【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品（沪科版）第02讲 函数的相关概念（解析版讲义）

这是一份【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品（沪科版）第02讲 函数的相关概念（解析版讲义），共29页。学案主要包含了变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3，变式3-1，变式3-2等内容，欢迎下载使用。

1．常量与变量
（1）变量和常量的定义：
在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
（2）方法：
①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；
②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；
③不要认为字母就是变量，例如π是常量．
2．函数的概念
函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
☆说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
3．函数关系式
用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
☆注意：
①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数．
4．函数自变量的取值范围
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
5．函数值
函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．
☆注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程；
②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个．
6．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
☆注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
7．动点问题的函数图象
函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
8．函数的表示方法
函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．
其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．
☆注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/2 6:29:13；用户：小尧老师2号；邮箱：dgca15@jye.cm；学号：53016436
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考点一：常量与变量（共4小题）
例1．（2023秋•裕安区校级月考）已知一个长方形的面积为，它的长为 ，宽为 ，下列说法正确的是
A．常量为15，变量为，B．常量为15，，变量为
C．常量为15，，变量为D．常量为，，变量为15
【答案】
【分析】根据变量和常量的定义来选择．
【解答】解：长方形的面积始终不变为常量；
长和宽的数值发生变化为变量，
故选：．
【点评】本题考查了常量与变量，解题的关键是根据变量和常量的定义来解答．
【变式1-1】（2023秋•蜀山区期中）在圆周长的计算公式中，变量有
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【分析】常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量．
【解答】解：圆的周长计算公式是，和是变量，2、是常量，
故选：．
【点评】本题主要考查了常量，变量的定义，是需要识记的内容．
【变式1-2】（2023秋•凤阳县校级月考）一本笔记本5元，买本共付元，在这个过程中，变量是
A．5和B．5和C．和D．5，和
【答案】
【分析】根据变量和常量的定义进行判断即可．
【解答】解：一本笔记本5元，买本共付元，在这个过程中，变量是买的本数本和所付的金额元，
故选：．
【点评】本题考查常量、变量，理解常量、变量的定义是正确解答的关键．
【变式1-3】（2023秋•瑶海区校级期中）腌制咸鸭蛋，首先需要制作食盐水，一个容器中装有一定质量的水，向该容器中加入食盐，与食盐混合为食盐水，随着食盐的加入，食盐水的浓度将升高，这个问题中自变量和因变量分别是
A．水，食盐水的浓度B．水，食盐水
C．食盐量，食盐水D．食盐量，食盐水的浓度
【答案】
【分析】根据对浓度的认识解答本题，水的质量不变，加的食盐越多，食盐水的浓度越高，据此解答即可．
【解答】解：随着食盐的加入，食盐水的浓度将升高，自变量是食盐量，因变量是食盐水的浓度．
故选：．
【点评】此题考查的是常量与变量的概念，掌握其概念是解决此题的关键．
考点二：函数的概念（共4小题）
例2．（2024春•无为市月考）下列选项中，是的函数的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据函数的定义，自变量在一定的范围内取一个值，因变量有唯一确定的值与之对应，则叫的函数，即可得出答案．
【解答】解：对于选项，给定一个的值，都只有唯一的与之对应，故能表示是的函数．
对于选项、、，给定的的值，会出现多个的值与之对应，故不能表示是的函数．
故选：．
【点评】本题考查函数定义，熟练掌握定义是解题的关键．
【变式2-1】（2023秋•肥西县期末）如图，下列各曲线中能够表示是的函数的
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
【解答】解：、作垂直轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点，故符合题意；
、作垂直轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象可能有两个交点，故不符合题意；
、作垂直轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象可能有两个交点，故不符合题意；
、作垂直轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象可能有两个交点，故不符合题意；
故选：．
【点评】主要考查了函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量．
【变式2-2】（2023秋•凤阳县校级月考）下列选项中不是的函数的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据函数的定义，自变量在一定的范围内取一个值，因变量有唯一确定的值与之对应，则叫的函数，即可得出答案．
【解答】解：自变量在一定的范围内取一个值，因变量有唯一确定的值与之对应，则叫的函数，
、、均满足取一个的值，有唯一确定的值和它对应，是的函数，
而中，对一个的值，与之对应的有两个的值，故不是的函数，
故选：．
【点评】本题考查函数定义，解题的关键是理解掌握自变量在一定的范围内取一个值，因变量有唯一确定的值与之对应，则叫的函数．
【变式2-3】（2023秋•长丰县期末）下列各曲线中，表示是的函数的是
A．B．
C．D．
【分析】根据函数的意义即可求出答案．
【解答】解：根据函数的意义可知：对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，所以正确．
故选：．
【点评】本题主要考查了函数图象的读图能力和函数概念．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直于轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
考点三：函数关系式（共4小题）
例3．（2023秋•凤阳县期末）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为，则圆周长与的关系式为．在上述变化中，自变量是
A．2B．半径C．D．周长
【答案】
【分析】可得周长是半径的函数，周长随着半径的变化而变化，周长是因变量，半径为自变量，即可求解．
【解答】解：由题意得：周长是半径的函数，
周长随着半径为的变化而变化，
半径为是自变量．
故选：．
【点评】本题考查了函数的定义，理解定义是解题的关键．
【变式3-1】（2023春•颍东区校级期末）某商店销售一批玩具时，其收入（元与销售数量（个之间有如下关系：
则收入与销售数量之间的关系式可表示为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】本题通过观察表格内的与的关系，可知的值相对时是成倍增长的，由此可得出方程．
【解答】解：依题意得：；
故选：．
【点评】本题考查了求函数解析式，关键是找出变化规律，根据规律列出函数解析式．
【变式3-2】（2023秋•蜀山区校级期中）油箱中存油40升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升分钟，则油箱中剩余油量（升与流出时间（分钟）的函数关系是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用油箱中存油量40升流出油量剩余油量，根据等量关系列出函数关系式即可．
【解答】解：由题意得：流出油量是，
则剩余油量：，
故选：．
【点评】此题主要考查了列函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
【变式3-3】（2023秋•利辛县校级月考）“十一”期间，小华一家人开车到距家100千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶60千米时，发现油箱余油量为31.5升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
（1）求该车平均每千米的耗油量；
（2）写出余油量（升与行驶路程（千米）之间的关系式；
（3）当油箱中余油量低于3升时，汽车将自动报警，若往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？说明理由．
【答案】（1）0.225升；（2）；（3）不能．
【分析】（1）由该车平均每千米的耗油量，可求解；
（2）由剩余油量每千米的耗油量路程，可求解；
（3）求出行驶200千米后，剩余油量，比较下可求解．
【解答】解：（1）（升千米），
答：该车平均每千米耗油0.225升；
（2）；
（3）当时，，
，
所以他们不能在汽车报警前回到家．
【点评】本题考查了一次函数的应用，根据数量关系列出函数关系式是解题的关键．
考点四：函数自变量的取值范围（共4小题）
例4．（2023秋•蚌山区期中）函数中自变量的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据分母不为0可得：，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．
【变式4-1】（2023秋•蒙城县期末）函数的自变量的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据二次根式以及分母不为0可得，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式以及分母不为0是解题的关键．
【变式4-2】（2023秋•肥东县期末）函数的自变量的取值范围是 ．
【答案】．
【分析】根据分式分母不为0列式计算即可．
【解答】解：由题意得，，
解得，
故答案为：．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件是解题的关键．
【变式4-3】（2023春•无为市期末）函数中自变量的取值范围是 ．
【分析】根据二次根式可得，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式是解题的关键．
考点五：函数值（共4小题）
例5．（2023秋•肥城市期末）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是8，则输出的值是，若输入的值是，则输出的值是
A．10B．14C．18D．22
【分析】将代入中求出，再将代入中即可求解．
【解答】解：当时，，
，
当时，，
故选：．
【点评】本题考查函数值；熟练掌握函数值的求法是解题的关键．
【变式5-1】（2023秋•阜南县校级月考）定义：函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中零点为2的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据函数的零点的意义，逐项代入求解进行判断即可．
【解答】解：、对于方程，解得，故的零点为，不合题意；
、对于方程，解得，故的零点为2，符合题意；
、对于方程，没有实数解，故没有零点，不合题意；
、对于方程，没有实数解，故没有零点，不合题意；
故选：．
【点评】本题考查函数值的意义，当函数值为0时，求出自变量的值是正确判断的前提．
【变式5-2】（2023秋•肥西县期末）已知，那么 2070 ．
【答案】2070．
【分析】把直接代入函数，即可求出函数值．
【解答】解：因为函数，
所以当时，．
故答案为：2070．
【点评】本题主要考查了函数值，熟练掌握函数值的计算方法进行求解是解决本题的关键．
【变式5-3】（2024•西安校级模拟）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组与的对应值：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）当输入的值为时，输出的值为 ；
（2）求，的值；
（3）当输出的值为6时，求输入的值．
【答案】（1）；（2），（3）或．
【分析】（1）把代入，即可得到结论；
（2）将，代入解方程即可得到结论；
（3）解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）当输入的值为时，输出的值为，
故答案为：；
（2）将，代入，
得，
解得；
（3）把代入，
得，
解得，
把代入，
得，
解得，
输出的值为6时，输入的值为或．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，函数值，正确地求得函数的解析式是解题的关键．
考点六：函数的图象（共4小题）
例6．（2024春•金安区校级月考）小冬和小天沿同一条笔直的公路相向而行，小冬从甲地前往乙地，小天从乙地前往甲地，两人同时发出，当行驶5分钟时小冬发现重要物品忘带，立刻掉头提速返回甲地，用时4分钟，拿到物品后以提速后的速度继续前往乙地（掉头和拿物品的时间忽略不计），小天始终以一个速度保持行驶，二人相距的路程（米与小冬出发时间（分钟）之间的关系如图所示，则下列说法中不正确的是
A．小冬返回甲地的所用时间为4分钟
B．小冬和小天出发时的速度分别为160米分钟和200米分钟
C．小天出发14.5分钟两人相遇
D．小冬最终达到乙地的时间是20分钟
【答案】
【分析】由图象可知前5分钟，两人共行驶了米，故两人速度和为米分钟，再根据小东提速返回的路程，小天用4分钟的时间，可知小天的速度是小东的倍，即可算出两人开始的速度；然后根据总路程和小东继续去乙地的速度，分别求出小天和小东用的相遇时间即可；小东在加上开始5分钟和返回4分钟即总时间，逐一判断即可．
【解答】解：．当行驶5分钟时小冬发现重要物品忘带发现重要物品没带，立刻掉头提速返回甲地甲地，用时4分钟，此选项不符合题意；
．小东掉头提速返回甲地，用时4分钟，且小东和小天相距的路程不变，
小东提速前5分钟的路程，相当于小天只需4分钟就可走完，
小天速度是小东提速前的速度的倍，
设小东原速度为米分钟，则提速后为米分钟，小天的速度为米分钟，则，
小冬和小天出发时的速度分别为160米分钟和200米分钟，故此选项不符合题意；
．两人同时发出，当行驶5分钟到达点，小东掉头提速返回甲地，用时4分钟，且小东和小天相距的路程不变，
此时两人相距2200米，拿到物品后以提速后的速度继续前往乙地，
小东提速后速度为200米分钟，两人继续行驶分钟相遇，小天一共行驶了分钟，故此选项不符合题意；
．小东行驶时间为开始5分钟，返回甲地4分钟，重新返回乙地分钟，小冬最终达到乙地的时间是29分钟，故此选项符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次方程等知识，解答本题的关键是明确题意，采用数形结合的思想．
【变式6-1】（2023秋•利辛县校级期末）在一辆小汽车行驶过程中，小汽车离出发地的距离s（km）和行驶时间t（h）之间的函数关系如图，根据图中的信息，下列说法错误的是（ ）
A．小汽车共行驶240km
B．小汽车中途停留0.5h
C．小汽车出发后前3小时的平均速度为40千米/时
D．小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小
【答案】D
【分析】要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
【解答】解：根据题意和图象可知：
小汽车共行驶：2×120＝240（km），故选项A说法正确，不符合题意；
小汽车中途停留0.5h，故选项B说法正确，不符合题意；
小汽车出发后前3小时的平均速度为：120÷3＝40（千米/时），故选项C说法正确，不符合题意；
小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度不变，故选项D说法错误，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了函数的图象以及学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”．
【变式6-2】（2023秋•宿松县期末）甲、乙两人同时从地到地，甲先步行到中点改骑自行车，乙先骑自行车到达中点后改为步行．已知甲、乙两人骑车的速度和步行的速度分别相同，则甲、乙两人所行的路与所用时间的关系图正确的是（实线表示甲，虚线表示乙）
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】已知甲、乙两人骑车的速度和步行的速度分别相同，从地到地的距离相同，因此可以推导出甲，乙的函数图形是一个路程和时间的一次函数即，根据函数的性质可以直接选出答案．
【解答】解：在到的前半段路程中，甲先步行到中点，乙先骑自行车到达中点，
相同的距离，甲的速度慢，使用的时间长，乙速度快，使用的时间短，
故选项，不符合题意，
又甲先步行到中点改骑自行车，乙先骑自行车到达中点后改为步行，甲、乙两人骑车的速度和步行的速度分别相同，到的距离也相同，
甲和乙最终同时到达终点，故选项不符合题意，选项符合题意，
故选：．
【点评】本题考查的重点是一次函数的图形和性质，只要掌握了函数图象的基本性质，结合图象就很快可以判断出选项．
【变式6-3】（2023秋•淮北期末）甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度（米与挖掘时间（天之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖两天后，每天挖50米；③甲队比乙队提前3天完成任务；④当或6时，甲乙两队所挖管道长度都相差100米．正确的有
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】
【分析】①根据函数图象由工作效率工作总量工作时间就可以得出结论；
②根据函数图象由工作效率工作总量工作时间就可以得出结论；
③根据函数图象求出乙队完成的时间就可以求出结论；
④由甲的工作效率就可以求出2天时的工作量为200米，乙队是300米．6天时甲队是600米，乙队是500米得出米故得出结论．
【解答】解：①根据函数图象得：
甲队的工作效率为：米天，故①正确；
②根据函数图象，得：
乙队开挖两天后的工作效率为：米天，故②正确；
③乙队完成任务的时间为：（天，
甲队提前的时间为：（天．
，
③错误；
④当时，甲队完成的工作量为：米，
乙队完成的工作量为：300米．
当时，甲队完成的工作量为600米，乙队完成的工作量为500米．
，
当或6时，甲乙两队所挖管道长度都相差100米，
故④正确．
正确的有①②④．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数的图象的性质的运用，工程问题的数量关系：工作总量工作效率工作时间的运用，解答时分析清楚一次函数的图象的意义是关键．
考点七：动点问题的函数图象（共4小题）
例7．（2023秋•安庆期末）如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形的边上有一动点沿运动一周，则的纵坐标与点走过的路程之间的函数关系用图象表示大致是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】将动点的运动过程划分为、、、共4个阶段，分别进行分析，最后得出结论．
【解答】解：动点运动过程中：
①当时，动点在线段上运动，此时保持不变；
②当时，动点在线段上运动，此时由2到1逐渐减少；
③当时，动点在线段上运动，此时保持不变；
④当时，动点在线段上运动，此时由1到2逐渐增大；
结合函数图象，只有选项符合要求．
故选：．
【点评】本题是一道动点的函数问题．主要考查了动点问题的函数图象问题，解决问题的关键是分解函数得出不同位置时的函数关系，进而得出图象．
【变式7-1】（2023秋•蚌埠月考）如图，正方形的边长为4，动点从点出发沿折线做匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，下列图象能表示与之间函数关系的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】分段求出函数关系式，再观察图象可得答案．
【解答】解：当在上，即时，，当时，；
当在上，即时，，
当在上，即时，；
观察4个选项，符合题意的为；
故选：．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是分段求出函数关系式．
【变式7-2】（2023秋•大观区校级期中）已知动点在图1所示的多边形（各个角为直角）的边上运动，从点开始按顺时针方向走一圈回到点，速度为每秒1个单位长度．的面积随着时间（秒的变化如图2所示，则这个过程中，点走过的路程为
A．28B．14C．20D．19
【答案】
【分析】根据多边形的形状，结合图2，可以求出多边形中某些边的长度，据此可求出多边形的周长，进而解决问题．
【解答】解：由题知，
根据图2，当时，
即点在上运动，又点的速度为每秒1个单位长度，
所以．
由图2可知，当点在上运动时，的面积恒为9，
则，
所以．
又当时，
即点在上运动，
所以．
又，，
所以图1中多边形的周长为：．
即点走过的路程为28．
故选：．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，能将图1和图2进行结合是解决问题的关键．
【变式7-3】（2023秋•寿县期末）如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿路线做匀速运动，那么的面积与点运动的路程之间的函数图象大致为
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】首先判断出从点到点，的面积与点运动的路程之间的函数关系是：；然后判断出从点到点，的面积一定，进而判断出的面积与点运动的路程之间的函数图象大致是哪一个即可．
【解答】解：从点到点，的面积与点运动的路程之间的函数关系是：；
从点到点，的面积一定，为：，
所以的面积与点运动的路程之间的函数图象大致是：
故选：．
【点评】此题主要考查了动点问题的函数图象，考查了分类讨论思想的应用，解答此题的关键是分别判断出从点到点以及从点到点，的面积与点运动的路程之间的函数关系．
考点八：函数的表示方法（共4小题）
例8．（2023秋•凤阳县校级月考）枣庄某公交车每天的支出费用为600元，每天的乘车人数（人与每天利润（利润票款收入支出费用）（元的变化关系，如下表所示（每位乘客的乘车票价固定不变）
根据表格中的数据，回答下列问题：
（1） 每天的乘车人数 是自变量；
（2）观察表中数据可知，当乘客量达到 人以上时，该公交车才不会亏损；
（3）请写出公交车每天利润（元与每天乘车人数（人的关系式： ；
（4）当一天乘客人数为多少人时，利润是1000元？
【答案】（1）每天的乘车人数；
（2）300；
（3）；
（4）乘车人数为800人时，利润为1000元．
【分析】（1）在变化过程中，哪个变量是随着哪个交量的变化而变化的，从而确定自变量；
（2）由表中数据可知，当时，，当时，，进行解答即可；
（3）由表中数据可知，当乘坐人数为300人时，利润为0元，每增加50人，利润就增加100元，然后列出关系式即可解答；
（4）把代入（3）中的关系式进行计算即可解答．
【解答】解：（1）在这个变化关系中，自变量是：每天的乘车人数．
故答案为：每天的乘车人数．
（2）观察表中数据可知，当时，，当时，，
当乘客量达到300人以上时，该公交车才不会亏损．
故答案为：300．
（3）由题意得：，
公交车每天利润（元与每天乘车人数（人的关系式：．
故答案为：；
（4）把代入，得：，
解得：．
答：当乘车人数为800人时，利润为1000元．
【点评】本题考查函数的意义，理解两个变量的变化关系和变化趋势，会用表格、关系式表示函数，掌握函数的表示方法．理解表格中两个变量的变化关系是解答的关键．
【变式8-1】（2023秋•合肥月考）探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表：
（1）在弹性限度内如果所挂物体的质量为 ，弹簧的长度为 ，根据上表写出与的关系式；
（2）如果弹簧的最大长度为，那么该弹簧最多能挂质量为多少的物体？
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）观察表格中的对应数值，得出弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比，进而可得与的关系式；
（2）根据题意可知：将代入（1）中的与的关系式求出即可．
【解答】解：（1）由表格中的对应数值可以看出：弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比，
即弹簧所挂物体的质量每增加，弹簧伸长，
当弹簧所挂物体的质量为 时，弹簧伸长的长度为 ，
与的关系式是：；
（2）弹簧的最大长度为，
对于，当时，，
解得：．
答：该弹簧最多能挂质量为的物体．
【点评】此题主要考查了函数的表示法，根据实际问题抽象出函数的关系式，理解题意，找出弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比是解决问题的关键．
【变式8-2】（2023秋•利辛县校级月考）一种豆子每千克的售价是2元，豆子的总售价（元与售出豆子的质量（千克）之间的关系如表：
（1）当豆子售出5千克时，总售价是 10 元；
（2）随着的逐渐增大，是怎样变化的？
（3）预测一下，当售出豆子8千克时，总售价是多少元？
【分析】（1）根据表格可直接写出结果；
（2）根据表格数值可发现，随着的逐渐增大，逐渐增大．
（3）根据规律，售出豆子的千克数乘以2即为总售价．
【解答】解：（1）由表格可知，当豆子售出5千克时，总售价是10元，
故答案为：10．
（2）随着的逐渐增大，逐渐增大．
（3）根据规律，售出豆子的千克数乘以2即为总售价，
（元，
当售出豆子8千克时，总售价是16元．
【点评】本题考查函数的表示方法，理解表格中两个变量的变化规律是解题的关键．
【变式8-3】（2022秋•无为市月考）如图，这是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组与的对应值数据．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）当输入的值为3时，输出的值为 24 ．
（2）当时，求该函数的表达式．
（3）当输出的值为时，求输入的值．
【答案】（1）24；
（2）当时，该函数的表达式为；
（3）输出的值为时，输入的值为．
【分析】（1）把代入，即可得到结论；
（2）将，，代入解方程即可得到结论；
（3）解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）当输入的值为3时，输出的值为，
故答案为：24；
（2）将，，代入，
得，
解得，
当时，该函数的表达式为；
（3）把代入，
得，
解得，
把代入，
得，
解得（不合题意舍去），
输出的值为时，输入的值为．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，函数值，正确地求得函数的解析式是解题的关键．
1．（2024春•淮北月考）如图，在等腰梯形中，，，，点沿从点出发向点匀速移动．过点作，交折线于点，记的面积为，则关于时间的函数图象大致
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】设点的运动速度为，时间为，设梯形高为，设，分别求出当点运动在上时，当点在上时，当点在上时的函数关系式，即可判断出图象．
【解答】解：设点的运动速度为，时间为，
，
当点运动在上时，，
，
图象为开口向上的抛物线，
设梯形高为，
当点在上时，，
图象为直线，
设，
当点在上时，，，
，
图象为开口向下的抛物线，
故选：．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键．
2．（2023秋•利辛县校级期末）函数中，自变量可取的值是
A．5B．3C．0D．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出的范围，判断即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
则自变量可取的值是5，
故选：．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
3．（2023秋•萧县期末）结合学习函数的经验，小红在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示根据图象，小红得到了该函数四条结论，其中正确的是
A．随的增大而减小B．当时，有最大值
C．当与时，函数值相等D．当时，
【答案】
【分析】根据函数的图象以及函数的解析式逐一判断即可．
【解答】解：．由图象可知，当时，随的增大而减小，故本选项不合题意；
．函数的自变量的取值范围为，故本选项不合题意；
．当时，函数值为；当时，函数值为1，故本选项不合题意；
．由图象可知，当时，，故本选项符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了函数的图象和性质，解题关键是根据函数解析式得出函数值和自变量的取值范围．
4．（2023秋•临泉县期末）如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离与时间之间的关系如图2所示．下列结论错误的是
A．小亮从家到羽毛球馆用了7分钟
B．小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米
C．报亭到小亮家的距离是400米
D．小亮打羽毛球的时间是37分钟
【答案】
【分析】根据图象逐个分析即可．
【解答】解：、由图象得：小亮从家到羽毛球馆用了7分钟，故选项不符合题意；
、由图象可知：小亮从羽毛球馆到报亭的平均速度为：（千米分）（米分），故选项不符合题意；
、由图象知报亭到小亮家的距离是0.4千米，即400米，故选项不符合题意；
、由图象知小亮打羽毛球的时间是（分钟），故选项符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了函数图象，观察图象，从图象中获取信息是解题的关键．
5．（2023秋•蜀山区校级月考）将矩形纸板剪掉一个小矩形后剩余部分如图1所示，动点从点出发，沿路径匀速运动，速度为，点到达终点后停止运动，的面积与点运动的时间的关系如图2所示，根据图象获取了以下的信息：
①；
②；
③点从点运动到点需要；
④矩形纸板裁剪前后周长均为．
其中正确信息的个数有
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】
【分析】根据图像和题上条件，逐项计算判断即可．
【解答】解：①由图象可知，当点运动到点处时，的面积是5，，，，正确；
③由图象可知当点运动到点处时，三角形面积是25，，，正确；
②由图象可知，当点从点到点处，用时是8秒，段运动时长秒，，错误；
④，，周长，错误．
正确①③，
故选：．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，从函数图象上获取信息的能力至关重要，也是破解本题的关键．
6．（2023秋•蒙城县校级月考）在函数中，自变量的取值范围是 ．
【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
7．（2023秋•怀宁县期末）函数的自变量的取值范围是 且 ．
【答案】且．
【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件列不等式组求解即可．
【解答】解：依题意，，，
解得：且，
故答案为：且．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0是解题的关键．
8．（2024春•埇桥区校级期中）如图1，在长方形中，点是上一点，点从点出发，沿着，，运动，到点停止，运动速度为，三角形的面积为，点的运动时间为，与之间的函数关系图象如图2（长方形：四个内角都是直角，对边相等且平行）．
（1）长方形的宽的长为 4 ；
（2）当点运动到点时，，则的值为 ．
【答案】（1）4；（2）12．
【分析】（1）依据题意，根据三角形的面积随点的运动时间变化图象，判断出，，进而可以得解；
（2）依据题意，根据三角形的面积随点的运动时间变化图象，抓住当 时，的面积进而进行计算可以得解．
【解答】解：（1）由题意，当从到三角形的面积逐渐增大，再由到时，三角形的面积逐渐变小，最后由到时面积变小速度变慢．
故，，
．
故答案为：4．
（2）由题意，当 时，的面积，
又 ，
．
．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了函数的图象，解题时要熟练掌握并理解是关键．
9．（2023秋•蜀山区校级期中）某机动车出发前油箱内有油．行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升．油箱中剩余油量与行驶时间之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题．
（1）在这个变化过程中， 行驶时间 是自变量， 是因变量；
（2）机动车行驶 小时后加油，中途加油 ；
（3）如果加油站距目的地还有，车速为，要到达目的地，请判断油箱中的油是否够用，并说明理由．
【答案】（1）行驶时间，剩余油量；
（2）4，24；
（3）不够用，理由见解析．
【分析】（1）根据函数的定义直接求解即可；
（2）根据函数图象直接求解即可；
（3）根据函数图象可知机动车的耗油量为，根据行驶时间乘以耗油量即可求解．
【解答】解：（1）根据题意可知：行驶时间是自变量，剩余油量是因变量；
故答案为：行驶时间，剩余油量；
（2）根据函数图象可知，机动车行驶4小时后加油，中途加油，
故答案为：4，24；
（3）不够用．理由如下：
机动车的耗油量：，
行驶时间，需要油量，
，
故不够用．
【点评】本题考查了函数的定义，函数图象，根据函数图象获取信息是解题的关键．
10．（2023秋•瑶海区校级月考）小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，如图是小红离家的距离与所用时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）该情境中的自变量和因变量分别是 时间，路程 ；
（2）小红由于途中返回给表弟买礼物比直接去舅舅家多走了 米；
（3）小红在整个骑车去舅舅家的途中，最快速度是 米分钟；
（4）小红在骑车 分钟时，距离商店300米．
【答案】（1）时间，路程；
（2）1200；
（3）450；
（4）1、3、6、．
【分析】（1）根据函数的定义可得自变量与因变量分别为时间和路程；
（2）根据题意以及图象可知，小红途中返回给表弟买礼物多走了两个600米；
（3）根据图象中的数据用返回后去往的路程除以所用的时间即可；
（4）分开始去往和返回后去往两种情况解答即可．
【解答】解：（1）该情境中的自变量和因变量分别是时间，路程．
故答案为：时间，路程；
（2）小红途中返回给表弟买礼物比直接去舅舅家多走了：（米．
故答案为：1200；
（3）（米分钟）．
即小红在整个骑车去舅舅家的途中，最快速度是450米分钟；
故答案为：450；
（4）小红刚开始时的速度为：（米分钟），
（分钟）；
（分钟）；
故答案为：1、3、6、．
【点评】本题考查了函数的图象，函数的常量与变量，解题的关键是熟练掌握函数的图象，函数的常量与变量的定义．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．了解常量与变量的含义，能分清实例中的常量与变量；初步理解函数的概念，了解自变量与函数的意义；
2．了解和掌握函数表示方法中的列表法、解析法和图象法，理解这三种表示方法的优缺点；
2．体会用描点法画函数图象的一般步骤，初步掌握用描点法画函数图象；(重点)
销售数量（个
1
2
3
4
收入（元
输入
2
5
7
9
11
输出
5
4
10
16
22
（人
200
250
300
350
400
（元
0
100
200
所挂物体的质量
0
1
2
3
4
5
6
7
弹簧的长度
12
12.5
13
13.5
14
14.5
15
15.5
售出豆子质量（千克）
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
5
总售价（元
0
1
2
3
4
5
6
10
输入
0
2
输出
2
6
16