新高一预习：题型分类细讲精练08 单调性应用：恒成立求参与解不等式（人教数学A版2019必修第一册）

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目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc17761" 【题型一】利用单调性定义求参 PAGEREF _Tc17761 2
\l "_Tc16669" 【题型二】单调性与对称轴求参 PAGEREF _Tc16669 3
\l "_Tc12800" 【题型三】单调性与中心对称求参 PAGEREF _Tc12800 5
\l "_Tc13568" 【题型四】抽象函数单调性求参 PAGEREF _Tc13568 7
\l "_Tc25909" 【题型五】 分段函数单调性求参 PAGEREF _Tc25909 9
\l "_Tc14950" 【题型六】分式函数单调性求参 PAGEREF _Tc14950 11
\l "_Tc5399" 【题型七】绝对值函数单调性求参 PAGEREF _Tc5399 13
\l "_Tc4907" 【题型八】构造函数求参 PAGEREF _Tc4907 15
\l "_Tc22437" 【题型九】参变分离求参 PAGEREF _Tc22437 17
\l "_Tc21124" 【题型十】类周期函数求参 PAGEREF _Tc21124 19
\l "_Tc15280" 【题型十一】”两个函数“相等”恒成立（存在）求参 PAGEREF _Tc15280 21
\l "_Tc6848" 【题型十二】应用单调性比大小 PAGEREF _Tc6848 23
\l "_Tc30212" 培优第一阶——基础过关练 PAGEREF _Tc30212 24
\l "_Tc25168" 培优第二阶——能力提升练 PAGEREF _Tc25168 28
\l "_Tc11478" 培优第三阶——培优拔尖练 PAGEREF _Tc11478 33
综述：
单调性
单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么有：
①eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0⇔f(x)是[a,b]上的 增函数 ；②eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0⇔f(x)是[a,b]上的__减函数__；
单调性经验型结论：（注意定义域是否有变化和限制）
【题型一】利用单调性定义求参
【典例分析】
已知函数在上有定义，且.若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是______.
【答案】
【分析】由题意易知函数在上单调递减，讨论与大小关系，再结合，利用单调性即可列出不等式组，则可解出答案.
【详解】因为对任意给定的实数，恒有，
即成立，所以函数在上单调递减，又，
所以不等式等价于或，等价于或，
解得：，所以不等式的解集为.故答案为：
【变式训练】
1.已知函数在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利根据函数的单调性及定义域将函数不等式转化为自变量的不等式，即可得到答案.
【详解】解：由题意，在上单调递减.
则由可得，解得，即原不等式的解集为.
故选：B.
2.设，已知函数是定义在上的减函数，且，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义域，结合函数的单调性求解即可.
【详解】∵函数是定义在上的减函数，且，
∴，解得.
故选：C
3.设奇函数定义在上，在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】奇函数定义在上，在上为增函数，且，
∴函数的关于原点对称，且在上也是增函数，过点，
所以可将函数的图像画出，大致如下：
∵，
∴不等式可化为，即，不等式的解集即为自变量与函数值异号的的范围，据图像可以知道．故选：．
【题型二】单调性与对称轴求参
【典例分析】
．已知定义在上的函数满足，且，，都有，．若对，恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由抽象函数单调性和对称性的定义可得在上单调递增，在上单调递减且，由此可将恒成立的不等式化为或，分离变量后，根据函数最值可得的范围.
【详解】，，都有，在上单调递增；
，图象关于对称，在上单调递减；
，；
由知：或，
或，或，
，或，即的取值范围为.
故选：D.

【变式训练】
1.已知函数满足（x∈R），且对任意的时，恒有成立，则当时，实数a的取值范围为（ ）
A．B．
【答案】A
【分析】先证明出在[1，+∞）上为减函数，把转化为，即可解得.
【详解】因为函数满足（x∈R），则函数的图像关于直线x＝1对称，
又由对任意的时，恒有成立，
所以任取，有，所以，
所以在[1，+∞）上为减函数.
又由2a2+a+2＝2（a）21，2a2﹣2a+4＝2（a）21，
若，则有，
解得：，即a的取值范围为.故选：A．
2.已知函数为定义在上的函数，对任意的，均有成立，且在上单调递减，若，则不等式的解集为__________．
【答案】##
【分析】根据函数的对称性及单调性之间的关系即可求解.
【详解】由题意，因为函数对任意的均有，
所以可得函数的图象关于对称，
又由在上单调递减，则在上单调递增，
因为，可得，
则不等式，可得，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
3.定义在上的函数满足，且在上单调递增，若当时恒成立，则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】先根据已知条件分析的对称性以及单调性，然后根据对称性以及单调性将的关系转变为的关系，再根据恒成立思想采用分离参数的方法求解出的取值范围.
【详解】因为，所以的对称轴为，
又因为在上单调递增，所以在上单调递减，所以自变量越靠近对称轴对应的函数值越小，
又因为时恒成立，所以时恒成立，
所以时恒成立，所以时，恒成立，
当时，显然成立；
当时，则，所以，
又因为为增函数，为减函数，所以，，
所以，即，
故答案为：.
【题型三】单调性与中心对称求参
【典例分析】
已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题可得函数关于点对称，函数在R上单调递增，进而可得，利用函数的单调性即得.
【详解】由，得且函数关于点对称．
由对任意，，均有，
可知函数在上单调递增．
又因为函数的定义域为R，
所以函数在R上单调递增．
因为a，b为关于x的方程的两个解，
所以，解得，且，即．又，
令，则，则由，得，
所以．综上，t 的取值范围是.故选：D．

【变式训练】
1..已知函数在上单调递增，若，且，则的解集为______.
【答案】
【分析】依题意可得的图像关于点对称，即可得到，再根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】解：因为，所以的图像关于点对称，因为，所以，又在上单调递增，所以等价于，所以，即，
所以原不等式的解集为；故答案为：
2.已知函数的定义域为R，且，当时，，若，则实数m的取值范围为___________．
【答案】
【分析】由题意得函数关于中心对称，由的解析式可得函数在单调递减，并求出的解析式，可得，从而得到关于的不等式，即可得答案.
【详解】，关于中心对称，
当时，设为图象上任意一点，则关于的对称点为，
，中，当时，，
所以在上单调递减，且，
，解得，故答案为：.
3.定义在上的减函数满足，且对任意实数都有，则不等式的解集为____________.
【答案】
【分析】由绝对值不等式可知，利用中x的任意性得，再利用函数的单调性解不等式即可.
【详解】因为任意实数都有，且，
令，则，故
不等式，解得，即
又函数为上的减函数，解得，故不等式的解集为
故答案为：
【点睛】方法点睛：本题考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是：
（1）把不等式转化为的模型；
（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别.
【题型四】抽象函数单调性求参
【典例分析】
已知函数的定义域，且对任意，恒有，当时，，若，则的取值范围是______________．
【答案】
【分析】根据给定条件探求出函数在上的单调性，再利用单调性解即得.
【详解】，且，则，而当时，，于是得，
因对任意，恒有，因此，，
从而得在上的单调递减，由得：，
解得：，解，即得，则有，
所以的取值范围是.
故答案为：
【变式训练】
1.已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，不等式的解集为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知令求得，再求，即有，原不等式
即为，再由单调性即可得到不等式组，解出它们即可．
【详解】由于，令则，即，
则，由于，则，即有，
由于对于，都有，则在上递减，
不等式即为．则原不等式即为，即有，
即有，即解集为．故选：D．
2.．若定义在上的函数满足：，且时，有,当 时，的最大值、最小值分别为，则的值为（ ）
A．2018B．2019C．4036D．4038
【答案】C
【分析】利用赋值法，可得到，继而再根据抽象函数的表达式证明函数的单调性，利用函数单调性的性质即可得到结论．
【详解】由题意得，
对于任意的 ，，都有，
令，得，
再令，将代入可得 ,
即得，
不妨设，则，，
，
又，
可得，
即函数在R上递增，
故当时，，，
又由可得：，
的值为4036，
故选：C．
3.已知定义在（0，）上的函数满足：对任意正数a､b，都有，且当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．是增函数，且B．是增函数，且
C．是减函数，且D．是减函数，且
【答案】D
【分析】法一：找到一个函数满足题干中的条件，从而得到单调性和值域，求出答案；法二：根据题干中条件，利用赋值法和定义法来求解函数的单调性和值域，进而得到答案.
【详解】法一：取，满足题干条件，则是减函数，且；
法二：当时，.设，则，由已知，.
所以，即，所以是减函数，
故选：D.
【题型五】 分段函数单调性求参
【典例分析】
已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【分析】由题意，分段函数为上的增函数，从而即可列出不等式组求解.
【详解】解：因为函数对任意，都有成立，
所以为上的增函数，因为函数，所以，解得，
所以实数的取值范围是，故答案为：.
【变式训练】
1.设函数若存在最小值，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据一次函数和二次函数的单调性，分类讨论进行求解即可.
【详解】若时，，；
若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值；
若时，时，单调递减，，当时，，若函数有最小值，需或，解得.
故选：B
2.已知函数为上的严格增函数，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【分析】分段函数是严格的增函数，需要满足每段都是增函数，且在分段处的函数值，左边小于等于右边
【详解】由题意得：要满足 ，解得：
故答案为：
3..已知函数在R上递增，则m的取值范围是___________.
【答案】
【分析】根据在R上递增，由每一段是增函数，且左侧的函数值不大于右侧的函数值求解.
【详解】当时，若，即时，在上递增；
若，即时，要使在上递增，由对勾函数的性质得：，
解得，此时 ，
综上，在上递增时，；
当时，要使在上递增，则，解得，
因为函数在R上递增，所以，解得，所以m的取值范围是，故答案为：
【题型六】分式函数单调性求参
【典例分析】
已知在上为增函数，则的取值范围______.
【答案】
【分析】把解析式进行分离常数，根据在上为增函数列出关于的不等式组，从而求出的取值范围.
【详解】，，令，且，
在上为增函数，在上为增函数，
，或，的取值范围或.
故答案为：

【变式训练】
1.已知函数在上单调递减，则的取值范围是_____________．
【答案】
【分析】由已知结合反比例函数的图像平移及函数的单调性得，再求分式函数的值域即可得答案..
【详解】解：，
因为函数在上单调递减，所以，解得
所以由于，故，
所以，所以，所以的取值范围是
故答案为：
2.在区间为单调减函数的一个充分不必要条件是___________．
【答案】0. (写出的任何一个值都可以 )
【分析】由题可得，利用条件可得，再利用充分必要条件的定义即得.
【详解】∵，
由在区间为单调减函数可得即，
∴在区间为单调减函数的一个充分不必要条件是0.(写出的任何一个值都可以. )
故答案为：0. (写出的任何一个值都可以 )
3.已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【分析】首先函数分离常数，根据分数函数的单调性，即可求得实数a的取值范围.
【详解】，
因为函数在区间上为增函数，所以，
解得：.
故答案为：
【题型七】绝对值函数单调性求参
【典例分析】
．已知函数在上单调递减，则实数a 的取值范围为____________.
【答案】或
【解析】当时,分， ，求得a的范围，再由，在上单调递减，求得a的范围，取交集，同理，求得a的范围，再由，在上单调递减，求得a的范围，取交集，最后取并集.
【详解】当时,当,即时,,解得,此时,
当，即时，解得，此时无解，
当，即时，，解法，此时无解，所以，
又因为，在上单调递减，所以由对勾函数的性质得，
解得，此时，.综上：.
当时,当,即时, ,解得,此时无解，
当，即时，解得，此时，
当，即时，，解得，此时，综上：
此时，在上单调递减，
所以综上：实数a 的取值范围为或故答案为：或

【变式训练】
1.已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先由解析式得到在上单调递增，由于，结合可得到在恒成立，即可得到答案
【详解】解：，因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，且，
所以，所以，即在恒成立，
所以即，解得，
所以实数的取值范围是，故选：B
2.已知函数，若对任意实数，，总存在实数使不等式成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】首先设在上的最大值为，因为存在实数使不等式，所以，又由对任意实数，，恒成立，所以可以得到，所以只需求的最小值即可求出实数的取值范围.
【详解】∵，∴在上的最大值为，
可得，，
，
可得
，即，∴，∵存在实数使不等式，所以，又由对任意实数，，恒成立，
∴.故答案为：.
3.已知函数，，为常数，若对于任意，，且，都有则实数的取值范围为________.
【答案】[0，2]
【分析】构造函数F（x）＝f（x）﹣g（x），利用F（x）的单调性求出a
【详解】解：对于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），即f（x1）﹣g（x1）＜f（x2）﹣g（x2），
令F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣a|x﹣1|，即F（x1）＜F（x2），只需F（x）在[0，2]单调递增即可，
当x＝1时，F（x）＝0，图象恒过（1，0）点，
当x＞1时，F（x）＝x2﹣ax+a，
当x＜1时，F（x）＝x2+ax﹣a，
要使F（x）在[0，2]递增，
则当1＜x≤2时，F（x）＝x2﹣ax+a的对称轴x＝，即a≤2，
当0≤x＜1时，F（x）＝x2+ax﹣a的对称轴x＝，即a≥0，
故a∈[0，2]，故答案为：[0，2]
【题型八】构造函数求参
【典例分析】
已知是定义在上的函数，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式构造函数，进而可以判断构造函数的单调性，结合二次函数的性质进行求解即可.
【详解】因为，所以由
，
构造函数，由，
因为，所以函数是上的增函数，
当时，函数是上的增函数，符合题意；
当时，函数的对称轴为：，
当时，显然函数是上的增函数，符合题意；
当时，要想函数是上的增函数，只需，而，所以，
综上所述：实数a的取值范围是，
故选：C

【变式训练】
1.．定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】对变形得到，构造新函数，得到在上单调递减，再对变形为，结合，得到，根据的单调性，得到解集.
【详解】，不妨设，故，即，
令，则，故在上单调递减，，
不等式两边同除以得：，因为，所以，即，
根据在上单调递减，故，综上：
故选：B
2.．已知，均为非负实数，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，可得，然后利用二次函数的性质求函数的最值即得.
【详解】因为,，令，则，，
所以，
所以当时，最小值为，
因为，所以当时，最大值为；
令，则函数的对称轴为,
所以当时函数有最小值为，
即，当,且时取等号；
当时，，所以；
所以.
故选：C.
3.定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为_________．
【答案】
【分析】由已知得函数是减函数，由减函数的定义可解不等式．
【详解】设，由已知式变形为，所以在上是减函数，
又．所以不等式化为，又，所以．
故答案为：，
【题型九】参变分离求参
【典例分析】
当时，关于的不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分离参变量得恒成立，只用可求解.
【详解】当时，由恒成立可得，恒成立，令，
，当，即当时，取得最小值为，
因为恒成立，所以，即.故选:B．
【变式训练】
1.已知，，若对，，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知求得，将问题转化为存在使得成立，分离参数得需存在使得成立，由在上为增函数，可求得答案.
【详解】解：因为，所以，
所以当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，
所以函数在在当时，，
所以要使对，，使得，即是求实数的范围，使得存在使得成立，
即存在使得成立，
因此只需满足即可．又在上为增函数，因此．
故选：A．
2.设，若函数在区间上的图象恒位于轴的上方，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意得不等式恒成立，利用变量分离法转化为求对应函数最值，再根据函数单调性求最值，即得结果.
【详解】由题意，对任意恒成立，
即对任意恒成立，
因为，所以，问题等价于对任意恒成立，
即对任意恒成立，令，则且，则，
所以对任意恒成立，因为函数在上是单调递增函数，
所以当时，取得最大值，因此实数的取值范围是，故选：D
3..设，若对恒成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对分和讨论，当时，可得；当时，采用分离参数求最值即可求出的范围，进而求得的最大值.
【详解】当时，不等式为对任意恒成立，此时；
当时，对恒成立，等价于，令，
因为，
由单调性的运算性质可知，在上单调递减，
因为，所以，所以，所以，所以，
综上：，所以的最大值为。故选：C.
【题型十】类周期函数求参
【典例分析】
设函数的定义域为，满足，且当时，若对任意，都有，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得.
【详解】因，又当时，，
当时，，，
当时，由，解得或，
当时，，，
显然，当时，，作出函数的大致图象，
对任意，都有，必有，
所以m的取值范围是.故答案为：.
【变式训练】
1.已知函数的定义域为R，当时满足：①；②对任意有恒成立；③，则不等式的解集为_________.（用区间表示）
【答案】##
【分析】根据③和①，求得，，由②可知函数在（0，+∞）上为增函数，结合题意，可以判断出在上为减函数，将不等式转化为不等式组或，从而确定出结果.
【详解】根据题意，当x＞0时满足，即，
又由，则，；
若对任意有恒成立，则在（0，+∞）上为增函数，
设，则，有，
即，所以，即，
则在上为减函数，∵，∴或，
∴或，即不等式的解集为，故答案为：.
2.已知函数的定义域为R，满足，当时，，若对，有，则m的取值范围是______．
【答案】
【分析】首先根据已知条件依次得到在附近的区间，x∈(1，2]、x∈(2，3]对应的函数解析式，然后按其规律画出函数的图像，再根据不等式恒成立的意义与函数图像即可求得实数m的取值范围.
【详解】因为，所以.
所以x∈(-1，0]时，有.所以.
因为，所以.
因为当时，，
所以x∈(1，2]时，有.所以
所以x∈(2，3]时，有.所以.
由此作出函数的图像如图所示，
由图知，当x∈(2，3]时，令，整理得，解得：或.
要使对，有，必有.所以m的取值范围是.
故答案为：
【题型十一】”两个函数“相等”恒成立（存在）求参
【典例分析】
已知函数，()，对，，使成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分别求出函数，在各自给定区间上的值域，再借助集合的包含关系即可计算作答.
【详解】函数的对称轴方程为，在上单调递减，则在的值域为，
又()在上单调递增，则在的值域为，
“对，，使成立”等价于“在的值域包含于在的值域”，
于是得，即，解得，
所以实数a的取值范围是.故选：A
【变式训练】
1.已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先求出两个函数的值域，由题意可得 的值域是的值域的子集，再利用子集的定义列式求解即可.
【详解】因为，则在上为单调递增函数，
所以的值域为，记为，
（1）当时， 在上为增函数，所以的值域为，记为，
由题意可得 ， 解得，
（2）当时，在 上为减函数，故的值域为，记为，
由题意可知，解得，
综上所述，实数 a 的取值范围是 故选：C
2.已知函数，．若对，，使得，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出两函数在的值域，然后根据题意可得的值域是的值域的子集，从而可求出实数的取值范围
【详解】因为的图像是开口向上的抛物线，且图像关于直线对称，
所以当时，，所以的值域为，
因为在上单调递增，所以的值域为，
因为对，，使得，
所以，解得，所以实数的取值范围是，故选：D
3.已知函数,,其中,若,,使得成立,则
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】由题可得，通过推理可得到，，由题意可知，，列出不等式计算即可.
【详解】由题可得，则，故，
则，故，，
因为，，使得成立，即，
故，解得，故选：D.
【题型十二】应用单调性比大小
【典例分析】
已知函数的定义域为R，满足，且当时，恒成立，设，，（其中），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数单调性的定义判断出在上单调递减,再利用把转化为，最后利用的单调性判断即可.
【详解】因为，所以，因此，即，
所以在上单调递减，
又因为，所以，
又因为，所以，
所以．
故选：B．
【变式训练】
1.已知函数，若，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，通过函数单调性可直接求解.
【详解】由题目中式子结构，构造函数，函数在上单调递增，
所以.
故选：B.
2.定义在区间（－1，1）上的函数f（x）满足：，x∈（－1，0）时f（x）<0，若，，c=f（0），则三个实数a，b，c从小到大排列的顺序为___________.
【答案】c【分析】利用已知的恒等式进行赋值，由函数单调性的定义判断函数的单调性，由恒等式将a转化为，利用单调性比较大小即可.
【详解】因为定义在区间（－1，1）上的函数f（x）满足：，
令x=y=0，则f（0）－f（0）=f（0），解得f（0）=0，设x因为x∈（－1，0）时f（x）<0，所以，即f（x）－f（y）<0，所以f（x）故函数f（x）在（－1，1）上为单调递增函数，因为，
所以，取，则，
则，因为，
所以，即c3.设函数满足：（1），且在递增；（2）对整常数及任意的有，.令，，，则由小到大的顺序是__________.
【答案】
【详解】试题分析：由,得函数关于对称,故该函数是周期函数,周期为,故，，，由于且在递增,且.
分阶培优练
培优第一阶——基础过关练
1.函数在R上为减函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】使用函数单调性的定义进行求解.
【详解】∵函数在R上是减函数，且，
∴由函数单调性的定义可知，，
解得，
∴实数的取值范围是．
故选：A．
2.若定义域为R的函数满足，且，，有，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件易得关于直线x＝2对称且在上递减，再应用单调性、对称性求解不等式即可.
【详解】由题设知：关于直线x＝2对称且在上单调递减．
由，得：，
所以，解得．
故选：A
3.已知函数，函数，，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据题意得到，从而只需求函数和函数的最大值即可.
【详解】因为对于任意，总存在，使得成立，
所以只需，
因为，所以当时，；
当时，在上单调递增，所以，
所以此时只需，即；
当时，在上单调递减，所以，
所以此时只需，即；当时，，此时不满足题意.
综上知：实数的取值范围为.
故答案为：.
4.已知定义域为的函数满足：，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】任设，则，，根据定义可得在上为递减函数，令得，令可得，可得，将不等式化为，利用单调性和定义域可解得结果.
【详解】任设，则，，
所以，
所以在上为递减函数，
在中，令得，得，
令得，所以，
又，所以，
可化为，
所以，所以，解得或.
故选：D
5.若函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．，B．C．，D．
【答案】D
【分析】由题意是上的增函数，所以分段函数的每一段单调递增且分界点处单调递增，列出不等式组求出的取值范围即可.
【详解】根据题意，任意实数都有成立，
所以函数是上的增函数，则分段函数的每一段单调递增且分界点处单调递增，
所以，解得：，所以实数的取值范围是：,.故选：D.
6.已知函数在区间上是严格减函数，并且函数值不恒为负，则a的取值范围是______.
【答案】
【分析】将函数变形为，利用反比例型函数的性质求解.
【详解】将函数整理变形，得，因为该函数在区间上是严格减函数，并且函数值不恒为负，
所以，且当时，函数值，解得.故答案为：
7.函数的递减区间是______．
【答案】和
【分析】分别讨论和时转化为二次函数，利用二次函数的性质即可求单调递减区间.
【详解】当时，为开口向下的抛物线，对称轴为，此时在期间单调递减，
当时，，开口向上的抛物线，对称轴为，此时在单调递减，
综上所述：函数的递减区间是，
故答案为：和
8.定义在上的函数f(x)满足，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】构造新函数，根据题意得出函数在内单调递减；把不等式转化为，结合单调性和定义域即可求解.
【详解】不妨设任意的，，因为，则，
所以，所以在内单调递减.
不等式等价于，又，所以等价于，
因为在内单调递减，所以，
即不等式的解集为.故选：B.
9.已知函数f(x)＝x2＋ax＋4，若对任意的x∈(0,2]，f(x)≤6恒成立，则实数a的最大值为( )
A．－1B．1C．－2D．2
【答案】A
【分析】根据题意，可以将a分离出来，然后转化为求函数的最值问题来解．【详解】若不等式x2+ax+4≤6对一切x∈（0，2]恒成立，即a≤，x∈（0，2]恒成立．令f（x）==﹣x+，x∈（0，2]．
该函数在（0，2]上递减，所以f（x）min=f（2）=﹣1．
则要使原式恒成立，只需a≤﹣1即可．故a的最大值为﹣1．故答案为：A
10.函数满足是，且，当时，，则当时，的最小值为___________.
【答案】##
【分析】由题设递推关系可得，令结合已知区间解析式即可求时的解析式，再应用二次函数的性质求最小值.
【详解】由题设，，若，则，
∴，即，
∴上，当时的最小值为.
故答案为：
11.已知函数，，对，，使成立，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由题意可知的值域是值域的子集，所以分别求出两函数的值域，列不等式组可求得答案.
【详解】函数图象的对称轴为直线x=2，所以在上单调递减，
则在上的值域为.因为在上单调递增，
所以在上的值域为.由题意，可得，
即，解得.故答案为：
12.函数在是增函数，若，则有 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的单调性，结合不等式的性质判断即可
【详解】，
又函数在上是增函数，故
故选：C.
培优第二阶——能力提升练
1.已知函数f(x)的定义域为R，且对任意两个不相等的实数a，b都有，则不等式的解集为（ ）
A．(3，+∞)B．C．(-∞，2)D．(2，+∞)
【答案】A
【分析】不妨设，可推出是上的增函数，原不等式等价于，求解即可．
【详解】不妨设，因为，所以，
故是上的增函数，原不等式等价于，解得．故选：A
2.已知函数在上单调递增，满足对任意，都有，若在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题知函数图像的对称轴是直线，进而得函数在上单调递减，再根据单调区间求解即可.
【详解】解：由，得函数图像的对称轴是直线，
因为函数在上单调递增所以，函数在上单调递减，
因为在区间上单调递减，则，解得．
所以，实数a的取值范围为.故选：C．
3已知函数，若对于任意的、、，以、、为长度的线段都可以围成三角形，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】本题首先可根据题意得出当时恒成立，即恒成立，解得，然后根据二次函数性质得出在上单调递增以及和的值，最后根据三个值中两较小值的和大于最大值即可得出结果.
【详解】由题意易知，当时恒成立，即在上恒成立，化简为恒成立，
因为函数在上为减函数，所以，，
因为二次函数的对称轴为，
所以在上单调递增，，，
要使以、、为长度的线段能围成三角形，
只需三个值中两较小值的和大于最大值，
即，解得，综上所述，实数的取值范围为，故答案为：.
4.若定义在上的函数满足：对于任意有且时，有的最大值、最小值分别为则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令可求得，再令可得，再利用单调性的定义证明函数 是递增的，从而可求出的值.
【详解】因为对于任意有
所以令 ，得 ，
再令 ，则
将 代入可得 ．
设 ，则，
因为时，有，
所以，
所以
，
所以，即
所以函数在上是递增的，
所以 ．
又因为 ，
所以的值为4028．
故选：D．
5.已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先判断出的单调性，然后将不等式转化为，根据单调性，得到对任意恒成立，根据一次函数的单调性，得到最大值小于等于，从而得到关于的不等式，解得的范围.
【详解】函数，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递增，所以在上单调递增，
所以不等式转化为因为在上单调递增，
所以对任意恒成立，即而单调递增，
所以得到解得故选：B.
6.若函数在区间是严格增函数，则实数a的取值范围是____.
【答案】
【解析】当时，，求的取值范围.
【详解】设，则，
，， ，.故答案为：
7.已知定义在上的函数，若对任意的，恒有，则实数的最大值为___________.
【答案】
【分析】依题意可得函数图象，即可得到函数在上为减函数，又由，则，则有在，上恒成立，进而可得在，上恒成立，根据一次函数的性质得到，解可得的取值范围，即可得答案．
【详解】解：因为，函数图象如下所示：
由图可知函数在定义域上单调递减，且，
不等式在恒成立，
即在恒成立，
即有，解得，所以的最大值为；
故答案为：
8.已知函数的定义域为，对任意，有，且，若对任意恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由已知不等式确定新函数是增函数，利用单调性把不等式进行化简，转化为关于的一次不等式恒成立，利用一次函数性质得不等关系，从而得结论．
【详解】因为，因此由得，即，
所以函数是上的增函数，
不等式化为，
即，所以对恒成立，
对恒成立，所以，解得或．
故选：C
9.已知存在，不等式成立，则实数a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】问题转化为即可，，由，令，，问题转化为求的最大值，根据二次函数的性质求出的最大值，从而求出的范围即可．
【详解】若存在，不等式成立，即即可，，由，
令，，问题转化为求的最大值，而，的最大值是2，
故，故，故答案为：
10.已知函数满足：(1)对任意，恒有成立；(2)当时，.若，则满足条件的最小的正实数是
【答案】
【详解】分析：取 则 ，从而 根据 进行化简，设 则 求出的取值范围．
详解：取则，从而 其中，
，
设 则
即 ∴满足条件的最小的正实数是36．
即答案为36.
11.已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ________.
【答案】
【分析】根据对任意的，总存在，使得，可得两个函数值域的包含关系，
进而根据关于的不等式组，解不等式组即可.
【详解】因为，所以函数的对称轴为，
对任意的，记.记. 由题意知，当时不成立，
当时，在上是增函数，
所以，记由题意知， 所以，解得.
当时，在上是减函数，所以，记，
由题意知， 所以，解得.综上所述，实数的取值范围是.
故答案为:
12.已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，恒成立，设(其中e＝2.71828…)，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞c＞bB．b＞c＞aC．b＞a＞cD．c＞b＞a
【答案】B
【分析】由于f(x) 关于直线x＝1对称，可以得到f(-1)＝f(3)，因为当x2＞x1＞1时，，所以f(x)在(1，+∞)上单调递减，这样就能对比f(3)、、f(2)的大小，进而得到答案
【详解】解：由题意得，f(x)在(1，+∞)上单调递减，
因为函数图象关于x＝1对称，
所以f(x)在(-∞，1)上单调递增，
因为f(-1)＝f(3)，且3＞e＞2＞1，
所以f(3)＜f(e)＜f(2)，
所以a＜c＜b．
故选：B．
培优第三阶——培优拔尖练
1.设奇函数在上为单调递减函数，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先根据函数单调性和，时的正负分布，再根据奇函数的对称性判断时的正负分布，最后化简不等式为，结合函数值的正负分布即得到满足不等式的x的解.
【详解】依题意在上为单调递减函数，，
可知，时，时，
又是奇函数，图象关于原点中心对称，故时，时，
不等式，即，故，即，
所以时，需，即；时，需，即.
综上，不等式的解集为：.
故选：B.
2.已知函数定义域为R，满足，且对任意，均有，则不等式解集为______．
【答案】
【分析】先求出函数关于直线对称，函数在上单调递增．在上单调递减，再解不等式即得解.
【详解】因为函数满足，所以函数关于直线对称，因为对任意，均有成立，所以函数在上单调递增．
由对称性可知在上单调递减．因为，即，
所以，即，解得或．
故答案为：
3.已知，函数，，若对任意，总存在，使得，则a的取值范围为______.
【答案】
【分析】依题意可得存在，使得，即在上有解，即在上有解，再根据二次函数的性质分类讨论，分别计算可得.
【详解】解：依题意显然，
因为对任意，总存在，使得，
所以存在，使得，
故在上有解，即在上有解.
设，其图象的对称轴为，
若，即，则此时，故不成立；
若，即，此时需在上，即，
故，解得.故答案为：
4.已知函数定义域为且满足，且时，，若不等式f()≤f()＋f(a)恒成立，则a∈____________.
【答案】
【分析】结合函数单调性的定义先判断的单调性．然后化简已知不等式，根据单调性解已知不等式，参变分离后利用基本不等式进行求解即可．
【详解】任取，，且，则，，
，即，
由此得到是上的减函数．
则不等式（a）等价为不等式，
即，即，
，当且仅当时，取等号，，即，.故答案为：，.
5.已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】不等式为(*)，
当时，(*)式即为，，
又（时取等号），
（时取等号），
所以，
当时，(*)式为，，
又（当时取等号），
（当时取等号），所以，综上．故选A．
6.设函数，区间，集合，则使得的实数对有____________对
【答案】3
【分析】由，根据单调性，求出函数值域，再由，得到，求解即可求出结果.
【详解】因为，当时，显然单调递增；
当时，显然单调递增；因此函数在上单调递增，
所以当时，其值域为，
由可得，由可得或，所以或；
同理或；
因为时，所以或或，即满足条件的实数对有个.
故答案为：.
7.已知函数，若对任意的，不等式 恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】显然函数在上单调递增，又，由 结合函数的单调性可知，构造函数，即 恒成立，解不等式即可得解.
【详解】， 函数在上单调递增，
又
所以对，不等式恒成立，即不等式 恒成立，
令， ，即
又在 上单调递增，
所以实数t的取值范围是故选：A.
8.已知定义在上的函数，满足，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】转化，构造函数可知在上递增，又，故，结合单调性即得解
【详解】因为定义在上的函数满足：，
又
所以在上递增由，可得
故结合单调性，
故不等式的解集为故选：A
9.已知函数.若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】因为,故化简为,令.若存在,使得不等式成立,即小于最大值,求解最大值即可得实数的取值范围.
【详解】 即:
可化为: 即 若存在，使得不等式成立 即小于最大值.
令①当时, 此时
②当时

③当时

综上所述,,故,即的取值范围是: .故选:A.
10.设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据给定条件，可得，分段求解析式及对应函数值集合，再结合图象推理计算作答.
【详解】因，则，又当时，，
当时，，，
当时，由，解得或，
当时，，，
显然，当时，，如图，
对任意，都有，必有，所以m的取值范围是.故答案为：
11.已知函数，函数的定义域为且满足．当时，．若对任意，都存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出在上的值域，利用的性质得出在上的值域，再求出在上的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出的范围
【详解】解：当时，，可得在上单调递减，在上单调递增，
所以在上的值域为，在上的值域为，所以在上的值域为，
因为，所以，
所以在上的值域为，当时，为增函数，则在上的值域为，
所以，解得，当时， 为减函数，则在上的值域为，
所以，解得，当，为常函数，值域为，不符合题意，
综上，的取值范围为或，故选：D
12.．已知，且在上是增函数，则，，的大小顺序是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先利用，将自变量转化到上，再利用在上是增函数，可比较出大小.
【详解】因为，
所以，
，
因为在上是增函数，且，
所以，即，
故选：B
【提分秘籍】
定义法判断单调性
基本规律
（1）取值：设是该区间内的任意两个值，且；
（2）作差变形：即作差，即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；
（3）定号：确定差的符号；
（4）下结论：判断，根据定义作出结论.
即取值---作差----变形----定号----下结论.
【提分秘籍】
基本规律
对称性的常用结论如下：
若函数满足,则的一条对称轴为
若函数满足,则的一条对称轴为
若函数满足,则的一条对称轴为，
(4)f(a－x)＝f(b＋x)⇔f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称；
【提分秘籍】
基本规律
中心对称结论如下：
（1）若函数满足，则的一个对称中心为
（2）若函数满足，则的一个对称中心为
（3）若函数满足，则的一个对称中心为.
【提分秘籍】
基本规律
证明单调性，实质就是构造定义法，在时，构造证明出正负。常见的构造规律如下：
1.构造“和”
2.构造“积”
3. 利用构造,
4.利用奇偶性（主要是奇函数）构造
5.其他类型构造
【提分秘籍】
基本规律
分段函数单调新要注意以下三点：
1.每一段都是单调函数。
2.两端的连接处也要具有“单调性”。
3.两端连接处要注意“开闭”。
【提分秘籍】
基本规律
1.形如式，可以通过分离常数，化简为来画图
2.也可以用二级结论：关于点中心对称，图像可以再借助代特殊值判断增减性（也就是所谓的图像位于“一三象限”或者“二四象限”）
【提分秘籍】
基本规律
绝对值函数求参，多以“零点比大小”来分类讨论。
特殊的绝对值函数可以通过图像翻折来求参
【提分秘籍】
基本规律
常见的构造函数技巧，在于转化过程中，“分参”→“同构”，得新函数，提取单调性
【提分秘籍】
基本规律
参变分离解决恒成立（存在）求参：
①若在上恒成立，则；
②若在上恒成立，则；
③若在上有解，则；
④若在上有解，则；
【提分秘籍】
基本规律
形如f（tx）=mf（x）等“似周期函数”或者“类周期函数”，要注意以下几点辨析：
1.是从左往右放大，还是从右往左放大。
2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0。
3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移。
4.“放大镜”函数，在寻找“切线”型临界值时，计算容易“卡壳”，授课时要着重讲清此处计算。
【提分秘籍】
基本规律
关键是将问题转化为对任意的，总存在，使得，
可得两个函数值域的包含关系，进而分别求两个函数的值域.