第08讲 全等三角形的常见模型-2023-2024学年新八年级数学暑假精品课（人教版）

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第08讲 全等三角形的常见模型
人教版

·模块一 “X”型
·模块二 共顶点的三角形旋转（手拉手模型）
·模块三 一线三垂直型
·模块四 中点型
·模块五 课后作业
模块一
“X”型



【例1】如图，AB与CD相交于点O，且O是AB，CD的中点，则△AOC与△BOD全等的理由是（　　）

A．SAS B．ASA C．SSS D．HL
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．
【详解】解：∵O是AB，CD的中点，
∴OA=OB,OC=OD,
在△AOC和△DOB中，
OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD
∴△AOC≅△DOBSAS，
故选：A．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
【例2】如图，线段AC，BD相交于点O，且AO=OC，BO=OD，DE=BF，CE=9cm，求AF的长．

【答案】9cm
【分析】先证明OE=OF，再利用SAS证明△AOF≌△COE，即可得到AF=CE=9cm．
【详解】解：∵OB=OD，DE=BF，
∴OE=OF．
又∵OA=OC，∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COESAS，
∴AF=CE=9cm．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．
【例3】如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．

(1)求证：△BDE≌△CDF；
(2)若AE=13，AF=7，试求DE的长．
【答案】(1)见解析
(2)DE=3

【分析】（1）利用中点性质可得BD=CD，由平行线性质可得∠DBE=∠DCF，再由对顶角相等可得∠BDE=∠CDF，即可证得结论；
（2）由题意可得EF=AE-AF=6，再由全等三角形性质可得DE=DF，即可求得答案．
【详解】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∵BE∥CF，
∴∠DBE=∠DCF，
在△BDE和△CDF中，
∠DBE=∠DCFBD=CD∠BDE=∠CDF，
∴△BDE≌△CDF（ASA）；
（2）解：∵AE=13，AF=7，
∴EF=AE-AF=13-7=6，
∵△BDE≌△CDF，
∴DE=DF，
∵DE+DF=EF=6，
∴DE=3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
【变式1】如图，点C是AE上一点，CD交EB于点F，CF=DF，EA∥DB，求证：EF=BF．
  
【答案】见解析
【分析】先证明ΔECF≌ΔBDFAAS，再根据全等三角形的性质即可求得CF=DF．
【详解】证明：∵ EA∥DB，
∴∠ECF=∠BDF，∠CEF=∠DBF，
∴在ΔECF与ΔBDF中，
∠ECF=∠BDF∠CEF=∠DBFCF=DF
∴ΔECF≌ΔBDFAAS，
∴CF=DF．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答此题的关键．
模块二
共顶点的三角形旋转（手拉手模型）



【例1】如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为（　　）

A．6 B．5 C．3 D．2
【答案】D
【分析】由在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，根据等边三角形的性质，即可求得BD的长，然后由旋转的性质，即可求得CE的长度．
【详解】解：∵在等边三角形ABC中，AB=6，
∴BC=AB=6，
∵BC=3BD，
∴BD=13BC=2，
∵△ABD绕点A旋转后得到△ACE，
∴△ABD≌△ACE，
∴CE=BD=2．
故选D．
【例2】如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°后得到CE，连接BE，若∠DAB＝10°，则∠ABE是(　　)

A．75° B．78° C．80° D．92°
【答案】C
【分析】证明△BCE≌△ACD，求出∠EBC度数，利用∠ABE=∠EBC+∠ABC求解．
【详解】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠BAC=45°．
∴∠DAC=45°-10°=35°．
在△BEC和△ADC中，
DC=EC∠ECB=∠DCAAC=BC ，
∴△BCE≌△ACD（SAS）．
∴∠EBC=∠DAC=35°．
∴∠ABE=∠EBC+∠DAC=80°．
故选C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质，利用旋转性质得到全等判定的条件，利用全等转化角，是解决这类问题的方法．
【例3】如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，点C的对应点为点C′，C′B′的延长线交BC于点D，连接AD．则下列说法错误的是（ ）

A．△ABC≅△AB′C′ B．AB′//BC
C．∠CDC′=∠CAC′ D．AD平分∠BDB′
【答案】B
【分析】A、根据旋转的性质即可判断；B、由旋转角的任意性可以判断；C、由三角形内角和为180°且两个角相等即可判断；D、利用角平分线的判定定理即可证明．
【详解】解：

A、由旋转的性质可知：△ABC≅△AB′C′，故A正确，不符合题意；
B、∵△AB'C'由△ABC绕A旋转任意角度得到，
∴AB'//BC只是特殊情况，故B错误，符合题意；
C、∵△ABC≌△AB'C'，∴∠C'=∠C，
∵∠C'AC=180°−∠C'−∠1，∠CDC'=180°−∠C−∠2，
∵∠1=∠2,∴∠CDC'=∠CAC'，故C正确，不符合题意；
D、过A分别作C'D,CB的垂线，垂直分别是E,F，
∵△ABC≌△AB'C'，∴BC=B'C'，S△ABC=S△AB'C'；
∴12×B'C'×AE=12×BC×AF，∴AE=AF，
∵AE⊥C'D,AF⊥CB，
∴AD平分∠BDB′，故D正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了，旋转的性质、平行线的判定定理、三角形内角和、角平分线，解题的关键是：掌握相关定理依次进行判断．
【变式1】如图，已知O是等边△ABC内一点，D是线段BO延长线上一点，且OD=OA，∠AOB=120°，那么∠BDC=_____．

【答案】60°
【分析】由∠AOB的度数利用邻补角互补可得出∠AOD=60°，结合OD=OA可得出ΔAOD为等边三角形，而根据旋转全等模型由SAS易证出ΔBAO≅ΔCAD，根据全等三角形的性质可得出∠ADC=∠AOB=120°，再根据∠BDC=∠ADC−∠ADO即可求出∠BDC的度数．
【详解】解：∵ΔABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°．
∵∠AOB=120°，∠AOD+∠AOB=180°，
∴∠AOD=60°．
又∵OD=OA，
∴ΔAOD为等边三角形，
∴AO=AD，∠OAD=60°，∠ADO=60°．
∵∠BAO+∠OAC=∠OAC+∠CAD=60°，
∴∠BAO=∠CAD．
在ΔBAO和ΔCAD中，
AB=AC∠BAO=∠CADAO=AD，
∴ΔBAO≅ΔCAD(SAS)，
∴∠ADC=∠AOB=120°，
∴∠BDC=∠ADC−∠ADO=60°．
故答案为：60．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及角的计算，通过证明ΔBAO≅ΔCAD，找出∠ADC=∠AOB=120°是解题的关键．
【变式2】如图，D为△ABC内一点，AB＝AC，∠BAC＝50°，将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合．

（1）求证：EB＝DC；
（2）若∠ADC＝115°，求∠BED的度数．
【答案】（1）见解析；（2）50°
【分析】（1）根据旋转的性质，可得AD=AE，∠DAE=∠BAC＝50°，从而得到∠BAE=∠CAD，可证得△BAE≌△CAD，即可求证；
（2）根据全等三角形的性质，可得∠BEA=∠ADC=115°，再由等腰三角形的性质，可得∠AED=65° ，即可求解．
【详解】证明（1）∵将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合，
∴AD=AE，∠DAE=∠BAC＝50°，
∴∠DAE-∠BAD=∠BAC-∠BAD，即∠BAE=∠CAD，
∵AB=AC，
∴△BAE≌△CAD，
∴EB=DC；
（2）∵△BAE≌△CAD，
∴∠BEA=∠ADC=115°，
∵∠DAE=50°，AD=AE，
∴∠AED=12180°−∠DAE=65° ，
∴∠BED=∠BEA-∠AED=115°-65°=50°．
【点睛】本题主要考查了图形旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
【变式3】以锐角△ABC的边AC、AB为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF，连结BE、CF.

（1）你能找到哪两个图形可以通过旋转而相互得到，并指出旋转中心和旋转角.
（2）试探索BE和CF有什么数量关系和位置关系？并说明理由.
【答案】(1) 三角形ABE 与三角形ACF ，旋转中心为点A，旋转角度为90°或270°(2) BE=CF且BE⊥CF，理由详见解析.
【分析】（1）旋转不改变图形的大小，则一定找全等图形，由SAS条件可证明全等的图形可以是三角形ACF与三角形ABE，三角形ABE以点A顺时针旋转90°可得到三角形ACF.
（2）由三角形ACF与三角形ABE全等得到BE和CF相等，再通过直角三角形中锐角的等量代换得到 FHB=90°，进而得到BE和CF垂直.
【详解】（1）∵四边形ACDE和四边形ABGF是正方形
∴AB=AF，AC=AE
又∠FAB=∠EAC=90°
∴∠FAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC
即∠FAC=∠EAB
在三角形ACF与三角形AEB中
{AB=AF∠FAC=∠BAEAC=AE
所以△ACF≅△AEB (SAS)
由旋转不改变图形的大小可知，三角形ABE绕点A顺时针旋转90°可得到三角形ACF.
三角形ABE绕点A逆时针旋转270°可得到三角形ACF.
（2）判断BE=CF且BE⊥CF，理由如下：
由（1）可知△ACF≅△AEB
则BE=CF，∠ACF=∠AEB
在直角三角形AOE中，∠AEO+∠AOE=90°
而∠AOE=∠COH
则在三角形HOC中，∠ACH+∠COH=90°
即三角形HOC是直角三角形
则∠OHC=90°
即BE⊥CF
综上：BE=CF且BE⊥CF
【点睛】本题考查了三角形全等的性质定理，本题解题关键在于找准全等三角形，利用全等三角形对应边相等，对应角相等的性质灵活解题.
模块三
一线三垂直型



【例1】如图，两座建筑物AB，CD相距160m，小月从点B沿BC走向点C，行走ts后她到达点E，此时她仰望两座建筑物的顶点A和D，两条视线的夹角正好为90°，且EA=ED．已知建筑物AB的高为60m，小月行走的速度为1m/s，则小月行走的时间t的值为（    ）

A．100 B．80 C．60 D．50
【答案】A
【分析】首先证明∠A=∠DEC，然后可利用AAS判定△ABE≌△ECD，进而可得EC=AB=60m，再求出BE的长，然后利用路程除以速度可得时间．
【详解】解：∵∠AED=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∵∠ABE=90°，
∴∠A+∠AEB=90°，
∴∠A=∠DEC，
在△ABE和△ECD中
∠B=∠C∠A=∠DECAE=ED，
∴△ABE≌△ECD（AAS），
∴EC=AB=60m，
∵BC=160m，
∴BE=100m，
∴小华走的时间是100÷1=100（s），
故选：A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确判定△ABE≌△ECD．
【例2】如图，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE=5cm，BD=2cm，则DE的长是（    ）

A．8cm B．4cm C．3cm D．2cm
【答案】C
【分析】根据已知条件，观察图形得∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，∠CAE=∠BCD，然后证ΔAEC≅ΔCDB后求解．
【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于E，BD⊥CE于D，
∴∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，
∴∠CAE=∠BCD，
又∵∠AEC=∠CDB=90°，AC=BC，
∴ΔAEC≅ΔCDB．
∴CE=BD=2，CD=AE=5，
∴ED=CD−CE=5−2=3(cm)．
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和性质求解，发现并利用∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，∠CAE=∠BCD，是解题的关键．
【例3】如图，已知点O（0，0），P（1，2），将线段PO绕点P按顺时针方向以每秒90°的速度旋转，则第19秒时，点O的对应点坐标为（　　）

A．（0，0） B．（3，1） C．（﹣1，3） D．（2，4）
【答案】B
【分析】依据线段PO绕点P按顺时针方向以每秒90°的速度旋转，即可得到19秒后点O旋转到点O'的位置，再根据全等三角形的对应边相等，即可得到点O的对应点O'的坐标．
【详解】解：如图所示，∵线段PO绕点P按顺时针方向以每秒90°的速度旋转，每4秒一个循环，19＝4×4+3，
∴3×90°＝270°，
∴19秒后点O旋转到点O'的位置，∠OPO'＝90°，
如图所示，过P作MN⊥y轴于点M，过O'作O'N⊥MN于点N，


则∠OMP＝∠PNO'＝90°，∠POM＝∠O'PN，OP＝PO'，
在△OPM和△PO'N中，
∠OMP＝∠PNO'∠POM＝∠O'PNOP＝PO'，
∴△OPM≌△PO'N（AAS），
∴O'N＝PM＝1，PN＝OM＝2，
∴MN＝1+2＝3，点O'离x轴的距离为2-1＝1，
∴点O'的坐标为（3，1），
故选：B．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
【变式1】如图，点A，B，D在同一条直线上，且∠A=∠D=90°，AC=BD，∠ABC=∠DEB．连接CE，试判断△CBE的形状，并说明理由．

【答案】△CBE是等腰直角三角形，理由见解析．
【分析】证明△ABC≌△DEB即可．
【详解】△CBE是等腰直角三角形．
理由如下：
∵∠D=90°
∴∠DEB+∠DBE=90°，
∵∠ABC=∠DEB，
∴∠ABC+∠DBE=90°．
∴∠CBE=180°－(∠ABC+∠DBE)=90°．
在△ABC和△DEB中，
∠ABC=∠DEB∠A=∠DAC=BD．
∴△ABC≌△DEB(AAS)．
∴BC=EB．
∴△BCE是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，这个题是典型的一线三垂直模型，根据已知条件证明全等是解题的关键．
【变式2】如图，RtΔABC中，∠ACB=90°, BC=2, AC=3，点D在RtΔABC的边AC上，DC=m，以BD为直角边在AC同侧作等腰直角三角形BDE，使BD=DE=n，连接AE，若S四边形AEBC=52n，则m与n的数量关系式是（    ）

A．nm=6 B．m+n=5 C．n−m=1 D．2n=3m
【答案】B
【分析】作EF⊥AC，垂足为F，根据全等的条件可得，△DBC≌△EDF，可得CD=EF=m，S四边形AEBC=S△BDE+ S△BDC+ S△ADE，可得出m+n=5．
【详解】解：作EF⊥AC，垂足为F

∴∠EFD=∠ACB=90°,
∴∠BDC+∠DBC=90°
∵三角形BDE是等腰直角三角形，
∴∠EDB=90°，
∴∠EDF+∠BDC=90°，
∴∠EDF=∠DBC
在△DBC和△EDF中
∠EFD=∠DCB∠EDF=∠DBCED=DB
∴△DBC≌△EDF（AAS）
∴CD=EF=m,
∵AC=3,
∴AD=AC-CD=3-m
∵S四边形AEBC=S△BDE+ S△BDC+ S△ADE
∴S四边形AEBC= 12BD⋅DE+12DC⋅CB+12AD⋅FE
=12n⋅n+12m⋅2+12(3−m)⋅m=52n
化简得：n2+2m+3m−m2=5n
(n+m)(n−m)=5(n−m)，
∵n是RtΔDBC的斜边，m是直角边
∴n-m＞0
∴n+m=5
故答案选：B
【点睛】本题主要考查了构造三角形全等，割补法求面积，因式分解，解决本题的关键是构造全等三角表示出面积．
【变式3】已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m过点A，且BD⊥m于D，CE⊥m于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现DE=BD+CE．

(1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：BD与DE、CE的关系如何？请予证明；
(2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，BD、DE、CE存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明）
【答案】(1)DE=BD−CE，证明见解析；
(2)DE=BD+CE，DE=BD−CE，DE=CE−BD．

【分析】（1）利用条件证明△ABD≌△CAE， 再结合线段的和差可得出结论；
（2）根据图，可得BD、DE、CE存在3种不同的数量关系；
【详解】（1）证明：如图2，
∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∴∠ABD+∠DAB=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中，
∠BDA=∠CBA∠ABD=∠CABAB=CA，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE，BD=AE
∵DE=AE−AD，
∴DE=BD−CE．
（2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，BD、DE、CE存在3种不同的数量关系：DE=BD+CE，DE=BD−CE，DE=CE−BD．
如图1时，DE=BD+CE，
如图2时，DE=BD−CE，
如图3时，DE=CE−BD，（证明同理）

【点睛】本题主要考查三角形全等，注意证三角形全等的方法及三角形全等后的性质．
模块四
中点型



【例1】在△ABC中，AC=6，中线AD=10，则AB边的长可以是（   ）

A．30 B．22 C．14 D．6
【答案】B
【分析】延长AD至E，使DE=AD，连接CE，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围．
【详解】解：如图，延长AD至E，使DE=AD，连接CE，

∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△ECD中，
BD=CD∠ADB=∠EDCAD=DE，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB=CE，
∵AD=10，
∴AE=10+10=20，
∵20+6=26，20-6=14，
∴14＜CE＜26，
即14＜AB＜26，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，中线的性质，三角形三边关系，倍长中线，进而根据三角形三边关系求解是解题的关键．
【例2】某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ABD≌△ECD”的推理过程．

(1)求证：△ABD≌△ECD
证明：延长AD到点E，使DE＝AD
在△ABD和△ECD中
∵AD＝ED（已作）
∠ADB＝∠EDC（ ）
CD＝ （中点定义）
∴△ABD≌△ECD（ ）
(2)由（1）的结论，根据AD与AE之间的关系，探究得出AD的取值范围是 ；
(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
如下图，△ABC中，∠B=90°，AB=2，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE=4，且∠ADE=90°，求AE的长．

【答案】(1)对顶角相等；BD；SAS
(2)1