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高考数学科学创新复习方案提升版第11讲指数与指数函数学案(Word版附解析)
展开这是一份高考数学科学创新复习方案提升版第11讲指数与指数函数学案(Word版附解析),共21页。
1.根式的概念
2.分数指数幂
(1)aeq \s\up7(\f(m,n))=eq \x(\s\up1(06))eq \r(n,am)(a>0,m,n∈N*,n>1).
(2)a-eq \s\up7(\f(m,n))=eq \x(\s\up1(07))eq \f(1,a\s\up7(\f(m,n)) )=eq \x(\s\up1(08))eq \f(1,\r(n,am))(a>0,m,n∈N*,n>1).
(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
3.有理数指数幂的运算性质
(1)aras=eq \x(\s\up1(09))ar+s(a>0,r,s∈Q).
(2)(ar)s=eq \x(\s\up1(10))ars(a>0,r,s∈Q).
(3)(ab)r=eq \x(\s\up1(11))arbr(a>0,b>0,r∈Q).
4.指数函数的概念
函数eq \x(\s\up1(12))y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R,a是底数.
说明:形如y=kax,y=ax+k(k∈R且k≠0,a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数.
5.指数函数的图象和性质
1.(eq \r(n,a))n=a(n∈N*且n>1).
2.eq \r(n,an)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a,n为奇数且n>1,,|a|=\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a,a≥0,,-a,a<0,))n为偶数且n>1.))
3.底数对函数y=ax(a>0,且a≠1)的函数值的影响如图(a1>a2>a3>a4),不论是a>1,还是04.当a>0,且a≠1时,函数y=ax与函数y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))eq \s\up12(x)的图象关于y轴对称.
1.(人教A必修第一册习题4.1 T1改编)化简eq \r(4,16x8y4)(x<0,y<0)得( )
A.2x2y B.2xy
C.4x2y D.-2x2y
答案 D
解析 因为x<0,y<0,所以eq \r(4,16x8y4)=eq \r(4,24·(x2)4y4)=|2x2y|=-2x2y.
2.(人教A必修第一册习题4.1 T7(1)改编)已知5m=10,5n=2,则5eq \s\up7(\f(3m-2n,2))=( )
A.2eq \r(10) B.3eq \r(10)
C.20 D.5eq \r(10)
答案 D
解析 5eq \s\up7(\f(3m-2n,2))=eq \r(\f(53m,52n))=eq \r(\f((5m)3,(5n)2))=eq \r(\f(103,22))=eq \r(52×10)=5eq \r(10).
3.函数f(x)=ax-2023+2023(a>0,且a≠1)的图象过定点A,则点A的坐标为________.
答案 (2023,2024)
解析 令x-2023=0,得x=2023,又f(2023)=2024,故点A的坐标为(2023,2024).
4.(人教A必修第一册习题4.2 T6改编)设a=0.993.3,b=0.994.5,c=,则a,b,c的大小关系为________.
答案 b解析 因为函数y=0.99x在R上单调递减,所以0.993.3>0.994.5,即a>b,又因为0.993.3<0.990=1,>1.10=1,所以0.993.3<,即a
答案 eq \f(1,2)或eq \f(3,2)
解析 当0<a<1时,a-a2=eq \f(a,2),∴a=eq \f(1,2);当a>1时,a2-a=eq \f(a,2),∴a=eq \f(3,2).综上所述,a=eq \f(1,2)或eq \f(3,2).
例1 求值与化简:
(1)8eq \s\up7(\f(2,3))×100-eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(-3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,81)))-eq \s\up7(\f(3,4));
(2)eq \f((a\s\up7(\f(2,3) )b-1)-\s\up7(\f(1,2))a-\s\up7(\f(1,2))b\s\up7(\f(1,3)),\r(6,ab5))(a>0,b>0);
(3)eq \r(3,a\s\up7(\f(9,2))\r(a-3))÷eq \r(\r(3,a-7)\r(3,a13))(a>0);
(4)已知a>0,aeq \s\up7(\f(1,2))+a-eq \s\up7(\f(1,2))=3,求eq \f(a2+a-2+1,a+a-1+1)的值.
解 (1)原式=(23)eq \s\up7(\f(2,3))×(102)-eq \s\up7(\f(1,2))×(2-2)-3×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))\s\up12(4)))-eq \s\up7(\f(3,4))=22×10-1×26×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(-3)=eq \f(432,5).
(2)原式=eq \f(a-\s\up7(\f(1,3))b\s\up7(\f(1,2))a-\s\up7(\f(1,2))b\s\up7(\f(1,3)),a\s\up7(\f(1,6))b\s\up7(\f(5,6)))=a-eq \s\up7(\f(1,3))-eq \s\up7(\f(1,2))-eq \s\up7(\f(1,6))beq \s\up7(\f(1,2))+eq \s\up7(\f(1,3))-eq \s\up7(\f(5,6))=eq \f(1,a).
(3)原式=(aeq \s\up7(\f(9,2))a-eq \s\up7(\f(3,2)))eq \s\up7(\f(1,3))÷(a-eq \s\up7(\f(7,3))aeq \s\up7(\f(13,3)))eq \s\up7(\f(1,2))=(a3)eq \s\up7(\f(1,3))÷(a2)eq \s\up7(\f(1,2))=a÷a=1.
(4)将aeq \s\up7(\f(1,2))+a-eq \s\up7(\f(1,2))=3两边平方,得a+a-1+2=9,
所以a+a-1=7.
将a+a-1=7两边平方,得a2+a-2+2=49,所以a2+a-2=47,
所以eq \f(a2+a-2+1,a+a-1+1)=eq \f(47+1,7+1)=6.
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算.
(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.
(3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数,先化成假分数.
(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.
(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数,形式力求统一.
1.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3,\r(6,a9))))eq \s\up12(4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(6,\r(3,a9))))eq \s\up12(4)=________.
答案 a4
解析 原式=[(aeq \s\up7(\f(9,6)))eq \s\up7(\f(1,3))]4[(aeq \s\up7(\f(9,3)))eq \s\up7(\f(1,6))]4=a2·a2=a4.
2.已知3a+2b=1,则eq \f(9a·3b,\r(3a))=________.
答案 eq \r(3)
解析 因为3a+2b=1,所以eq \f(3,2)a+b=eq \f(1,2),所以原式=eq \f((32)a·3b,(3a)\s\up7(\f(1,2)))=32a+b-eq \s\up7(\f(1,2))a=3eq \s\up7(\f(2,3))a+b=3eq \s\up7(\f(1,2))=eq \r(3).
3.化简:eq \f(\r(a3b2\r(3,ab2)),(a\s\up7(\f(1,4))b\s\up7(\f(1,2)))4a-\s\up7(\f(1,3))b\s\up7(\f(1,3)))(a>0,b>0).
解 原式=eq \f((a3b2a\s\up7(\f(1,3))b\s\up7(\f(2,3)))\s\up7(\f(1,2)),ab2a-\s\up7(\f(1,3))b\s\up7(\f(1,3)))=aeq \s\up7(\f(3,2))+eq \s\up7(\f(1,6))-1+eq \s\up7(\f(1,3))·b1+eq \s\up7(\f(1,3))-2-eq \s\up7(\f(1,3))=ab-1=eq \f(a,b).
4.计算:0.027-eq \f(1,3)-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,7)))eq \s\up12(-2)+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(7,9)))eq \s\up7(\f(1,2))-(eq \r(2)-1)0.
解 原式=(0.33)-eq \s\up7(\f(1,3))-72+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(25,9)))eq \s\up7(\f(1,2))-1=eq \f(10,3)-49+eq \f(5,3)-1=-45.
例2 (1)(多选)已知实数a,b满足等式2023a=2024b,则下列关系式有可能成立的是( )
A.0C.0答案 ABD
解析 在同一坐标系下画出y=2023x与y=2024x的图象,结合图象可知A,B,D可能成立.故选ABD.
(2)若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是________.
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(1,2)))
解析 ①当01时,y=|ax-1|的图象如图2,而此时直线y=2a不可能与y=|ax-1|的图象有两个交点.综上,a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(1,2))).
处理指数图象问题的策略
(1)抓住特殊点
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过定点(0,1),与直线x=1的交点坐标为(1,a).
(2)巧用图象变换
常见的变换有:①函数y=ax+b(a>0,且a≠1)的图象可由指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象向左(b>0)或向右(b<0)平移|b|个单位长度得到;
②函数y=ax+b的图象可由指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到;
③函数y=a|x|的图象关于y轴对称,当x≥0时,其图象与指数函数y=ax(a>0,且a≠1)在[0,+∞)的图象相同;当x<0时,其图象与x≥0时的图象关于y轴对称.
1.(2023·天津滨海七校二模)函数f(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(|x+1|)的图象大致为( )
答案 B
解析 作出函数y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(|x|)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(x),x≥0,,2x,x<0))的图象,如图所示,将y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(|x|)的图象向左平移1个单位得到f(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(|x+1|)的图象.故选B.
2.定义区间[x1,x2](x1
C.eq \f(3,2) D.2
答案 B
解析 如图是函数y=2|x|在值域为[1,2]上的图象.使函数y=2|x|的值域为[1,2]的定义域区间中,长度最小的区间为[-1,0]或[0,1],长度最大的区间为[-1,1],从而由定义可知区间[a,b]的长度的最大值与最小值的差为2-1=1.故选B.
多角度探究突破
角度 比较指数幂的大小
例3 (1)(2023·淮南一模)设a=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,7)))eq \s\up7(\f(3,7)),b=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,7)))eq \s\up7(\f(4,7)),c=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,7)))eq \s\up7(\f(4,7)),则a,b,c的大小关系是( )
A.a>c>b B.a>b>c
C.b>c>a D.b>a>c
答案 A
解析 ∵函数y=xeq \s\up7(\f(4,7))是(0,+∞)上的增函数,eq \f(3,7)
(2)(2023·沈阳模拟)若p:0A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 设f(x)=4x-5-x,则函数f(x)为增函数,则由4a-4b<5-a-5-b,即4a-5-a<4b-5-b可得a比较指数式大小的方法
比较两个指数式的大小时,尽量化成同底或同指.
(1)当底数相同,指数不同时,构造同一指数函数,然后利用指数函数的性质比较大小.
(2)当指数相同,底数不同时,构造两个指数函数,利用图象比较大小;或构造同一幂函数,然后利用幂函数的性质比较大小.
(3)当底数不同,指数也不同时,常借助1,0等中间量进行比较.
1.下列各式比较大小正确的是( )
A.1.72.5>1.73 B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up7(\f(2,3))<2-eq \s\up7(\f(4,3))
C.1.70.3<0.93.1 D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up7(\f(3,4))
解析 ∵y=1.7x为增函数,∴1.72.5<1.73,故A不正确;∵2-eq \s\up7(\f(4,3))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up7(\f(4,3)),y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)为减函数,∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up7(\f(2,3))>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up7(\f(4,3))=2-eq \s\up7(\f(4,3)),故B不正确;∵1.70.3>1,而0.93.1∈(0,1),∴1.70.3>0.93.1,故C不正确;∵y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(x)为减函数,∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up7(\f(3,4))
解析 ∵eq \f(1,2)
例4 (1)已知实数a≠1,函数f(x)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x,x≥0,,2a-x,x<0,))若f(1-a)=f(a-1),则a的值为________.
答案 eq \f(1,2)
解析 ①当a<1时,由f(1-a)=f(a-1)得41-a=2a-(a-1),即22-2a=2,所以2-2a=1,解得a=eq \f(1,2);②当a>1时,由f(1-a)=f(a-1)得2a-(1-a)=4a-1,即22a-1=22a-2,所以2a-1=2a-2,无解.综上可知,a=eq \f(1,2).
(2)(2023·邯郸一模)不等式10x-6x-3x≥1的解集为________.
答案 [1,+∞)
解析 由10x-6x-3x≥1,可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)))eq \s\up12(x)+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up12(x)+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,10)))eq \s\up12(x)≤1,令f(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)))eq \s\up12(x)+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up12(x)+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,10)))eq \s\up12(x),因为y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)))eq \s\up12(x),y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up12(x),y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,10)))eq \s\up12(x)均为R上的减函数,则f(x)在R上单调递减,且f(1)=1,所以f(x)≤f(1),所以x≥1,故不等式10x-6x-3x≥1的解集为[1,+∞).
1.解指数方程的依据
af(x)=ag(x)(a>0,且a≠1)⇔f(x)=g(x).
2.解指数不等式的思路方法
对于形如ax>ab(a>0,且a≠1)的不等式,需借助函数y=ax的单调性求解,如果a的取值不确定,则需分a>1与0b的不等式,需先将b转化为以a为底的指数幂的形式,再借助函数y=ax的单调性求解.
1.若x满足不等式2x2+1≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(x-2),则函数y=2x的值域是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8),2)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,8),2))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(-∞,\f(1,8))) D.[2,+∞)
答案 B
解析 将2x2+1≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(x-2)化为x2+1≤-2(x-2),即x2+2x-3≤0,解得x∈[-3,1],所以2-3≤2x≤21,所以函数y=2x的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,8),2)).
2.方程4x+|1-2x|=11的解为________.
答案 x=lg23
解析 当x≥0时,原方程化为4x+2x-12=0,即(2x)2+2x-12=0,∴(2x-3)(2x+4)=0,∴2x=3,即x=lg23;当x<0时,原方程化为4x-2x-10=0,令t=2x,则t2-t-10=0(0
例5 (1)(2023·大庆二模)已知函数f(x)=eq \f(4x,2+4x),则( )
A.f(0.1)>f(0.2)
B.函数f(x)有一个零点
C.函数f(x)是偶函数
D.函数f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),\f(1,2)))对称
答案 D
解析 函数f(x)=eq \f(4x,2+4x)的定义域为R.对于A,函数f(x)=eq \f(4x,2+4x)=1-eq \f(2,2+4x),函数y=4x在R上为增函数,易得f(x)在R上为增函数,则有f(0.1)
(2)已知函数f(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(ax2-4x+3)(a∈R).若a=-1,则函数f(x)的单调递增区间为________;若f(x)的值域是(0,+∞),则a=________.
答案 [-2,+∞) 0
解析 当a=-1时,f(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(-x2-4x+3),令g(x)=-x2-4x+3,由于g(x)在(-∞,-2]上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,而y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(t)在R上单调递减,所以f(x)在(-∞,-2]上单调递减,在[-2,+∞)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是[-2,+∞).令h(x)=ax2-4x+3,f(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(h(x)),由指数函数的性质知,要使f(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(h(x))的值域为(0,+∞).应使h(x)=ax2-4x+3的值域为R,因此只能a=0(因为若a≠0,则h(x)为二次函数,其值域不可能为R),故f(x)的值域为(0,+∞)时,a的值为0.
指数函数综合问题的处理策略
(1)涉及最值(或值域)的问题,通常要先对函数解析式进行变形,然后逐步求函数的最值.
(2)涉及单调性的问题,一方面要注意底数对指数函数单调性的影响;另一方面要注意借助“同增异减”这一性质分析判断.
1.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1)满足f(1)=eq \f(1,9),则f(x)的单调递减区间是( )
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
答案 B
解析 由f(1)=eq \f(1,9),得a2=eq \f(1,9),所以a=eq \f(1,3)或a=-eq \f(1,3)(舍去),即f(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(|2x-4|),由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)在(-∞,+∞)上单调递减,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减.故选B.
2.(2023·银川校联考二模)已知函数f(x)=4x-2x+2-1,x∈[0,3],则其值域为________.
答案 [-5,31]
解析 令t=2x,∵x∈[0,3],∴1≤t≤8,∴g(t)=t2-4t-1=(t-2)2-5,t∈[1,8],又y=g(t)的图象关于直线t=2对称,开口向上,∴g(t)在[1,2)上单调递减,在(2,8]上单调递增,且|8-2|>|2-1|,∴当t=2时,函数取得最小值,即g(t)min=-5,当t=8时,函数取得最大值,即g(t)max=31,∴f(x)的值域为[-5,31].
课时作业
一、单项选择题
1.化简eq \f(2c,3a)eq \r(4,\f(81a5b2,16c4))(a>0,c<0)的结果为( )
A.±eq \r(4,ab2) B.-eq \r(4,ab2)
C.-eq \r(ab2) D.eq \r(ab2)
答案 B
解析 原式=eq \f(2c,3a)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(81a5b2,16c4)))eq \s\up7(\f(1,4))=eq \f(2c,3a)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(34a5b2,24c4)))eq \s\up7(\f(1,4))=eq \f(2c,3a)·eq \f(3a(ab2)\s\up7(\f(1,4)),-2c)=-eq \r(4,ab2).故选B.
2.(a2-a+2)-x-1<(a2-a+2)2x+5的解集为( )
A.(-∞,-4) B.(-4,+∞)
C.(-∞,-2) D.(-2,+∞)
答案 D
解析 ∵a2-a+2=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a-\f(1,2)))eq \s\up12(2)+eq \f(7,4)>1,∴-x-1<2x+5,∴x>-2.故选D.
3.(2024·滁州模拟)函数f(x)=xa-2与g(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,a)))eq \s\up12(-x)在(0,+∞)上均单调递减的一个充分不必要条件是( )
A.a∈(0,2) B.a∈[0,1)
C.a∈[1,2) D.a∈(1,2]
答案 C
解析 函数f(x)=xa-2在(0,+∞)上单调递减,可得a-2<0,即a<2;函数g(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,a)))eq \s\up12(-x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,4)))eq \s\up12(x)在(0,+∞)上单调递减,可得0
A.30.24元/千克 B.33.84元/千克
C.38.16元/千克 D.42.64元/千克
答案 C
解析 由题意可知eq \f(e4a+b,ea+b)=e3a=2,ea=eq \r(3,2),由ea+b=24,则e3a+b=ea+b·e2a=24e2a=24×eq \r(3,4)≈38.16.故选C.
5.(2023·唐山模拟)不等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)≤eq \r(x)的解集是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(1,2))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),+∞))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(\r(2),2))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2),+∞))
答案 B
解析 在同一坐标系中作出y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x),y=eq \r(x)的图象,如图所示,由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)=eq \r(x)得x=eq \f(1,2),结合图象知,不等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)≤eq \r(x)的解集是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),+∞)).
6.(2024·盐城模拟)设函数f(x)=3x+b,函数f(x)的图象经过第一、三、四象限,则g(b)=f(b)-f(b-1)的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(2,9))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-∞,\f(2,9)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-∞,\f(2,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(2,3)))
答案 A
解析 由函数f(x)=3x+b的图象经过第一、三、四象限,可得b<-1,所以g(b)=f(b)-f(b-1)=3b-3b-1=3b·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1-\f(1,3)))=eq \f(2,3)·3b
7.若关于x的方程eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(|x|)+a-2=0有解,则a的取值范围是( )
A.[0,1) B.[1,2)
C.[1,+∞) D.(2,+∞)
答案 B
解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(|x|)+a-2=0有解等价于2-a=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(|x|)有解.因为函数y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(|x|)的值域为(0,1],所以0<2-a≤1,解得1≤a<2.
8.(2023·全国甲卷)已知函数f(x)=e-(x-1)2.记a=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2))),b=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2))),c=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2))),则( )
A.b>c>a B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
答案 A
解析 函数f(x)=e-(x-1)2是由函数y=eu和u=-(x-1)2复合而成的复合函数,y=eu为R上的增函数,u=-(x-1)2在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以由复合函数的单调性可知,f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.易知f(x)的图象关于直线x=1对称,所以c=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)))=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2-\f(\r(6),2))),又eq \f(\r(2),2)<2-eq \f(\r(6),2)<eq \f(\r(3),2)<1,所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))<feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2-\f(\r(6),2)))<feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2))),所以b>c>a.故选A.
二、多项选择题
9.(2024·福建师大附中高三月考)已知函数f(x)=a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(|x|)+b的图象过原点,且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,则下列说法正确的是( )
A.a+b=0
B.若f(x)=f(y),且x≠y,则x+y=0
C.若x<y<0,则f(x)<f(y)
D.f(x)的值域为[0,2)
答案 ABD
解析 ∵f(x)=a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(|x|)+b的图象过原点,∴a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(0)+b=0,∴a+b=0,故A正确;由f(x)的图象无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,则b=2,又a+b=0,则a=-2,则f(x)=-2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(|x|)+2,其定义域为R,∵f(-x)=-2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(|x|)+2=f(x),则f(x)是偶函数,∵f(x)在(0,+∞)上为增函数,在(-∞,0)上为减函数,∴若f(x)=f(y),且x≠y,则x=-y,x+y=0,故B正确;∵f(x)在(-∞,0)上为减函数,∴当x<y<0时,f(x)>f(y),故C错误;∵0
A.函数f(x)的定义域为R
B.函数f(x)的值域为(0,+∞)
C.方程f(x)=x有且只有一个实根
D.函数f(x)的图象是中心对称图形
答案 ACD
解析 函数f(x)=eq \f(1,4x+2)的定义域为R,所以A正确;因为y=4x在定义域内单调递增,所以函数f(x)=eq \f(1,4x+2)在定义域内单调递减,所以函数f(x)的值域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(1,2))),所以方程f(x)=x只有一个实根,所以B不正确,C正确;因为f(x+1)+f(-x)=eq \f(1,4x+1+2)+eq \f(1,4-x+2)=eq \f(1,4·4x+2)+eq \f(4x,2·4x+1)=eq \f(1,2),所以f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),\f(1,4)))对称,所以D正确.故选ACD.
11.(2024·武汉质量评估)若实数a,b满足2a+3a=3b+2b,则下列关系式中可能成立的是( )
A.0C.1答案 ABD
解析 设f(x)=2x+3x,g(x)=3x+2x,f(x)和g(x)在(-∞,+∞)上均为增函数,且f(0)=g(0),f(1)=g(1).当x∈(-∞,0)时,f(x)
12.(2023·长沙一模)使得“2x>4x2”成立的一个充分条件是________.
答案 0
答案 (1,+∞) f(-4)>f(1)
解析 因为|x+1|≥0,函数f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的值域为[1,+∞),所以a>1.由于函数f(x)=a|x+1|在(-1,+∞)上是增函数,且它的图象关于直线x=-1对称,则函数f(x)在(-∞,-1)上是减函数,故f(1)=f(-3),f(-4)>f(-3)=f(1).
14.已知函数y=9x+m·3x-3在区间[-2,2]上单调递减,则m的取值范围为________.
答案 (-∞,-18]
解析 设t=3x,则y=9x+m·3x-3=t2+mt-3.因为x∈[-2,2],所以t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,9),9)).又函数y=9x+m·3x-3在区间[-2,2]上单调递减,即y=t2+mt-3在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,9),9))上单调递减,故有-eq \f(m,2)≥9,解得m≤-18.所以m的取值范围为(-∞,-18].
四、解答题
15.已知函数f(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,ax-1)+\f(1,2)))x3(a>0,且a≠1).
(1)讨论函数f(x)的奇偶性;
(2)求a的取值范围,使f(x)>0在定义域上恒成立.
解 (1)由于ax-1≠0,则ax≠1,得x≠0,
∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,
对于定义域内任意x,有
f(-x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a-x-1)+\f(1,2)))(-x)3=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ax,1-ax)+\f(1,2)))(-x)3=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-1-\f(1,ax-1)+\f(1,2)))(-x)3=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,ax-1)+\f(1,2)))x3=f(x),
∴函数f(x)为偶函数.
(2)由(1)知f(x)为偶函数,
∴只需讨论x>0时的情况.
当x>0时,要使f(x)>0,
则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,ax-1)+\f(1,2)))x3>0,
即eq \f(1,ax-1)+eq \f(1,2)>0,即eq \f(ax+1,2(ax-1))>0,则ax>1.
又x>0,∴a>1.
∴当a∈(1,+∞)时,f(x)>0在定义域上恒成立.
16.(2024·莆田模拟)已知函数f(x)=eq \f(3x+b,3x+1)是定义域为R的奇函数.
(1)求实数b的值,并证明函数f(x)在R上单调递增;
(2)已知a>0且a≠1,若对于任意的x1,x2∈[1,3],都有f(x1)+eq \f(3,2)≥ax2-2恒成立,求实数a的取值范围.
解 (1)因为函数f(x)=eq \f(3x+b,3x+1)是定义域为R的奇函数,
则f(0)=eq \f(1+b,2)=0,解得b=-1,此时f(x)=eq \f(3x-1,3x+1)=1-eq \f(2,3x+1).
对任意的x∈R,3x+1>0,即函数f(x)的定义域为R,
f(-x)=eq \f(3-x-1,3-x+1)=eq \f(3x(3-x-1),3x(3-x+1))=eq \f(1-3x,1+3x)=-f(x),即函数f(x)为奇函数,符合题意.
任取t1,t2∈R且t1
则f(t1)
(2)由(1)可知,函数f(x)在[1,3]上为增函数,
对于任意的x1,x2∈[1,3],都有f(x1)+eq \f(3,2)≥ax2-2,
则a x2-2-eq \f(3,2)≤f(1)=eq \f(1,2),所以a x2-2≤2,
因为x2∈[1,3],所以x2-2∈[-1,1].
当0当a>1时,则有a≤2,此时1综上所述,实数a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),1))∪(1,2].根式的概念
符号表示
备注
如果eq \x(\s\up1(01))xn=a,那么x叫做a的n次方根
—
n>1且n∈N*
当n为奇数时,正数的n次方根是一个eq \x(\s\up1(02))正数,负数的n次方根是一个eq \x(\s\up1(03))负数
eq \r(n,a)
零的n次方根是零
当n为偶数时,正数的n次方根有eq \x(\s\up1(04))两个,它们互为eq \x(\s\up1(05))相反数
±eq \r(n,a)(a>0)
负数没有偶次方根
底数
a>1
0图象
性质
函数的定义域为R,值域为eq \x(\s\up1(13))(0,+∞)
函数图象过定点eq \x(\s\up1(14))(0,1),即x=0时,y=1
当x>0时,恒有y>1;
当x<0时,恒有0
eq \x(\s\up1(15))增函数
eq \x(\s\up1(16))减函数
考向一 指数幂的运算
考向二 指数函数的图象及其应用
考向三 指数函数的性质及其应用
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