第二章圆的基础复习课件

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圆的基础复习一2023/8/12思维导图圆圆的概念弦的概念弧的概念圆心角的概念圆心角、弧、弦之间的关系垂径定理不在同一直线上的三点确定一个圆 圆的相关概念 圆的对称性确定圆的条件圆周角三角形外接圆圆周角概念圆周角定理圆内接四边形的对角互补2023/8/121.1圆的相关概念圆：在平面内把线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点P运动所形成的图形叫做圆.定点O叫 ,线段OP叫做 .圆心 半径 圆是到定点的距离等于定长的点的 .集合 弦：连接圆上任意两点的 叫弦，经过圆心的弦叫 。线段 直径 弧：圆上任意两点间的 叫圆弧，简称弧。部分 优 三个 劣 两个 圆心角：顶点在 上的角叫圆心角。 圆心 2023/8/12下列命题中，正确的有 （ ）(1)圆是轴对称图形，其对称轴是任一条直径；(2)过任意三点可以确定一个圆；(3)等弦所对的弧相等；(4)圆中最大的弦是通过圆心的弦；(5)三角形的外心是它的三个角平分线的交点.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个分析：(1)错圆即是轴对称图形，其对称轴是过任一条直径的直线，又是中心对称图形，对称中心是圆心。(2)错不在同一直线上的三点。(3)错在同一圆内，等弦所对的弧相等。(4)对直径是圆中最大的弦。(5)错三角形的外心是它的三个边的垂直平分线的交点；三角形的内心是它的三个角平分线的交点。A2023/8/12如图，已知OA、OB、OC是ʘO的三条半径，∠AOC=∠BOC，M、N分别为OA、OB的中点，求证：MC=NC。已知条件有哪些？OA、OB、OC是ʘO的三条半径∠AOC=∠BOCM是OA中点N是OB中点问题是什么？求证：MC=NCOA、OB、OC是ʘO的三条半径OA=OB=OCM是OA中点OM=AMN是OB中点ON=BNON=OM根据什么证MC=NC？全等三角形性质2023/8/12如图，已知OA、OB、OC是ʘO的三条半径，∠AOC=∠BOC，M、N分别为OA、OB的中点，求证：MC=NC。证：∵OA、OB、OC是ʘO的三条半径∠AOC=∠BOC∴OA=OB=OC又∵M、N是OA、OB中点∴OM=AMON=BN∴ON=OM在ΔMOC与ΔNOC中（SAS）ON=OMOC=OC∴ΔMOC≌ΔNOC∴MC=NC2023/8/12已知：如图，AB是ʘO的直径，CD是ʘO的弦，AB,CD的延长线交于E,若AB=2DE,∠E=18°，求∠C及∠AOC的度数。已知条件有哪些？AB是直径CD是弦AB=2DE∠E=18°问题是什么？∠C及∠AOC的度数根据AB=2DEDE等于半径怎么把DE与半径建立在一个图形内？连接OD连接ODOD=DE=OC∠E=∠D0E∠C=∠CD0在ΔDOE中∠CD0等于什么？∠CDO=∠E+∠D0E=2∠E））））在ΔCOD中∠A0C等于什么？∠AOC=∠C+∠E2023/8/12已知：如图，AB是ʘO的直径，CD是ʘO的弦，AB,CD的延长线交于E,若AB=2DE,∠E=18°，求∠C及∠AOC的度数。解：））））连接OD∵AB=2DE∴OD=DE=0C∴∠E=∠D0E∴∠C=∠CD0在ΔDOE中,∠CDO=∠E+∠D0E=2∠E在ΔCOD中,∠AOC=∠C+E=36°+18°=36°∵OC=OD=54°=36°综上：∠C=36°，∠AOC=54°2023/8/12如图，在RtΔABC中，∠C=90°，AB=10.若以C点为圆心，CB为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长 。已知条件有哪些？∠C=90°AB=10C点为圆心CB为半径D为AB中点问题是什么？AC的长D为AB中点AD=BD在RtΔABC中,D为AB中点CD=AD=BD=5CD是圆的什么？半径CD=CB已知AB=10，CB=5怎么求AC?勾股定理2023/8/12如图，在RtΔABC中，∠C=90°，AB=10.若以C点为圆心，CB为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长 。∵∠C=90°,D为AB中点又∵C为圆心解：∴AB=2CD=10连接C,D得半径CD∴CD=BC=5∴CD=AD=BD=5在RtΔABC中，2023/8/12如图，AB是半圆O的直径，OC⊥AB于点O,点E、F分别在OC、OA上，OE=OF.求证：BD⊥CF. 已知条件有哪些？AB是半圆O的直径OC⊥AB点E、F分别在OC、OA上OE=OF问题是什么？BD⊥CF若要BD⊥CF，只要证明什么？∠BDF=90°OC⊥AB∠BOC=∠COF=90°OE=OFOC=OB∠BOC=∠COF=90°ΔBOE≌ΔCOFΔBOE≌ΔCOF∠B=∠C∠OFC=∠BE0∠B+∠BFC=90°∠B+∠BFC=90°RtΔBDF2023/8/12如图，AB是半圆O的直径，OC⊥AB于点O,点E、F分别在OC、OA上，OE=OF.求证：BD⊥CF. 证：∵OC⊥AB又∵OE=OF，OB与OC是半圆O半径∴∠BOC=∠COF=90°∴在ΔBOE与ΔCOF中∠COF=∠BOE（SAS）OE=OFOC=OB∴ΔBOE≌ΔCOF∴∠B=∠C∠CFO=∠BE0∠B+∠BDF=90°））））∴∠BDF=90°∴BD⊥CF2023/8/12如图，将矩形纸片ABCD放在ʘO上，使其一边BC经过圆心O，量的AB=6cm,BE=3cm,AF=5cm,求ʘO的半径。已知条件有哪些？ABCD是矩形圆心O在BC上AB=6cmBE=6cmAF=6cm问题是什么？求ʘO半径一般求半径用什么方法？借助勾股定理构造关于半径方程怎么构造一个半径？连接O、F怎么构造一个直角三角形？过F点作BO垂线交于H点HFH⊥OBFH//ABFH//AB四边形ABHF是矩形四边形ABHF是矩形FH=AB、AF=BH2023/8/12如图，将矩形纸片ABCD放在ʘO上，使其一边BC经过圆心O，量的AB=6cm,BE=3cm,AF=5cm,求ʘO的半径。H半径OF=FH=AB=6cmOH=OE-EHEH=BH-BE=AF-BE不知道半径怎么办？设半径为r2023/8/12如图，将矩形纸片ABCD放在ʘO上，使其一边BC经过圆心O，量的AB=6cm,BE=3cm,AF=5cm,求ʘO的半径。解：连接OF，过点F作FH⊥BC,垂直为H∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠B=90°H又∵FH⊥BH∴∠FBH=90°∴四边形ABHF是矩形∴FH=AB=6cmBH=AF=3cm∵BE=3cm∴EH=BH-BE=5-3=2cm设ʘO的半径为rcm.在RtΔFHO中，FO2=FH2+OH2∴r2=62+(r-2)2解得r=10∴ʘO的半径为10cm2023/8/121.2圆的对称性对称性：圆是 对称图形， 是它的对称中心。中心 圆心 圆是 对称图形，过 的任意一条 都是它的对称轴。轴 直径 直线 圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中圆心角相等对应弦相等对应弧相等圆心角与对应弧的度数之间的关系： 圆心角的度数与它所对的弧的度数 。相等 n°的圆心角对着n°的弧。垂径定理：垂直弦的 平分弦以及弦所对的两条 。直径 弧 在ʘO中CD是直径AB是弦CD⊥AB垂足M本质：过圆心垂足弦2023/8/12如图，在ʘO中，AB=CD,∠AOC=100°，则∠BOD的度数为 。解：∴∠AOB=∠COD又∵∠AOC=∠AOB+∠BOC=100°∴∠AOC=∠COD+∠BOC=100°∵∠COD+∠BOC=∠BOD∴∠BOD=100°100°注意：同圆中等弧所对圆心角相等2023/8/12如图，AB为ʘO的直径，点C、D在ʘO上,已知∠BOC=70°，AD//OC,则∠AOD的度数为 。已知条件有哪些？AB为ʘO的直径点C、D在ʘO上∠BOC=70°）AD//OC问题是什么？求∠AOD）AD//OC∠BOC=∠OAD=70°）∠ODA与∠OAD有什么关系？∠ODA=∠OAD =70°）∠AOD等于什么？180°-∠ODA-∠OAD 解：∵AD//OC∠BOC=70°∴∠BOC=∠OAD=70°又∵OA=OD∴∠ODA=∠OAD=70°∴∠AOD=180°-∠ODA-∠OAD=180°-70°-70°=40°40°2023/8/12如图，若ʘO的半径13cm，点P是弦AB上一动点,且到圆心的最短距离为5cm，则弦AB的长为 cm。已知条件有哪些？ʘO的半径13cm问题是什么？求AB长点P弦AB动点点P到圆心最短距离5cm点P在什么位置时到圆心距离最短？OP⊥AB时，OP=5cmOP⊥ABAP=BP若要求AB长只要可以先求出谁的长?AP或BP的长怎么求AP或BP？连接AO,得RtΔOAP在RtΔOAP中PA等于？2023/8/12如图，若ʘO的半径13cm，点P是弦AB上一动点,且到圆心的最短距离为5cm，则弦AB的长为 cm。解：当OP⊥AB时，连接OA∴AP=BP∵OP⊥AB又∵r=13cm,OP=5cm∴AB=2AP=2×12=24242023/8/12如图，AB是ʘO的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD，分别交ʘO于E、F。求证：AE=BF.已知条件有哪些？AB是ʘO的弦C、D为弦AB上两点OC=ODE、F在OC、OD延长线上问题是什么？OC=OD∠OCD=∠ODCOA=OB∠A=∠B∠OCD=∠AOC+∠A∠ODC=∠BOD+∠B｜｜｜｜∠AOC=∠BOD2023/8/12如图，AB是ʘO的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD，分别交ʘO于E、F。求证：AE=BF.证：∵OC=OD∴∠OCD=∠ODC又∵OA=OB∴∠A=∠B∵∠OCD=∠AOC+∠A∠ODC=∠BOD+∠B∴∠AOC=∠BOD））））2023/8/12如图，∠A0B=90°,C、D为弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于E、F，证：AE=CD=BF 。∠A0B=90°已知条件有哪些？问题是什么？AE=CD=BFAC=CD=BD∠AOC=∠COD=∠BOD如果AE=CD=BFAE=ACBF=BDAE=AC∠AEC=∠ACE BF=BD∠BFD=∠BDF 2023/8/12如图，∠A0B=90°,C、D为弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于E、F，证：AE=CD=BF 。∵∠A0B=90°证：AC=CD=BD∴∠AOC=∠COD=∠BOD=30°又∵OA=OB,∠A0B=90°∴∠OAB=∠OBA=45° 连接AC、BD）））））∴∠AEC=∠OAB+∠AOC=45°+30° =75°又∵OA=OC,∠A0C=30°∴∠ACE=(180°-30°)÷2=75°∴∠ACE=∠AEC∴AE=ACBD=BF同理可得：∴AE=CD=BF2023/8/12如图，AB是ʘO的直径，点C、D在ʘO上，CE⊥AB，DF⊥AB,垂足分别为E、F，且弧AC与弧BD相等，求证：AE=BF.已知条件有哪些？AB是直径CE⊥ABDF⊥AB弧AB与弧BD相等问题是什么？AE=BFCE⊥AB∠OEC=90°∠OFD=90°DF⊥AB弧AB与弧BD相等对应的圆心角相等如果AE=BFOE=OF∵OA=OB∠AOC=∠BOD弧AB与弧BD对应的角是什么？怎么得到OE=OF？OE、OF所在三角形全等∠OEC=∠OFD2023/8/12如图，AB是ʘO的直径，点C、D在ʘO上，CE⊥AB，DF⊥AB,垂足分别为E、F，且弧AB与弧BD相等，求证：AE=BF.ΔOCE与ΔODF中OE、OF在哪两个三角形内？OC=OD∠AOC=∠BOD∠OEC=∠OFDΔOCE≌ΔODFOE=OF证：连接OC与OD。∵弧AB与弧BD相等∴∠AOC=∠BOD又∵CE⊥ABDF⊥AB∴∠CEO=∠DFO在ΔOCE与ΔODF中OC=OD∠AOC=∠BOD∠OEC=∠OFD∴ΔOCE≌ΔODF∴OE=OF∴AE=BF2023/8/122.1确定圆的条件确定圆的条件：不在同一直线上的 点确定一个圆。三三角形的外接圆：三角形的三个顶点确定一个 ，这个圆叫做三角形的 ；这个三角形叫做圆的 ；外接圆的圆心叫做三角形的 ；它是三角形 的交点。圆外接圆内接三角形外心三边垂直平分线┐┐Or圆心到三角形的三个顶点距离 ，是圆的 。相等半径“内”，“外”是相对位置，以一个图形为参考标准。2023/8/12下列命题中，假命题的个数是 （ ）①三角形只有一个外接圆；②等边三角形的外心也是它的中线、高线、角平分线的交点；③圆有无数个内接三角形；④三角形的外心一定在三角形的外部；⑤过四点一定能做一个圆。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个分析：①对三角形有 个外心。1②对等边三角形三线合一。③对④错圆内任意三点依次连接都是三角形。钝角三角形的外心在三角形外部。⑤错四点不能确定一个圆。C2023/8/12若ΔABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=24cm，求ΔABC外接圆的直径。已知条件是什么？∠C=90°,AC=10cm,BC=24cm问题是什么？ΔABC外接圆的直径三角形ABC是什么三角形？RtΔ的外接圆圆心在哪？直角三角形斜边中点画图，如下ORtΔ的外接圆的直径等于什么？斜边解：∵∠C=90°,AC=10cmcn,BC=24∴三角形ABC是RtΔ∴直径R=AB锐角三角形的外心在三角形 ，直角三角形的外心在 上，钝角三角形的外心在三角形 。内斜边中点外注意：2023/8/12如图，在ΔABC中，AB=AC=10，BC=12，求ΔABC外接圆的半径。已知条件是什么？AB=AC=10BC=2问题是什么？ΔABC外接圆的半径ΔABC是什么三角形？等腰三角形圆心O是三角形的什么？外心什么是三角形的外心？三边垂直平分线的交点怎么在图中找到半径？连接O,A,O,B或O,C点,得OA,OB,OC要求线段的长度可以利用什么去做？勾股定理怎么去构造直角三角形？过A点做BC的垂线┐D观察图，半径在哪个Rt三角形内？RtΔBOD,RtΔCOD2023/8/12如图，在ΔABC中，AB=AC=10，BC=12，求ΔABC外接圆的半径。┐D在RtΔBOD中OB等于什么？在RtΔBOD中BD等于什么？垂径定理，过圆心的直线垂直弦，则平分弦及弦所对应的弧。OD长等于什么？AD-OAAD长怎么求？勾股定理知道OD、AD、BD,不知道半径OB可以以怎么做？设半径为r构造关于半径OB的方程2023/8/12如图，在ΔABC中，AB=AC=10，BC=12，求ΔABC外接圆的半径。┐D解：过点A作AD⊥BC,垂足为D.∵AB=AC在RtΔADB中，∵AD⊥BC,BD=DC∴AD是线段BC的垂直平分线∴ΔABC的外心O在AD上连接O,B或O,C点，设OA=OB=r，则OD=AD-OA=8-r∵在RtΔOBD中，2023/8/122.2圆周角圆周角： 在圆上，且两边都和圆 的角。顶点相交圆周角与圆心角的区别及联系：圆周角定理：圆周角度数等于它所对弧上圆心角度数的 。一半同弧或等弧的圆周角度 。相等圆周角与直径的关系：直径所对的圆周角是 。90°圆周角所对的弦是 。直角直径2023/8/12圆的内接四边形：一个四边形的 个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形的 四边形，这个圆叫做四边形的 圆。圆的内接四边形定理：圆内接四边形的对角 。四内接外接互补͡͡͡͡∠A+∠C= 。∠B+∠D= 。180°180°为什么互补？2023/8/12如图，ʘO是ΔABC的外接圆，∠A=68°，求∠OBC的度数。解：已知条件是什么？∠A=68°问题是什么？∠OBC的度数∠OBC在哪个三角形内？ΔOBC∠OBC与∠OCB有什么关系？相等∠BOC等于多少？2∠A∠OBC等于多少？（180°-2∠A）÷2根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=2×68°=136°∵OB=OC∴∠OBC=∠OCB͡͡2023/8/12如图，在ʘO的内接四边形ABCD中，∠A=70°，∠OBC=60°,求∠ODC的度数。已知条件是什么？∠A=70°∠OBC=60°问题是什么？∠ODC的度数͡求∠ODC，还需要知道哪两个角？∠BOC与∠BCD的度数∠BOC等于多少？2∠A=140°∠BCD等于多少？180°-∠A=110°所以∠ODC等于什么？∠ODC=360°-∠OBC-∠BOC-∠BCD=360°-60°-140°-110°=50° 2023/8/12如图，在ʘO中，A、B是圆上的两点，已知∠AOB=40°，直径CD//AB,连接AC,求∠BAC的度数。已知条件是什么？∠AOB=40°CD//AB问题是什么？∠BAC的度数͡∠BAC与∠BOC关系？∠BOC =2∠BAC根据已知条件∠BOC等于哪个角？∠BOC =∠OBA∠OBA等于多少？∠OBA=∠OAB =∠BAC的度数等于多少？解：∵∠AOB=40°又∵CD//AB∴∠BOC=∠OBA=70° 2023/8/12如图，点A、B、C、D在ʘO上，点O在∠D内部，四边形OABC为平行四边形，求∠OAD+∠OCD的度数。已知条件是什么？点A、B、C、D在ʘO上四边形OABC为平行四边形问题是什么？∠OAD+∠OCD的度数͡͡点A、B、C、D在ʘO上，点O在∠D内部四边形ABCD为圆的内接四边形∠AOC=∠ABC∠OAB=∠OCB∠AOC+∠ADC=180°∠DAB+∠DCB=180°四边形OABC为平行四边形2023/8/12如图，点A、B、C、D在ʘO上，点O在∠D内部，四边形OABC为平行四边形，求∠OAD+∠OCD的度数。͡͡∠AOC=2∠ADC∠AOC=∠ABC∠ABC+∠ADC=180°∠ADC与∠AOC有什么关系？∠AOC=2∠ADC∠ABC=2∠ADC∠ABC=2∠ADC3∠ADC=180°∠ADC=60°∠ADC=60°∠AOC=2∠ADC=120°∠ABC=120°∠DAB与∠DCB有什么关系？∠DAB+∠DCB=180°∠DAB等于什么？∠OAD+∠OAB∠DCB等于什么？∠OCD+∠OCB2023/8/12如图，点A、B、C、D在ʘO上，点O在∠D内部，四边形OABC为平行四边形，求∠OAD+∠OCD的度数。͡͡在平行四边形OABC中∠OAB+∠OCB等于多少？=180°∠DAB+∠DCB等于什么？∠OAD+∠OAB+∠OCD+∠OCB∠OAB+∠OCB=360°-∠AOC-∠ABC=360°-120°-120°=120°∠OAD+∠OCD等于什么？∠OAD+∠OCD=180°-∠OAB-∠OCB如图，点A、B、C、D在ʘO上，点O在∠D内部，四边形OABC为平行四边形，求∠OAD+∠OCD的度数。͡͡解：∵点A、B、C、D在ʘO上，点O在∠D内部∴四边形ABCD为圆的内接四边形∴∠AOC+∠ADC=180°∠DAB+∠DCB=180°∴∠AOC=∠ABC∠OAB=∠OCB又∵四边形OABC为平行四边形∠AOC=2∠ADC∴∠ABC=2∠ADC∵∠AOC=∠ABC∠ABC+∠ADC=3∠ADC=180°∴∠ADC=60°∠ABC=∠AOC=120°=180°∴∠OAD+∠OAB+∠OCD+∠OCB又∵∠DAB+∠DCB 如图，点A、B、C、D在ʘO上，点O在∠D内部，四边形OABC为平行四边形，求∠OAD+∠OCD的度数。͡͡解：∵∠OAB+∠OCB=360°-∠AOC-∠ABC=360°-120°-120°=120°∴∠OAD+∠OCD=180°-∠OAB-∠OCB=180°-120°=60°∴∠OAD+∠OCD=60°如图，点A、B、C、D在ʘO上，CD的度数等于84°，CA是∠OCD的平分线，求∠ABD+∠CAO的度数。͡已知条件是什么？点A、B、C、D在ʘO上问题是什么？∠ABD+∠CAO的度数CA是∠OCD平分线͡͡͡͡∠DOC=84°͡∠DOC=84°∠OCD=∠ODC=(180°-∠DOC)÷2=48°∠ABD等于哪个角？∠ABD=∠ACD∠CAO等于哪个角？∠CAO=∠OCA∠ABD+∠CAO等于什么？∠ABD+∠CAO=∠ACD+∠OCA2023/8/12如图，点A、B、C、D在ʘO上，CD的度数等于84°，CA是∠OCD的平分线，求∠ABD+∠CAO的度数。͡解：͡͡͡͡∴∠DOC=84°͡∴∠OCD=∠ODC=(180°-∠DOC)÷2=48°又∵OD=OC∴∠CAO=∠OCA∴∠ABD+∠CAO=∠ACD+∠OCA=∵OA=OC又∵∠ABD=∠ACD∠OCD=48°2023/8/12如图，四边形ABCD是ʘO的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE.(1)求∠A=∠AEB.(2)连接OE,交CD于点F,OE⊥CD,求证：ΔABE是等边三角形。已知条件是什么？四边形OABC是ʘO的内接四边形DC=DE问题是什么？∠A=∠AEB圆内接四边形有什么特性？对角互补DC=DE得到什么？∠DCE=∠AEB已知条件是什么？四边形OABC是ʘO的内接四边形2023/8/12如图，四边形OABC是ʘO的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE.(1)求∠A=∠AEB.(2)连接OE,交CD于点F,OE⊥CD,求证：ΔABE是等边三角形。(1)∴∠A+∠BCD=180°∵四边形OABC是ʘO的内接四边形又∵∠BCD+∠DCE=180°∴∠A=∠DCE∵DC=DE.∴∠DCE=∠AEB∴∠A=∠AEB2023/8/12如图，四边形OABC是ʘO的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE.(1)求∠A=∠AEB.(2)连接OE,交CD于点F,OE⊥CD,求证：ΔABE是等边三角形。(2)∵∠A=∠AEB∴ΔABE是等腰三角形∵OE⊥CD，CF=DF.∴OE是垂CD直平分线∴ED=EC又∵DC=DE.∴DE=DE=CE∴ΔDCE是等边三角形∴∠AEB=60°∴ ΔABE是等边三角形2023/8/12圆圆的概念弦的概念弧的概念圆心角的概念圆心角、弧、弦之间的关系垂径定理 圆的相关概念 圆的对称性小结连接圆上任意两点的 叫弦，经过圆心的弦叫 。线段 直径 圆上任意两点间的 叫圆弧，简称弧。部分 顶点在 上的角叫圆心角。 圆心 在同圆或等圆中圆心角相等对应弦相等对应弧相等垂直弦的 平分弦以及弦所对的两条 。直径 弧 本质：过圆心垂直弦2023/8/12