正周期.
【详解】解：根据函数(其中的大致图象，
可得，，
因为，
所以，所以，
结合五点法作图，可得，解得，
所以，
所以函数的最小正周期为，
故选：C.
5．（2022·重庆·巫山县官渡中学高一期末多选）函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（     ）

A．图像的一条对称轴可能为直线
B．函数的解折式可以为
C．的图像关于点对称
D．在区间上单调递增
【答案】BC
【分析】先根图象求出函数解析式，然后逐个分析判断即可
【详解】由图象可知，得，
所以，所以，
因为函数图象过点，
所以，所以，
得，
因为，所以，
所以，
对于A，因为，所以不是图象的一条对称轴，所以A错误，
对于B，，所以B正确，
对于C，因为，所以的图象关于点对称，所以C正确，
对于D，由，得，当时，，当时，，可知函数在，上递增，所以函数在上递减，所以D错误，
故选：BC
题型二：利用图象解决零点问题
【例1】（2023全国高三训练）函数在区间上的零点个数为（       ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【解析】作出函数和函数在区间上的图象，数形结合可得出结果.
【详解】由可得，
则函数在区间上的零点个数即为函数和函数在区间上的图象的交点个数，如下图所示：

由图象可知，函数和函数在区间上的图象有两个交点.
因此，函数在区间上的零点个数为.
故选：B.
【点睛】利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
【例2】（2022·湖南·高一期末）函数的零点个数为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由得，再在同一坐标系下画出函数的图像，观察函数的图像即得解.
【详解】解：令得，
在同一直角坐标系内画出函数和的图象，由图象知，两函数的图象恰有3个交点，即函数有3个零点，
故选：C.

【例3】（2022·江西上饶·高一阶段练习）已知函数，有三个不同的零点x1，x2，x3，且，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出函数在区间内的图像以及函数的图像，利用对称性即可求得的值.
【详解】由题意知，令，得，
令，，则，可得或，解得或，
令，可得，解得，
画出函数在区间内的图像以及函数的图像如下图所示，

由图可知，关于直线对称，关于直线对称，
所以.
故选：B.
【例4】（2022·江西景德镇·高一期中）已知函数，则函数在上的所有零点的和为（       ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得的零点就是函数与函数图象交点的横坐标，的图象关于点对称，函数图象关于点对称，画出函数的图象，利用图象求解即可
【详解】令，则，
所以的零点就是函数与函数图象交点的横坐标，
因为的图象关于点对称，函数的周期为2，其图象关于点对称，两函数图象如图所示，

共有4个交点，这4个点关于点对称，
所以其横坐标的和为4，
所以函数在上的所有零点的和为4，
故选：B
【题型专练】
1．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一期末）函数零点的个数为（       ）
A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】A
【分析】由，得，则将函数零点的个数转化为图象的交点的个数，画出两函数的图象求解即可
【详解】由，得，
所以函数零点的个数等于图象的交点的个数，
函数的图象如图所示，

由图象可知两函数图象有4个交点，
所以有4个零点，
故选：A
2．（2022·北京市第十九中学高一期中）设函数，，若函数（）恰有三个零点､､（），则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由的取值范围求出的取值范围，依题意可得与有三个交点，令，则，与有3个交点，，，画出的函数图象，结合函数图象及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：由，所以，
因为函数（）恰有三个零点，即有三个解，
即与有三个交点，
令，则，与有3个交点，，，
不妨令，则，，，

由图可知、关于对称，所以，即，
，即，
可得的取值范围是，
故选：B
3．（2022全国·高一专题练习）函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合题意化简函数的解析式，然后根据解析式作出函数的图象，进而数形结合即可求出结果.
【详解】因为时，，则，
因为时，，则，
故，
作出函数图象：

数形结合即可得到，
故选：B.
4．（2023甘肃省武威第一中学高三阶段练习（文））已知是上的偶函数，，当时，，则函数的零点个数是（       ）
A．12 B．10 C．6 D．5
【答案】B
【分析】由得函数周期是，又偶函数，且在时，，因此可得，作出的图象，及时的图象，观察其交点个数，再由对称性得结交点个数，从而可得所求零点个数．
【详解】解：由得函数周期是，又偶函数，
且在时，，因此可得，
是偶函数，作出函数与时，的图象，
由图象可知，当时，两函数图象有5个交点.
又函数与均为偶函数，
所以函数的零点个数是10.，
即函数的零点个数是10．
故选：B．

【点睛】本题考查求函数零点个数，解题关键是由周期性，偶函数，及一个区间上的表达式确定出的解析式，然后作出函数和的图象，得函数图象交点个数，得函数零点个数．
5．（2022河南·辉县市第二高级中学高一阶段练习）函数在区间上零点的个数为
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】令f(x)=0,所以，在同一坐标系下作出函数g(x)=和h(x)=在区间[-2，3]的图像，观察图像得函数在区间上零点的个数.
【详解】令f(x)=0,所以，
在同一坐标系下作出函数g(x)=和h(x)=在区间[-2，3]的图像，

观察图像得两函数在[-2,0]有两个交点，在[0,3]有4个交点，
所以函数在区间上零点的个数为6.
故选B
【点睛】本题主要考查函数的图像和性质，考查函数与方程，考查对数函数和正弦函数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.
6.（2022·四川成都·高一期中）已知定义在上的函数满足：①图象关于点对称；②；③当时，，则函数在区间上的零点的个数为（       ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】利用对称性画出、在上的图象，数形结合可得答案．
【详解】∵，∴的图象关于直线对称，
又∵图象关于点对称，故如下图，画出在上的图象，以及的图象，由图可知，零点个数为5个，
故选：B．


题型三 三角函数伸缩平移
【例1】（2022·河南信阳·高一期末）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（       ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】C
【分析】根据平移变换的定义判断．
【详解】，因此
将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度得到函数的图象.
故选：C.
【例2】（2022全国高一课时练习）要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】A
【解析】因为，
而，故将函数的图象向右平移个单位长度即可，
故选：A.
【例3】（2022·安徽省太和中学高三阶段练习）已知函数，若的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图象平移，得到平移后的表达式，即可求解.
【详解】由题意可知，，
则.所以.
所以,取,则.
故选:C
【例4】（2023河南·高三开学考试（理））将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，若是函数图像的一个对称中心，则函数的一个单调递减区间为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数变换可得，根据对称中心可得，进而可得解析式与单调区间.
【详解】由题意知，，所以
因为是函数的一个对称中心，则，即（），
因为，可得，所以函数，
令，
解得（），
故选：B.
【例5】（2022·广东·高三开学考试）把函数的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的图像变化规律即可求得解析式.
【详解】把函数的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，
所得图像所表示的函数是，
再把图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是．
故选:C．



【题型专练】
1.（2022全国）将函数的图象分别向左、向右平移个单位长度后，所得的图象都关于y轴对称，则的最小值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】向左平移个单位得解析式为．
向右平移个单位得解析式为，
它们的图象都关于轴对称，
，，最小正实数，
，，最小正实数，
故选：A．
2.（2022·陕西·铜川市第一中学高二期末（文））把函数的图像上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图像所对应的函数解析式是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用三角函数的图像变换的知识进行处理.
【详解】把函数的图像上所有的点向左平移个单位长度，
得，再把所得图像上所有点
的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得.
故A，B，C错误.
故选：D.


3.（2022全国高一课时练习）已知函数的最大值为1，有最小值，则________.
【答案】
【解析】由题意得：
当时，
于是根据解得当时，
于是根据解得故答案为：
4.（2022·全国·高一课时练习）要得到函数的图像，需（       ）
A．将函数图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
B．将函数图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
C．将函数图像上所有点向左平移个单位长度
D．将函数图像上所有点向左平移个单位长度
【答案】D
【分析】根据三角函数的图像变换逐项判断即可.
【详解】解：对于A，将图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图像，错误；
对于B，将图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图像，错误；
对于C，将图像上所有点向左平移个单位长度后，得到的图像，错误；
对于D，将图像上所有点向左平移个单位长度后，得到的图像，正确.
故选:D.
5．（2022·云南昭通·高一期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（       ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
【答案】D
【分析】由三角函数图象变换判断．
【详解】，因此将函数的图象向右平移个单位．
故选：D．
6.（2022合肥百花中学高一期末）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】B
【解析】为了得到函数的图象，
只需将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，
故选：B．
7.（2022全国高一课时练习）由函数的图象得到函数的图象的变换方法可以是 （ ）
A．将的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍
B．将的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍
C．将的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，再将图象向右平移个单位长度
D．将的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，再将图象向左平移个单位长度
【答案】C
【解析】若先作平移变换，则需用去取代，因此A和B选项均不正确.
若先作伸缩变换，将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，
所得图象对应的函数为.
再用取代，即可得到函数的图象，
也即再向右平移个单位长度，
故选：C
8．（2022·全国·高一课时练习）下列四种变换方式中能将函数的图象变为函数的图象的是（       ）
A．向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的
B．向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍
C．每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度
D．每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度
【答案】AC
【分析】根据三角函数图象平移规律和周期变换逐项判断可得答案.
【详解】，
对于A，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，再将每个点的横坐标缩短为原来的，得到的图象，故A正确；
对于B，将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，故B错误；
对于C，将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的，得到的图象，再向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确；
对于D，将函数的图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，再向左平移个单位长度，得到的图象，故D错误．
故选：AC．
9.（2022全国高一课时练习）函数的最小正周期是，若将该函数的图象向右平移个单位后得到的函数图象关于点对称，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题，则将该函数的图象向右平移个单位后得到的函数为，图象关于点对称则
故函数的解析式为
故选：D
10．（2022·全国·高一课时练习）要得到的图像（       ）
A．把的图像向左平移1个单位长度，再把所得图像上每一点的纵坐标不变、横坐标缩短到原来的
B．把的图像向右平移1个单位长度，再把所得图像上每一点的纵坐标不变、横坐标缩短到原来的
C．把图像上每一点的纵坐标不变、横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度
D．把图像上每一点的纵坐标不变、横坐标缩短到原来的，再向左平移1个单位长度
【答案】AC
【分析】根据三角函数图像变化，对选项分别进行分析即可.
【详解】对于A选项，变换后可得，故A正确.
对于B项，变换后可得，故B错误.
对于C项，变换后可得，故C正确.
对于D项，变换后可得，故D错误.
故选:AC.
题型四 三角函数的综合运用
【例1】（2022广东铁一中学高一月考（多选））已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．函数的最小正周期为
B．函数在单调递减
C．函数的图象关于直线对称
D．该图象向右平移个单位可得的图象
【答案】CD
【解析】由图象可知：A=2，周期；
由，解得：，
故函数.
对于A：，故A错误；
对于B：当 时，因为上正弦函数先减后增，不单调，所以在上不单调，故B错误；
对于C：当 时，即直线是的一条对称轴，故C正确；
对于D：向右平移个单位得到，故D正确.
故选：CD.
【例2】（2022·湖南·高三开学考试多选题）已知函数的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则（       ）

A． B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点对称 D．函数的最小值为
【答案】ACD
【分析】先由图像求函数解析式，再逐一研究性质即可.
【详解】从图象可以看出，，，
因为，所以，解得，
将点代入解析式，得，其中，
解得，所以，A正确；
易得，
因为，所以B错误；
因为，所以C正确；
因为，
且，
所以函数的最小值为，D正确.
故选：ACD.

【例3】（2022·全国·高一课时练习多选题）已知函数，现有如下四个命题：
甲：该函数的最小值为；
乙：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为；
丙：该函数的一个零点为；
丁：该函数图象可以由的图象平移得到．
如果有且只有一个假命题，那么下列说法正确的是（       ）
A．乙一定是假命题
B．的值可唯一确定
C．函数图象的一条对称轴为
D．函数的图象可以由的图象伸缩变换得到
【答案】BCD
【分析】先计算出甲乙丙丁命题正确时的各个参数值，从而得到命题乙与命题丁一真一假，分两种情况进行计算可得函数解析式，然后由正弦函数的性质对各个选项进行检验即可.
【详解】若甲命题正确，则．
若乙命题正确，则最小正周期，则．
若丙命题正确，则，即，．
若丁命题正确，函数图象可以由的图象平移得到，则，．故命题乙与命题丁矛盾．
由甲、乙、丙、丁有且只有一个假命题可知，命题甲与命题丙均为真命题，命题乙与命题丁一真一假．
若命题乙为真命题，则，由，，，可得，
此时；
若命题丁为真命题，则，由，，得，，又，则不存在符合条件的，不合题意．
综上，命题丁为假命题，命题甲、乙、丙均为真命题，．
故A错误，B正确．
由，，得函数图象的对称轴为，，
当时，，故C正确．
由可知，把的图象上每一点的纵坐标伸长为原来的倍，横坐标保持不变，可以得到的图象，故D正确．
故选：BCD．
【例4】（2022汕头市潮南区陈店实验学校高一月考）（多选）将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．的图象关于点中心对称
C．的图象关于对称
D．在区间上单调递增
【答案】BCD
【解析】，故A错误；
令可得，故B正确；
令可得，故C正确；
，所以，
易知在单增，所以在单增，故D正确.
故选：BCD
【例5】（2022·全国·高一课时练习）声音是由物体振动产生的声波，我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.像我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是，结合上述材料及所学知识，判断下列说法中正确的有（       ）
A．函数不具有奇偶性
B．函数在区间上单调递增
C．函数的最小正周期为
D．函数的图象向右平移个单位长度后与纯音的图象重合
【答案】BD
【分析】由奇偶性的性质判断A；由单调性的性质判断B；由周期的性质判断C；由平移变换判断D
【详解】对于A：函数的定义域为R，且

，
则该函数是奇函数，选项A错误；
对于B：，
所以在区间上单调递增，
所以函数在区间上单调递增，
所以函数在区间上单调递增，选项B正确；
对于C：因为的最小正周期为，的最小正周期为，
所以函数的最小正周期是，选项C错误；
对于D：将的图象向右平移个单位长度，
得的图象，选项D正确，
故选：BD.
【例6】（2023江苏省高三月考）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是以为最小正周期的周期函数
B．的值域是
C．在区间上单调递增
D．在上有2个零点
【答案】BD
【详解】根据题意，画出函数在的图象，如图所示

根据图像可知，函数是以为最小正周期的周期函数，A错函数的值域是，B对
在区间上单调递增，在单调递减，C错
函数在上有2个零点，分别是，D对
故选：BD
【例7】（2022全国高一课时练习）已知函数，现给出如下结论，其中正确的是
A．是奇函数 B．是周期函数
C．在区间上有三个零点 D．的最大值为2
【答案】AC
【详解】∵，，
∴是奇函数，A正确；的周期，，的周期，，
∵，∴不是周期函数，B错误；
令，得，
∴，，或，，
解得，或，，
又，或或，C正确；
当时，，，
当时，，，
∵，
即与不可能同时取得最大值1，故D错误.
故选：AC.
【题型专练】
1.（2022山东枣庄市·高二期末多选题）已知函数（）在上至少存在两个不同的，满足，且在上具有单调性，点和直线分别为图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．
C．在上是减函数
D．将图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，则
【答案】BC
【详解】由题意可得，即
可得 在上至少存在两个最大值或最小值，且在具有单调性
当时，解方程可得 的最小正周期为，故A不正确；
，故B正确；由于可得减区间为
可得在上是减函数，故C正确；
将图像上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图像，可得，故D错误.
故选：BC
2.（2022湖南省岳阳县第一中学多选题）关于函数有下述四个结论，其中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．在区间上单调递增
C．在上有3个零点 D．的最小值为0
【答案】AD
【详解】因为，所以是偶函数，A正确；
因为，所以在区间上不单调递增，B错；
因为在上有4个零点:，所以C错；
因为时，，所以时，因为是偶函数，所以的值域为，即的最小值为0，D正确；
故选：AD.
3.（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试多选题）将函数的图象向左平移个单位得到函数，则下列说法正确的是（       ）
A．的周期为 B．的一条对称轴为
C．是奇函数 D．在区间上单调递增
【答案】AD
【分析】求出，A. 的最小正周期为，所以该选项正确；B. 函数图象的对称轴是，所以该选项错误；C.函数不是奇函数，所以该选项错误； D. 求出在区间上单调递增，所以该选项正确.
【详解】解：将函数的图象向左平移个单位得到函数.
A. 的最小正周期为，所以该选项正确；
B. 令，函数图象的对称轴不可能是，所以该选项错误；
C. 由于，所以函数不是奇函数，所以该选项错误；
D. 令，当时，，所以在区间上单调递增，所以该选项正确.
故选：AD
4．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期中多选题）设函数的最小正周期为，且其图象关于直线对称，则在下面结论中正确的是（       ）
A．图象关于点对称；
B．其图象可由的图象向左平移个单位得到
C．其表达式可改写为
D．在上是增函数；
【答案】CD
【分析】由函数性质求得函数解析式，然后由正弦函数的性质判断AD，由函数图象变换判断B，由诱导公式变形判断C．
【详解】因为函数的最小正周期为，
则，所以
函数图象关于直线对称，则则
因为，所以当时得，
即，
由正弦函数的图象与性质可知，对称中心为，解得
故A错误；
B选项其图象可由的图象向左平移个单位得到，故B错
C选项由诱导公式变形可得,正确
D选项由正弦函数的图象与性质可知，当时，函数单增，
解得，当时，单调递增区间为，
因为所以D正确．
故选：CD．
5.（2022·海南·琼海市嘉积第三中学高三阶段练习多选题）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（       ）
A．最大值为，图象关于直线对称 B．在上单调递增
C．最小正周期为 D．图象关于点对称
【答案】BCD
【分析】根据题意利用三角函数的平移变换求出函数解析式，再由余弦函数的值域、对轴性、单调性、周期性求解即可.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，
得到的图象；
它的最大值为，由于当时，，不是最值，故的图象不关于直线对称，故A错误；
由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故B正确；
最小正周期为，故C正确；
当时，，故函数的图象关于点对称，故D正确.
故选：BCD.
6.（2023全国高三其他模拟多选题）设函数，已知在上有且仅有3个最小值点，则（ ）
A．在上有且仅有5个零点 B．在上有且仅有2个最大值点
C．在上单调递减 D．的取值范围是
【答案】CD
【详解】解：因为，所以．
设，画出的图象如图所示，

由图象可知，若在上有且仅有3个极小值点，
则，
故在上可能有5，6或7个零点，故A错误；
在上可能有2或3个极大值点，故B错误；
由，可得，故D正确；
当时，．
因为，所以，
故在上单调递减，故C正确．
故选：CD．
7．（2022·全国·高一课时练习）若将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象．
(1)求图象的对称中心；
(2)若，求的值．
【答案】(1)，(2)2
【分析】（1）由三角函数的图象变换得到，结合三角函数的性质，即可求解；
（2）由，得出，即可求得的值.
（1）解：由题意将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，可得，
由，可得，
故图象的对称中心为．
（2）解：由，，
因为，
可得，
所以．
8．（2022·陕西汉中·高一期末）已知函数的部分图象如图．


(1)求f（x）的表达式；
(2)将函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数g（x）的图象．若关于x的方程在上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）由图象结合五点法求出函数解析式；
（2）由三角函数图象变换得，换元后结合在上的图象可得参数范围．
（1）根据图象，可得，，∴∴，将代入f（x），得，即，，又，∴，∴．
（2）将函数（x）的图象向右平移个单位长度，得曲线C，由题得，∵在[0，]上有两个不同的实数解，∴在[0，]上有两个不同的实数解．∵，令，∴，则需直线与的图象在有两个不同的公共点．画出在时的简图如下：∴实数m的取值范围是．