中考数学二轮精品专题复习 一次函数(解答题)

这是一份中考数学二轮精品专题复习 一次函数(解答题)，共85页。试卷主要包含了且平行于x轴的直线交于点C，变化的数据如表，之间的函数图象如图所示，之间的关系如图所示，的函数关系如图所示等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学真题知识点汇编之《一次函数(解答题)》
一．解答题（共37小题）
1．（2023•日照）要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为20cm的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为20cm，20cm，10cm的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为40cm×40cm的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计．
（1）设制作A种木盒x个，则制作B种木盒 　 　个；
若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材 　 　张；
（2）该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数；
（3）包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为（20−12a）元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润．

2．（2023•北京）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（0，1）和B（1，2），与过点（0，4）且平行于x轴的直线交于点C．
（1）求该函数的解析式及点C的坐标；
（2）当x＜3时，对于x的每一个值，函数y=23x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值且小于4，直接写出n的值．
3．（2023•湘潭）我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船成功发射．某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件．
（1）设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元．求利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式；
（2）当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？
4．（2023•鄂州）如图1，在平面直角坐标系中，直线l⊥y轴，交y轴的正半轴于点A，且OA＝2，点B是y轴右侧直线l上的一动点，连接OB．

（1）请直接写出点A的坐标；
（2）如图2，若动点B满足∠ABO＝30°，点C为AB的中点，D点为线段OB上一动点，连接CD．在平面内，将△BCD沿CD翻折，点B的对应点为点P，CP与OB相交于点Q，当CP⊥AB 时，求线段DQ的长；
（3）如图3，若动点B满足ABOA=2，EF为△OAB的中位线，将△BEF绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，求直线EB与x轴交点的坐标；
（4）如图4，OC平分∠AOB交AB于点C，AD⊥OB于点D，交OC于点E，AF为△AEC的一条中线．设△ACF，△ODE，△OAC的周长分别为C1，C2，C3．试探究：在B点的运动过程中，当2c1+c2c3=118时，请直接写出点B的坐标．
5．（2023•齐齐哈尔）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，25小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）A，B两地之间的距离是 　 　千米，a＝　 　；
（2）求线段FG所在直线的函数解析式；
（3）货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可）

6．（2023•武汉）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据如表．
飞行时间t/s
0
2
4
6
8
…
飞行水平距离x/m
0
10
20
30
40
…
飞行高度y/m
0
22
40
54
64
…
探究发现 x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
问题解决 如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．
（1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
（2）在安全线上设置回收区域MN，AM＝125m，MN＝5m．若飞机落到MN内（不包括端点M，N），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．

7．（2023•绥化）某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A、B两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）．A型车每辆租金500元，B型车每辆租金600元．若5辆A型和2辆B型车坐满后共载客310人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客340人．
（1）每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？
（2）若该校计划租用A型和B型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并将全校420人载至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？
（3）在这次活动中，学校除租用A、B两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5小时到达目的地．如图是两车离开学校的路程s（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数图象．根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，t为何值时两车相距25千米．

8．（2023•长春）甲、乙两人相约山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车直达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y（米）与甲登山的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示：
（1）当15≤x≤40时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式；
（2）求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．

9．（2023•吉林）甲、乙两个工程组同时挖据沈白高铁某段隧道，两组每天挖据长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和y（m）与甲组挖据时间x（天）之间的关系如图所示．
（1）甲组比乙组多挖掘了 　 　天．
（2）求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（3）当甲组挖据的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数．

10．（2023•鄂州）1号探测气球从海拔10m处出发，以1m/min的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以am/min的速度竖直上升．两个气球都上升了1h．1号、2号气球所在位置的海拔y1，y2（单位：m）与上升时间x（单位：min）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：
（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）请分别求出y1，y2与x的函数关系式；
（3）当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为5m？

11．（2023•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，菱形AOCB的边OC在x轴上，∠AOC＝60°，OC的长是一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的根，过点C作x轴的垂线，交对角线OB于点D，直线AD分别交x轴和y轴于点F和点E，动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OD向终点D运动，动点N从点F以每秒2个单位长度的速度沿FE向终点E运动．两点同时出发，设运动时间为t秒．
（1）求直线AD的解析式；
（2）连接MN，求△MDN的面积S与运动时间t的函数关系式；
（3）点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形．若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

12．（2023•黑龙江）已知甲，乙两地相距480km，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，货车继续出发23h后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）图中a的值是 　 　；
（2）求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式；
（3）直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距12km．

13．（2023•广西）【综合与实践】：有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”，某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务，
【知识背景】：如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：（m0+m）•l＝M•（a+y），其中秤盘质量m0克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为1厘米，秤组与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．
【方案设计】：目标：设计简易杆秤．设定m0＝10，M＝50，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
任务一：确定l和a的值．
（1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
（2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
（3）根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值；
任务二：确定刻线的位置．
（4）根据任务一，求y关于m的函数解析式；
（5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．

14．（2023•广东）综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上．如图2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜45°），AB交直线y＝x于点E，BC交y轴于点F．
（1）当旋转角∠COF为多少度时，OE＝OF；（直接写出结果，不要求写解答过程）
（2）若点A（4，3），求FC的长；
（3）如图3，对角线AC交y轴于点M，交直线y＝x于点N，连接FN．将△OFN与△OCF的面积分别记为S1与S2．设S＝S1﹣S2，AN＝n，求S关于n的函数表达式．
15．（2023•陕西）经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，树就越高．通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高y（m）是其胸径x（m）的一次函数．已知这种树的胸径为0.2m时，树高为20m；这种树的胸径为0.28m时，树高为22m．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当这种树的胸径为0.3m时，其树高是多少？
16．（2023•温州）如图，在直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝2x−52上，过点A的直线交y轴于点B（0，3）．
（1）求m的值和直线AB的函数表达式；
（2）若点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t﹣1，y2）在直线y＝2x−52上，求y1﹣y2的最大值．

17．一条笔直的路上依次有M，P，N三地，其中M，N两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从M，N两地同时出发，去目的地N，M，匀速而行．图中OA，BC分别表示甲、乙机器人离M地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象．
（1）求OA所在直线的表达式；
（2）出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？
（3）甲机器人到P地后，再经过1分钟乙机器人也到P地，求P，M两地间的距离．

18．（2023•广元）某移动公司推出A，B两种电话计费方式．
计费方式
月使用费/元
主叫限定时间/min
主叫超时费/（元/min）
被叫
A
78
200
0.25
免费
B
108
500
0.19
免费
（1）设一个月内用移动电话主叫时间为tmin，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式B的计费金额关于t的函数解析式；
（2）若你预计每月主叫时间为350min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由；
（3）请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式．
19．（2023•河北）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点（x，y）移动到点 （x+2，y+1）称为一次甲方式；从点（x，y）移动到点（x+1，y+2）称为一次乙方式．
例点P从原点O出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点M（4，2）；若都按乙方式，最终移动到点N（2，4）；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点E（3，3）．
（1）设直线l1经过上例中的点M、N，求l1的解析式，并直接写出将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式；
（2）点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点Q（x，y）．其中，按甲方式移动了m次．
①用含m的式子分别表示x，y；
②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为l3，在图中直接画出l3的图象；
（3）在（1）和（2）中的直线l1，l2，l3上分别有一个动点A，B，C，横坐标依次为a，b，c，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式．

20．（2023•宜昌）某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．小聪想用刻度不超过100℃的温度计测算出这种食用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔10s测量一次锅中油温，得到的数据记录如下：
时间t/s
0
10
20
30
40
油温y/℃
10
30
50
70
90
（1）小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温y（单位：℃）与加热的时间t（单位：s）符合初中学习过的某种函数关系，填空：
可能是 　 　函数关系（请选填“正比例”“一次”“二次”“反比例”）；
（2）根据以上判断，求y关于t的函数解析式；
（3）当加热110s时，油沸腾了，请推算沸点的温度．

21．（2023•天津）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍0.6km，体育场离宿舍1.2km，张强从宿舍出发，先用了10min匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了30min，之后匀速步行了10min到文具店买笔，在文具店停留10min后，用了20min匀速散步返回宿舍，下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．

请根据相关信息，回答下列问题：
（1）①填表：
张强离开宿舍的时间/min
1
10
20
60
张强离宿舍的距离/km

1.2


②填空：张强从体育场到文具店的速度为 　 　km/min；
③当50≤x≤80时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；
（2）当张强离开体育场15min时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为0.06km/min，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可）
22．（2023•株洲）某花店每天购进16支某种花，然后出售，如果当天售不完，那么剩下的这种花进行作废处理．该花店记录了10天该种花的日需求量（n为正整数单位：支），统计如下表：
日需求量n
13
14
15
16
17
18
天数
1
1
2
4
1
1
（1）求该花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数；
（2）当n＜16时，日利润y（单位：元）关于n的函数表达式为：y＝10n﹣80；当n≥16时，日利润为80元．
①当n＝14时，问该花店这天的利润为多少元？
②求该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率．
23．（2023•扬州）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．
（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
24．（2023•金华）兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车，到书吧前的速度为200米/分，图2中的图象分别表示两人离学校的路程s（米）与哥哥离开学校的时间t（分）的函数关系．
（1）求哥哥步行的速度．
（2）已知妹妹比哥哥迟2分钟到书吧．
①求图中a的值；
②妹妹在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离家还有多远；若不能，说明理由．

25．（2023•上海）“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完．
（1）他实际花了多少钱购买会员卡？
（2）减价后每升油的单价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x的函数解析式（不用写出定义域）．
（3）油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？
26．（2023•内江）某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：
水果种类
进价（元/千克）
售价（元/千克）
甲
a
20
乙
b
23
该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元．
（1）求a，b的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售，求超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价3m元，乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（利润率=利润本金）不低于16%，求m的最大值．
27．【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表：
流水时间t/min
0
10
20
30
40
水面高度h/cm（观察值）
30
29
28.1
27
25.8
任务1：分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】小组讨论发现：“t＝0，h＝30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
任务2：利用t＝0时，h＝30；t＝10时，h＝29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式；
【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3：（1）计算任务2得到的函数解析式的w值；
（2）请确定经过（0，30）的一次函数解析式，使得w的值最小；
【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案．

28．（2023•苏州）某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道AB，长度为1m的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿AB方向从左向右匀速滑动，滑动速度为9m/s，滑动开始前滑块左端与点A重合，当滑块右端到达点B时，滑块停顿2s，然后再以小于9m/s的速度匀速返回，直到滑块的左端与点A重合，滑动停止．设时间为t（s）时，滑块左端离点A的距离为l1（m），右端离点B的距离为l2（m），记d＝l1﹣l2，d与t具有函数关系，已知滑块在从左向右滑动过程中，当t＝4.5s和5.5s时，与之对应的d的两个值互为相反数；滑块从点A出发到最后返回点A，整个过程总用时27s（含停顿时间）．请你根据所给条件决下列问题：
（1）滑块从点A到点B的滑动过程中，d的值 　 　；（填“由负到正”或“由正到负”）
（2）滑块从点B到点A的滑动过程中，求d与t的函数表达式；
（3）在整个往返过程中，若d＝18，求t的值．

29．（2023•宁波）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学．上午8：00，军车在离营地60km的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示．

（1）求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值．
（2）求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．
30．（2023•连云港）目前，我市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基础、年为计算周期设定了如表的三个气量阶梯：
阶梯
年用气量
销售价格
备注
第一阶梯
0～400m3（含400）的部分
2.67元/m3
若家庭人口超过4人的，每增加1人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加100m3、200m3．
第二阶梯
400～1200m3（含1200）的部分
3.15元/m3
第三阶梯
1200m3以上的部分
3.63元/m3
（1）一户家庭人口为3人，年用气量为200m3，则该年此户需缴纳燃气费用为 　 　元；
（2）一户家庭人口不超过4人，年用气量为xm3（x＞1200），该年此户需缴纳燃气费用为y元，求y与x的函数表达式；
（3）甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元，求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气？（结果精确到1m3）
31．（2023•新疆）随着端午节的临近，A，B两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表：

A超市
B超市
优惠方案
所有商品按八折出售
购物金额每满100元返30元
（1）当购物金额为80元时，选择 　 　超市（填“A”或“B”）更省钱；
当购物金额为130元时，选择 　 　超市（填“A”或“B”）更省钱；
（2）若购物金额为x（0≤x＜200）元时，请分别写出它们的实付金额y（元）与购物金额x（元）之间的函数解析式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？
（3）对于A超市的优惠方案，随着购物金额的增大，顾客享受的优惠率不变，均为20%（注：优惠率=购物金额−实付金额购物金额×100%）．若在B超市购物，购物金额越大，享受的优惠率一定越大吗？请举例说明．
32．（2023•云南）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买A、B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元．
（1）求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格；
（2）若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的13，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？
33．（2023•成都）2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元．
（1）求A，B两种食材的单价；
（2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
34．（2023•遂宁）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．
（1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
（2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为W元．
①求W与m的函数关系式，并求出m的取值范围；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
35．（2023•广安）“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售A、B两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱A种盐皮蛋和6箱B种盐皮蛋共需390元；若购买5箱A种盐皮蛋和8箱B种盐皮蛋共需310元．
（1）A种盐皮蛋、B种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？
（2）若某公司购买A、B两种盐皮蛋共30箱，且A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
36．（2023•丽水）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：
（1）直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；
（2）求方案二y关于x的函数表达式；
（3）如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案．

37．（2023•达州）某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元．
（1）分别求出每件豆笋、豆干的进价；
（2）某特产店计划用不超过10440元购进豆笋、豆干共200件，且豆笋的数量不低于豆干数量的32，该特产店有哪几种进货方案？
（3）若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？

2023年中考数学真题知识点汇编之《一次函数(解答题)》
参考答案与试题解析
一．解答题（共37小题）
1．（2023•日照）要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为20cm的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为20cm，20cm，10cm的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为40cm×40cm的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计．
（1）设制作A种木盒x个，则制作B种木盒 　（200﹣x）　个；
若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材 　（200﹣y）　张；
（2）该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数；
（3）包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为（20−12a）元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润．

【考点】一次函数的应用；规律型：图形的变化类．菁优网版权所有
【专题】函数的综合应用；应用意识．
【答案】（1）（200﹣x），（200﹣y）；
（2）制作A种木盒100个，B种木盒100个；使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板50张；
（3）A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元．
【分析】（1）根据题意即可求解；
（2）根据题意可得，制作一个A种木盒需要长、宽均为20cm的木板5个，制作一个B种木盒需要长、宽均为20cm的木板1个，长为10cm、宽为20cm的木板4个；甲种方式可切割长、宽均为20cm的木板4个，乙种方式可切割长为10cm、宽为20cm的木板8个；列关系式求解即可；
（3）先根据（2）中数据求得总成本金额，根据利润＝售价﹣成本列式，根据一次函数的性质进行求解即可．
【解答】解：（1）∵要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，制作A种木盒x个，
故制作B种木盒（200﹣x）个；
∵有200张规格为40cm×40cm的木板材，使用甲种方式切割的木板材y张，
故使用乙种方式切割的木板材（200﹣y）张；
故答案为：（200﹣x），（200﹣y）；
（2）使用甲种方式切割的木板材y张，则可切割出4y个长、宽均为20cm的木板，
使用乙种方式切割的木板材（200﹣y）张，则可切割出8（200﹣y）个长为10cm、宽为20cm的木板；
设制作A种木盒x个，则需要长、宽均为20cm的木板5x个，
制作B种木盒（200﹣x）个，则需要长、宽均为20cm的木板（200﹣x）个，需要长为10cm、宽为20cm的木板4（200﹣x）个；
故4y=5x+(200−x)8(200−y)=4(200−x)，
解得：x=100y=150，
故制作A种木盒100个，制作B种木盒100个，
使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张，
（3）∵用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元，且使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张，
故总成本为150×5+8×50＝1150（元）；
∵两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元，
∴7≤a≤187≤20−12a≤18，
解得：7≤a≤18，
设利润为w元，则w＝100a+100（20−12a）﹣1150，
整理得：w＝850+50a，
∵50＞0，
∴w随a的增大而增大，
故当a＝18时，有最大值，最大值为850+50×18＝1750（元），
则此时B种木盒的销售单价定为20−12×18＝11（元），
即A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一次函数的性质，一元一次不等式组的应用，根据题意找出等量关系进行列式是解题的关键．
2．（2023•北京）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（0，1）和B（1，2），与过点（0，4）且平行于x轴的直线交于点C．
（1）求该函数的解析式及点C的坐标；
（2）当x＜3时，对于x的每一个值，函数y=23x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值且小于4，直接写出n的值．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）C（3，4）；（2）2．
【分析】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C的横坐标即可；
（2）根据函数图象得出当y=23x+n过点（3，4）时满足题意，代入（3，4）求出n的值即可．
【解答】解：（1）把点A（0，1），B（1，2）代入y＝kx+b（k≠0）得：b＝1，k+b＝2，
解得：k＝1，b＝1，
∴该函数的解析式为y＝x+1，
由题意知点C的纵坐标为4，
当y＝x+1＝4时，
解得：x＝3，
∴C（3，4）；
（2）由（1）知：当x＝3时，y＝x+1＝4，
因为当x＜3时，函数y=23x+n的值大于函数y＝x+1的值且小于4，
所以当y=23x+n过点（3，4）时满足题意，
代入（3，4）得：4=23×3+n，
解得：n＝2．
【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
3．（2023•湘潭）我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船成功发射．某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件．
（1）设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元．求利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式；
（2）当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？
【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）y＝1000x﹣50000；
（2）4000．
【分析】（1）根据每件的利润×件数＝总利润求解即可；
（2）设该商店继续购进了m件航天模型玩具，根据资助经费恰好10000元，列方程，求解即可．
【解答】解：（1）y＝1000（x﹣50）＝1000x﹣50000；
（2）设该商店继续购进了m件航天模型玩具，
（60﹣50）（1000+m）×20%＝10000，
解得m＝4000，
答：该商店继续购进了4000件航天模型玩具．
【点评】本题考查了一次函数的应用，理解题意并根据题意建立相应关系式是解题的关键．
4．（2023•鄂州）如图1，在平面直角坐标系中，直线l⊥y轴，交y轴的正半轴于点A，且OA＝2，点B是y轴右侧直线l上的一动点，连接OB．

（1）请直接写出点A的坐标；
（2）如图2，若动点B满足∠ABO＝30°，点C为AB的中点，D点为线段OB上一动点，连接CD．在平面内，将△BCD沿CD翻折，点B的对应点为点P，CP与OB相交于点Q，当CP⊥AB 时，求线段DQ的长；
（3）如图3，若动点B满足ABOA=2，EF为△OAB的中位线，将△BEF绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，求直线EB与x轴交点的坐标；
（4）如图4，OC平分∠AOB交AB于点C，AD⊥OB于点D，交OC于点E，AF为△AEC的一条中线．设△ACF，△ODE，△OAC的周长分别为C1，C2，C3．试探究：在B点的运动过程中，当2c1+c2c3=118时，请直接写出点B的坐标．
【考点】一次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】函数的综合应用；推理能力．
【答案】（1）（0，2）；
（2）3−1；
（3）（4，0）或（203，0）；
（4）（4157，2）．
【分析】（1）根据OA＝2，点A位于y轴的正半轴即可得出答案；
（2）根据折叠性质和特殊角解三角形，先求出BC=3，QB＝2，再过点D作DH⊥AB，得出CH＝DH，BH=3DH，解三角形即可求出DB＝3−3，从而求出DQ＝BQ﹣BD=3−1；
（3）将△BEF绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，有两种情况，当将△BEF绕点B在平面内逆时针旋转90°，可得点E、F恰好落在x轴，OE＝AB＝4，从而可得直线EB与x轴交点的坐标；当将△BEF绕点B在平面内逆时针旋转到OB上方时，可得Rt△OAB≌Rt△BOE（HL），从而得出∠ABO＝∠BOE，OE＝AB＝4，继而可求cos∠ARO=AROR=35，再由OK=OEcos∠ARO即可求出交点坐标．
（4）由已知可证明△OAC∽△ODE∽△AFC，进而可得2c1+c2c3=2c1c3+c2c3=2AF+DOAO=118，由此可得2AF=114−OD，延长AF交OB于H点，可得AH＝2AF=114−OD，DH＝OH﹣OD＝2﹣OD，然后由勾股求出OD＝1，进而求出点B坐标．
【解答】解：（1）∵OA＝2，点A位于y轴的正半轴，
∴点A坐标为（0，2），
（2）∵∠ABO＝30°，直线∥y轴，OA＝2，
∴OB=OAsin∠ABO=OAsin30°=4，AB＝OB•cos∠ABO＝4•cos30°＝23，
∵点C为AB的中点，
∴BC=3，
又∵CP⊥AB，
∴QB=BCcos∠ABO=3cos30°=2，
由折叠可知：∠PCD＝∠BCD，
∠PCD＝∠BCD＝45°，
如图2，过点D作DH⊥AB，

∴CH=DHtan∠BCD=DHtan45°=DH，BH=DHtan∠ABO=DHtan30°=3DH，
∴BC＝BH+CH＝DH+3DH，即DH+3DH=3，
∴DH=3−32，
∴DB=DHsin∠ABO=3−32sin30°=3−3，
∴DQ＝BQ﹣BD＝2﹣（3−3）=3−1，
（3）∵ABAO=2，OA＝2，
∴AB＝4，
又∵EF为△OAB的中位线，
∴BE＝2，EF＝1，EF∥OA，
∴∠BEF＝90°，
I．如图，将△BEF绕点B在平面内逆时针旋转90°，到如图所示位置时

∵BE⊥l，直线l⊥y轴，
∴BE∥OA，
又∵BE＝OA＝2，
∴四边形OABE是矩形，
∴点E、F恰好落在x轴，OE＝AB＝4，
此时直线EB与x轴交点的坐标为（4，0），
II．如图3，将△BEF绕点B在平面内逆时针旋转到点O、E、F三点共线时，如图所示位置时

延长EB交x轴于点K，
∵∠BEF＝∠OAB＝90°，BE＝OA＝2，OB＝OB，
∴Rt△OAB≌Rt△BOE（HL），
∴∠ABO＝∠BOE，OE＝AB＝4，
∴OR＝RB，AR＝AB﹣RB＝4﹣RB，
在Rt△OAR中，OA2+AR2＝OR2，即：22+（4﹣RB）2＝RB2．
解得：RB=52，
∴AR=32，
∴cos∠ARO=AROR=35，
∵直线l⊥y轴，
直线l∥x轴，
∴∠ARO＝∠EOK，
在Rt△OEK中，OK=OEcos∠EOK，
∴OK=OEcos∠ARO=435=203，
∴此时直线EB与x轴交点的坐标为（203，0），
综上所述：将△BEF绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，直线EB与轴交点的坐标为（4，0）或（203，0）；
（4）∵直线l⊥y轴，AD⊥OB于点D，
∴∠AOC+∠ACO＝90°，∠EOD+∠OED＝90°，
又∵OC平分∠AOB交AB于点C，即：∠AOC＝∠DOE，
∴∠ACO＝∠OED．
又∵∠AEC＝∠OED，
∴∠AEC＝∠ACO．
∴AE＝AC，
∵AF为△AEC的一条中线．
∴AF⊥EC，即：∠AFC＝90°，
∵∠ACO＝∠OED＝∠ACO，∠OAC＝∠ODE＝∠AFC＝90°，
∴△OAC∽△ODE∽△AFC，
∴设△ACF，△ODE，△OAC的周长分别为C1，C2，C3．
∴c1c3=AFAO，c2c3=ODOA，
∵2c1+c2c3=118，
∴2c1+c2c3=2c1c3+c2c3=2AF+DOAO=118，
∴2AF+OD=118OA=114，
∴2AF=114−OD，
延长AF交OB于H点，如图4，

∵∠ACO＝∠OED，AFO＝∠HFO＝90°，OF＝OF，
∴△AFO≌△HFO（ASA），
∴OH＝OA＝2，AF＝FH，
∴AH＝2AF=114−OD，DH＝OH﹣OD＝2﹣OD，
∵AD2＝OA2﹣OD2，AD2＝AH2﹣DH2，
∴22﹣OD2＝（114−OD）2﹣（2﹣OD）2，
解得：OD1=−14（不合题意，舍去），OD2=74，
∴AD=22−(74)2=152，
∴tan∠AOD=ADOD=2157，
∴AB＝OA•tan∠AOB=4157，
所以点B坐标为（4157，2）．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质、解三角形、相似三角形的判定和性质，难度较大，确定运动后线段之间的位置关系、正确作出辅助线是解题的关键．
5．（2023•齐齐哈尔）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，25小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）A，B两地之间的距离是 　60　千米，a＝　1　；
（2）求线段FG所在直线的函数解析式；
（3）货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可）

【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）60，1；
（2）线段FG所在直线的函数解析式为y＝﹣60x+120（1≤x≤2）；
（3）货车出发511小时或1917 小时或2517小时，两车相距15千米．
【分析】（1）用货车的速度乘以时间可得A，B两地之间的距离是60千米；根据货车到达B地填装货物耗时15分钟，即得a=34+1560=1；
（2）设线段FG所在直线的解析式为y＝kx+b（k≠0），用待定系数法可得线段FG所在直线的函数解析式为y＝﹣60x+120（1≤x≤2）；
（3）求出线段CD的解析式为y＝25x+25×25=25x+10（0≤x≤2），分三种情况：当货车第一次追上巡逻车后，80x﹣（25x+10）＝15；当货车返回与巡逻车未相遇时，（﹣60x+120）﹣（25x+10）＝15；当货车返回与巡逻车相遇后，（25x+10）﹣（﹣60x+120）＝15，分别解方程可得答案．
【解答】解：（1）∵80×34=60（千米），
∴A，B两地之间的距离是60千米；
∵货车到达B地填装货物耗时15分钟，
∴a=34+1560=1，
故答案为：60，1；
（2）设线段FG所在直线的解析式为y＝kx+b（k≠0），将F（1，60），G（2，0）代入得：
k+b=602k+b=0，
解得 k=−60b=120，
∴线段FG所在直线的函数解析式为y＝﹣60x+120（1≤x≤2）；
（3）巡逻车速度为60÷（2+25）＝25（千米/小时），
∴线段CD的解析式为y＝25x+25×25=25x+10（0≤x≤2），
当货车第一次追上巡逻车后，80x﹣（25x+10）＝15，
解得x=511；
当货车返回与巡逻车未相遇时，（﹣60x+120）﹣（25x+10）＝15，
解得x=1917；
当货车返回与巡逻车相遇后，（25x+10）﹣（﹣60x+120）＝15，
解得x=2517；
综上所述，货车出发511小时或1917 小时或2517小时，两车相距15千米．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
6．（2023•武汉）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据如表．
飞行时间t/s
0
2
4
6
8
…
飞行水平距离x/m
0
10
20
30
40
…
飞行高度y/m
0
22
40
54
64
…
探究发现 x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
问题解决 如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．
（1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
（2）在安全线上设置回收区域MN，AM＝125m，MN＝5m．若飞机落到MN内（不包括端点M，N），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．

【考点】一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】发现：x=5t，y=−12t2+12t；
问题解决：（1）120m；（2）大于12.5m且小于26m
【分析】探究发现：根据待定系数法求解即可；
问题解决：（1）令二次函数y＝0代入函数解析式即可求解；
（2）设发射平台相对于安全线的高度为nm，则飞机相对于安全线的飞行高度 y′=−12t2+12t+n．结合 25＜t＜26，即可求解．
【解答】解：探究发现：x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系，
设x＝kt，y＝ax2+bx，
由题意得：10＝2k，4a+2b=2216a+4b=40，
解得：k＝5，a=−12b=12，
∴x=5t，y=−12r2+12t，
问题解决：（1）依题意，得−12t2+12t＝0．
解得，1＝0（舍），t2＝24，
当t＝24 时，y＝120．
答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为120m．

（2）设发射平台相对于安全线的高度为nm，飞机相对于安全线的飞行高度y′=−12t2+12t+n，
∵125＜x＜130，∴125＜5t＜130，∴25＜t＜26．
在y′=−12t2+12t+n中，
当t＝25，y′＝0时，n＝12.5；
当t＝26，y′＝0时，n＝26．
∴12.5＜n＜26．
答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5m且小于26m．
【点评】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7．（2023•绥化）某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A、B两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）．A型车每辆租金500元，B型车每辆租金600元．若5辆A型和2辆B型车坐满后共载客310人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客340人．
（1）每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？
（2）若该校计划租用A型和B型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并将全校420人载至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？
（3）在这次活动中，学校除租用A、B两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5小时到达目的地．如图是两车离开学校的路程s（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数图象．根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，t为何值时两车相距25千米．

【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）每辆A型车坐满后载客40人，每辆B型车坐满后载客55人；
（2）共有4种方案，租用A型车8辆，租用B型车2辆最省钱；
（3）在甲乙两车第一次相遇后，当t＝3小时或113小时时，两车相距25千米．
【分析】（1）设每辆A型车坐满后载客x人，每辆B型车坐满后载客y人，根据5辆A型和2辆B型车坐满后共载客310人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客340人得：5x+2y=3103x+4y=340，解方程组可得答案；
（2）设租用A型车m辆，则租用B型车（10﹣m）辆，可得：500m+600(10−m)≤550040m+55(10−m)≥420，又m是正整数，故m可取5，6，7，8，共有4种方案，设总租金为w元，有w＝500m+600（10﹣m）＝﹣100m+6000，由一次函数性质可得租用A型车8辆，租用B型车2辆最省钱；
（3）设s甲＝kt，s乙＝kt+b，用待定系数法求出解析式，根据两车第一次相遇后，相距25千米，可得100t﹣50﹣75t＝25或300﹣75t＝25，即可解得答案．
【解答】解：（1）设每辆A型车坐满后载客x人，每辆B型车坐满后载客y人，
根据题意得：5x+2y=3103x+4y=340，
解得：x=40y=55，
∴每辆A型车坐满后载客40人，每辆B型车坐满后载客55人；
（2）设租用A型车m辆，则租用B型车（10﹣m）辆，
由题意得：500m+600(10−m)≤550040m+55(10−m)≥420，
解得：5≤m≤823，
∵m是正整数，
∴m可取5，6，7，8
∴共有4种方案，
设总租金为w元，
根据题意得w＝500m+600（10﹣m）＝﹣100m+6000，
∵﹣100＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴m＝8时，w最小为﹣100×8+6000＝5200（元）；
∴租用A型车8辆，租用B型车2辆最省钱；
（3）设s甲＝kt，把（4，300）代入得：
300＝4k，
解得k＝75，
∴s甲＝75t，
设s乙＝kt+b，把（0.5，0），（3.5，300）代入得：
0.5k+b=03.5k+b=300，
解得k=100b=−50，
∴s乙＝100t﹣50，
∵两车第一次相遇后，相距25千米，
∴100t﹣50﹣75t＝25或300﹣75t＝25，
解得t＝3或t=113，
∴在甲乙两车第一次相遇后，当t＝3小时或113小时时，两车相距25千米．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
8．（2023•长春）甲、乙两人相约山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车直达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y（米）与甲登山的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示：
（1）当15≤x≤40时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式；
（2）求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．

【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）y＝12x﹣180；（2）180米．
【分析】（1）设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，再利用待定系数法来求解即可；
（2）求出甲的函数解析式和乙的解析式，甲的函数解析式和乙的解析式组成方程组解答即可．
【解答】解：（1）设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
∵直线过（15，0）和（40，300），
∴15k+b=040k+b=300，
解得k=12b=−180，
∴乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为y＝12x﹣180；
（2）设甲的函数解析式为：y＝mx+n，
将（25，160）和（60，300）代入得：
160=25m+n300=60m+n，
解得m=4n=60，
∴y＝4x+60；
∵乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度，
∴y=12x−180y=4x+60，
解得x=30y=180，
∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为180米．
【点评】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，图象的交点坐标的求法是解题关键．
9．（2023•吉林）甲、乙两个工程组同时挖据沈白高铁某段隧道，两组每天挖据长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和y（m）与甲组挖据时间x（天）之间的关系如图所示．
（1）甲组比乙组多挖掘了 　30　天．
（2）求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（3）当甲组挖据的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数．

【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】（1）甲组比乙组多挖掘了30天；（2）函数关系式为：y＝3x+120（30≤x≤60）；（3）当甲组挖据的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，乙组已停工10天．
【分析】（1）读图直接写出答案；
（2）利用已知两点的坐标，待定系数求出k、b值，写出关系式，根据图上条件标出自变量取值范围；
（3）求出乙队的挖掘量，然后求出甲队在同等工作量的条件下实际工作的天数，减去合作的天数即可．
【解答】解：（1）由图象可知，甲乙合作共挖掘了30天，甲单独挖掘了30天，即甲组比乙组多挖掘了30天．
读答案为：30．
（2）设乙组停工后y关于x的函数解析式为：y＝kx+b，点（30，210）（60，300）在图象上，
30k+b=21060k+b=300，解得k=3b=120．
∴函数关系式为：y＝3x+120（30≤x≤60）．
（3）由（1）关系式可知，甲单独干了30天，挖掘的长度是＝300﹣210＝90，甲的工作效率是3m每天．
前30天是甲乙合作共挖掘了210m，则乙单独挖掘的长度是210﹣90＝120．
当甲挖掘的长度是120m时，工作天数是120÷3＝40（天），
乙组已停工的天数是：40﹣30＝10（天）．
【点评】本题考查一次函数的实际应用，读懂题意是解决本题的关键．
10．（2023•鄂州）1号探测气球从海拔10m处出发，以1m/min的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以am/min的速度竖直上升．两个气球都上升了1h．1号、2号气球所在位置的海拔y1，y2（单位：m）与上升时间x（单位：min）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：
（1）a＝　0.5　，b＝　30　；
（2）请分别求出y1，y2与x的函数关系式；
（3）当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为5m？

【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）0.5，30；（2）y1＝10+x，y2＝20+0.5x；（3）10或30．
【分析】（1）根据“1号探测气球从海拔10米处出发，以1米/分的速度上升”求出b，再根据y2＝20+ax计算出a即可；
（2）根据“1号探测气球从海拔10米处出发，以1米/分的速度上升，2号探测气球从海拔20米处出发，以0.5米/分的速度上升”，得出1号探测气球、2号探测气球的函数关系式；
（3）两个气球所在位置的海拔相差5米，分两种情况：①2号探测气球比1号探测气球海拔高5米；②1号探测气球比2号探测气球海拔高5米；分别列出方程求解即可．
【解答】解：（1）∵1号探测气球从海拔10m处出发，以1m/min的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以am/min的速度竖直上升．
当x＝20时，两球相遇，
y1＝10+x＝10+20＝30，
∴b＝30，
设2号探测气球解析式为y2＝20+ax，
∵y2＝20+ax过（20，30），
∴30＝20+20a，
解得a＝05，
∴y2＝20+0.5x，
故答案为：0.5，30；
（2）根据题意得：
1号探测气球所在位置的海拔：y1＝10+x，
2号探测气球所在位置的海拔：y2＝20+0.5x；
（3）分两种情况：
①2号探测气球比1号探测气球海拔高5米，根据题意得：
（20+0.5x）﹣（x+10）＝5，
解得x＝10；
②1号探测气球比2号探测气球海拔高5米，根据题意得：
（x+10）﹣（0.5x+20）＝5，
解得x＝30．
综上所述，上升了10或30min后这两个气球相距5m．
【点评】此题主要考查了一次函数以及一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，列出函数解析式．
11．（2023•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，菱形AOCB的边OC在x轴上，∠AOC＝60°，OC的长是一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的根，过点C作x轴的垂线，交对角线OB于点D，直线AD分别交x轴和y轴于点F和点E，动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OD向终点D运动，动点N从点F以每秒2个单位长度的速度沿FE向终点E运动．两点同时出发，设运动时间为t秒．
（1）求直线AD的解析式；
（2）连接MN，求△MDN的面积S与运动时间t的函数关系式；
（3）点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形．若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

【考点】一次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】函数的综合应用；运算能力．
【答案】（1）y=−33x+43；
（2）S=32t2−9t+123(0≤t≤23)−32t2+9t−123(23＜t≤43)；
（3）存在，点Q的坐标是 (32，332) 或（6，43）．
【分析】（1）过点A作AH⊥OC于H，解方程可得OC＝6，然后解直角三角形求出CD、OH和AH的长，得到点A、D的坐标，再利用待定系数法求出解析式即可；
（2）首先证明△EOD是等边三角形，求出DO＝DF＝43，然后分情况讨论：①当点N在DF上，即0≤t≤23时，过点M作NP⊥OB于P，②当点M在DE上，即23＜t≤43时，过点M作NT⊥OB于T，分别解直角三角形求出NP和NT，再利用三角形面积公式列式即可；
（3）分情况讨论：①当AN是直角边时，则CN⊥EF，过点M作NK⊥CF于K，首先求出CN，然后解直角三角形求出CK和NK，再利用平移的性质得出点Q的坐标；②当AN是对角线时，则∠ACN＝90°，过点M作NL⊥CF于L，证明∠NCF＝∠NFC，可得CL＝FL＝3，然后解直角三角形求出NL，再利用平移的性质得出点Q的坐标．
【解答】（1）解：解方程x2﹣4x﹣12＝0得：x1＝6，x2＝﹣2，
∴OC＝6，
∵四边形AOCB是菱形，∠AOC＝60°，
∴OA＝OC＝6，∠BOC=12∠AOC＝30°，
∴CD＝OC•tan30°＝6×33=23，
∴D（6，23），
过点A作AH⊥OC于H，

∵∠AOH＝60°，
∴OH=12OA＝3，AH＝OA•sin60°＝6×32=33，
∴A（3，33），
设直线AD的解析式为y＝kx+b（k≠0），
代入A（3，33），D（6，23 ）得：3k+b=336k+b=23，
解得：
k=−33b=43，
∴直线AD的解析式为y=−33x+43；
（2）解：由（1）知在Rt△COD中，CD=23，∠DOC＝30°，
∴OD=2CD=43，∠EOD＝90°﹣∠DOC＝90°﹣30°＝60°，
∵直线y=−33x+43与y轴交于点E，
∴OE=43，
∴OE＝OD，
∴△EOD是等边三角形，
∴∠OED＝∠EDO＝∠BDF＝60°，ED=OD=43，
∴∠OFE＝30°＝∠DOF，
∴DO=DF=43，
①当点N在DF上，即0≤t≤23 时，
由题意得：DM=OD−OM=43−t，DN=43−2t，
过点N作NP⊥OB于P，

则NP＝DN×sin∠PDN＝DN×sin60°＝（43−2t）×32=6−3t，
∴S=12DM×NP=12（43−2t）×（6−3t）=32t2﹣9t+123；
②当点N在DE上，即 23＜t≤43 时
由题意得：DM＝OD﹣OM=3−t，DN＝2t﹣43，
过点N作NT⊥OB于T，

则NT＝DN•sin∠NDT＝DN•sin60°＝（2t﹣43）×32=3t−6，
∴S=12DM⋅NT=12(43−t)(3t−6)=−32t2+9t−123；
综上，S=32t2−9t+123(0≤t≤23)−32t2+9t−123(23＜t≤43)；
（3）解：存在，分情况讨论：
①如图，当AN是直角边时，则CN⊥EF，过点N作NK⊥CF于K，

∵∠NFC＝30°，OE=43，
∴∠NCK＝60°，OF=3OE=12，
∴CF＝12﹣6＝6，
∴CN=12CF=3，
∴CK＝CN×cos60°＝3×12=32，NK＝CN×sin60°＝3×32=332，
∴将点N向左平移32个单位长度，再向下平移332个单位长度得到点C，
∴将点A向左平移32个单位长度，再向下平移332个单位长度得到点Q，
∵A(3，33)，
∴Q（32，332）；
②如图，当AN是对角线时，则∠ACN＝90°，过点N作NL⊥CF于L，

∵OA＝OC，∠AOC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠ACO＝60°，
∴∠NCF＝180°﹣60°﹣90°＝30°＝∠NFC，
∴CL＝FL=12CF＝3，
∴NL＝CL•tan30°＝3×33=3，
∴将点C向右平移3个单位长度，再向上平移3 个单位长度得到点N，
∴将点A向右平移3个单位长度，再向上平移3 个单位长度得到点Q，
∵A(3，33)，
∴Q（6，43）；
∴存在一点Q，使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形，点Q的坐标是 (32，332) 或（6，43）．
【点评】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，解直角三角形，待定系数法的应用，等边三角形的判定和性质，含30°直角三角形的性质，二次函数的应用，矩形的判定和性质以及平移的性质等知识，灵活运用各知识点，作出合适的辅助线，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题的关键．
12．（2023•黑龙江）已知甲，乙两地相距480km，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，货车继续出发23h后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）图中a的值是 　120　；
（2）求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式；
（3）直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距12km．

【考点】一次函数的应用；待定系数法求一次函数解析式．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）120；
（2）y＝60x；
（3）在出租车返回的行驶过程中，货车出发12517h或13117h与出租车相距12km．
【分析】（1）由图象知，C（4，480），设直线OC的解析式为y＝kx，把C（4，480）代入，解方程即可得到结论；
（2）由停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，可得此时出租车距离乙地为120+120＝240（km），把y＝240代入y＝120x求得货车装完货物时，x＝2，B（2，120），根据货车继续出发23h后与出租车相遇，可得23×*出租车的速度+货车的速度）＝120，根据直线OC的解析式为y＝120x，可得出租车的速度为120km/h，于是得到相遇时，货车的速度为120÷23−120＝60（km/h）故可设直线BG的解析式为y＝60x+b，将B（2，120）代入求得b＝0，于是得到直线BG的解析式为y＝60x，故货车装完货物后驶往甲地的过程中，于是得到结论；
（3）把y＝480代入y＝60x，得到G（8，480），求得F（8，0），根据出租车到达乙地后立即按原路返回，经过比货车早15分钟到达甲地，可得EF=1560=14，设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距12km，此时货车距离乙地为60tkm，出租车距离乙地为128（t﹣4）＝（128t﹣512）km，①出租车和货车第二次相遇前，相距12km时，②出租车和货车第二次相遇后，相距12km时，列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）由图象知，C（4，480），
设直线OC的解析式为y＝kx，把C（4，480）代入得，480＝4k，
解得k＝120，
∴直线OC的解析式为y＝120x；把（1，a）代入y＝120x，得a＝120，
故答案为：120；
（2）由停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，可得此时出租车距离乙地为120+120＝240（km），
∴出租车距离甲地为480﹣240＝240（km），
把y＝240代入y＝120x得，240＝120x，
解得x＝2，
∴货车装完货物时，x＝2，B（2，120），
根据货车继续出发23h后与出租车相遇，
可得23×*出租车的速度+货车的速度）＝120，
根据直线OC的解析式为y＝120x，
可得出租车的速度为120km/h，
∴相遇时，货车的速度为120÷23−120＝60（km/h），
故可设直线BG的解析式为y＝60x+b，
将B（2，120）代入y＝60x+b，可得120＝120+b，
解得b＝0，
∴直线BG的解析式为y＝60x，
故货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式为y＝60x，
（3）把y＝480代入y＝60x，可得480＝60x，
解得x＝8，
∴G（8，480），
∴F（8，0），
根据出租车到达乙地后立即按原路返回，经过比货车早15分钟到达甲地，可得EF=1560=14，
∴E(314，0)，
∴出租车返回后的速度为480÷（314−4）＝128km/h，
设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距12km，
此时货车距离乙地为60tkm，出租车距离乙地为128（t﹣4）＝（128t﹣512）km，
①出租车和货车第二次相遇前，相距12km时，可得60t1﹣（128t1﹣512）＝12，
解得t1=12517；
②出租车和货车第二次相遇后，相距12km时，可得（128t2﹣512）﹣60t2＝12，
解得t2=13117，
故在出租车返回的行驶过程中，货车出发12517h或13117h与出租车相距12km．
【点评】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，，正确的理解题意，根据题中信息求得所需的数据是解题的关键．
13．（2023•广西）【综合与实践】：有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”，某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务，
【知识背景】：如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：（m0+m）•l＝M•（a+y），其中秤盘质量m0克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为1厘米，秤组与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．
【方案设计】：目标：设计简易杆秤．设定m0＝10，M＝50，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
任务一：确定l和a的值．
（1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
（2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
（3）根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值；
任务二：确定刻线的位置．
（4）根据任务一，求y关于m的函数解析式；
（5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．

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【专题】跨学科；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）根据题意可直接代值求解；
（3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解；
（4）根据（3）可进行求解；
（5）分别把m＝0，m＝100，m＝200，m＝300，m＝400，m＝500，m＝600，m＝700，m＝800，m＝900，m＝1000 代入求解，以此即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：m＝0，y＝0，
∵m0＝10，M＝50，
∴10l＝50a，
∴l＝5a；
（2）由题意得：m＝1000，y＝50，
∴（10+1000）l＝50（a+50），
∴101l﹣5a＝250；
（3）由（1）（2）可得：l=5a101l−5a=250，
解得：a=0.5l=2.5；
（4）由（3）可知：l＝2.5，a＝0.5，
∴2.5（10+m）＝50（0.5+y），
∴y=120m；
（5）由（4）可知：y=120m，
∴当m＝0时，则有y＝0；当m＝100时，则有y＝5；当m＝200时，则有y＝10；当m＝300时，则有y＝15；当m＝400时，则有y＝20；当m＝500时，则有y＝25；当m＝600时，则有y＝30；当m＝70时，则有y＝35；当m＝800时，则有y＝40；当m＝90时，则有y＝45；当m＝1000时，则有y＝50；
∴相邻刻线间的距离为5厘米．
【点评】本题主要考查一次函数的应用、解二元一次方程组，读懂题意，根据题干的描述正确列出等式是解题关键．
14．（2023•广东）综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上．如图2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜45°），AB交直线y＝x于点E，BC交y轴于点F．
（1）当旋转角∠COF为多少度时，OE＝OF；（直接写出结果，不要求写解答过程）
（2）若点A（4，3），求FC的长；
（3）如图3，对角线AC交y轴于点M，交直线y＝x于点N，连接FN．将△OFN与△OCF的面积分别记为S1与S2．设S＝S1﹣S2，AN＝n，求S关于n的函数表达式．
【考点】一次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】压轴题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）当旋转角为22.5°时，OE＝OF；
（2）FC的长为154；
（3）S关于n的函数表达式为S=12n2．
【分析】（1）如图2中，当OE＝OF时，得到Rt△AOE≌Rt△COF，利用全等三角形的性质以及旋转的性质解决问题即可；
（2）在图2中，过点A作AG⊥x轴于点G，利用三角形相似，可得结论；
（3）过点N作直线PQ⊥BC于点P，交OA于点Q，利用四点共圆，得出三角形FON是等腰直角三角形是解决问题的关键，结合三角形全等的判定和性质和三角形的面积公式解决问题．
【解答】解：（1）当OE＝OF时，
在Rt△AOE和Rt△COF中，
OE=OFOA=OC，
∴Rt△AOE≌Rt△COF（HL），
∴∠AOE＝∠COF（即∠AOE＝旋转角），
∴2∠AOE＝45°，
∴∠COF＝∠AOE＝22.5°，
∴当旋转角为22.5°时，OE＝OF；

（2）过点A作AG⊥x轴于点G，则有AG＝3，OG＝4，

∴OA=OG2+AG2=5，
∵四边形OABC是正方形，
∴OC＝OA＝5，∠AOC＝∠C＝90°，
又∵∠COF+∠FOA＝90°，∠AOG+∠FOA＝90°，
∴∠COG＝∠GOA，
∴Rt△AOG∽Rt△FOC，
∴OCOG=FCAG，
∴FC=OC⋅AGOG=5×34=154，
∴FC的长为154；

（3）过点N作直线PQ⊥BC于点P，交OA于点Q，

∵四边形OABC是正方形，
∴∠BCA＝∠OCA＝45°，BC∥OA，
又∠FON＝45°，
∴∠FCN＝∠FON＝45°，
∴F、C、O、N四点共圆，
∴∠OFN＝∠OCA＝45°，
∴∠OFN＝∠FON＝45°，
∴△FON是等腰直角三角形，
∴FN＝NO，∠FNO＝90°，
∴∠FNP+∠ONQ＝90°，

又∵∠NOQ+∠ONQ＝90°，
∴∠NOQ＝∠FNP，
∴△NOQ≌△FNP（AAS），
∴NP＝OQ，FP＝NQ，
∵四边形OQPC是矩形，
∴CP＝OQ，OC＝PQ，
∴S1=S△OFN=12ON2，
=12(OQ2+NQ2)=12(PN2+NQ2)=12PN2+12NQ2，
S2=S△COF=12CF⋅OC，
=12(PC−PF)⋅(PN+NQ)，
=12(PN−NQ)⋅(PN+NQ)=12(PN2−NQ2)，
=12PN2−12NQ2，
∴S=S1−S2=NQ2，
又∵△ANQ为等腰直角三角形，
∴NQ=22AN=22n，
∴S=NQ2=(22n)2=12n2，
∴S关于n的函数表达式为S=12n2．
【点评】本题属于一次函数综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
15．（2023•陕西）经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，树就越高．通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高y（m）是其胸径x（m）的一次函数．已知这种树的胸径为0.2m时，树高为20m；这种树的胸径为0.28m时，树高为22m．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当这种树的胸径为0.3m时，其树高是多少？
【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】待定系数法；一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）y＝25x+15；
（2）22.5m．
【分析】（1）设y＝kx+b（k≠0），利用待定系数法解答即可；
（2）把x＝0.3代入（1）的结论解答即可．
【解答】解：（1）设y＝kx+b（k≠0），
根据题意，得0.2k+b=200.28k+b=22，
解之，得k=25b=15，
∴y＝25x+15；
（2）当x＝0.3m时，y＝25×0.3+15＝22.5（m）．
∴当这种树的胸径为0.3m时，其树高为22.5m．
【点评】此题考查一次函数的实际运用，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是解决问题的关键．
16．（2023•温州）如图，在直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝2x−52上，过点A的直线交y轴于点B（0，3）．
（1）求m的值和直线AB的函数表达式；
（2）若点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t﹣1，y2）在直线y＝2x−52上，求y1﹣y2的最大值．

【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】数形结合；一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）m=32；直线AB的函数表达式为y=−34x+3．
（2）当t＝0，y1﹣y2的最大值为152．
【分析】（1）将A点代入直线解析式，求出m．利用待定系数法解出AB直线函数解析式；
（2）分别用t表示出y1和y2，列出y1﹣y2，的函数解析式，找出y随t的变化，利用t的最值求出答案．
【解答】解：（1）把点A（2，m）代入y＝2x−52中，得m=32；
设直线AB的函数表达式为：y＝kx+b，把A（2，32），B（0，3）代入得：
2k+b=32b=3，解得k=−34b=3，
∴直线AB的函数表达式为y=−34x+3．
（2）∵点P（t，y1）在线段AB上，
∴y1=−34t+3（0≤t≤2），
∵点Q（t﹣1，y2）在直线y＝2x−52上，
∴y2＝2（t﹣1）−52=2t−92，
∴y1﹣y2=−34t+3﹣（2t−92）=−114t+152，
∵−114＜0，
∴y1﹣y2随t的增大而减小，
∴当t＝0，y1﹣y2的最大值为152．
【点评】本题以一次函数为背景考查了一次函数图象的性质，考查学生对待定系数法的运用能力，题目难度不大，解决问题的关键是求出y1﹣y2的表达式，利用t的最值求出答案．
17．一条笔直的路上依次有M，P，N三地，其中M，N两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从M，N两地同时出发，去目的地N，M，匀速而行．图中OA，BC分别表示甲、乙机器人离M地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象．
（1）求OA所在直线的表达式；
（2）出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？
（3）甲机器人到P地后，再经过1分钟乙机器人也到P地，求P，M两地间的距离．

【考点】待定系数法求一次函数解析式．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）OA所在直线的表达式为y＝200x．
（2）出发后甲机器人行走103分钟，与乙机器人相遇．
（3）P，M两地间的距离为600米．
【分析】（1）利用待定系数法，将（5，1000）代入解析式中，求出答案；
（2）俩机器人相向而行，同时出发，相遇时两人路程应为MN的长度，列出方程即可；
（3）设甲到P地时间为t分钟，乙到P地时间为（t+1）分钟，分别求出两人到P地时，与M的距离，列出方程，解出答案．
【解答】解：（1）由图象可知，OA所在直线为正比例函数，
∴设y＝kx，
∵A（5，1000），
1000＝5k，k＝200，
∴OA所在直线的表达式为y＝200x．
（2）由图可知甲机器人速度为：1000÷5＝200（米/分钟），
乙机器人速度为：1000÷10＝100（米/分钟），
两人相遇时：1000100+200=103（分钟），
答：出发后甲机器人行走103分钟，与乙机器人相遇．
（3）设甲机器人行走t分钟时到P地，P地与M地距离为200t，
则乙机器人（t+1）分钟后到P地，P地与M地距离1000﹣100（t+1），
由200t＝1000﹣100（t+1），解得t＝3，
∴200t＝600，
答：P，M两地间的距离为600米．
【点评】本题以一次函数综合运用为背景，考查了学生在函数中数形结合的能力，此类题目的关键是弄懂题意，求出每个人的速度，明确相向而行时相遇时两人的路程和等于总路程，进而求解．
18．（2023•广元）某移动公司推出A，B两种电话计费方式．
计费方式
月使用费/元
主叫限定时间/min
主叫超时费/（元/min）
被叫
A
78
200
0.25
免费
B
108
500
0.19
免费
（1）设一个月内用移动电话主叫时间为tmin，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式B的计费金额关于t的函数解析式；
（2）若你预计每月主叫时间为350min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由；
（3）请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式．
【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y1=78(0≤t≤200)0.25t+28(t＞200)，y2=108(0≤t≤500)0.19t+13(t＞500)；
（2）选择方式B计费；
（3）当0≤t＜320时，方式A更省钱；当t＝320，方式A和B的付费金额相同；当t＞320，方式B更省钱．
【分析】（1）设方式A的计费金额y1（元），方式B的计费金额y2（元），根据表格即可得出y1和y2的函数解析式；
（2）将t＝350分别代入（1）中求得的函数解析式中，在比较大小即可得到结果；
（3）令y1＝108，求出此时的t值，再以此分析即可求解．
【解答】解：（1）设方式A的计费金额y1（元），方式B的计费金额y2（元），
根据表格数据可知，当0≤t≤200时，y1＝78；当t＞200时，y1＝78+0.25（t﹣200）＝0.25t+28；
当0≤t≤500时，y2＝108；当t＞500时，y2＝108+0.19（t﹣500）＝0.19t+13；
综上，y1=78(0≤t≤200)0.25t+28(t＞200)，y2=108(0≤t≤500)0.19t+13(t＞500)；
（2）选择方式B计费，理由如下：
当每月主叫时间为350min时，
y1＝0.25×350+28＝115.5，
y2＝108，
∵115.5＞108，
∴选择方式B计费；
（3）令y1＝108，得0.25t+28＝108，
解得：t＝320，
∴当0≤t＜320时，y1＜108＜y2，
∴当0≤t＜320时，方式A更省钱；
当t＝320，方式A和B的付费金额相同；
当t＞320，方式B更省钱．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，读懂题意，利用表格数据正确得出函数解析式是解题关键．
19．（2023•河北）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点（x，y）移动到点 （x+2，y+1）称为一次甲方式；从点（x，y）移动到点（x+1，y+2）称为一次乙方式．
例点P从原点O出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点M（4，2）；若都按乙方式，最终移动到点N（2，4）；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点E（3，3）．
（1）设直线l1经过上例中的点M、N，求l1的解析式，并直接写出将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式；
（2）点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点Q（x，y）．其中，按甲方式移动了m次．
①用含m的式子分别表示x，y；
②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为l3，在图中直接画出l3的图象；
（3）在（1）和（2）中的直线l1，l2，l3上分别有一个动点A，B，C，横坐标依次为a，b，c，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式．

【考点】一次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1）直线l1的解析式为y＝﹣x+6；直线l2的解析式为y＝﹣x+15；
（2）①x＝m+10，y＝20﹣m；
②直线l3的解析式为y＝﹣x+30；图象见解析过程；
（3）a，b，c之间的关系式为5a+3c＝8b或a＝b＝c或﹣2a+b+c＝33．
【分析】（1）由待定系数法可求直线l1的解析式；由平移的性质可求直线l2的解析式；
（2）①由题意可得：点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为（2m，m），再得出点（2m，m），按照乙方式移动（10﹣m）次后得到的点的横坐标和纵坐标，即得结果；
②由①的结果可得直线l3的解析式，进而可画出函数图象；
（3）由题意可得点A，点B，点C的坐标，由待定系数法可求直线AB的解析式，即可求解．
【解答】解：（1）设l1的解析式为y＝kx+b，
由题意可得：4k+b=22k+b=4，
解得：k=−1b=6，
∴l1的解析式为y＝﹣x+6，
将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式为y＝﹣x+15；
（2）∵点P按照甲方式移动了m次，点P从原点O出发连续移动10次，
∴点P按照乙方式移动了（10﹣m）次，
∴点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为（2m，m），
∴点（2m，m）按照乙方式移动（10﹣m）次后得到的点的横坐标为2m+10﹣m＝m+10，纵坐标为m+2（10﹣m）＝20﹣m，
∴x＝m+10，y＝20﹣m；
②∵x+y＝m+10+20﹣m＝30，
∴直线l3的解析式为y＝﹣x+30；
函数图象如图所示：

（3）∵点A，B，C，横坐标依次为a，b，c，
∴点A（a，﹣a+6），点B（b，﹣b+15），点C（c，﹣c+30），
当a≠b≠c，﹣a+6≠﹣b+15≠﹣c+30时，
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
由题意可得：ma+n=−a+6mb+n=−b+15，
解得：m=−1+9b−an=6−9ab−a，
∴直线AB的解析式为y＝（﹣1+9b−a）x+6−9ab−a，
∵点A，点B，点C三点始终在一条直线上，
∴c（﹣1+9b−a）+6−9ab−a=−c+30，
∴5a+3c＝8b，
当a＝b＝c时，则点A，点B，点C共线，
当﹣a+6＝﹣b+15＝﹣c+30时，﹣2a+b+c＝33，
∴a，b，c之间的关系式为5a+3c＝8b或a＝b＝c或﹣2a+b+c＝33．

【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，平移的性质，掌握平移的性质和一次函数的性质是解题的关键．
20．（2023•宜昌）某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．小聪想用刻度不超过100℃的温度计测算出这种食用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔10s测量一次锅中油温，得到的数据记录如下：
时间t/s
0
10
20
30
40
油温y/℃
10
30
50
70
90
（1）小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温y（单位：℃）与加热的时间t（单位：s）符合初中学习过的某种函数关系，填空：
可能是 　一次　函数关系（请选填“正比例”“一次”“二次”“反比例”）；
（2）根据以上判断，求y关于t的函数解析式；
（3）当加热110s时，油沸腾了，请推算沸点的温度．

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【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）一次；
（2）y＝2t+10；
（3）经过推算，该油的沸点温度是230℃．
【分析】（1）根据表格中两个变量对应值变化的规律，分析即可解答；
（2）直接利用待定系数法即可求解；
（3）将t＝110代入（2）求得的函数解析式中即可求解．
【解答】解：（1）根据表格中两个变量对应值变化的规律可知，时间每增加10s，油的温度就升高20℃，
故锅中油温y与加热的时间t可能是一次函数关系；
故答案为：一次；
（2）设锅中油温y与加热的时间t的函数关系式为y＝kt+b（k≠0），
将点（0，10），（10，30）代入得，b=1010k+b=30，
解得：k=2b=10，
∴y＝2t+10；
（3）当t＝110时，y＝2×110＝230，
∴经过推算，该油的沸点温度是230℃．
【点评】本题主要考查一次函数的应用、用待定系数法求一次函数解析式，利用待定系数法正确求出一次函数的解析式是解题关键．
21．（2023•天津）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍0.6km，体育场离宿舍1.2km，张强从宿舍出发，先用了10min匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了30min，之后匀速步行了10min到文具店买笔，在文具店停留10min后，用了20min匀速散步返回宿舍，下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．

请根据相关信息，回答下列问题：
（1）①填表：
张强离开宿舍的时间/min
1
10
20
60
张强离宿舍的距离/km

1.2


②填空：张强从体育场到文具店的速度为 　0.06　km/min；
③当50≤x≤80时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；
（2）当张强离开体育场15min时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为0.06km/min，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可）
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【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）①0.12，1.2；0.6；②0.06；③y关于x的函数解析式为y=0.6(50＜x≤60)2.4−0.03x(60≤x≤80)；
（2）离宿舍的距离是0.3km．
【分析】（1）①根据函数的图象计算即可；
②根据速度＝路程÷时间计算即可；
③根据函数图象分段写出函数解析式即可；
（2）设李明从体育场出发x分钟后与张强相遇，结合题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）①由图象可知，张强从宿舍到体育场的速度为1.2÷10＝0.12（km/min），
∴当张强离开宿舍1min时，张强离宿舍的距离为0.12×1＝0.12（km）；
当张强离开宿舍20min时，张强离宿舍的距离为1.2km；
当张强离开宿60舍min时，张强离宿舍的距离为0.6km；
张强离开宿舍的时间/min
1
10
20
60
张强离宿舍的距离/km
0.12
1.2
1.2
0.6
故答案为：0.12，1.2；0.6；
②由图象知，张强从体育场到文具店的速度为1.2−0.650−40=0.06（km/h），
故答案为：0.06；
③当50＜x≤60时，y＝0.6；
张强从文具店到宿舍时的速度为0.680−60=0.03（km/h），
∴当60＜x≤80时，y＝2.4﹣0.03x；
综上，y关于x的函数解析式为y=0.6(50＜x≤60)2.4−0.03x(60≤x≤80)；
（2）根据题意，当张强离开体育场15min时，张强到达文具店并停留了5min，
设李明从体育场出发x分钟后与张强相遇，
则0.06x＝0.03（x﹣5）+0.6，
解得x＝15，
∴1.2﹣0.06×15＝0.3（km），
∴离宿舍的距离是0.3km．
【点评】本题考查了一次函数的应用，函数图象．解题的关键在于从图象中获取正确的信息并理解图象的含义．
22．（2023•株洲）某花店每天购进16支某种花，然后出售，如果当天售不完，那么剩下的这种花进行作废处理．该花店记录了10天该种花的日需求量（n为正整数单位：支），统计如下表：
日需求量n
13
14
15
16
17
18
天数
1
1
2
4
1
1
（1）求该花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数；
（2）当n＜16时，日利润y（单位：元）关于n的函数表达式为：y＝10n﹣80；当n≥16时，日利润为80元．
①当n＝14时，问该花店这天的利润为多少元？
②求该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率．
【考点】一次函数的应用；频数与频率．菁优网版权所有
【答案】（1）花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数为4天；
（2）①当n＝14时，该花店这天的利润为60元；
②该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率为15．
【分析】（1）根据表格求解；
（2）把n＝14代入求解；
（3）把y＝70代入求解．
【解答】解：（1）1+1+2＝4，
答：花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数为4天；
（2）①当n＝14时，y＝10n﹣80＝10×14﹣80＝60，
答：当n＝14时，该花店这天的利润为60元；
②当n＜16时，70＝10n﹣80，解得：n＝15，
当n＝15时，有2天，
∴210=15．
答：该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率为15．
【点评】本题考查了一次函数的应用，理解题意是解题的关键．
23．（2023•扬州）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．
（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
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【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）甲种头盔单价是65元，乙种头盔单价是54元；
（2）购买14只甲种头盔时，总费用最小，最小费用为1976元．
【分析】（1）设甲种头盔的单价为x元，乙种头盔的单价为y元，根据购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元，列二元一次方程组，求解即可；
（2）设再次购进甲种头盔m只，总费用为w元，根据此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，列一元一次不等式，求出m取值范围，再表示出w与m的一次函数关系式，根据一次函数的增减性即可确定总费用最小时，甲种头盔购买数量，进一步求出最小费用即可．
【解答】解：（1）设甲种头盔的单价为x元，乙种头盔的单价为y元，
根据题意，得20x+30y=2920x−y=11，
解得x=65y=54，
答：甲种头盔单价是65元，乙种头盔单价是54元；
（2）设再次购进甲种头盔m只，总费用为w元，
根据题意，得m≥12（40﹣m），
解得m≥403，
w＝65×0.8m+（54﹣6）（40﹣m）＝4m+1920，
∵4＞0，
∴w随着m增大而增大，
当m＝14时，w取得最小值，
即购买14只甲种头盔时，总费用最小，最小费用为14×4+1920＝1976（元），
答：购买14只甲种头盔时，总费用最小，最小费用为1976元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立相应关系式是解题的关键．
24．（2023•金华）兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车，到书吧前的速度为200米/分，图2中的图象分别表示两人离学校的路程s（米）与哥哥离开学校的时间t（分）的函数关系．
（1）求哥哥步行的速度．
（2）已知妹妹比哥哥迟2分钟到书吧．
①求图中a的值；
②妹妹在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离家还有多远；若不能，说明理由．

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【专题】应用题；数据分析观念．
【答案】（1）100m/min．
（2）①a＝6．
②能，追上时兄妹俩离家300米远．
【分析】（1）由A（8，800）可知哥哥的速度．
（2）①根据时间＝路程÷速度可知妹妹到书吧所用的时间，再根据题意确定a得值即可．
②分别求出哥哥与妹妹返程时的函数解析式，再联立方程组即可得出结论．
【解答】解：（1）由A（8，800）可知哥哥的速度为：800÷8＝100（m/min）．
（2）①∵妹妹骑车到书吧前的速度为200米/分，
∴妹妹所用时间t为：800÷200＝4（min）．
∵妹妹比哥哥迟2分钟到书吧，
∴a＝8+2﹣4＝6．
②由（1）可知：哥哥的速度为100m/min，
∴设BC所在直线为s1＝100t+b，
将B（17，800）代入得：800＝100×17+b，
解得b＝﹣900．
∴BC所在直线为：s1＝100t﹣900．
当s1＝1900时，t哥哥＝28．
∵返回时妹妹的速度是哥哥的1.6倍，
∴妹妹的速度是160米/分．
∴设妹妹返回时得解析式为s2＝160t+b，
将F（20，800）代入得800＝160×20+b，
解得b＝﹣2400，
∴s2＝160t﹣2400．
令s1＝s2，则有100t﹣900＝160t﹣2400，
解得t＝25＜28，
∴妹妹能追上哥哥，
此时哥哥所走得路程为：800+（25﹣17）×100＝1600（米）．
兄妹俩离家还有1900﹣1600＝300（米），
即妹妹能追上哥哥，追上时兄妹俩离家300米远．
【点评】本题考查了一次函数的应用，观察图象以及利用待定系数法求解析式是解决该类问题的关键．
25．（2023•上海）“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完．
（1）他实际花了多少钱购买会员卡？
（2）减价后每升油的单价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x的函数解析式（不用写出定义域）．
（3）油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？
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【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）900；
（2）y＝0.9x﹣0.27；
（3）1.00．
【分析】（1）根据打九折列出算式，计算即可；
（2）根据每一升油，油的单价降低0.30元知：y＝0.9（x﹣0.30）；
（3）当x＝7.30，可得y＝6.30，根据优惠后油的单价比原价便宜（x﹣y）元，计算求解即可．
【解答】解：（1）由题意知，1000×0.9＝900（元），
答：实际花了900元购买会员卡；
（2）由题意知，y＝0.9（x﹣0.30），
整理得y＝0.9x﹣0.27，
∴y关于x的函数解析式为 y＝0.9x﹣0.27；
（3）当x＝7.30时，y＝0.9×7.30﹣0.27＝6.30，
∵7.30﹣6.30＝1.00，
∴优惠后油的单价比原价便宜1.00元．
【点评】本题考查了有理数乘法应用，一次函数解析式，一次函数的应用，解题的关键在于理解题意，正确的列出算式和一次函数解析 式．
26．（2023•内江）某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：
水果种类
进价（元/千克）
售价（元/千克）
甲
a
20
乙
b
23
该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元．
（1）求a，b的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售，求超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价3m元，乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（利润率=利润本金）不低于16%，求m的最大值．
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【专题】分类讨论；方程思想；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）a＝14；b＝19；
（2）超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系为：y=2x+400(30≤x≤60)−x+580(60＜x≤80)．
（3）m的最大值为1.2．
【分析】（1）根据信息列二元一次方程得出答案；
（2）分类讨论，分别求出30≤x≤60和60＜x≤80时的函数关系；
（3求出当x为多少时，y值最大，利用利润率公式得到关于m的不等式，解出m的最大值．
【解答】解：（1）由题可列15a+5b=30520a+10b=470，
解得a=14b=19．
（2）由题可得当30≤x≤60时，
y＝（20﹣14）x+（23﹣19）（100﹣x）＝2x+400，
当60＜x≤80时，
y＝（20﹣3﹣14）（x﹣60）+（20﹣14）×60+（23﹣19）（100﹣x）＝﹣x+580，
答：超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系为：y=2x+400(30≤x≤60)−x+580(60＜x≤80)．
（3）∵y=2x+400(30≤x≤60)−x+580(60＜x≤80)，
∴当x＝60时，y的值最大，即y＝520，
由题可列(20−3m−14)⋅60+40(23−m−19)14×60+19×40×100%≥16%，
解得m≤1.2，
答：m的最大值为1.2．
【点评】本题以应用题为背景考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解题的关键是明确题意，根据公式正确列出关系式．本题难度适中，常为期末考试题．
27．【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表：
流水时间t/min
0
10
20
30
40
水面高度h/cm（观察值）
30
29
28.1
27
25.8
任务1：分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】小组讨论发现：“t＝0，h＝30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
任务2：利用t＝0时，h＝30；t＝10时，h＝29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式；
【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3：（1）计算任务2得到的函数解析式的w值；
（2）请确定经过（0，30）的一次函数解析式，使得w的值最小；
【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案．

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【专题】待定系数法；一次函数及其应用；数感；运算能力．
【答案】任务1：﹣1，﹣0.9，﹣1.1，﹣1.2；
任务2：h＝﹣0.1t+30；
任务3：（1）0.05，（2）0.038．
任务4：见解析．
【分析】任务1：依表计算即可；
任务2：根据待定系法确定关系式即可；
任务3：（1）根据题意计算即可；（2）设h＝kt+30，代入w计算化简，利用二次函数性质求w的最小值即可；
任务4：按照上一问题中的结论设计即可．
【解答】解：任务1：
变化量分别为：29﹣30＝﹣1（cm）；28.1﹣29＝﹣0.9（cm）；27﹣28.1＝﹣1.1（cm）；25.8﹣27＝﹣1.2（cm），
∴每隔10min水面高度观察值的变化量为：﹣1，﹣0.9，﹣1.1，﹣1.2．
任务2：
设水面高度h与流水时间t的函数解析式为h＝kt+b，
∵t＝0 时，h＝30；t＝10时，h＝29；
∴b=3010k+b=29，
解得：k=−0.1b=30，
∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为h＝﹣0.1t+30；
任务3：
（1）w＝（30﹣30）²+（29﹣29）2+（28﹣28.1）2+（27﹣27）2+（26﹣25.8）2
＝0.05．
（2）w＝（10k+30﹣30）2+（10k+30﹣29）2+（10k+30﹣28.1）2+（10k+30﹣27）2+（10k+30﹣25.8）2
＝3000（k+0.102）2﹣0.038，
∴当k＝﹣0.102时，w的最小值为0.038．
任务4：
在容器外壁每隔1.02cm标记一次刻度，这样水面每降低一个刻度，就代表时间经过了10分钟．
【点评】本题考查了一次函数的应用，充分理解题意是解题关键．
28．（2023•苏州）某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道AB，长度为1m的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿AB方向从左向右匀速滑动，滑动速度为9m/s，滑动开始前滑块左端与点A重合，当滑块右端到达点B时，滑块停顿2s，然后再以小于9m/s的速度匀速返回，直到滑块的左端与点A重合，滑动停止．设时间为t（s）时，滑块左端离点A的距离为l1（m），右端离点B的距离为l2（m），记d＝l1﹣l2，d与t具有函数关系，已知滑块在从左向右滑动过程中，当t＝4.5s和5.5s时，与之对应的d的两个值互为相反数；滑块从点A出发到最后返回点A，整个过程总用时27s（含停顿时间）．请你根据所给条件决下列问题：
（1）滑块从点A到点B的滑动过程中，d的值 　由负到正　；（填“由负到正”或“由正到负”）
（2）滑块从点B到点A的滑动过程中，求d与t的函数表达式；
（3）在整个往返过程中，若d＝18，求t的值．

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【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）由负到正；
（2）d＝﹣12t+234；
（3）t＝6或18
【分析】（1）根据等式d＝l1﹣l2，结合题意，即可求解；
（2）设轨道AB的长为n，根据已知条件得出l1+l2+1＝n，则d＝l1﹣l2＝18t﹣n+1，根据当t＝4.5s和5.5s时，与之对应的d的两个值互为相反数；则t＝5时，d＝0，得出d＝91，继而求得滑块返回的速度为（91﹣1）÷15＝6（m/s），得出l2＝6（t﹣12），代入d＝l1﹣l2，即可求解；
（3）当d＝18时，有两种情况，由（2）可得，①当0≤t≤10时，②当12≤t≤27时，分别令d＝18，进而即可求解．
【解答】（1）解：∵d＝l1﹣l2，
当滑块在A点时，l1＝0，d＝﹣l2＜0，
当滑块在B点时，l2＝0，d＝l1＞0，
∴d的值由负到正．
（2）设轨道AB的长为n，当滑块从左向右滑动时，
∵l1+l2+1＝n，
∴l2＝n﹣l1﹣1，
：d＝l1﹣l2＝l1﹣（n﹣l1﹣2）＝2l1﹣n+1＝2×9t﹣n+1＝18t﹣n+1
∴d是t的一次函数，
∵当t＝4.5s和5.5s时，与之对应的d的两个值互为相反数；
∴当t＝5时，d＝0，
∴18×5﹣n+1＝0，
∴d＝91，
∴滑块从点A到点B所用的时间为（91﹣1）÷9＝10（s），
∵整个过程总用时27s （含停顿时间）．当滑块右端到达点B时，滑块停顿2s，
∴滑块从B返回到A所用的时间为27﹣10﹣2＝15s．
∴滑块返回的速度为：（91﹣1）÷15＝6（m/s），
∴当12≤t≤27时，l2＝6（t﹣12），
∴l1＝91﹣1﹣l2＝90﹣6（t﹣12）＝162﹣6t，
∴l1﹣l2＝162﹣6t﹣6（t﹣12）＝﹣12t+234，
∴d与t的函数表达式为：d＝﹣12t+234；
（3）当d＝18时，有两种情况：
由（2）可得，
①当0≤t≤10时，18t﹣90＝18，
∴t＝6；
②当12≤t≤27时，﹣12t+234＝18，
∴t＝18．
综上所述，当t＝6或18时，d＝18．
【点评】本题考查了一次函数的应用，分析得出n＝91，并求得往返过程中的解析式是解题的关键．
29．（2023•宁波）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学．上午8：00，军车在离营地60km的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示．

（1）求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值．
（2）求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．
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【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为s＝20+40t，a的值为2；
（2）部队官兵在仓库领取物资所用的时间为13h．
【分析】（1）求出大巴速度为60−201=40（km/h），即得s＝20+40t；令s＝100得a＝2；
（2）求出军车速度为60÷1＝60（km/h），设部队官兵在仓库领取物资所用的时间为xh，可得：60（2﹣x）＝100，即可解得答案．
【解答】解：（1）由函数图象可得，大巴速度为60−201=40（km/h），
∴s＝20+40t；
当s＝100时，100＝20+40t，
解得t＝2，
∴a＝2；
∴大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为s＝20+40t，a的值为2；
（2）由函数图象可得，军车速度为60÷1＝60（km/h），
设部队官兵在仓库领取物资所用的时间为xh，
根据题意得：60（2﹣x）＝100，
解得：x=13，
答：部队官兵在仓库领取物资所用的时间为13h．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
30．（2023•连云港）目前，我市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基础、年为计算周期设定了如表的三个气量阶梯：
阶梯
年用气量
销售价格
备注
第一阶梯
0～400m3（含400）的部分
2.67元/m3
若家庭人口超过4人的，每增加1人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加100m3、200m3．
第二阶梯
400～1200m3（含1200）的部分
3.15元/m3
第三阶梯
1200m3以上的部分
3.63元/m3
（1）一户家庭人口为3人，年用气量为200m3，则该年此户需缴纳燃气费用为 　534　元；
（2）一户家庭人口不超过4人，年用气量为xm3（x＞1200），该年此户需缴纳燃气费用为y元，求y与x的函数表达式；
（3）甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元，求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气？（结果精确到1m3）
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【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）534；
（2）y与x的函数表达式为y＝3.63x﹣768（x＞1200）；
（3）该年乙户比甲户多用约26立方米的燃气．
【分析】（1）用200乘以第一阶梯的电价即可；
（2）根据题意按第一、二阶梯电价写出函数解析式即可；
（3）先根据甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元，判断甲、乙两家的燃气量的范围，再分别计算出出燃气量即可．
【解答】解：（1）200×2.67＝534（元），
故答案为：534；
（2）根据题意得：y＝400×2.67+（1200﹣400）×3.15+3.63（x﹣1200）＝3.63x﹣768，
∴y与x的函数表达式为y＝3.63x﹣768（x＞1200）；
（3）∵400×2.67+（1200﹣400）×3.15＝3588＜3855，
∴甲户该年的用气量达到了第三阶梯，
由（2）知，当y＝3855时，3.63x﹣768＝3855，
解得x＝1273.6，
又∵2.67×（100+400）+3.15×（1200+200﹣500）＝4170＞3855，且2.67×（100+400）＝1335＜3855．
∴乙户该年的用气量达到第二阶梯，但未达到第三阶梯，
设乙户年用气量为am3 则有2.67×500+3.15（a﹣500）＝3855，
解得a＝1300，
1300﹣1273.6＝26.4≈26m3，
答：该年乙户比甲户多用约26立方米的燃气．
【点评】本题考查一次函数的应用，关键是写出函数解析式．
31．（2023•新疆）随着端午节的临近，A，B两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表：

A超市
B超市
优惠方案
所有商品按八折出售
购物金额每满100元返30元
（1）当购物金额为80元时，选择 　A　超市（填“A”或“B”）更省钱；
当购物金额为130元时，选择 　B　超市（填“A”或“B”）更省钱；
（2）若购物金额为x（0≤x＜200）元时，请分别写出它们的实付金额y（元）与购物金额x（元）之间的函数解析式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？
（3）对于A超市的优惠方案，随着购物金额的增大，顾客享受的优惠率不变，均为20%（注：优惠率=购物金额−实付金额购物金额×100%）．若在B超市购物，购物金额越大，享受的优惠率一定越大吗？请举例说明．
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【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】（1）A；B；
（2）当0≤x＜100或150＜x＜200时，选择A超市更省钱，当100≤x＜150时，选择B超市更省钱，当x＝150时，A、B两超市花费一样多；
（3）不一定，举例见解析．
【分析】（1）根据A、B 两超市的优惠方案分别计算即可；
（2）分0≤x＜100和100≤x＜200两种情况分别计算；
（3）当100≤x＜200时，设优惠率为P，则有P=30x，当900≤x1＜1000时，设优惠率为Q，则有Q=270x1，然后计算P﹣Q分析即可．
【解答】解：（1）∵80＜100，
∴A超市八折优惠，B超市不优惠，
∴选择A超市更省钱；
∵100＜130＜200，
∴A超市应付：130×0.8＝104元，B超市应付：130﹣100＝30元，
∵104＞100，
∴选择B超市更省钱；
故答案为：A；B．
（2）当0≤x＜100时，A超市八折优惠，B超市不优惠，
∴选择A超市更省钱，
当100≤x＜200时，A超市函数表达式为：y＝0.8x，B超市函数表达式为：y＝x﹣30，
当0.8x＜x﹣30，即150＜x＜200时，选择A超市更省钱；
当0.8x＝x﹣30，即x＝150时，A、B两超市花费一样多；
当0.8x＞x﹣30，即100≤x＜150时，选择B超市更省钱．
（3）不一定，例：
当100≤x＜200时，设优惠率为P，则有P=30x，
当900≤x1＜1000时，设优惠率为Q，则有Q=270x1，
∴P﹣Q=30x−270x1=30(x1−9x)xx1，
∵xx1＞0，
∴当x1﹣9x＜0时，P﹣Q＜0，即购物金额小时，享受的优惠率大，
∴在B超市购物，购物金额越大，享受的优惠率不一定越大．
【点评】本题主要考查的是一次函数的应用，能够根据A、B两超市的优惠方案正确列出式子是解决本题的关键．
32．（2023•云南）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买A、B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元．
（1）求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格；
（2）若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的13，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）每顶A种型号帐篷600元，每顶B种型号帐篷1000元；
（2）购买A种型号帐篷5顶，购买B种型号帐篷15顶，总费用最低，最低总费用为18000元．
【分析】（1）设每顶A种型号帐篷m元，每顶B种型号帐篷n元，根据若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元得：2m+4n=52003m+n=2800，即可解得答案；
（2）设购买A种型号帐篷x顶，总费用为w元，由购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的13，可得x≤5，而w＝600x+1000（20﹣x）＝﹣400x+20000，根据一次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）设每顶A种型号帐篷m元，每顶B种型号帐篷n元，
根据题意得：2m+4n=52003m+n=2800，
解得：m=600n=1000，
∴每顶A种型号帐篷600元，每顶B种型号帐篷1000元；
（2）设购买A种型号帐篷x顶，总费用为w元，则购买B种型号帐篷（20﹣x）顶，
∵购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的13，
∴x≤13（20﹣x），
解得x≤5，
根据题意得：w＝600x+1000（20﹣x）＝﹣400x+20000，
∵﹣400＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝5时，w取最小值，最小值为﹣400×5+20000＝18000（元），
∴20﹣x＝20﹣5＝15，
答：购买A种型号帐篷5顶，购买B种型号帐篷15顶，总费用最低，最低总费用为18000元．
【点评】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
33．（2023•成都）2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元．
（1）求A，B两种食材的单价；
（2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）A种食材单价是每千克38元，B种食材单价是每千克30元；
（2）A种食材购买24千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，为1272元．
【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程；
（2）设A种食材的单价为m元/千克，B种食材的单价为（36﹣m）元/千克，总费用为w元，由题意得：w＝38m+30（36﹣m）＝8m+1080，根据题意可以列出相应的不等式，求出m的取值范围，从而可以解答本题．
【解答】（1）设A种食材的单价为x元/千克，B种食材的单价为y元/千克，由题意得：
x+y=685x+3y=280，
解得：x=38y=30，
∴A种食材单价是每千克38元，B种食材单价是每千克30元；
（2）设A种食材购买m千克，B种食材购买（36﹣m）千克，总费用为w元，由题意得：
w＝38m+30（36﹣m）＝8m+1080，
∵m≥2（36﹣m），
∴24≤m≤36，
∵k＝8＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝24时，w有最小值为：8×24+1080＝1272（元），
∴A种食材购买24千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，为1272元．
【点评】本题主要考查二元一次方程组、一次函数的性质、不等式在实际生活当中的运用，考查学生的理解能力与列式能力．
34．（2023•遂宁）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．
（1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
（2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为W元．
①求W与m的函数关系式，并求出m的取值范围；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【考点】一次函数的应用；分式方程的应用．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元；
（2）①W与m的函数关系式为W＝﹣m+600；②购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为466元．
【分析】（1）设每个甲种粽子的进价为x元，则每个乙种粽子的进价为（x+2）元，根据用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同，列出方程，解方程即可，注意验根；
（2）①设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子（200﹣m）个，全部售完获得利润为w元，根据总利润＝甲、乙两种粽子利润之和列出函数解析式；
②根据甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍求出m的取值范围，再根据函数的性质求最值，并求出相应的方案．
【解答】解：（1）设每个甲种粽子的进价为x元，则每个乙种粽子的进价为（x+2）元，
根据题意得：1000x=1200x+2，
解得x＝10，
经检验，x＝10是原方程的根，
此时x+2＝12，
答：每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元；
（2）①设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子（200﹣m）个，
根据题意得：W＝（12﹣10）m+（15﹣12）（200﹣m）＝2m+600﹣3m＝﹣m+600，
∴W与m的函数关系式为W＝﹣m+600；
②甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，
∴m≥2（200﹣m），
解得m≥4003，
由①知，W＝﹣m+600，﹣1＜0，m为正整数，
∴当m＝134时，W有最大值，最大值为466，
此时200﹣134＝66，
∴购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为466元．
【点评】本题考查一次函数和分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和分式方程．
35．（2023•广安）“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售A、B两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱A种盐皮蛋和6箱B种盐皮蛋共需390元；若购买5箱A种盐皮蛋和8箱B种盐皮蛋共需310元．
（1）A种盐皮蛋、B种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？
（2）若某公司购买A、B两种盐皮蛋共30箱，且A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）A种盐皮蛋每箱价格为30元，B种盐皮蛋每箱价格为20元；
（2）购买18箱A种盐皮蛋，12箱B种盐皮蛋才能使总费用最少，最少费用为780元．
【分析】（1）根据购买9箱A种盐皮蛋和6箱B种盐皮蛋共需390元；购买5箱A种盐皮蛋和8箱B种盐皮蛋共需310元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意，可以写出费用与购买A种盐皮蛋箱数的函数关系式，然后根据A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，可以列出相应的不等式组，求出A种盐皮蛋箱数的取值范围，再根据一次函数的性质求最值．
【解答】解：（1）设A种盐皮蛋每箱价格为a元，B种盐皮蛋每箱价格为b元，
由题意可得：9a+6b=3905a+8b=310，
解得a=30b=20，
答：A种盐皮蛋每箱价格为30元，B种盐皮蛋每箱价格为20元；
（2）设购买A种盐皮蛋x箱，则购买B种盐皮蛋（30﹣x）箱，总费用为w元，
由题意可得：w＝30x+20（30﹣x）＝10x+600，
∴w随x的增大而增大，
∵A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，
∴x≥(30−x)+5x≤2(30−x)，
解得17.5≤x≤20，
∵x为整数，
∴当x＝18时，w取得最小值，此时w＝780，30﹣x＝12，
答：购买18箱A种盐皮蛋，12箱B种盐皮蛋才能使总费用最少，最少费用为780元．
【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组，利用一次函数的性质求最值．
36．（2023•丽水）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：
（1）直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；
（2）求方案二y关于x的函数表达式；
（3）如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案．

【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）30；
（2）y＝20x+600；
（3）若销售量x的取值范围为0＜x＜30，则选择方案二，若销售量x＝30，则选择两个方案都可以，若销售量x的取值范围为x＞30，则选择方案一．
【分析】（1）根据图图象的交点回答即可；
（2）设方案二的函数图象解析式为y＝kx+b，将点（0，600）、点（30，1200）代入即可；
（3）对销售量的范围进行讨论，从而得出正确的方案．
【解答】解：（1）观察图象得：
方案一与方案二相交于点（30，1200），
∴员工生产30件产品时，两种方案付给的报酬一样多；
（2）设方案二的函数图象解析式为y＝kx+b，
将点（0，600）、点（30，1200）代入解析式中：
30k+b=1200b=600，
解得：k=20b=600，
即方案二y关于x的函数表达式：y＝20x+600；
（3）由两方案的图象交点（30，1200）可知：
若销售量x的取值范围为0＜x＜30，则选择方案二，
若销售量x＝30，则选择两个方案都可以，
若销售量x的取值范围为x＞30，则选择方案一．
【点评】本题考查的是求解一次函数解析式以及一次函数的实际应用，解题关键是会看图，理解横轴与纵轴表示的实际意义，掌握用待定系数法求函数解析式．
37．（2023•达州）某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元．
（1）分别求出每件豆笋、豆干的进价；
（2）某特产店计划用不超过10440元购进豆笋、豆干共200件，且豆笋的数量不低于豆干数量的32，该特产店有哪几种进货方案？
（3）若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？
【考点】一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）每件豆笋的进价为60元，每件豆干的进价为40元；
（2）该特产店有三种进货方案：购进豆笋120件，购进豆干80件；购进豆笋121件，购进豆干79件；购进豆笋122件，购进豆干78件；
（3）购进豆笋122件，购进豆干78件可使该特产店获得利润最大，最大利润为3610元．
【分析】（1）设每件豆笋的进价为x元，每件豆干的进价为y元，根据“2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元”可得二元一次方程组，求解即可；
（2）设购进豆笋a件，则购进豆干（200﹣a）件，根据题意可得关于a的一元一次不等式组，求出a的取值范围，以此得出a的所有取值即可得出进货方案；
（3）设总利润为w元，根据利润＝（成本﹣进价）×数量可得w关于a的一次函数，再根据一次函数的增减性结合a的取值范围即可求解．
【解答】解：（1）设每件豆笋的进价为x元，每件豆干的进价为y元，
由题意得：2x+3y=240①3x+4y=340②，
解得：x=60y=40，
∴每件豆笋的进价为60元，每件豆干的进价为40元；
（2）设购进豆笋a件，则购进豆干（200﹣a）件，
由题意可得：60a+40(200−a)≤10440a≥32(200−a)，
解得：120≤a≤122，且a为整数，
∴该特产店有以下三种进货方案：
当a＝120时，200﹣a＝80，即购进豆笋120件，购进豆干80件，
当a＝121时，200﹣a＝79，即购进豆笋121件，购进豆干79件，
当a＝122时，200﹣a＝78，即购进豆笋122件，购进豆干78件，
（3）设总利润为w元，
则w＝（80﹣60）•a+（55﹣40）•（200﹣a）＝5a+3000，
∵5＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝122时，w取得最大值，最大值为5×122+3000＝3610，
∴购进豆笋122件，购进豆干78件可使该特产店获得利润最大，最大利润为3610元．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，理解题意，找准题中所蕴含的等量关系或不等关系，正确列出方程组、不等式组以及函数关系式是解题关键．

考点卡片
1．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
2．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
3．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
4．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
5．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
6．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
7．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（−bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
8．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
9．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
10．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
11．频数与频率
（1）频数是指每个对象出现的次数．
（2）频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）．即频率＝频数÷总数
一般称落在不同小组中的数据个数为该组的频数，频数与数据总数的比值为频率．频率反映了各组频数的大小在总数中所占的分量．
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