高考数学一轮复习第5章解答题模板构建2高考中的解三角形问题学案

(2021·新高考全国Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2＝ac，点D在边AC上，BD·sin∠ABC＝asin C．

(1)证明：BD＝b；

(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC．

[规范解答]

(1)证明：由BDsin∠ABC＝asin C及正弦定理，得BD＝＝＝＝b．

　  3分

(2)解：由cos∠BDA＋cos∠BDC＝0及余弦定理，

得＋＝0，

整理，得b2－2a2－c2＝0.  4分

又b2＝ac，所以ac－2a2－c2＝0，

所以－·＋2＝0，解得＝3或＝，  6分

所以cos∠ABC＝＝＝． 7分

当＝3时，cos∠ABC＝＝(不合题意，舍去)； 8分

当＝时，cos∠ABC＝＝．

　  9分

所以cos∠ABC＝．  10分

类型一　三角函数与解三角形的综合应用

1．已知函数f(x)＝2sin x·cos x＋2sin2x－1．

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)＝2，C＝，c＝2，求△ABC的面积．

解：(1)因为f(x)＝2sin xcos x＋2sin2x－1＝sin 2x－cos 2x＝2sin，

令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，

所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z．

(2)因为f(A)＝2sin＝2，

所以sin＝1．

因为A∈(0，π)，2A－∈，

所以2A－＝，解得A＝．

因为C＝，c＝2，所以由正弦定理＝，

可得a＝＝＝，

所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可得6＝b2＋4－2×b×2×，解得b＝1＋(负值舍去)，

所以S△ABC＝absin C＝××(1＋)×＝．

2．已知f(x)＝(cos2x－sin2x)－2cos x·sin(π－x)，x∈R，

(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；

(2)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(A)＝－，a＝3，求BC边上的高的最大值．

解：(1)由f(x)＝(cos2x－sin2x)－2cos xsin(π－x)，

化简可得：f(x)＝cos 2x－2sin xcos x，

即f(x)＝cos 2x－sin 2x＝－2sin ．

所以f(x)的最小正周期T＝＝π．

由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，

得kπ＋π≤x≤kπ＋π，k∈Z，

所以f(x)的单调递增区间是，k∈Z．

(2)由f(A)＝－，得sin＝，

因为A∈，

所以2A－∈，

所以2A－＝，

所以A＝．

由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccos A，

则9＝b2＋c2－bc≥bc，

即bc≤9(当且仅当b＝c取等号)．

设BC边上的高为h，

则ah＝bcsin A，即3h＝bc，故h＝bc，

所以h≤，即h的最大值为．

类型二　解三角形问题

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos＝bsin A．

(1)求角B的大小；

(2)设a＝2，c＝3，求sin(2A－B)的值．

解：(1)在△ABC中，由正弦定理＝，可得bsin A＝asin B．又由bsin A＝acos，

得asin B＝acos，即sin B＝cos，

即sin B＝cos Bcos＋sin Bsin，可得tan B＝．

又因为B∈(0，π)，

所以B＝．

(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，

有b2＝a2＋c2－2accos B＝7，

故b＝．

由bsin A＝acos，可得sin A＝，

故cos A＝．

因此sin 2A＝2sin Acos A＝，cos 2A＝2cos2A－1＝，

所以sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B＝×－×＝．