2024届高考数学一轮复习第5章解答题模板构建2高考中的解三角形问题学案

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(2021·新高考全国Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BD·sin∠ABC＝a sin C.
(1)证明：BD＝b；
(2)若AD＝2DC，求cos ∠ABC.
[规范解答]
(1)证明：由BD sin ∠ABC＝a sin C及正弦定理，得BD＝asinCsin∠ABC＝acb＝b2b＝b.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
(2)解：由cos ∠BDA＋cos ∠BDC＝0及余弦定理，
得b2+23 b2-c22·b·23b+b2+13 b2-a22·b·13b＝0，
整理，得113b2－2a2－c2＝0. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
又b2＝ac，所以113ac－2a2－c2＝0，
所以ca2－113·ca＋2＝0，解得ca＝3或ca＝23，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
所以cos ∠ABC＝a2+c2-b22ac＝a2+c2-ac2ac＝1+ca2-ca2·ca. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
当ca＝3时，cos ∠ABC＝1+9-32×3＝76(不合题意，舍去)；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
当ca＝23时，cos ∠ABC＝1+49-232×23＝712. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
所以cos ∠ABC＝712. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分

第一步：利用正弦定理对条件式进行边角互化得结论．
第二步：由余弦定理将已知条件转化为边的关系并整理得ca的值．
第三步：利用余弦定理求cos ∠ABC并将ca的值代入求解．
第四步：将ca的值代入并检验．
第五步：检查易错易混，规范解题步骤得出结论．
类型一　三角函数与解三角形的综合应用
1．已知函数f(x)＝23sin x·cos x＋2sin2x－1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)＝2，C＝π4，c＝2，求△ABC的面积．
解：(1)因为f(x)＝23sinx cos x＋2sin2x－1＝3sin2x－cos 2x＝2sin 2x-π6，
令2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2，k∈Z，
解得kπ－π6≤x≤kπ＋π3，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为kπ-π6，kπ+π3，k∈Z.
(2)因为f(A)＝2sin 2A-π6＝2，
所以sin 2A-π6＝1.
因为A∈(0，π)，2A－π6∈-π6，11π6，
所以2A－π6＝π2，解得A＝π3.
因为C＝π4，c＝2，所以由正弦定理asinA＝csinC，
可得a＝c·sinAsinC＝2×3222＝6，
所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，可得6＝b2＋4－2×b×2×12，解得b＝1＋3(负值舍去)，
所以S△ABC＝12ab sin C＝12×6×(1＋3)×22＝3+32.
2．已知f(x)＝3(cos 2x－sin 2x)－2cos x·sin (π－x)，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(A)＝－3，a＝3，求BC边上的高的最大值．
解：(1)由f(x)＝3(cos 2x－sin 2x)－2cos x sin (π－x)，
化简可得：f(x)＝3cos 2x－2sin xcos x，
即f(x)＝3cos 2x－sin 2x＝－2sin 2x-π3.
所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.
由2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋32π，k∈Z，
得kπ＋512π≤x≤kπ＋1112π，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间是kπ+512π，kπ+1112π，k∈Z.
(2)由f(A)＝－3，得sin 2A-π3＝32，
因为A∈0，π2，
所以2A－π3∈-π3，23π，
所以2A－π3＝π3，
所以A＝π3.
由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc cos A，
则9＝b2＋c2－bc≥bc，
即bc≤9(当且仅当b＝c取等号)．
设BC边上的高为h，
则12ah＝12bc sin A，即3h＝32bc，故h＝36bc，
所以h≤332，即h的最大值为332.
类型二　解三角形问题
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a cos B-π6＝b sin A.
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求sin (2A－B)的值．
解：(1)在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB，可得b sin A＝a sin B．又由b sin A＝a cos B-π6，
得a sin B＝a cos B-π6，即sin B＝cos B-π6，
即sin B＝cos B cos π6＋sin B sin π6，可得tan B＝3.
又因为B∈(0，π)，
所以B＝π3.
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝π3，
有b2＝a2＋c2－2ac cos B＝7，
故b＝7.
由b sin A＝a cos B-π6，可得sin A＝37，
故cos A＝27.
因此sin 2A＝2sin A cos A＝437，cos 2A＝2cos 2A－1＝17，
所以sin (2A－B)＝sin 2A cos B－cos 2A sin B＝437×12-17×32＝3314.