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2022-2023学年新疆塔城地区沙湾市八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年新疆塔城地区沙湾市八年级（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年新疆塔城地区沙湾市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列式子是最简二次根式的是( )
A. 8 B. 23 C. 0.5 D. 30
2. 下列等式成立的是( )
A. 2+ 3= 5 B. 18=2 3 C. 2⋅ 3= 5 D. 6÷ 3= 2
3. 下列各组数中，不能作直角三角形三边长的是( )
A. 4，5，6 B. 1，1， 2 C. 5，3，4 D. 1， 2， 3
4. 下列对于一次函数y=−3x+2的描述错误的是( )
A. y随x的增大而减小
B. 图象经过点(2,4)
C. 图象与直线y=3x相交
D. 图象可由直线y=−3x向上平移2个单位得到
5. 已知甲、乙两组数据的平均数都是15，甲组数据的方差s2=1，乙组数据的方差s2=8，下列结论中正确的是( )
A. 甲组数据比乙组数据的波动大 B. 乙组数据比甲组数据的波动大
C. 甲组数据与乙组数据的波动一样大 D. 甲组数据与乙组数据的波动不能比较
6. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A. AB//DC，AD//BC B. AB//DC，∠DAB=∠DCB
C. AO=CO，AB=DC D. AB//DC，DO=BO
7. 如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，∠B=100°，则∠DEA等于( )
A. 100° B. 80° C. 60° D. 40°
8. 一次函数y=12x+n图象上有两点A(−2,y1)，B(3,y2)，则y1、y2的大小关系为( )
A. y1>y2 B. y1=y2 C. y1
A. 24
B. 28
C. 20
D. 12
10. 如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）
11. 若二次根式 3−5x有意义，则x的取值范围是______．
12. 评定学生的学科期末成绩由考试分数，作业分数，课堂参与分数三部分组成，并按3：2：5的比例确定，已知小明的数学考试85分，作业90分，课堂参与80分，则他的数学期末成绩为______ 分.
13. 如右图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是______．
14. 已知菱形ABCD，AC=8，BD=6，则该菱形的面积是______ ．
15. 将函数y=−3x+1的图象向上平移2个单位长度后，所得图象的函数关系式为______ ．
16. 如图，函数y=ax和y=bx+c的图象相交于点A(1,2)，则不等式ax>bx+c的解集为______ ．
17. 如图，点M是菱形ABCD的边BC的中点，P为对角线BD上的动点，若AB=2，∠A=120°，则PM+PC的最小值为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
18. 计算
(1) 27− 12+ 45；
(2) 27× 13−( 5+ 3)( 5− 3).
四、解答题（本大题共5小题，共39.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°.求四边形ABCD的面积．
20. (本小题7.0分)
中华文明，源远流长，中华汉字，寓意深广．为了传承优秀传统文化，我地区某校举行了一次由全校1000名学生参加的“汉字听写”大赛．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了部分学生的成绩(成绩x取整数，总分100分)作为样本进行整理，划分成相对应的A(90≤x≤100)、B(80≤x<90)、C(70≤x<80)、D(60≤x<70)、E(50≤x<60)五个等级，并将结果绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，但均不完整．
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)抽取了______名学生的成绩；
(2)请补全条形统计图；
(3)此次所抽取学生比赛成绩的中位数落在______等级中；
(4)若成绩在90分以上的A级(包括90分)为“优”等，则该校参加这次比赛的1000名学生中成绩“优”等的学生大约有多少人？
21. (本小题8.0分)
已知：如图，在▱ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．
(1)求证：△ABE≌△FCE；
(2)若AF=AD，判断四边形ABFC的形状，并说明理由．
22. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A(−2,0)，与y轴交于点B，且与正比例函数y=3x的图象交于点C(1,m)．
(1)求点C的坐标；
(2)求一次函数y=kx+b的表达式；
(3)若点P是y轴上一点，且△BPC的面积为3，请直接写出点P的坐标．
23. (本小题10.0分)
某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A． 8=2 2，因此选项A不符合题意；
B. 23= 63，因此选项B不符合题意；
C. 0.5= 12= 22，因此选项C不符合题意；
D. 30的被开方数是整数，且不含有能开得尽方的因数，因此 30是最简二次根式，因此选项D符合题意；
故选：D．
根据最简二次根式的定义，逐项进行判断即可．
本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的定义是正确判断的前提．
2.【答案】D
【解析】解：(A)原式= 2+ 3，故A错误；
(B)原式=3 2，故B错误；
(C)原式= 6，故C错误；
故选：D．
根据二次根式的运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算，本题属于基础题型．
3.【答案】A
【解析】解：A.∵42+52=16+25=41，62=36，
∴42+52≠62，
∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
B.∵12+12=1+1=2，( 2)2=2，
∴12+12=( 2)2，
∴以1，1， 2为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C.∵32+42=9+16=25，52=25，
∴32+42=52，
∴以5，3，4为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D.∵12+( 2)2=1+2=3，( 3)2=3，
∴12+( 2)2=( 3)2，
∴以1， 2， 3为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
4.【答案】B
【解析】解：A、由于一次函数y=−3x+2中的k=−3<0，所以y随x的增大而减小，故不符合题意．
B、令x=2，则y=−6+2=−4，即一次函数y=−3x+2图象经过点(2,−4)，故符合题意．
C、直线y=−3x+2中的k=−3，直线y=3x中的k=3，故两直线不平行，则相交，故不符合题意．
D、直线y=−3x向上平移2个单位得到y=−3x+2，故不符合题意．
故选：B．
根据一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与直线的交点以及一次函数图象与几何变换进行分析判断．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵甲组数据的方差s2=1，乙组数据的方差s2=8，
∴s甲2
故选：B．
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
6.【答案】C
【解析】解：A、∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、∵AB//DC，
∴∠DAB+∠ADC=180°，
∵∠DAB=∠DCB，
∴∠DCB+∠ADC=180°，
∴AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、∵AO=CO，AB=DC，∠AOB=∠COD，不能判定△AOB≌△COD，
∴不能得到∠OAB=∠OCD，
∴不能得到AB//CD，
∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、∵AB//DC，
∴∠OAB=∠OCD，
在△AOB和△COD中，
∠OAB=∠OCD∠AOB=∠CODBO=DO，
∴△AOB≌△COD(AAS)，
∴AB=DC，
又∵AB//DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：C．
分别利用平行四边形的判定方法和全等三角形的判定与性质进行判断，即可得出结论．
此题主要考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定与性质等知识，正确把握平行四边形的判定方法是解题关键．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质，并利用了两直线平行，同旁内角互补和角的平分线的性质．根据平行四边形的性质和角平分线的定义求解．
【解答】
解：在▱ABCD中，
∵AD//BC，
∴∠DAB=180°−∠B=180°−100°=80°．
∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE=12∠DAB=40°．
∵AB//CD，
∴∠DEA=∠BAE=40°．
故选D．
8.【答案】C
【解析】解：在一次函数y=12x+n中，
∵k=12>0，
∴y随x的增大而增大，
∵−2<3，
∴y1
在y=kx+b中，当k>0时，y随x的增大而增大，利用一次函数的增减性进行判断即可．
本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键，在y=kx+b中，当k>0时y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小．
9.【答案】B
【解析】解：如图，∵∠AFC=90°，AE=CE，AC=20，
∴EF=12AC=10，
又DF=4，
∴DE=4+10=14；
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴BC=2DE=28，
故选：B．
如图，首先证明EF=10，继而得到DE=6；再证明DE为△ABC的中位线，即可解决问题．
本题主要考查了三角形的中位线定理、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握三角形的中位线定理、直角三角形的性质等几何知识点是解题的基础和关键．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
根据动点从点A出发，首先向点D运动，此时y=0，当点P在DC上运动时，y随着x的增大而增大，当点P在CB上运动时，y不变，当点P在BA上运动时，y随着x的增大而减小，据此作出选择即可．
本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y随x的变化而变化的趋势．
【解答】
解：当点P由点A向点D运动，即0≤x≤4时，y的值为0；
当点P在DC上运动，即4
11.【答案】x≤35
【解析】解：二次根式 3−5x有意义，
则3−5x≥0，
解得x≤35．
故答案为：x≤35．
根据二次根式有意义的条件可得3−5x≥0，再解即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
12.【答案】83.5
【解析】解：根据题意得：
85×3+90×2+80×53+2+5=83.5(分)，
答：他的数学期末成绩为83.5分．
故答案为：83.5．
根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
本题主要考查了加权平均数的概念．平均数等于所有数据的和除以数据的个数．
13.【答案】 5−1
【解析】解：∵BD= 22+12= 5，
∴BA= 5，
∴a= 5−1．
故答案为： 5−1．
根据勾股定理求出BD的长度，根据弧的半径相等得到BA的长度，从而求出a．
本题考查了实数与数轴，勾股定理，根据勾股定理求出BD的长度是解题的关键．
14.【答案】24
【解析】解：∵菱形ABCD，AC=8，BD=6
∴菱形的面积=12×8×6=24．
故答案为24．
根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可求解．
此题主要考查学生对菱形的面积公式的理解及运用．
15.【答案】y=−3x+3
【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将函数y=−3x+1的图象向上平移2个单位所得函数的解析式为y=−3x+1+2，即y=−3x+3．
故答案为：y=−3x+3
根据“上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．
16.【答案】x>1
【解析】解：当x>1时，ax>bx+c，即不等式ax>bx+c的解集为x>1．
故答案为x>1．
观察函数图象，当x>1时，直线y=ax都在直线y=bx+c的上方，由此可得不等式ax>bx+c的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
17.【答案】 3
【解析】解：连接PA，AC，AM，
∵四边形ABCD是菱形，
∴对角线BD是其一条对称轴，
∴PA=PC，
∴PM+PC=PM+PA≥AM，
∴PM+PC的最小值为线段AM的长；
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴AB=CB=2，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵M是BC的中点，
∴AM⊥BC，BM=1，
在Rt△ABM中，
AM= AB2−BM2= 22−12= 3，
∴PM+PC的最小值为： 3，
故答案为： 3．
连接PA，AC，AM，由菱形的性质和两点之间线段最短，得出PM+PC的最小值为线段AM的长，再求出AM的长即可．
本题考查轴对称−最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，能将两条线段的和的最小值转化为一条线段的长是解题的关键．
18.【答案】解：(1) 27− 12+ 45
=3 3−2 3+3 5
= 3+3 5；
(2) 27× 13−( 5+ 3)( 5− 3)
= 9−(5−3)
=3−2
=1．
【解析】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
(1)根据二次根式的加减法可以解答本题；
(2)根据二次根式的乘法、平方差公式可以解答本题．
19.【答案】解：∵∠B=90°，AB=3，BC=4，
∴AC= 32+42=5，
在△ACD中，∵AC2+CD2=25+144=169=AD2，
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=12AB⋅BC+12AC⋅CD
=12×3×4+12×5×12
=6+30
=36．
【解析】先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可．
本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状是解答此题的关键，难度适中．
20.【答案】200 B
【解析】解：(1)抽取学生人数为：30÷15%=200(名)，
故答案为：200；
(2)B等级的人数为：200−10−20−30−80=60(人)，
补全条形统计图
(3)此次所抽取学生比赛成绩的中位数落在B等级中；
故答案为：B．
(4)80200×1000=400(人)，
答：该校参加这次比赛的1000名学生中成绩“优”等的学生大约有400人．
(1)用C等级人数除以15%即可得出样本容量；
(2)用总人数减去其它成绩的人数，求出B等级的人数，从而补全统计图；
(3)根据中位数的定义解答即可；
(4)用总人数乘以不低于90分人数所占的百分比即可．
本题考查了条形统计图，样本估计总体，扇形统计图等知识，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
21.【答案】证明：(1)如图．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC即AB//DF，
∴∠1=∠2，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE．
在△ABE和△FCE中，
∠1=∠2∠3=∠4BE=CE，
∴△ABE≌△FCE(AAS)．
(2)解：四边形ABFC是矩形．理由如下：
∵△ABE≌△FCE，
∴AB=FC，
∵AB//FC，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∴AD=BC，
∵AF=AD，
∴AF=BC，
∴四边形ABFC是矩形．
【解析】(1)根据平行四边形性质得出AB//DC，推出∠1=∠2，根据AAS证两三角形全等即可；
(2)根据全等得出AB=CF，根据AB//CF得出平行四边形ABFC，推出BC=AF，根据矩形的判定推出即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，熟练掌握基本图形的性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵点C(1,m)在y=3x的图象上，
∴m=3×1=3，
∴点C坐标为(1,3)．
(2)∵一次函数y=kx+b的图象过点A(−2,0)、点C(1,3)，
∴−2k+b=0,k+b=3.
解得：k=1b=2，
∴一次函数的表达式为：y=x+2．
(3)令x=0，则y=x+2=2，
∴B(0,2)，
∵△BPC的面积为3，
∴S△BPC=12BP⋅xC=3，即12BP⋅1=3，
∴BP=6，
∴点P的坐标为(0,8)或(0,−4)．
【解析】(1)把点C(1,m)代入y=3x，求出点C的坐标即可，
(2)利用用待定系数法求解即可；
(3)由y=x+2可求得B的坐标，即可利用三角形面积得到12BP⋅1=3，解得BP=6，进而即可求得P的坐标．
此题考查的是一次函数交点的坐标的特征，用待定系数法可对解析式进行求解．计算面积时，要注意到点坐标的数值可作为三角形的一条高．
23.【答案】解：(1)设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；
根据题意得10a+20b=400020a+10b=3500，解得a=100b=150．
答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元；
(2)①根据题意得，y=100x+150(100−x)，
即y=−50x+15000；
②据题意得，100−x≤2x，
解得x≥3313，
∵y=−50x+15000，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x=34时，y取最大值，则100−x=66，
此时最大利润是y=−50×34+15000=13300．
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大，最大利润是13300元．
【解析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，读懂题目信息，准确找出等量关系列出方程组是解题的关键，利用一次函数的增减性求最值是常用的方法，需熟练掌握．
(1)设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；然后根据销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元列出方程组，然后求解即可；
(2)①根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解；
②根据B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍列不等式求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可．
2022-2023学年新疆塔城地区沙湾市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列式子是最简二次根式的是( )
A. 8 B. 23 C. 0.5 D. 30
2. 下列等式成立的是( )
A. 2+ 3= 5 B. 18=2 3 C. 2⋅ 3= 5 D. 6÷ 3= 2
3. 下列各组数中，不能作直角三角形三边长的是( )
A. 4，5，6 B. 1，1， 2 C. 5，3，4 D. 1， 2， 3
4. 下列对于一次函数y=−3x+2的描述错误的是( )
A. y随x的增大而减小
B. 图象经过点(2,4)
C. 图象与直线y=3x相交
D. 图象可由直线y=−3x向上平移2个单位得到
5. 已知甲、乙两组数据的平均数都是15，甲组数据的方差s2=1，乙组数据的方差s2=8，下列结论中正确的是( )
A. 甲组数据比乙组数据的波动大 B. 乙组数据比甲组数据的波动大
C. 甲组数据与乙组数据的波动一样大 D. 甲组数据与乙组数据的波动不能比较
6. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A. AB//DC，AD//BC B. AB//DC，∠DAB=∠DCB
C. AO=CO，AB=DC D. AB//DC，DO=BO
7. 如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，∠B=100°，则∠DEA等于( )
A. 100° B. 80° C. 60° D. 40°
8. 一次函数y=12x+n图象上有两点A(−2,y1)，B(3,y2)，则y1、y2的大小关系为( )
A. y1>y2 B. y1=y2 C. y1
A. 24
B. 28
C. 20
D. 12
10. 如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）
11. 若二次根式 3−5x有意义，则x的取值范围是______．
12. 评定学生的学科期末成绩由考试分数，作业分数，课堂参与分数三部分组成，并按3：2：5的比例确定，已知小明的数学考试85分，作业90分，课堂参与80分，则他的数学期末成绩为______ 分.
13. 如右图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是______．
14. 已知菱形ABCD，AC=8，BD=6，则该菱形的面积是______ ．
15. 将函数y=−3x+1的图象向上平移2个单位长度后，所得图象的函数关系式为______ ．
16. 如图，函数y=ax和y=bx+c的图象相交于点A(1,2)，则不等式ax>bx+c的解集为______ ．
17. 如图，点M是菱形ABCD的边BC的中点，P为对角线BD上的动点，若AB=2，∠A=120°，则PM+PC的最小值为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
18. 计算
(1) 27− 12+ 45；
(2) 27× 13−( 5+ 3)( 5− 3).
四、解答题（本大题共5小题，共39.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°.求四边形ABCD的面积．
20. (本小题7.0分)
中华文明，源远流长，中华汉字，寓意深广．为了传承优秀传统文化，我地区某校举行了一次由全校1000名学生参加的“汉字听写”大赛．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了部分学生的成绩(成绩x取整数，总分100分)作为样本进行整理，划分成相对应的A(90≤x≤100)、B(80≤x<90)、C(70≤x<80)、D(60≤x<70)、E(50≤x<60)五个等级，并将结果绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，但均不完整．
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)抽取了______名学生的成绩；
(2)请补全条形统计图；
(3)此次所抽取学生比赛成绩的中位数落在______等级中；
(4)若成绩在90分以上的A级(包括90分)为“优”等，则该校参加这次比赛的1000名学生中成绩“优”等的学生大约有多少人？
21. (本小题8.0分)
已知：如图，在▱ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．
(1)求证：△ABE≌△FCE；
(2)若AF=AD，判断四边形ABFC的形状，并说明理由．
22. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A(−2,0)，与y轴交于点B，且与正比例函数y=3x的图象交于点C(1,m)．
(1)求点C的坐标；
(2)求一次函数y=kx+b的表达式；
(3)若点P是y轴上一点，且△BPC的面积为3，请直接写出点P的坐标．
23. (本小题10.0分)
某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A． 8=2 2，因此选项A不符合题意；
B. 23= 63，因此选项B不符合题意；
C. 0.5= 12= 22，因此选项C不符合题意；
D. 30的被开方数是整数，且不含有能开得尽方的因数，因此 30是最简二次根式，因此选项D符合题意；
故选：D．
根据最简二次根式的定义，逐项进行判断即可．
本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的定义是正确判断的前提．
2.【答案】D
【解析】解：(A)原式= 2+ 3，故A错误；
(B)原式=3 2，故B错误；
(C)原式= 6，故C错误；
故选：D．
根据二次根式的运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算，本题属于基础题型．
3.【答案】A
【解析】解：A.∵42+52=16+25=41，62=36，
∴42+52≠62，
∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
B.∵12+12=1+1=2，( 2)2=2，
∴12+12=( 2)2，
∴以1，1， 2为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C.∵32+42=9+16=25，52=25，
∴32+42=52，
∴以5，3，4为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D.∵12+( 2)2=1+2=3，( 3)2=3，
∴12+( 2)2=( 3)2，
∴以1， 2， 3为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
4.【答案】B
【解析】解：A、由于一次函数y=−3x+2中的k=−3<0，所以y随x的增大而减小，故不符合题意．
B、令x=2，则y=−6+2=−4，即一次函数y=−3x+2图象经过点(2,−4)，故符合题意．
C、直线y=−3x+2中的k=−3，直线y=3x中的k=3，故两直线不平行，则相交，故不符合题意．
D、直线y=−3x向上平移2个单位得到y=−3x+2，故不符合题意．
故选：B．
根据一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与直线的交点以及一次函数图象与几何变换进行分析判断．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵甲组数据的方差s2=1，乙组数据的方差s2=8，
∴s甲2
故选：B．
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
6.【答案】C
【解析】解：A、∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、∵AB//DC，
∴∠DAB+∠ADC=180°，
∵∠DAB=∠DCB，
∴∠DCB+∠ADC=180°，
∴AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、∵AO=CO，AB=DC，∠AOB=∠COD，不能判定△AOB≌△COD，
∴不能得到∠OAB=∠OCD，
∴不能得到AB//CD，
∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、∵AB//DC，
∴∠OAB=∠OCD，
在△AOB和△COD中，
∠OAB=∠OCD∠AOB=∠CODBO=DO，
∴△AOB≌△COD(AAS)，
∴AB=DC，
又∵AB//DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：C．
分别利用平行四边形的判定方法和全等三角形的判定与性质进行判断，即可得出结论．
此题主要考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定与性质等知识，正确把握平行四边形的判定方法是解题关键．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质，并利用了两直线平行，同旁内角互补和角的平分线的性质．根据平行四边形的性质和角平分线的定义求解．
【解答】
解：在▱ABCD中，
∵AD//BC，
∴∠DAB=180°−∠B=180°−100°=80°．
∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE=12∠DAB=40°．
∵AB//CD，
∴∠DEA=∠BAE=40°．
故选D．
8.【答案】C
【解析】解：在一次函数y=12x+n中，
∵k=12>0，
∴y随x的增大而增大，
∵−2<3，
∴y1
在y=kx+b中，当k>0时，y随x的增大而增大，利用一次函数的增减性进行判断即可．
本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键，在y=kx+b中，当k>0时y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小．
9.【答案】B
【解析】解：如图，∵∠AFC=90°，AE=CE，AC=20，
∴EF=12AC=10，
又DF=4，
∴DE=4+10=14；
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴BC=2DE=28，
故选：B．
如图，首先证明EF=10，继而得到DE=6；再证明DE为△ABC的中位线，即可解决问题．
本题主要考查了三角形的中位线定理、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握三角形的中位线定理、直角三角形的性质等几何知识点是解题的基础和关键．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
根据动点从点A出发，首先向点D运动，此时y=0，当点P在DC上运动时，y随着x的增大而增大，当点P在CB上运动时，y不变，当点P在BA上运动时，y随着x的增大而减小，据此作出选择即可．
本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y随x的变化而变化的趋势．
【解答】
解：当点P由点A向点D运动，即0≤x≤4时，y的值为0；
当点P在DC上运动，即4
11.【答案】x≤35
【解析】解：二次根式 3−5x有意义，
则3−5x≥0，
解得x≤35．
故答案为：x≤35．
根据二次根式有意义的条件可得3−5x≥0，再解即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
12.【答案】83.5
【解析】解：根据题意得：
85×3+90×2+80×53+2+5=83.5(分)，
答：他的数学期末成绩为83.5分．
故答案为：83.5．
根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
本题主要考查了加权平均数的概念．平均数等于所有数据的和除以数据的个数．
13.【答案】 5−1
【解析】解：∵BD= 22+12= 5，
∴BA= 5，
∴a= 5−1．
故答案为： 5−1．
根据勾股定理求出BD的长度，根据弧的半径相等得到BA的长度，从而求出a．
本题考查了实数与数轴，勾股定理，根据勾股定理求出BD的长度是解题的关键．
14.【答案】24
【解析】解：∵菱形ABCD，AC=8，BD=6
∴菱形的面积=12×8×6=24．
故答案为24．
根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可求解．
此题主要考查学生对菱形的面积公式的理解及运用．
15.【答案】y=−3x+3
【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将函数y=−3x+1的图象向上平移2个单位所得函数的解析式为y=−3x+1+2，即y=−3x+3．
故答案为：y=−3x+3
根据“上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．
16.【答案】x>1
【解析】解：当x>1时，ax>bx+c，即不等式ax>bx+c的解集为x>1．
故答案为x>1．
观察函数图象，当x>1时，直线y=ax都在直线y=bx+c的上方，由此可得不等式ax>bx+c的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
17.【答案】 3
【解析】解：连接PA，AC，AM，
∵四边形ABCD是菱形，
∴对角线BD是其一条对称轴，
∴PA=PC，
∴PM+PC=PM+PA≥AM，
∴PM+PC的最小值为线段AM的长；
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴AB=CB=2，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵M是BC的中点，
∴AM⊥BC，BM=1，
在Rt△ABM中，
AM= AB2−BM2= 22−12= 3，
∴PM+PC的最小值为： 3，
故答案为： 3．
连接PA，AC，AM，由菱形的性质和两点之间线段最短，得出PM+PC的最小值为线段AM的长，再求出AM的长即可．
本题考查轴对称−最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，能将两条线段的和的最小值转化为一条线段的长是解题的关键．
18.【答案】解：(1) 27− 12+ 45
=3 3−2 3+3 5
= 3+3 5；
(2) 27× 13−( 5+ 3)( 5− 3)
= 9−(5−3)
=3−2
=1．
【解析】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
(1)根据二次根式的加减法可以解答本题；
(2)根据二次根式的乘法、平方差公式可以解答本题．
19.【答案】解：∵∠B=90°，AB=3，BC=4，
∴AC= 32+42=5，
在△ACD中，∵AC2+CD2=25+144=169=AD2，
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=12AB⋅BC+12AC⋅CD
=12×3×4+12×5×12
=6+30
=36．
【解析】先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可．
本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状是解答此题的关键，难度适中．
20.【答案】200 B
【解析】解：(1)抽取学生人数为：30÷15%=200(名)，
故答案为：200；
(2)B等级的人数为：200−10−20−30−80=60(人)，
补全条形统计图
(3)此次所抽取学生比赛成绩的中位数落在B等级中；
故答案为：B．
(4)80200×1000=400(人)，
答：该校参加这次比赛的1000名学生中成绩“优”等的学生大约有400人．
(1)用C等级人数除以15%即可得出样本容量；
(2)用总人数减去其它成绩的人数，求出B等级的人数，从而补全统计图；
(3)根据中位数的定义解答即可；
(4)用总人数乘以不低于90分人数所占的百分比即可．
本题考查了条形统计图，样本估计总体，扇形统计图等知识，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
21.【答案】证明：(1)如图．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC即AB//DF，
∴∠1=∠2，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE．
在△ABE和△FCE中，
∠1=∠2∠3=∠4BE=CE，
∴△ABE≌△FCE(AAS)．
(2)解：四边形ABFC是矩形．理由如下：
∵△ABE≌△FCE，
∴AB=FC，
∵AB//FC，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∴AD=BC，
∵AF=AD，
∴AF=BC，
∴四边形ABFC是矩形．
【解析】(1)根据平行四边形性质得出AB//DC，推出∠1=∠2，根据AAS证两三角形全等即可；
(2)根据全等得出AB=CF，根据AB//CF得出平行四边形ABFC，推出BC=AF，根据矩形的判定推出即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，熟练掌握基本图形的性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵点C(1,m)在y=3x的图象上，
∴m=3×1=3，
∴点C坐标为(1,3)．
(2)∵一次函数y=kx+b的图象过点A(−2,0)、点C(1,3)，
∴−2k+b=0,k+b=3.
解得：k=1b=2，
∴一次函数的表达式为：y=x+2．
(3)令x=0，则y=x+2=2，
∴B(0,2)，
∵△BPC的面积为3，
∴S△BPC=12BP⋅xC=3，即12BP⋅1=3，
∴BP=6，
∴点P的坐标为(0,8)或(0,−4)．
【解析】(1)把点C(1,m)代入y=3x，求出点C的坐标即可，
(2)利用用待定系数法求解即可；
(3)由y=x+2可求得B的坐标，即可利用三角形面积得到12BP⋅1=3，解得BP=6，进而即可求得P的坐标．
此题考查的是一次函数交点的坐标的特征，用待定系数法可对解析式进行求解．计算面积时，要注意到点坐标的数值可作为三角形的一条高．
23.【答案】解：(1)设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；
根据题意得10a+20b=400020a+10b=3500，解得a=100b=150．
答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元；
(2)①根据题意得，y=100x+150(100−x)，
即y=−50x+15000；
②据题意得，100−x≤2x，
解得x≥3313，
∵y=−50x+15000，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x=34时，y取最大值，则100−x=66，
此时最大利润是y=−50×34+15000=13300．
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大，最大利润是13300元．
【解析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，读懂题目信息，准确找出等量关系列出方程组是解题的关键，利用一次函数的增减性求最值是常用的方法，需熟练掌握．
(1)设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；然后根据销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元列出方程组，然后求解即可；
(2)①根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解；
②根据B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍列不等式求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可．
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