江苏省连云港市东海县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题（含答案）

这是一份江苏省连云港市东海县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题（含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省连云港市东海县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）数轴上表示数a的点在原点左侧，表示数b的点在原点右侧，下列事件是随机事件的是（　　）
A．a﹣b＞0 B．a+b＞0 C．a•b＜0 D．
4．（3分）下表是我市5月1日﹣7日最高气温的记录表：
5月1日
5月2日
5月3日
5月4日
5月5日
5月6日
5月7日
21℃
25℃
27℃
29℃
28℃
30℃
26℃
如果要更直观反映我市一周每天的最高气温的变化趋势，你认为应该采用（　　）
A．折线统计图 B．条形统计图
C．频数分布直方图 D．扇形统计图
5．（3分）下列点中和（﹣3，2）在同一个反比例函数图象上的是（　　）
A．（﹣2，3） B．（3，2） C．（1，6） D．（﹣6，﹣1）
6．（3分）根据分式的基本性质，分式可变形为（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）如图1，直线l1∥l2，直线l3分别交直线l1，l2于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论：
①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形；
②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形．下列判断正确的是（　　）

A．①②都正确 B．①错误，②正确
C．①②都错误 D．①正确，②错误
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（　　）

A．AB＝AN B．AB∥NC C．∠AMN＝∠ACN D．MN⊥AC
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是　 　．
10．（3分）请写出一个图象分布在第二、四象限的反比例函数的解析式为　 　．
11．（3分）端午节期间，质监部门要对市场上粽子质量情况进行调查，适合采用的调查方式是 　 　．（填“全面调查”或“抽样调查”）
12．（3分）投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．下表记录了一组游戏参与者的投查结果．
投壶次数n
50
100
150
200
250
300
400
500
投中次数m
28
46
72
104
125
153
200
250
投中频率
0.56
0.46
0.48
0.52
0.50
0.51
0.50
0.50
根据以上数据，估计这组游戏参与者投中的概率约为 　 　（结果精确到0.1）．

13．（3分）若为整数，x为正整数，则x的值为 　 　．
14．（3分）综合实践活动课上，小亮将一张面积为6cm2，其中一边BC为4cm的锐角三角形纸片（如图1），经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形BCDE（如图2），则矩形的周长为 　 　．

15．（3分）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是 　 　．
16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O为矩形ABCD的对称中心，点E为边AB上的动点，连接EO并延长交CD于点F．将四边形AEFD沿着EF翻折，得到四边形A'EFD'边A′E交边BC于点G，连接OG、OC，则△OGC的面积的最小值为 　 　．
​

三、解答题（本题共10小题，共102分，解答时写出必要的文字说明、说理过程或演算步骤）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
18．（8分）计算：
（1）；
（2）．
19．（10分）解下列方程：
（1）；
（2）．
20．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝．
21．（10分）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm．
（1）求h关于ρ的函数解析式；
（2）当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，求该液体的密度ρ．

22．（10分）为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图．
整理描述
初中学生视力情况统计表

人数
百分比

8
4%
0.7
16
8%
0.8
28
14%
0.9
34
17%
1.0
m
34%
1.1及以上
46
n
合计
200
100%
​（1）m＝　 　，n＝　 　；
（2）被调查的高中学生视力情况的样本容量为 　 　．
分析处理
（3）视力未达到1.0为视力不良．若该区有26000名初中学生，估计该区有多少名初中学生视力不良？
（4）请对该区中学生视力保护提出一条合理化建议．

23．（10分）如图在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，的中点．
（1）求证：BE＝DF；
（2）设AC＝kBD，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．

24．（12分）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗，今年端午节来临之际，某商场进来鲜肉粽和红枣粽．每千克鲜肉粽进价比红枣粽多6元，用360元购进鲜肉粽的数量和用240元购进红枣粽的数量同样多．根据以上信息，解答下列问题：
（1）该商场每千克鲜肉粽的进价是多少元？
（2）如果该商场购进鲜肉粽和红枣粽500千克，且总费用不超过8400元，并按照鲜肉粽每千克24元，红枣粽每千克16元全部售出，那么该商场购进多少千克鲜肉粽获得利润最大？最大利润是多少？
25．（12分）【问题情境】期中调研试题中的第26题对苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题进行了探究．小明在期末复习时，对该题进行了新的探究．
【探究活动1】（1）如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且GE⊥BF，垂足为M．那么GE与BF相等吗？证明你的结论；
【探究活动2】（2）如图，在（1）的条件下，当M在正方形ABCD的对角线AC上时，连接BG，将△BMG沿着BG翻折，点M落在点M'处．
①四边形BMGM′是正方形吗？请说明理由；
②若AB＝6，如图，点P在AC上，且AC＝3AP，直接写出M'P+M'B的最小值为 　 　．
26．（14分）【提出定义】已知y是x的函数，当x＝m时，函数值y＝p；当x＝n时，函数值y＝q，若q＝ip（i为正整数），则称m≤x≤n为该函数的i倍区间．如，函数y＝﹣x﹣2中，当x＝2时，y＝﹣4，当x＝10时，y＝﹣12，﹣12＝3×（﹣4），所以2≤x≤10是函数y＝﹣x﹣2的3倍区间．
【理解内化】
（1）若﹣6≤x≤﹣3是函数y＝的i倍区间，则i＝　 　；
（2）已知m≤x≤n是函数y＝（k≠0）的i倍区间（i为正整数），点A（m，p）、B（n，q）是函数y＝（k≠0）图象上的两点．
①试说明：n＜0；
②当k＝4，i＝2时，求△OAB的面积；
【拓展应用】
（3）已知a≤x≤a+4是函数y＝（k≠0）的3倍区间，在此区间内，该函数的最大值与最小值的差为，求a、k的值．

2022-2023学年江苏省连云港市东海县八年级（下）期末数学试卷（参考答案）
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C选项选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、8＝2×22，被开方数含开得尽的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、被开方数中含有字母，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、被开方数a2中含开得尽的因式，不是最简二次根式，故本选项错误；
D、被开方数a2+1中不含开得尽的因数或因式，是最简二次根式，故本选项正确；
故选：D．
3．（3分）数轴上表示数a的点在原点左侧，表示数b的点在原点右侧，下列事件是随机事件的是（　　）
A．a﹣b＞0 B．a+b＞0 C．a•b＜0 D．
【解答】解：∵数轴上表示数a的点在原点左侧，表示数b的点在原点右侧，
∴a＜0，b＞0，
A、a﹣b＞0，是不可能事件，故A不符合题意；
B、a+b＞0，是随机事件，故B符合题意；
C、a•b＜0，是必然事件，故C不符合题意；
D、＞0，是不可能事件，故D不符合题意；
故选：B．
4．（3分）下表是我市5月1日﹣7日最高气温的记录表：
5月1日
5月2日
5月3日
5月4日
5月5日
5月6日
5月7日
21℃
25℃
27℃
29℃
28℃
30℃
26℃
如果要更直观反映我市一周每天的最高气温的变化趋势，你认为应该采用（　　）
A．折线统计图 B．条形统计图
C．频数分布直方图 D．扇形统计图
【解答】解：如果要更直观反映我市一周每天的最高气温的变化趋势，我认为应该采用折线统计图，
故选：A．
5．（3分）下列点中和（﹣3，2）在同一个反比例函数图象上的是（　　）
A．（﹣2，3） B．（3，2） C．（1，6） D．（﹣6，﹣1）
【解答】解：点（﹣3，2）在反比例函数的图象上，
∴k＝﹣3×2＝﹣6，
∵点（﹣2，3），﹣2×3＝﹣6，
因此（﹣2，3）在函数的图象上，
故选：A．
6．（3分）根据分式的基本性质，分式可变形为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：＝﹣，
故选：C．
7．（3分）如图1，直线l1∥l2，直线l3分别交直线l1，l2于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论：
①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形；
②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形．下列判断正确的是（　　）

A．①②都正确 B．①错误，②正确
C．①②都错误 D．①正确，②错误
【解答】解：根据作图过程可知：AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，
∵l1∥l2，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝CB，
∴四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD对角线互相垂直．
∴①错误，②正确．
故选B．
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（　　）

A．AB＝AN B．AB∥NC C．∠AMN＝∠ACN D．MN⊥AC
【解答】解：A、∵AB＝AC，
∴AB≥AM，
由旋转的性质可知，AN＝AM，
∴AB≥AN，故本选项结论错误，不符合题意；
B、当△ABC为等边三角形时，AB∥NC，除此之外，AB与NC不平行，故本选项结论错误，不符合题意；
C、由旋转的性质可知，∠BAC＝∠MAN，∠ABC＝∠ACN，
∵AM＝AN，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠AMN，
∴∠AMN＝∠ACN，本选项结论正确，符合题意；
D、只有当点M为BC的中点时，∠BAM＝∠CAM＝∠CAN，才有MN⊥AC，故本选项结论错误，不符合题意；
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是　x≠5　．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣5≠0，解得：x≠5．
故答案为：x≠5．
10．（3分）请写出一个图象分布在第二、四象限的反比例函数的解析式为　y＝﹣（答案不唯一）　．
【解答】解：∵函数图象分布在第二、四象限，
∴k＜0，
∴反比例函数的解析式可以为：y＝﹣（答案不唯一）．
故答案为：y＝﹣（答案不唯一）．
11．（3分）端午节期间，质监部门要对市场上粽子质量情况进行调查，适合采用的调查方式是 　抽样调查　．（填“全面调查”或“抽样调查”）
【解答】解：∵市场上的粽子数量较大，
∴适合采用抽样调查．
故答案为：抽样调查．
12．（3分）投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．下表记录了一组游戏参与者的投查结果．
投壶次数n
50
100
150
200
250
300
400
500
投中次数m
28
46
72
104
125
153
200
250
投中频率
0.56
0.46
0.48
0.52
0.50
0.51
0.50
0.50
根据以上数据，估计这组游戏参与者投中的概率约为 　0.5　（结果精确到0.1）．

【解答】解：由频率分布表可知，随着投壶次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.5附近，
∴这组游戏参与者投中的概率约为0.5，
故答案为：0.5．
13．（3分）若为整数，x为正整数，则x的值为 　3或6或7　．
【解答】解：由题意得，7﹣x≥0．
∴x≤7．
∵x为正整数，
∴x可能为1、2、3、4、5、6、7．
∵为整数，
∴x＝3或6或7．
故答案为：3或6或7．
14．（3分）综合实践活动课上，小亮将一张面积为6cm2，其中一边BC为4cm的锐角三角形纸片（如图1），经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形BCDE（如图2），则矩形的周长为 　11cm　．

【解答】解：延长AT交BC于点P，

∵AP⊥BC，
∴•BC•AP＝6，
∴×4×AP＝6，
∴AP＝3（cm），
由题意，AT＝PT＝（cm），
∴BE＝CD＝PT＝3（cm），
∵DE＝BC＝4cm，
∴矩形BCDE的周长为4+4++＝11（cm）．
故答案为：11cm．
15．（3分）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是 　m＞﹣4且m≠﹣3　．
【解答】解：方程两边同时乘以（x﹣1）得：
3x＝﹣m+4（x﹣1），
解得：x＝m+4，
∵关于x的分式方程的解为正数，
∴m+4＞0，
∴m＞﹣4，
∵x﹣1≠0，
∴m+4﹣1≠0，
∴m≠﹣3，
∴m的取值范围是m＞﹣4且m≠﹣3，
故答案为：m＞﹣4且m≠﹣3．
16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O为矩形ABCD的对称中心，点E为边AB上的动点，连接EO并延长交CD于点F．将四边形AEFD沿着EF翻折，得到四边形A'EFD'边A′E交边BC于点G，连接OG、OC，则△OGC的面积的最小值为 　+6　．
​

【解答】解：在EA上截取EM＝EG，连接OM，

由折叠得：∠MEO＝∠GEO，
又∵EO＝EO，
∴△MOE≌△GOE，
∴OM＝OG，
∴OM最短时，OG也就最短，
而当OM⊥AB时，OM最短，
此时，∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴OM＝BC＝5＝OG，
即OG的最小值是5，
在△OGC中，∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴OC长度是矩形对角线长度的一半，即是5，定值，∠BCO度数也不变，是定值，
∴当OG＝4最小值时，△OGC面积最小．
过点O作OH⊥BC，
∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴OH＝AB＝3，
∴Rt△OGH中，GH＝＝＝，
Rt△OHC中，HC＝＝＝4，
∴GC＝GH+HC＝+4，
∴△OGC面积的最小值是×GC×OH＝×（+4）×3＝+6．
故答案为：+6．
三、解答题（本题共10小题，共102分，解答时写出必要的文字说明、说理过程或演算步骤）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝+2
＝3；

（2）原式＝2﹣6﹣2
＝﹣6．
18．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝
＝．
（2）
＝
＝
＝
19．（10分）解下列方程：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）去分母得：2（3﹣x）＝4+x，
解得：x＝，
检验：把x＝代入得：2（4+x）≠0，
∴分式方程的解为x＝；
（2）去分母得：﹣3+2（x﹣4）＝1﹣x，
解得：x＝4，
检验：把x＝4代入得：x﹣4＝0，
∴x＝4是增根，分式方程无解．
20．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝．
【解答】解：（1﹣）÷
＝
＝x+1
当时，原式＝
21．（10分）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm．
（1）求h关于ρ的函数解析式；
（2）当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，求该液体的密度ρ．

【解答】解：（1）设h关于ρ的函数解析式为 ，
把ρ＝1，h＝20代入解析式，得k＝1×20＝20，
∴h关于ρ的函数解析式为 ；
（2）把 h＝25 代入 ，得 ，
解得：ρ＝0.8，
答：该液体的密度ρ为 0.8g/cm3．
22．（10分）为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图．
整理描述
初中学生视力情况统计表

人数
百分比

8
4%
0.7
16
8%
0.8
28
14%
0.9
34
17%
1.0
m
34%
1.1及以上
46
n
合计
200
100%
​（1）m＝　68　，n＝　23%　；
（2）被调查的高中学生视力情况的样本容量为 　320　．
分析处理
（3）视力未达到1.0为视力不良．若该区有26000名初中学生，估计该区有多少名初中学生视力不良？
（4）请对该区中学生视力保护提出一条合理化建议．

【解答】解：（1）m＝200×34%＝68，n＝46÷200×100%＝23%，
故答案为：68，23%；
（2）被调查的高中学生视力情况的样本容量为14+44+60+82+65+55＝320，
故答案为：320；
（3）26000×
＝11180（名）．
答：估计该区有11180名中学生视力不良；
（4）建议该区中学生坚持每天做眼保健操，养成良好的用眼习惯．
23．（10分）如图在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，的中点．
（1）求证：BE＝DF；
（2）设AC＝kBD，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
又∵E，F分别是OA、OC的中点，
∴OE＝OA，OF＝OC，
∴OE＝OF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：当k＝2时，四边形DEBF是矩形，
理由：∵OA＝OC，OE＝OA＝AC，OF＝OC＝AC，AC＝2BD，
∴EF＝BD，
又∵四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是矩形．
24．（12分）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗，今年端午节来临之际，某商场进来鲜肉粽和红枣粽．每千克鲜肉粽进价比红枣粽多6元，用360元购进鲜肉粽的数量和用240元购进红枣粽的数量同样多．根据以上信息，解答下列问题：
（1）该商场每千克鲜肉粽的进价是多少元？
（2）如果该商场购进鲜肉粽和红枣粽500千克，且总费用不超过8400元，并按照鲜肉粽每千克24元，红枣粽每千克16元全部售出，那么该商场购进多少千克鲜肉粽获得利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设该商场每千克鲜肉粽的进价是x元，则每千克红枣粽的进价是（x﹣6）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝18，
经检验，x＝18是所列方程的解，且符合题意．
答：该商场每千克鲜肉粽的进价是18元；
（2）设该商场购进m千克鲜肉粽，则购进（500﹣m）千克红枣粽，
根据题意得：18m+（18﹣6）（500﹣m）≤8400，
解得：m≤400．
设购进的鲜肉粽和红枣粽全部售出后该商场获得的总利润为w元，则w＝（24﹣18）m+[16﹣（18﹣6）]（500﹣m），
即w＝2m+2000，
∵2＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝400时，w取得最大值，最大值＝2×400+2000＝2800．
答：该商场购进400千克鲜肉粽获得利润最大，最大利润是2800元．
25．（12分）【问题情境】期中调研试题中的第26题对苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题进行了探究．小明在期末复习时，对该题进行了新的探究．
【探究活动1】（1）如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且GE⊥BF，垂足为M．那么GE与BF相等吗？证明你的结论；
【探究活动2】（2）如图，在（1）的条件下，当M在正方形ABCD的对角线AC上时，连接BG，将△BMG沿着BG翻折，点M落在点M'处．
①四边形BMGM′是正方形吗？请说明理由；
②若AB＝6，如图，点P在AC上，且AC＝3AP，直接写出M'P+M'B的最小值为 　2　．
【解答】解：（1）相等，理由如下：
如图，过点A作AN∥GE，交BF于点H，交BC于点N，

∴∠GMB＝∠AHB＝90°，
∴∠MBN+∠BHN＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB＝BC，∠BAD＝∠ABC＝∠C＝90°
∵AD∥BC，AN∥GE，
∴四边形ANEG为平行四边形，
∴AN＝EG，
∵∠C＝90°，
∴∠MBN+∠BFC＝90°，
∴∠BHN＝∠BFC．
在△ABN和△BCF中，
，
∴△ABN≌△BCF（AAS），
∴AN＝BF，
又∵AN＝EG，
∴GE＝BF．
（2）①是，理由如下：
连接DM．

由（1）的结论可知：GE＝BF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAM＝∠DAM＝45°，
在△BAM和△DAM中，
，
∴△BAM≌△DAM（ASA），
∴∠ABM＝∠ADM，BM＝DM，
由折叠可知：GM＝GM'，BM＝BM'．
∵∠BAG+∠BMG＝180°，
∴∠ABM+∠AGM＝180°，
∵∠DGM+∠AGM＝180°，
∴∠DGM＝∠ABM，
∴∠DGM＝∠GDM，
∴GM＝DM，
∴GM＝BM，
∴GM＝GM'＝BM＝BM'，
∴四边形BMGM'为菱形，
又∵∠GMB＝90°，
∴四边形BMGM'为正方形．
②作M'Q⊥AD交DA的延长线于点Q，作MH⊥AD交AD于点H．

∵∠HGM+∠GMH＝∠HGM+∠QGM′＝90°，
∴∠QGM′＝∠GMH，
∵∠M′QG＝∠GHM＝90°，M′G＝MG，
∴△GM'Q≌△MGH（AAS），
∴M'Q＝GH，MH＝GQ＝AG+AQ．
∵∠AHM＝90°，∠DAM＝45°，
∴△AHM为等腰直角三角形，
∴MH＝AH＝GH+AG，
∴GH＝AQ＝M'Q．
∴∠M'AQ＝45°，
∴∠BAM'＝45°，∠M'AC＝90°，
作点P关于AM'的对称点P'，则PM'＝M'P'，AP'＝AP＝2，
∴PM'+BM'＝P'M'+BM'．
作P'K⊥BA交BA的延长线于点K，易证AK＝P'K＝2，
∵P'M'+BM'≥BP'，
∴P'M'+BM'的最小值＝BP′＝＝2，即PM'+BM′的最小值为2．
故答案为：2．
26．（14分）【提出定义】已知y是x的函数，当x＝m时，函数值y＝p；当x＝n时，函数值y＝q，若q＝ip（i为正整数），则称m≤x≤n为该函数的i倍区间．如，函数y＝﹣x﹣2中，当x＝2时，y＝﹣4，当x＝10时，y＝﹣12，﹣12＝3×（﹣4），所以2≤x≤10是函数y＝﹣x﹣2的3倍区间．
【理解内化】
（1）若﹣6≤x≤﹣3是函数y＝的i倍区间，则i＝　2　；
（2）已知m≤x≤n是函数y＝（k≠0）的i倍区间（i为正整数），点A（m，p）、B（n，q）是函数y＝（k≠0）图象上的两点．
①试说明：n＜0；
②当k＝4，i＝2时，求△OAB的面积；
【拓展应用】
（3）已知a≤x≤a+4是函数y＝（k≠0）的3倍区间，在此区间内，该函数的最大值与最小值的差为，求a、k的值．
【解答】解：（1）由题知，
当x＝﹣6时，y＝﹣1；当x＝﹣3时，y＝﹣2．
又﹣2＝2×（﹣1），所以i＝2．
故答案为：2．
（2）①根据题意得，p＝，q＝，
则，
又k≠0，所以，即．
又i为正整数，所以．
假设n＞0，则m≥n，
这与题中，m≤n矛盾，
所以n＜0．
②当k＝4，i＝2时，m＝2n，反比例函数表达式为：．
则A（m，），B（n，）
又n＜0，则A，B两点都在第三象限这一支上．
如图所示：

分别过A，B两点作x轴垂线，垂足分别为E，F．
则S△OAB+S△AEO＝S△BOF+S梯形AEFB．
又S△AEO＝S△BOF＝2，
所以S△OAB＝S梯形AEFB．
又S梯形AEFB＝＝．
且m＝2n，则＝3．
所以S△OAB＝3．
（3）因为a≤x≤a+4是函数的3倍区间，
由（2）知 a＝3（a+4）．
解得 a＝﹣6．
当k＞0时，反比例函数位于一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小．
所以，解得k＝．
当k＜0时，反比例函数位于二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大．
所以，解得k＝．
综上所述 a＝﹣6，k＝．