易错点03 不等式性质与基本不等式-备战2024年高考数学考试易错题（新高考专用）

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不等式性质与基本不等式
忽视集合中元素的特性
忽视高次项的系数
忽视列举法中代表元素
范围
忽视空集
忽视一元二次方程的判别式
易错知识
1．不等式两边同乘以一个数时，没有考虑该数的取值范围而致错。
2．在利用不等式性质求范围时，由于多次运用不等式性质导致范围扩大而致错。
3．有关含有参数的不等式问题中，忽略参数的取值范围而致错。
4. 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
易错分析
一、忽视字母的取值范围而致错
1．(多选)对于任意实数，，，，下列四个命题中，其中真命题的是（ ）
A．若，，则；B．若，则；
C．若，则；D．若，，则.
【错解】对于A，若，当时，则，故A错误；对于B，若，则；故B对；对于C，若，可得，所以，故C正确；对于D，若，，则，故D正确.所以选BCD。
【错因】选项B是错的，忽略了的情况。
【正解】
【答案】CD
【解析】对于A，若，当时，则，故A错误；对于B，若，当时，，故B错误；对于C，若，可得，所以，故C正确；对于D，若，，则，故D正确.
2．(多选)下列说法中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若且，则
【错解】对于A中，若，当时，则，所以A不正确；对于B中，若，根据不等式的性质，可得，所以B正确；对于C中，由，可得，再根据不等式的性质可得，所以C正确；对于D中，若，可得，由，可得，所以D正确。所以选BCD。
【错因】选项C中，没有考虑c的正负而致错。
【正解】
【答案】BD
【解析】对于A中，若，当时，则，所以A不正确；对于B中，若，根据不等式的性质，可得，所以B正确；对于C中，由，可得，又由，根据不等式的性质，可得，所以C正确；对于D中，若，可得，由，可得，所以D正确。
二、多次运用不等式性质而致错
1、已知，，求的取值范围.
【错解】因为，，两式相加得，所以，
因为，，两式相加得，所以，
所以，即。
【错因】根据已知条件单独求出a,b各自的范围，会导致它们的范围变大。
【正解】
【答案】
【解析】令.
∴,解得,∴.
∵，∴.,又，
∴.故的取值范围为.
三、忽视不等式中高次项的系数
1．若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－2,2) B．(2，＋∞) C．(－2,2] D．[－2,2]
【错解】原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.
由题意知必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－m＞0，,4－2m2－4×42－m＜0，))解得－2＜m＜2
.综上知实数m的取值范围是(－2,2）．选A
【错因】没有对二次项系数2－m讨论。
【正解】
【答案】C
【解析】原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.
当m＝2时，不等式为4＞0，该不等式恒成立；
当m≠2时，必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－m＞0，,4－2m2－4×42－m＜0，))解得－2＜m＜2
.综上知实数m的取值范围是(－2,2]．
五、应用基本不等式求最值时，忽略不等式成立的三个条件，
1．（没有考虑等号能否取到）当时，不等式恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【错解】当时，由得.
，.，故选B。
【错因】令，即，而，所以不成立，即使用基本不等式求最值时，没有考虑等号问题。
【正解】
【答案】A
【解析】 当时，由得.令，
则易知在上是减函数，所以时，
则∴.
2．（没有考虑“一正”）已知递增等差数列中，，则的（ ）
A．最大值为 B．最小值为4C．最小值为D．最大值为4或
【错解】因为，由等差数列通项公式,设公差为,可得，变形可得，而由等差数列通项公式可知，
当且仅当时取得等号，所以的最大值为4，选A。
【错因】因为数列为递增数列,所以，由已知得，则，而错解中把当成正值。
【正解】
【答案】B
【解析】因为，由等差数列通项公式,设公差为,可得，变形可得，因为数列为递增数列,所以，即，而由等差数列通项公式可知，由,结合基本不等式可得，当且仅当时取得等号，所以的最小值为4。
三、忽视一元二次不等式中两根大小而致错
1．已知集合，集合，命题：，
命题：，若是的充分条件，求实数的取值范围.
【错解】因为，，若是的充分条件，则．
因为
则，，，解得．
实数的取值范围是．
【错因】因为参数a的范围不定，所以a与2a-1的大小关系不定，故需对两根大小分类讨论。
【正解】
【答案】.
【详解】，，若是的充分条件，则．
因为
当时，，显然成立；
当时，，，，解得；
当时，，，，解得．
实数的取值范围是．
易错题通关
1．（2022·南京外国语学校）已知，则下列四个命题正确的个数是（ ）
①若，则； ②若，则；
③若，则； ④若，，，，则，.
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】①当时，，两边同时除以，得到，正确；②，
那么，即，正确；③ ， ,，，正确；④令 同样能满足 ，不正确.共有3个正确.
2．已知1