第10讲 轴对称图形及线段的垂直平分线-2023-2024学年新八年级数学暑假精品课（人教版）

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·模块一 轴对称
·模块二 线段的垂直平分线的性质
·模块三 尺规作线段的垂直平分线
·模块四 课后作业
模块一
轴对称
1. 轴对称图形
定义：如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.
2. 轴对称
定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.
轴对称图形与轴对称的区别和联系
区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.
联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
【考点1 轴对称图形】
【例1.1】《国语•楚语》记载：“夫美也者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美．”这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐．下列四个图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【例1.2】下面各时刻是轴对称图形的为（ ）
A．13:08B．12:51C．12:50D．10:50
【例1.3】围棋，起源于中国，古时称“弈”，是一种策略型两人棋类游戏．下列黑、白棋子摆成的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1.1】在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1.2】下面4个图案中是轴对称图形的是（ ）
阿基米德螺旋线B． 笛卡尔心形线
C． 赵爽弦图 D． 太极图
【考点2 成轴对称】
【例2.1】如图，某英语单词由四个字母组成，且四个字母都关于直线l对称，请把这个单词填完整，并说出这个英语单词的汉语意思．
【例2.2】如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称．BC与DE的交点F在直线MN上．
①指出两个三角形中的对称点；
②指出图中相等的线段和角；
③图中还有对称的三角形吗？
【例2.3】在一次数学活动课上，小颖将一个四边形纸片依次按下图①、②的方式对折，然后沿按图③中的虚线裁剪成图④样式，将纸片展开铺平，所得到的图形是（ ）
A．B．C．D．
【变式2.1】如图，直线l是对称轴，点A的对应点是_______点．
【变式2.2】如图，AB左边是计算器上的数字“5”，若以直线AB为对称轴，那么与它成轴对称的图形是数字_____．
【考点3 轴对称和轴对称图形的性质】
【例3.1】如图，△ABD和△ACD关于直线AD对称，若S△ABC＝10，则图中阴影部分的面积为 ___．
【例3.2】如图的三角形纸片中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点E处，折痕为CD，则△BED的周长为_________．
【例3.3】如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．若∠BAC=108°，∠BAE=30°，求∠EAF的度数．
【变式3.1】数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题．如图，∠1=∠2，若∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1=______
【变式3.2】如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．若ED=4cm，FC=1cm，∠BAC=76°，∠EAC=58°．
（1）求出BF的长度；
（2）求∠CAD的度数．
【变式3.3】如图所示的图案是一个轴对称图形（不考虑颜色），直线l是它的一条对称轴．已知圆的半径为r，求绿色部分的面积．
模块二
线段的垂直平分线的性质
线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
【考点1 线段的垂直平分线的性质及应用】
【例1.1】如图，在直角△ABC中，∠C=90∘，∠CAB的平分线AD交BC于点D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．
【例1.2】北京、石家庄、唐山三地所在的位置如图所示，若想建立一个货物中转仓，使其到这三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ ）

A．三边垂直平分线的交点处B．三边中线的交点处
C．三条角平分线的交点处D．三边上高的交点处
【例1.3】如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若AB=3，AC=5，BC=7，则△AEF的周长为（ ）
A．5B．7C．10D．3
【变式1.2】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，BC=5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是_______．
【考点2 线段的垂直平分线的判定】
【例2.1】如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且AD=DC，则点D在（ ）
A．AC的垂直平分线上B．∠BAC的平分线上
C．BC的中点D．AB的垂直平分线上
【例2.2】下列条件中，不能判定直线CD是线段AB(C，D不在线段AB上)的垂直平分线的是（ ）
A．CA=CB，DA=DBB．CA=CB，CD⊥AB
C．CA=DA，CB=DBD．CA=CB，CD平分AB
【例2.3】如图，已知AB=AC，DB=DC，P是AD上一点.
求证：∠ABP=∠ACP.
【答案】证明见解析.
【变式2.1】如图，D是△ABC的边BC延长线上一点，BD＝BC＋AC，则C点在线段_________的垂直平分线上．
【变式2.2】如图，已知：AC和BD相交于O，∠1＝∠2，∠3＝∠4．则AC和BD的关系_____．
【变式2.3】如图，在△ABC中作一点P，使点P到AB，AC两边的距离相等，且PA＝PB．下列确定点P的方法正确的是（ ）
A．P为∠ABC、∠BAC的平分线的交点B．P为AB的垂直平分线与∠ABC的平分线的交点
C．P为AB、BC两边的垂直平分线的交点D．P为AB的垂直平分线与∠BAC的平分线的交点
模块三
尺规作线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的作法
如图，已知线段AB，用尺规作它的垂直平分线．步骤如下：
第一步：分别以A和B为圆心，以a的长度为半径作弧，两弧相交于点C和点D；
第二步：作直线CD．
点P是直线CD上一点，则线段PA=PB．

【考点1 线段的垂直平分线的作法】
【例1.1】如图，在△ABC中，∠B=70°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【例1.2】如图，根据尺规作图的痕迹，计算∠α的度数为（ ）
A．56∘B．68∘C．28∘D．34∘
【例1.3】尺规作图：如图，现在甲、乙、丙三家公司共建一个污水处理站P，使得该站到甲、乙、丙三家公司的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
【变式1.1】如图，已知下列尺规作图：①作一个角的平分线；②作一条线段的垂直平分线；③过直线外一点作已知直线的垂线．其中作法正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【变式1.2】如图，在△AEF中，尺规作图如下：分别以点E，点F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，交EF于点O，连接AO，则下列结论正确的是（ ）
A．AO平分∠EAFB．AO垂直平分EFC．GH垂直平分EFD．GH平分AF
【变式1.3】如图，已知在△ABC中，∠C>90° ，CA