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初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数公开课教案
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这是一份初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数公开课教案，共9页。教案主要包含了教学重难点，教学用具，教学过程设计等内容，欢迎下载使用。
第二十一章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.4 二次函数的图象和性质（2）
一、 教学目标
1. 经历对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握待定系数法求解析式的方法；
2. 能灵活地根据条件恰当选取解析式，体会二次函数解析式之间的转化；
3. 经历探究过程，培养学生数学运算的核心素养，并养成良好的运算习惯；
4. 在学习过程中，感受学习数学知识的价值，提高对数学学习的兴趣.
二、教学重难点
重点：用待定系数法求二次函数解析式.
难点：灵活地根据条件恰当地选取解析式.
三、教学用具
多媒体课件
四、教学过程设计
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
教学目标
1.经历对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握待定系数法求解析式的方法；
2.能灵活地根据条件恰当选取解析式，体会二次函数解析式之间的转化；
3.经历探究过程，培养学生数学运算的核心素养，并养成良好的运算习惯；
4.在学习过程中，感受学习数学知识的价值，提高对数学学习的兴趣.
熟悉教学目标.
通过学习目标让学生熟悉本节课要讲解的内容.
环节一
创设情境
我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式，那么对于二次函数呢？
类比的方法，其中一次函数的解析式是，要写出解析式，要求出k，b的值，列出二元一次方程组求出k，b，那么需要图象上两个点的坐标.
学生观察、思考，并小组讨论，尝试解决.
生1：用类比的方法，其中一次函数的解析式是，要写出解析式，要求出k，b的值，需要图象上两个点的坐标，列出二元一次方程组求出k，b.
为引出下一环节做铺垫.
环节二 探究新知
【探究】
问题：二次函数的解析式中有几个待定系数？转化成什么样的方程组？需要图象上的几个点才能求出来？
师：二次函数的解析式是，要求出a，b，c的值，需要转化成三元一次方程组，需要图象上三个点的坐标，列出三元一次方程组.
生2：二次函数的解析式是，要求出a，b，c的值，需要转化成三元一次方程组，需要图象上三个点的坐标.
学生通过对类比一次函数解析式的解法，求二次函数的解析式，培养了自主学习的能力，提高了学习兴趣.
环节三 应用新知
例1：如果知道抛物线经过（，10），（1，4），（2，7）三点，请求出这个二次函数的解析式.
解：设所求二次函数为.由已知，得到关于的三元一次方程组
解方程组，得
二次函数解析式为.
总结：求二次函数的解析式，需求出a，b，c的值.由已知条件（如二次函数图象上三个点的坐标）列出关于a，b，c的三元一次方程组，求出a，b，c的值，就可以求出此函数的解析式.
例2：如果知道二次函数图象的顶点坐标为A（1，），且过B（2，1）点，请求出解析式.
解法一：
解：设二次函数解析式为.因为顶点坐标为A（1，），所以，，带入解析式为 ，再把B（2，1）带入得，解得，二次函数解析式为.
师总结：若题目中给出顶点坐标和另一个点，可以设二次函数的解析式为，带入坐标求解即可. 二次函数的顶点式有a，h，k三个待定系数，应该知道三个点的坐标，但是h，k是顶点的横、纵坐标，于是再有一个点的坐标即可.解法二比解法一更为便捷.
注意：1.顶点式不能作为结果答题，需要化成一般式答题.2注意所设的二次函数顶点式中的负号.
解法二：
解：设抛物线的解析式为
解得；
∴抛物线的解析式为.
例3：一个二次函数，当自变量时，函数值，当与时，.求二次函数的解析式.
解法一：
解：设所求二次函数为.由已知，函数图象经过（0，），（，0），（，0）得到关于的三元一次方程组
解方程组，得
所求二次函数是.
师：这道题除了把二次函数解析式设为，还有没有其他的解法？
解法二：
∵
又∵，
∴
师：设的两个根为和，则方程可写为的形式，解方程可看成二次函数值为0求自变量x的值，也就是求二次函数与x轴交点的过程，所以方程的两个根是二次函数与x轴两交点的横坐标，那么二次函数可以写为，这个叫做二次函数的双根式也叫两点式.
解：设抛物线解析式为，其中，由抛物线过点（，0），（，0）可知，；∴解析式为；
又∵抛物线过点（0，），∴，∴，∴二次函数为.
总结：二次函数令就是方程，方程的两个根就是抛物线与x轴两个交点横坐标.
师整体总结
提问1：用待定系数法求二次函数解析式有具体哪些方法？
答：一般式、顶点式和双根式.
提问2：根据什么已知条件来设相应的解析式呢？
答：求抛物线解析式，仔细分析已知条件：1. 若无特殊点，设一般式；2. 若给出顶点坐标和另一个点的坐标，就设顶点式；3. 若给出与x轴两交点的坐标和另一个点的坐标，就设两点式.
注意：如果已知中只给出与x轴的一个交点，那么这不是特殊点.
生思考交流，小组讨论.
生1：可以先设出来二次函数，设所求二次函数为.由已知，得到关于的三元一次方程组
解方程组，得
生2：那么二次函数解析式为.
生1：因为顶点坐标为A（1，），所以，，二次函数解析式为，再
把B（2，1）带入得解析式，得，解得，二次函数解析式为，一般式为
生2：顶点坐标为A（1，），那么，，再把点B（2，1）带入一般式，应该是可以求的.
生3：观察抛物线所过三个点，其中（，0），（，0）两点纵坐标为0，说明这是抛物线与x轴的两个交点，不妨设双根式：，其中，，再带入点（0，）求出a即可.
生1：设一般式、顶点式和双根式.
生2：1.给了顶点坐标和另一个点，就设顶点式；2.给了与x轴交点的两个点和另一个点，就设两点式；3.给了任意三个点，就设一般式.
通过例题巩固理解二次函数与之间的联系，并让学生感受抽象的一般形式具有广泛的应用价值，二次函数的一般形式代表了所有的二次函数，因此顶点公式和对称轴适用于所有的二次函数.并会运用顶点坐标公式计算相应的顶点坐标.
在学习过程中，使学生亲自体会到学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣并获得成功感.
环节四 巩固新知
【巩固练习】
1：求经过，，三点的抛物线的解析式.
解：设二次函数解析式为，带入，，，列方程组为
解得
∴所求抛物线的解析式为.
2.二次函数的图象如图，则它的解析式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
解法一：
解：设抛物线解析式为，其中，由图像可知，；∴解析式为；
又∵抛物线过点（2，0），∴，∴，∴二次函数为.
解法二：
解：由图可知，二次函数的顶点坐标是（1，2），并且过点（2，0），那么设二次函数的解析式为，用待定系数法，求得，求得解析式为，一般式为，选D.
解法三：
解：由图可知，由图可知，二次函数与x轴交点坐标是（2，0）和（0，0），又过（1，2）点，因此设解析式为，求得.
解析式为，选D.
找学生板演，对于易错点和难点加以强调和纠正，有助于学生运算正确，并且适当鼓励学生养成良好的运算习惯和建立学好数学的自信心.
生1：经过三点，可以设二次函数解析式为，然后用待定系数法即可.
生2：设经过，，三点的二次函数解析式为.
由题意得
解得
∴所求抛物线的解析式为.
进一步巩固本节课的内容.了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.
环节五 课堂小结
提问：本节课你学到了哪些知识？
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：
生1；学习了设二次函数求解析式的方法.
生2：学习了设二次函数为，求解析式的方法.
生3：学习了设二次函数为，求解析式的方法.
通过提问让学生回顾、总结求二次函数解析式的方法，并帮助学生梳理本节课所学内容.
环节六
布置作业
教科书第42页练习第10-11题.
第二十一章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.4 二次函数的图象和性质（2）
一、 教学目标
1. 经历对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握待定系数法求解析式的方法；
2. 能灵活地根据条件恰当选取解析式，体会二次函数解析式之间的转化；
3. 经历探究过程，培养学生数学运算的核心素养，并养成良好的运算习惯；
4. 在学习过程中，感受学习数学知识的价值，提高对数学学习的兴趣.
二、教学重难点
重点：用待定系数法求二次函数解析式.
难点：灵活地根据条件恰当地选取解析式.
三、教学用具
多媒体课件
四、教学过程设计
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
教学目标
1.经历对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握待定系数法求解析式的方法；
2.能灵活地根据条件恰当选取解析式，体会二次函数解析式之间的转化；
3.经历探究过程，培养学生数学运算的核心素养，并养成良好的运算习惯；
4.在学习过程中，感受学习数学知识的价值，提高对数学学习的兴趣.
熟悉教学目标.
通过学习目标让学生熟悉本节课要讲解的内容.
环节一
创设情境
我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式，那么对于二次函数呢？
类比的方法，其中一次函数的解析式是，要写出解析式，要求出k，b的值，列出二元一次方程组求出k，b，那么需要图象上两个点的坐标.
学生观察、思考，并小组讨论，尝试解决.
生1：用类比的方法，其中一次函数的解析式是，要写出解析式，要求出k，b的值，需要图象上两个点的坐标，列出二元一次方程组求出k，b.
为引出下一环节做铺垫.
环节二 探究新知
【探究】
问题：二次函数的解析式中有几个待定系数？转化成什么样的方程组？需要图象上的几个点才能求出来？
师：二次函数的解析式是，要求出a，b，c的值，需要转化成三元一次方程组，需要图象上三个点的坐标，列出三元一次方程组.
生2：二次函数的解析式是，要求出a，b，c的值，需要转化成三元一次方程组，需要图象上三个点的坐标.
学生通过对类比一次函数解析式的解法，求二次函数的解析式，培养了自主学习的能力，提高了学习兴趣.
环节三 应用新知
例1：如果知道抛物线经过（，10），（1，4），（2，7）三点，请求出这个二次函数的解析式.
解：设所求二次函数为.由已知，得到关于的三元一次方程组
解方程组，得
二次函数解析式为.
总结：求二次函数的解析式，需求出a，b，c的值.由已知条件（如二次函数图象上三个点的坐标）列出关于a，b，c的三元一次方程组，求出a，b，c的值，就可以求出此函数的解析式.
例2：如果知道二次函数图象的顶点坐标为A（1，），且过B（2，1）点，请求出解析式.
解法一：
解：设二次函数解析式为.因为顶点坐标为A（1，），所以，，带入解析式为 ，再把B（2，1）带入得，解得，二次函数解析式为.
师总结：若题目中给出顶点坐标和另一个点，可以设二次函数的解析式为，带入坐标求解即可. 二次函数的顶点式有a，h，k三个待定系数，应该知道三个点的坐标，但是h，k是顶点的横、纵坐标，于是再有一个点的坐标即可.解法二比解法一更为便捷.
注意：1.顶点式不能作为结果答题，需要化成一般式答题.2注意所设的二次函数顶点式中的负号.
解法二：
解：设抛物线的解析式为
解得；
∴抛物线的解析式为.
例3：一个二次函数，当自变量时，函数值，当与时，.求二次函数的解析式.
解法一：
解：设所求二次函数为.由已知，函数图象经过（0，），（，0），（，0）得到关于的三元一次方程组
解方程组，得
所求二次函数是.
师：这道题除了把二次函数解析式设为，还有没有其他的解法？
解法二：
∵
又∵，
∴
师：设的两个根为和，则方程可写为的形式，解方程可看成二次函数值为0求自变量x的值，也就是求二次函数与x轴交点的过程，所以方程的两个根是二次函数与x轴两交点的横坐标，那么二次函数可以写为，这个叫做二次函数的双根式也叫两点式.
解：设抛物线解析式为，其中，由抛物线过点（，0），（，0）可知，；∴解析式为；
又∵抛物线过点（0，），∴，∴，∴二次函数为.
总结：二次函数令就是方程，方程的两个根就是抛物线与x轴两个交点横坐标.
师整体总结
提问1：用待定系数法求二次函数解析式有具体哪些方法？
答：一般式、顶点式和双根式.
提问2：根据什么已知条件来设相应的解析式呢？
答：求抛物线解析式，仔细分析已知条件：1. 若无特殊点，设一般式；2. 若给出顶点坐标和另一个点的坐标，就设顶点式；3. 若给出与x轴两交点的坐标和另一个点的坐标，就设两点式.
注意：如果已知中只给出与x轴的一个交点，那么这不是特殊点.
生思考交流，小组讨论.
生1：可以先设出来二次函数，设所求二次函数为.由已知，得到关于的三元一次方程组
解方程组，得
生2：那么二次函数解析式为.
生1：因为顶点坐标为A（1，），所以，，二次函数解析式为，再
把B（2，1）带入得解析式，得，解得，二次函数解析式为，一般式为
生2：顶点坐标为A（1，），那么，，再把点B（2，1）带入一般式，应该是可以求的.
生3：观察抛物线所过三个点，其中（，0），（，0）两点纵坐标为0，说明这是抛物线与x轴的两个交点，不妨设双根式：，其中，，再带入点（0，）求出a即可.
生1：设一般式、顶点式和双根式.
生2：1.给了顶点坐标和另一个点，就设顶点式；2.给了与x轴交点的两个点和另一个点，就设两点式；3.给了任意三个点，就设一般式.
通过例题巩固理解二次函数与之间的联系，并让学生感受抽象的一般形式具有广泛的应用价值，二次函数的一般形式代表了所有的二次函数，因此顶点公式和对称轴适用于所有的二次函数.并会运用顶点坐标公式计算相应的顶点坐标.
在学习过程中，使学生亲自体会到学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣并获得成功感.
环节四 巩固新知
【巩固练习】
1：求经过，，三点的抛物线的解析式.
解：设二次函数解析式为，带入，，，列方程组为
解得
∴所求抛物线的解析式为.
2.二次函数的图象如图，则它的解析式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
解法一：
解：设抛物线解析式为，其中，由图像可知，；∴解析式为；
又∵抛物线过点（2，0），∴，∴，∴二次函数为.
解法二：
解：由图可知，二次函数的顶点坐标是（1，2），并且过点（2，0），那么设二次函数的解析式为，用待定系数法，求得，求得解析式为，一般式为，选D.
解法三：
解：由图可知，由图可知，二次函数与x轴交点坐标是（2，0）和（0，0），又过（1，2）点，因此设解析式为，求得.
解析式为，选D.
找学生板演，对于易错点和难点加以强调和纠正，有助于学生运算正确，并且适当鼓励学生养成良好的运算习惯和建立学好数学的自信心.
生1：经过三点，可以设二次函数解析式为，然后用待定系数法即可.
生2：设经过，，三点的二次函数解析式为.
由题意得
解得
∴所求抛物线的解析式为.
进一步巩固本节课的内容.了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.
环节五 课堂小结
提问：本节课你学到了哪些知识？
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：
生1；学习了设二次函数求解析式的方法.
生2：学习了设二次函数为，求解析式的方法.
生3：学习了设二次函数为，求解析式的方法.
通过提问让学生回顾、总结求二次函数解析式的方法，并帮助学生梳理本节课所学内容.
环节六
布置作业
教科书第42页练习第10-11题.
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